高考數(shù)學(xué)試題分項版解析 專題10 立體幾何 理（含解析）

1、2015年高考數(shù)學(xué)試題分項版解析 專題10 立體幾何 理（含解析）1.【2015高考安徽，理5】已知，是兩條不同直線，是兩個不同平面，則下列命題正確的是（ ） （A）若，垂直于同一平面，則與平行 （B）若，平行于同一平面，則與平行 （C）若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線 （D）若，不平行，則與不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由，若，垂直于同一平面，則，可以相交、平行，故不正確；由，若，平行于同一平面，則，可以平行、重合、相交、異面，故不正確；由，若，不平行，但平面內(nèi)會存在平行于的直線，如平面中平行于，交線的直線；由項，其逆否命題為“若與垂直于同一平面，則，平行”是真命題，故項正確.所

2、以選D.【考點定位】1.直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用.【名師點睛】空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實實物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.2.【2015高考北京，理4】設(shè)，是兩個不同的平面，是直線且“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，是兩個不同的平面，是直線且若“”，則平面可能相交也可能平行，不能推出，反過來若，則有，則“”是“”的必要而不充分條

3、件.考點定位：本題考點為空間直線與平面的位置關(guān)系，重點考察線面、面面平行問題和充要條件的有關(guān)知識.【名師點睛】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系及充要條件，本題屬于基礎(chǔ)題，本題以空間線、面位置關(guān)系為載體，考查充要條件考查學(xué)生對空間線、面的位置關(guān)系及空間面、面的位置關(guān)系的理解及空間想象能力，重點是線面平行和面面平行的有關(guān)判定和性質(zhì).3.【2015高考新課標(biāo)1，理6】九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆

4、的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ）(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛【答案】B【考點定位】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式【名師點睛】本題以九章算術(shù)中的問題為材料，試題背景新穎，解答本題的關(guān)鍵應(yīng)想到米堆是圓錐，底面周長是兩個底面半徑與圓的和，根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的方程，解出底面半徑，是基礎(chǔ)題.4.【2015高考陜西，理5】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A B C D【答案】D【解析】由三視圖知：該幾何體是半個圓柱，其中底面圓的半徑為，母線長為，所以該幾何體的表

5、面積是，故選D【考點定位】1、三視圖；2、空間幾何體的表面積【名師點晴】本題主要考查的是三視圖和空間幾何體的表面積，屬于容易題解題時要看清楚是求表面積還是求體積，否則很容易出現(xiàn)錯誤本題先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再計算出幾何體各個面的面積即可5.【2015高考新課標(biāo)1，理11】圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 + 20，則r=（ ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為=

6、16 + 20，解得r=2，故選B.【考點定位】簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測面積公式【名師點睛】本題考查簡單組合體的三視圖的識別，是常規(guī)提，對簡單組合體三三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀，再根據(jù)“長對正，寬相等，高平齊”的法則組合體中的各個量.6.【2015高考重慶，理5】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A、 B、C、 D、【答案】A【解析】這是一個三棱錐與半個圓柱的組合體，選A.【考點定位】組合體的體積.【名師點晴】本題涉及到三視圖的認知，要求學(xué)生能由三視圖畫出幾何體的直觀圖，從而分析出它是哪些基本幾何體的組合，應(yīng)用相應(yīng)的

7、體積公式求出幾何體的體積，關(guān)鍵是畫出直觀圖，本題考查了學(xué)生的空間想象能力和運算求解能力.7.【2015高考北京，理5】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（ ）A B C D5【答案】C,三棱錐表面積.考點定位：本題考點為利用三視圖還原幾何體及求三棱錐的表面積，考查空間線線、線面的位置關(guān)系及有關(guān)線段長度及三角形面積數(shù)據(jù)的計算.【名師點睛】本題考查三視圖及多面體的表面積，本題屬于基礎(chǔ)題，正確利用三視圖還原為原幾何體，特別是有關(guān)數(shù)據(jù)的還原，另外要利用線面垂直的性質(zhì)，判斷三角形的形狀，特別是側(cè)面的形狀為等腰三角形，正確求出三個側(cè)面的面積和底面的面積.8.【2015高考安徽，理7】一個四面體

8、的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B【解析】由題意，該四面體的直觀圖如下，是等腰直角三角形，是等邊三角形，則，所以四面體的表面積，故選B. 【考點定位】1.【名師點睛】三視圖是高考中的熱門考點，解題的關(guān)鍵是熟悉三視圖的排放規(guī)律：長對正，高平齊，寬相等.同時熟悉常見幾何體的三視圖，這對于解答這類問題非常有幫助，本題還應(yīng)注意常見幾何體的體積和表面積公式.9.【2015高考新課標(biāo)2，理9】已知A,B是球O的球面上兩點，AOB=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( )【答案】C【考點定位】外接球表面積和椎

9、體的體積【名師點睛】本題以球為背景考查空間幾何體的體積和表面積計算，要明確球的截面性質(zhì)，正確理解四面體體積最大時的情形，屬于中檔題10.【2015高考山東，理7】在梯形中， .將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為1，母線長為2的圓柱挖去一個底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為：故選C.【考點定位】1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的體積.【名師點睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及空間幾何體的體積的

10、計算，重點考查了圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征和體積的計算，體現(xiàn)了對學(xué)生空間想象能力以及基本運算能力的考查，此題屬中檔題.11.【2015高考浙江，理8】如圖，已知，是的中點，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B.【解析】試題分析：設(shè)，設(shè)，則由題意，在空間圖形中，設(shè)，在中，在空間圖形中，過作，過作，垂足分別為，過作，連結(jié)，則就是二面角的平面角，在中，同理，故，顯然面，故，在中，在中，【考點定位】立體幾何中的動態(tài)問題【名師點睛】本題主要考查立體幾何中的動態(tài)問題，屬于較難題，由于的形狀不確定，與的大小關(guān)系是不確定的，再根據(jù)二面角的定義即可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立以立

11、體幾何為背景的創(chuàng)新題是浙江高考數(shù)學(xué)試卷的熱點問題，12年，13年選擇題壓軸題均考查了立體幾何背景的創(chuàng)新題，解決此類問題需在平時注重空間想象能力的培養(yǎng)，加強此類問題的訓(xùn)練.【2015高考湖南，理10】某工件的三視圖如圖3所示，現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=）（ ）A. B. C. D.【答案】A.【解析】試題分析：分析題意可知，問題等價于圓錐的內(nèi)接長方體的體積的最大值，設(shè)長方體體的長，寬，高分別為，長方體上底面截圓錐的截面半徑為，則，如下圖所示，圓錐的軸截面如圖所示，則可知，而長方體的體積，當(dāng)

12、且僅當(dāng)，時，等號成立，此時利用率為，故選A.【考點定位】1.圓錐的內(nèi)接長方體；2.基本不等式求最值.【名師點睛】本題主要考查立體幾何中的最值問題，與實際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實際應(yīng)用問題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問題的兩大核心思路：一是化立體問題為平面問題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.12.【2015高考浙江，理2】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（ ） A. B. C. D. 【答案】C.【考點定位】1.三視圖；2.空間幾何體的體積計算

13、.【名師點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，再計算其體積，屬于容易題，在解題過程中，根據(jù)三視圖可以得到該幾何體是一個正方體與四棱錐的組合，將組合體的三視圖，正方體與錐體的體積計算結(jié)合在一起，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力，會利用所學(xué)公式進行計算，體現(xiàn)了知識點的交匯.13.【2015高考福建，理7】若 是兩條不同的直線， 垂直于平面 ，則“ ”是“ 的 （ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，因為垂直于平面，則或；若，又垂直于平面，則，所以“ ”是“ 的必要不充分條件，故選B【考點定位】空間直線和

14、平面、直線和直線的位置關(guān)系【名師點睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查空間直線、平面的位置關(guān)系，要理解線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化以及線線平行和線面平行的轉(zhuǎn)化還有平行和垂直之間的內(nèi)部聯(lián)系，長方體是直觀認識和描述空間點、線、面位置關(guān)系很好的載體，所以我們可以將這些問題還原到長方體中研究14.【2015高考新課標(biāo)2，理6】一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( )A B C D【答案】D【解析】由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，設(shè)正方體棱長為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為，故選D【考點定位】三

15、視圖【名師點睛】本題以正方體為背景考查三視圖、幾何體體積的運算，要求有一定的空間想象能力，關(guān)鍵是能從三視圖確定截面，進而求體積比，屬于中檔題【2015高考上海，理6】若圓錐的側(cè)面積與過軸的截面面積之比為，則其母線與軸的夾角的大小為 【答案】【解析】由題意得：母線與軸的夾角為【考點定位】圓錐軸截面【名師點睛】掌握對應(yīng)幾何體的側(cè)面積，軸截面面積計算方法.如 圓柱的側(cè)面積 ，圓柱的表面積 ，圓錐的側(cè)面積 ，圓錐的表面積 ，球體的表面積 ，圓錐軸截面為等腰三角形.【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 【答案】【解析】【考點定位】正三棱柱的體積【名師點睛】,區(qū)別錐的體積；熟

16、記正三角形面積為，正六邊形的面積為.15.【2015高考四川，理14】如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 .【答案】，當(dāng)，當(dāng)時，取得最大值.【考點定位】1、空間兩直線所成的角；2、不等式.【名師點睛】空間的角與距離的問題，只要便于建立坐標(biāo)系均可建立坐標(biāo)系，然后利用公式求解.解本題要注意，空間兩直線所成的角是不超過90度的.幾何問題還可結(jié)合圖形分析何時取得最大值.當(dāng)點M在P處時，EM與AF所成角為直角，此時余弦值為0（最?。?，當(dāng)M點向左移動時，EM與AF所成角逐漸變小，點

17、M到達Q點時，角最小，從而余弦值最大.16.【2015高考天津，理10】一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積為 . 【答案】【解析】由三視圖可知，該幾何體是中間為一個底面半徑為，高為的圓柱，兩端是底面半徑為，高為的圓錐，所以該幾何體的體積.【考點定位】三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式.【名師點睛】主要考查三視圖與旋轉(zhuǎn)體體積公式及空間想象能力、運算能力.識圖是數(shù)學(xué)的基本功，空間想象能力是數(shù)學(xué)與實際生活必備的能力，本題將這些能力結(jié)合在一起，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實用價值，同時也考查了學(xué)生對旋轉(zhuǎn)體體積公式的掌握與應(yīng)用、計算能力.17.【2015高考浙江，理13】如圖，三棱錐中，點分別是的中點，則異面直

18、線，所成的角的余弦值是 【答案】.【考點定位】異面直線的夾角.【名師點睛】本題主要考查了異面直線夾角的求解，屬于中檔題，分析條件中出現(xiàn)的中點，可以考慮利用三角形的中位線性質(zhì)利用平移產(chǎn)生異面直線的夾角，再利用余弦定理的變式即可求解，在復(fù)習(xí)時應(yīng)了解兩條異面直線夾角的范圍，常見的求異面直線夾角的方法等知識點.18.【2015江蘇高考，9】現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個。若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個，則新的底面半徑為 【答案】【解析】由體積相等得：【考點定位】圓柱及圓錐體積【名師點晴】求空間幾何體體積的常用方

19、法(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算(2)等積法：根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等(3)割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a形，轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾何體19.【2015高考新課標(biāo)2，理19】（本題滿分12分）如圖，長方體中,，點，分別在，上，過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形DD1C1A1EFABCB1（）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）詳見解析；（）【考點定位】1、直線和平面平行的性質(zhì)；2、直線和平面所成的角【名師點睛】根據(jù)線面平行和面面平行的

20、性質(zhì)畫平面與長方體的面的交線；由交線的位置可確定公共點的位置，坐標(biāo)法是求解空間角問題時常用的方法，但因其計算量大的特點很容易出錯，故坐標(biāo)系的選擇是很重要的，便于用坐標(biāo)表示相關(guān)點，先求出面的法向量，利用求直線與平面所成角的正弦值20.【2015江蘇高考，16】（本題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，已知，設(shè)的中點為，.求證：（1）； （2）.ABCDEA1B1C1【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】試題分析（1）由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面為平行四邊形,因此點為的中點，從而由三角形中位線性又因為，平面，平面，所以平面又因為平面，所以因為，所以矩形是正方形，因此因為，平面，所以平面又因為平面，所以【考

21、點定位】線面平行判定定理，線面垂直判定定理【名師點晴】不要忽視線面平行的判定定理中線在面外條件證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線, 常利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行. 證明線面垂直時，不要忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件證明直線與平面垂直的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ)21.【2015高考安徽，理19】如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點，過的平面交于F. （）證明：； （）求二面角余弦值.【答案】（）；

22、（）.【解析】試題分析：（）證明：依據(jù)正方形的性質(zhì)可知，且，從而為平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定定理知面，再由線面平行的性質(zhì)定理知.（）因為四邊形，均為正方形，所以，且，可以建以為原點，分別以為軸，軸，軸單位正向量的平面直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)的點的坐標(biāo)，設(shè)出面的法向量.由得應(yīng)滿足的方程組，為其一組解，所以可取.同理的法向量.所以結(jié)合圖形知二面角的余弦值為.試題解析：（）證明：由正方形的性質(zhì)可知，且，所以四邊形為平行四邊形，從而，又面，面，于是面，又.設(shè)面的法向量，而該面上向量，由此同理可得.所以結(jié)合圖形知二面角的余弦值為.【考點定位】1.線面平行的判定定理與性質(zhì)定理；2.二面角的求解.【名師

23、點睛】解答空間幾何體中的平行、垂直關(guān)系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進行推理；求二面角，則通過求兩個半平面的法向量的夾角間接求解.此時建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及正確求出各點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵所在.22.【2015江蘇高考，22】（本小題滿分10分）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯 形，, （1）求平面與平面所成二面角的余弦值； （2）點Q是線段BP上的動點，當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時，求線段BQ的長PABCDQ【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）求二面角，關(guān)鍵求出兩個平面的法向量，

24、本題中平面法向量已知，故關(guān)鍵求平面的法向量，利用向量垂直關(guān)系可列出平面的法向量兩個獨立條件，再根據(jù)向量數(shù)量積求二面角余弦值（2）先建立直線CQ與DP所成角的函數(shù)關(guān)系式：設(shè),則,再利用導(dǎo)數(shù)求其最值，確定點Q坐標(biāo)，最后利用向量模求線段BQ的長試題解析：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點的坐標(biāo)為，（1）因為平面，所以是平面的一個法向量，因為，設(shè)平面的法向量為，則，即令，解得，所以是平面的一個法向量從而，所以平面與平面所成二面角的余弦值為（2）因為，設(shè)（），【考點定位】空間向量、二面角、異面直線所成角【名師點晴】1求兩異面直線a，b的夾角，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos |c

25、osa，b|.2求直線l與平面所成的角可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a的夾角則sin |cosn，a|.3求二面角 ­l ­的大小，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角，則n1，n2或n1，n223.【2015高考福建，理17】如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點.()求證：平面 ； ()求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值【答案】()詳見解析；() 【解析】解法一：（）如圖，取的中點，連接，又G是BE的中點，又F是CD中點，由四邊形ABCD是矩形得，所以從

26、而四邊形是平行四邊形，所以，,又，所以()如圖，在平面BEC內(nèi)，過點B作,因為又因為AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ以B為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1)因為AB平面BEC，所以為平面BEC的法向量，設(shè)由取得.從而所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為解法二：()如圖，取中點，連接，又是的中點，可知，又（）同解法一【考點定位】1、直線和平面平行的判斷；2、面面平行的判斷和性質(zhì)；3、二面角【名師點睛】本題考查直線和平面平行的證明和二面角求法，直線和平面平行首先是利用其判定定理，

27、或者利用面面平行的性質(zhì)來證，注意線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化；利用坐標(biāo)法求二面角，主要是空間直角坐標(biāo)系的建立要恰當(dāng)，便于用坐標(biāo)表示相關(guān)點，求出半平面法向量夾角后，要觀察二面角是銳角還是鈍角，正確寫出二面角的余弦值24.【2015高考浙江，理17】如圖，在三棱柱-中，在底面的射影為的中點，為的中點.（1）證明：D平面；（2）求二面角-BD-的平面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.試題分析：（1）根據(jù)條件首先證得平面，再證明，即可得證；（2）作，且，可證明為二面角的平面角，再由余弦定理即可求得，從而求解.試題解析：（1）設(shè)為的中點，由題意得平面，故平面，由，分別，的中點，得且，從而

28、，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面；（2）作，且，連結(jié)，由，得，由，得，由，得，因此為二面角的平面角，由，得，由余弦定理得，.【名師點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)以及二面角的求解，屬于中檔題，在解題時，應(yīng)觀察各個直線與平面之間的位置關(guān)系，結(jié)合線面垂直的判定即可求解，在求二面角時，可以利用圖形中的位置關(guān)系，求得二面角的平面角，從而求解，在求解過程當(dāng)中，通常會結(jié)合一些初中階段學(xué)習(xí)的平面幾何知識，例如三角形的中位線，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，在復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注.25.【2015高考山東，理17】如圖，在三棱臺中，分別為的中點.（）求證：平面；（）若平面， ， ,

29、求平面與平面 所成的角（銳角）的大小.【答案】（I）詳見解析；（II） 【解析】試題分析：（I）思路一：連接，設(shè)，連接，先證明，從而由直線與平面平行的判定定理得平面；思路二：先證明平面 平面 ，再由平面與平面平行的定義得到平面.（II）思路一：連接，設(shè)，連接，證明 兩兩垂直, 以 為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空量向量的夾角公式求解；思路二：作 于點 ，作 于點 ，連接，證明 即為所求的角，然后在三角形中求解.試題解析： (I)證法一：連接，設(shè)，連接，在三棱臺中，為的中點可得所以四邊形為平行四邊形則為的中點又為的中點所以 又平面 平面所以平面證法二：在三棱臺中，由為的中點因為

30、平面 所以 平面 （II）解法一：設(shè) ，則 在三棱臺中，為的中點由 ，可得四邊形 為平行四邊形，因此 又平面 所以平面 在中，由 ，是中點，所以 因此 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 所以 可得 故 設(shè) 是平面 的一個法向量，則由 可得 可得平面 的一個法向量因為 是平面 的一個法向量，所以 所以平面與平面所成的解(銳角)的大小為 解法二：作 于點 ，作 于點 ，連接 由 平面 ，得 又 所以平面 因此所以 即為所求的角所以平面與平面所成角（銳角）的大小為 .【考點定位】1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、二面角的求法；3、空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用.【名師點睛】本

31、題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立幾何中的證明與求解，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，要注意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運算的準(zhǔn)確性.26.【2015高考天津，理17】（本小題滿分13分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱,且點M和N分別為的中點.(I)求證：平面；(II)求二面角的正弦值；(III)設(shè)為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長【答案】(I)見解析； (II) ； (III) .【解析】如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，又因為分別為和的中點，得.(I)證明：依題意，可得為平面的一個法向量

32、， 由此可得，又因為直線平面，所以平面(II)，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，設(shè)為平面的一個法向量，則，又，得，不妨設(shè)，可得【考點定位】直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應(yīng)用.【名師點睛】本題主要考查直線和平面平行和垂直的判定與性質(zhì)，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應(yīng)用.將立體幾何向量化，體現(xiàn)向量工具的應(yīng)用，即把幾何的證明與計算問題轉(zhuǎn)化為純代數(shù)的計算問題，是向量的最大優(yōu)勢，把空間一些難以想象的問題轉(zhuǎn)化成計算問題，有效的解決了一些學(xué)生空間想象能力較差的問題.27.【2015高考重慶，理19】如題（19）圖，三棱錐中，平面分別為線段上的點，且

33、（1）證明：平面 （2）求二面角的余弦值?！敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證線線垂直，題中由平面，可知，再分析已知由得，這樣與垂直的兩條直線都已找到，從而可得線面垂直；（2）求二面角的大小，可心根據(jù)定義作出二面角的平面角，求出這個平面角的大小，本題中，由于，平面，因此兩兩垂直，可以他們?yōu)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，寫出圖中各點的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，向量的夾角與二面角相等或互補，由此可得結(jié)論試題解析：(1)證明：由PC平面ABC，DE平面，故PCDE由CE，CD=DE得為等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線

34、，故DE平面PCD (2)解：由（）知，CDE為等腰直角三角形，DCE，如（）圖，過點作DF垂直CE于，易知DFFCEF，又已知EB，故FB 由ACB得DFAC，故ACDF以為坐標(biāo)原點，分別以的方程為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則(0,0,0,)，(0,0,3)，(,0,0),(0,2,0)，(1,1,0)，設(shè)平面的法向量，從而法向量，的夾角的余弦值為，故所求二面角A-PD-C的余弦值為.【考點定位】考查線面垂直，二面角考查空間想象能力和推理能力【名師點晴】立體幾何解答題的一般模式是首先證明線面位置關(guān)系(一般考慮使用綜合幾何方法進行證明)，然后是與空間角有關(guān)的問題，綜合幾何方法

35、和空間向量方法都可以，但使用綜合幾何方法要作出二面角的平面角，作圖中要伴隨著相關(guān)的證明，對空間想象能力與邏輯推理能力有較高的要求，而使用空間向量方法就是求直線的方向向量、平面的法向量，按照空間角的計算公式進行計算，也就是把幾何問題完全代數(shù)化了，這種方法對運算能力有較高的要求兩種方法各有利弊，在解題中可根據(jù)情況靈活選用28.【2015高考四川，理18】一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)的中點為，的中點為（1）請將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處（不需說明理由）（2）證明：直線平面（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）點F、G、H的位置如圖所示.（2）詳見解析.（

36、3）【解析】（1）點F、G、H的位置如圖所示.所以，且，且，所以，所以是平行四邊形，從而，又平面，平面，所以平面.（3）連結(jié)AC，過M作于P. 在正方形中，所以.過P作于K，連結(jié)KM，所以平面，從而.所以是二面角的平面角.設(shè)，則，在中，.在中，.所以.即二面角的余弦值為.（另外，也可利用空間坐標(biāo)系求解）【考點定位】本題主要考查簡單空間圖形的直觀圖、空間線面平行的判定與性質(zhì)、空間面面夾角的計算等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力.【名師點睛】立體幾何解答題的考查內(nèi)容，不外乎線面、面面位置關(guān)系及空間夾角與距離的計算. （1）注意ABCD是底面，將平面展開圖還原可得點F、G、H的

37、位置. （2）根據(jù)直線與平面平行的判定定理，應(yīng)考慮證明MN平行于平面BDH內(nèi)的一條直線.連結(jié)O、M，易得是平行四邊形，從而，進而證得平面.（3）要作出二面角的平面角，首先要過M作平面AEGC的垂線，然后再過垂足作棱EG的垂線，再將垂足與點M連結(jié)，即可得二面角的平面角. 29.【2015高考湖北，理19】九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接 （）證明：試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（）若面與面所成二面角的大小為，求的

38、值【答案】（）詳見解析；（）.故是面與面所成二面角的平面角， 設(shè)，有，在RtPDB中, 由, 得, 則 , 解得. 所以 故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時，. （解法2）（）如圖2，以為原點，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，則，點是的中點，所以，于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 則, 所以.由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為. （）由，所以是平面的一個法向量；由（）知，所以是平面的一個法向量. 若面與面所成二面角的大小為，則，解得. 所以 故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時，. 【考點定位】四棱錐的性質(zhì)，線、面垂直的性質(zhì)與

39、判定，二面角.【名師點睛】立體幾何是高考的重點和熱點內(nèi)容，而求空間角是重中之重，利用空間向量求空間角的方法固定，思路簡潔，但在利用平面的法向量求二面角大小時，兩個向量夾角與二面角相等還是互補是這種解法的難點，也是學(xué)生的易錯易誤點解題時正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補，一個指向內(nèi)另一個指向外則相等30.【2015高考陜西，理18】（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，是的中點，是與的交點將沿折起到的位置，如圖 （I）證明：平面；（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值【答案】（I）證明見解析；（II）(II)由已知，平面平面，又由（I）知，所以為二面角的平面角

40、，所以.如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以得 ，.設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，則，得，取，得，取，從而，即平面與平面夾角的余弦值為.考點：1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標(biāo)系；4、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.【名師點晴】本題主要考查的是線面垂直、二面角、空間直角坐標(biāo)系和空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題解題時一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯誤證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線31.【2015高考新課標(biāo)1，理18】如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC

41、=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.（）證明：平面AEC平面AFC；（）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.【答案】（）見解析（）又AEEC，EG=，EGAC，在RtEBG中，可得BE=，故DF=.在RtFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分（）如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由（）可得A（0，0），E(1,0, )，F(xiàn)（1,0，

42、），C（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. 12分【考點定位】空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計算；空間想象能力，推理論證能力【名師點睛】對空間面面垂直問題的證明有兩種思路，思路1：幾何法，先由線線垂直證明線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直；思路2：利用向量法，通過計算兩個平面的法向量，證明其法向量垂直，從而證明面面垂直；對異面直線所成角問題，也有兩種思路，思路1：幾何法，步驟為一找二作三證四解，一找就是先在圖形中找有沒有異面直線所成角，若沒有，則通常做平行線或中位線作出異面直線所成角，再證明該角是異面直線所成角，利用解三角形解出該角.

43、32.【2015高考北京，理17】如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，為的中點() 求證：；() 求二面角的余弦值；() 若平面，求的值【答案】(1)證明見解析，（2），（3）予以取舍.試題解析：()由于平面平面，為等邊三角形，為的中點，則，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以平面EFCB，又平面，則.()取CB的中點D，連接OD,以O(shè)為原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于平面與軸垂直，則設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，則，二面角的余弦值，由二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.（）有（1）知平面EFCB，則，若平面，只需，又，解得或，由于，則.考點定位：本題考點為線線垂直的證明和求二面角，要求學(xué)生掌握空間線線、線面的平行與垂直的判定與性質(zhì)，利用法向量求二面角以及利用數(shù)量積為零解決垂直問題.【名師點睛】本題考查線線、線面垂直及求二面角的相關(guān)知識及運算，本題屬于中檔題，熟練利用有關(guān)垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行面面垂直、線面垂直、線線垂直之間的轉(zhuǎn)化與證明，另外利用空間向量解題時，要建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，準(zhǔn)確寫出空間點的坐標(biāo)，利用法向量求二面角，利用數(shù)量積為零，解決線線、線面垂直問題.33.【2015高考廣東，理18】如圖2，三角形所在的平面