1.2第二類曲面積分ppt課件

1、E-mail: 5 5 第二類曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分）第二類曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分）有向曲面：通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的有向曲面：通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的 例例如如 由方程由方程zz(x y) 表示的曲面分為上側(cè)表示的曲面分為上側(cè)與與 下側(cè)下側(cè) 設(shè)設(shè)n(cos cos cos)為曲面上的為曲面上的 法向量法向量 在曲面的上側(cè)在曲面的上側(cè)cos0 在在曲面的曲面的 下側(cè)下側(cè)cos0 閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分之分 曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念和性質(zhì)一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念和性質(zhì)E-mail: 類似地類似地 如

2、果曲面的方程為如果曲面的方程為yy(z x)則曲則曲面分為左側(cè)與右側(cè)面分為左側(cè)與右側(cè) 在曲面的右側(cè)在曲面的右側(cè)cos0 在在曲面的左側(cè)曲面的左側(cè)cos0 如果曲面的方程為如果曲面的方程為xx(y z) 則曲面分為前側(cè)與后側(cè)則曲面分為前側(cè)與后側(cè) 在曲面的在曲面的前側(cè)前側(cè)cos 0 在曲面的后側(cè)在曲面的后側(cè)cos0nE-mail: 設(shè)設(shè) 是有向曲面，在是有向曲面，在 上取一小塊曲面上取一小塊曲面 S 把把 S投影到投影到xOy面上得一投影區(qū)域面上得一投影區(qū)域 這投影區(qū)域的這投影區(qū)域的面積記為面積記為()xy。假定。假定 S上各點(diǎn)處的法向量與上各點(diǎn)處的法向量與z軸軸的夾角的夾角的余弦的余弦cos有相

3、同的符號(hào)有相同的符號(hào)(即即cos都是都是正的或都是負(fù)的正的或都是負(fù)的) 我們規(guī)定我們規(guī)定 S在在xOy面上的投影面上的投影( S)xy為為 .0cos00cos)(0cos)()( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyxyxyS其中其中cos0也就是也就是()xy0的情形的情形 類似地可以定義類似地可以定義 S在在yOz面及在面及在zOx面上的投面上的投影影( S)yz及及( S)zx E-mail: 實(shí)例實(shí)例 流向曲面一側(cè)的流量流向曲面一側(cè)的流量. .xyzo E-mail: Av0n AE-mail: E-mail: xyzo iS ),(iii ivin 把把曲曲面面分分成成n小小塊塊is (

4、 (is 同同時(shí)時(shí)也也代代表表第第i小小塊塊曲曲面面的的面面積積) ), ,在在is 上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)),(iii , ,1. 分割分割則該點(diǎn)流速為則該點(diǎn)流速為 .iv法向量為法向量為 .inE-mail: 通通過過is 流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量的的近近似似值值為為)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii E-mail: iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.3.取極限取極限0 .的的精精確確

5、值值取取極極限限得得到到流流量量 2. 求和求和通通過過流流向向指指定定側(cè)側(cè)的的流流量量 niiiiSnv1E-mail: 這樣的極限還會(huì)在其它問題中遇到這樣的極限還會(huì)在其它問題中遇到 抽去它抽去它們的具體意義們的具體意義 就得出下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的就得出下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念概念 E-mail: E-mail: E-mail: nixyiiiiSR10)(,(lim 存在存在, ,則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)),(zyxR在有向曲面上在有向曲面上對(duì)對(duì)坐標(biāo)坐標(biāo)yx,的曲面積分的曲面積分( (也稱也稱第二類曲面積分第二類曲面積分) )E-mail: nixyiiiiSRdxdyzyxR

6、10)(,(lim),( 被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面類似可定義類似可定義 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( E-mail: E-mail: 存在條件存在條件:組合形式組合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意義物理意義: 表示流向表示流向 指定的流量指定的流量dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( E-mail: 注意：注意：一個(gè)規(guī)定：如果是分片光滑的有向曲面一個(gè)規(guī)定：如果是分片光滑的有向曲面 我們我們規(guī)規(guī) 定函數(shù)在定函數(shù)在 上對(duì)

7、坐標(biāo)的曲面積分等于函數(shù)在各片上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分之和光滑曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分之和 E-mail: 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì):12121.PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy （曲面可加性） 2.PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy （方向性） 設(shè) 是有向曲面， 表示與 取相反側(cè)的 有向曲面，則E-mail: 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì):3.FG(+ G)+GFndSF ndSndS（線性性）若 和 在有向曲面 上的第二類曲面積分 存在， 、

8、 是任意常數(shù)，則E-mail: n ),(yxfz xyDxyzoxys)( 二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算1 1、逐個(gè)投影法【將曲面積分化為二重積分】、逐個(gè)投影法【將曲面積分化為二重積分】E-mail: nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上側(cè)取上側(cè) nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即E-mail: ,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下側(cè)側(cè)若若 xyDdxdyyxzyx

9、RdxdyzyxR),(,),(則有則有給出給出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(則有則有給出給出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側(cè)必須注意曲面所取的側(cè). .E-mail: 逐個(gè)投影法思路清晰逐個(gè)投影法思路清晰, ,計(jì)算量大，一般不多用計(jì)算量大，一般不多用2、轉(zhuǎn)換投影法【將曲面積分同應(yīng)到別的坐標(biāo)面】、轉(zhuǎn)換投影法【將曲面積分同應(yīng)到別的坐標(biāo)面】Sxoy設(shè)設(shè) 在在平平面面上上的的投投影影滿滿足足“投投影影點(diǎn)點(diǎn)不不重重合合”，x

10、yD區(qū)區(qū)域域較較容容易易求求得得，則則：S( , , )( , , ( , )xyDzP x y z dydzP x y z x ydxdyx S( , , )( , , ( , )xyDzQ x y z dzdxQ x y z x ydxdyy S( , , )( , , )xyDR x y z dxdyR x y z dxdy E-mail: S0,2+, ,2nz 當(dāng)當(dāng)有有向向曲曲面面 的的法法向向量量 與與 軸軸正正向向的的交交角角時(shí)時(shí)以以上上諸諸式式取取當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 取取 綜合以上三式綜合以上三式,有有S( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z d

11、zdxR x y z dxdy ( , , ( , ),( , , ( , ),( , , ( , )xyDP x y z x yQ x y z x yR x y z x y ,1zzdxdyxy( , )Szz x y 其其中中，為為曲曲面面 的的顯顯示示表表示示。E-mail: 類似地類似地,投影轉(zhuǎn)換到投影轉(zhuǎn)換到y(tǒng)oz平面時(shí)有平面時(shí)有:S( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy ( ( , ), , ),( ( , ), , ),( ( , ), , )yzDP x y zy z Q x y zy z R x y z

12、y z 1,xxdydzyz， ( , ( , ), ),( , ( , ), ),( , ( , ), )zxDP x y x z zQ x y x z z R x y x z z ,1,yydzdxxz cos0 （時(shí)時(shí)取取正正號(hào)號(hào)）cos0 （時(shí)時(shí)取取正正號(hào)號(hào)）類似地類似地,投影轉(zhuǎn)換到投影轉(zhuǎn)換到zox平面時(shí)有平面時(shí)有:S( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy E-mail: 1 例例(2),xz dydzzdxdy 計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分 其其中中 為為有有向向22(01),zxyz曲曲面面z其其法法向向量量與

13、與 軸軸正正向向夾夾角角為為銳銳角角。解法解法1： 逐個(gè)投影法逐個(gè)投影法S(2),xz dydz 先先計(jì)計(jì)算算Syoz將將 分分成成前前后后兩兩塊塊投投影影到到平平面面：2S, ( , ),yzxzyy zD 前前：方方向向向向后后；2S, ( , ),yzxzyy zD 后后：方方向向向向前前； 2( , )|1, 11yzDy zyzy 其其中中，E-mail: 所以所以S(2),xz dydz 22(2)( 2)yzyzDDzyz dydzzyz dydz 24yzDzy dydz 211214ydyzy dz 3122016(1)3ydy 42016cos3tdt S,zdxdy 再再

14、計(jì)計(jì)算算E-mail: S,:xoy將將 投投影影到到平平面面上上 投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉?22D( , )|1xyx yxy 于是于是22S()xyDzdxdyxydxdy213002dr dr 故故S(2)22xz dydzzdxdy E-mail: 解法解法2轉(zhuǎn)換投影法轉(zhuǎn)換投影法S,:xoy將將 投投影影到到平平面面上上 投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉?22D( , )|1xyx yxy :S的的方方程程為為22 ( , )xyzxyx yD S(2)xz dydzzdxdy 2222=(2)( 2 )xyDxxyxxydxdy 21222300( 4cos2cos )drrrrdr 2204cos

15、2d 2 E-mail: 2 例例222x dydzy dzdxz dxdy 計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分( , , )|0,0,0 x y zxaybzc 其其中中 為為長(zhǎng)長(zhǎng)方方體體 的的整整個(gè)個(gè)表表面面的的外外側(cè)側(cè)，解解 1 12 2把把 的的上上下下面面分分別別記記為為和和 3 34 4把把 的的前前后后面面分分別別記記為為和和 5 56 6把把 的的左左右右面面分分別別記記為為和和 1 z c (0 x a 0 y b)的上側(cè)的上側(cè) 2 z 0 (0 x a 0 y b)的下側(cè)的下側(cè) 3 x a (0 y b 0 z c)的前側(cè)的前側(cè) 4 x 0 (0 y b 0 z c)的后側(cè)的后側(cè) 5

16、 y 0 (0 x a 0 z c)的左側(cè)的左側(cè) 6 y b (0 x a 0 z c)的右側(cè)的右側(cè) E-mail: 34yoz 除除，外外，其其余余四四片片曲曲面面在在面面上上的的投投影影為為零零，因因此此34222220yzyzDDx dydzy dydzx dyda dydzdydza bc 類類似似地地可可以以得得到到：2222y dzdxb acz dxdyc ab，于于是是所所求求曲曲面面積積分分為為：()a+b+c abcE-mail: 練習(xí)練習(xí)的正方體（外）表面。的正方體（外）表面。、邊長(zhǎng)、邊長(zhǎng)中心在中心在求求 :, )()()( aOdxdyxzdzdxzydydzyx 原式

17、原式解解輪換對(duì)稱性輪換對(duì)稱性 dydzyx)(3 前前(3 后后 左左 右右 上上 下下 dydzyx)(dydzyx)( 后后 前前 (3xzyO )(yOz 下下上上右右左左、 E-mail: 3()()xy dydz后前xdydz 前前前前后后對(duì)對(duì)稱稱6)(3dydzayzD 化為二重積分化為二重積分|D|ayz3 dydza 前前方方程程2633a E-mail: 3 例例xyzdxdy 計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分解解2212221(0,0)1(0,0)zxyxyzxyxy 把把有有向向曲曲面面 分分成成以以下下兩兩個(gè)個(gè)部部分分：的的上上側(cè)側(cè)，：的的下下側(cè)側(cè)， 1和和 2在在xoy面上的

18、投影區(qū)域都是面上的投影區(qū)域都是 Dxy: x2 y21 (x 0 y 0)其中其中是球面是球面x2y2z21外側(cè)在外側(cè)在x0 y0的部分的部分 E-mail: 22122200212sin cos1215xyDxyxy dxdydrr rdr 1222221(1)xyxyDDxyzdxdyxyzdxdyxyzdxdyxyxy dxdyxyxydxdy E-mail: 解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 取上側(cè)取上側(cè)取下側(cè)取下側(cè)E-mail: （下）（下）上）上）12( xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyDdxdyyxxy

19、221 xyDdxdyyxxy2212 xyDrdrdrr 221cossin2 xyDdxdyyxxy)1()1(22rdrrrd2201021cossin2 152 xoy11 rE-mail: 2 練練習(xí)習(xí)Ixydydzyzdzdxzxdxdy 計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分1xyz其其中中 由由平平面面與與三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面圍圍成成得得四四面面體體的的表表面面，取取其其外外側(cè)側(cè)。解解, 1 12 23 34 4由由 可可分分為為, ,四四小小塊塊，其其方方程程分分別別為為： 1 z=0； 2 x=0； 3 y=0； 4 x+y+z=1當(dāng)當(dāng) 取外側(cè)時(shí)，取外側(cè)時(shí)， 1 取下側(cè)；取下側(cè)； 2 取

20、后側(cè)；取后側(cè)； 3 取左側(cè)；取左側(cè)； 4 取正側(cè)取正側(cè)E-mail: 10 xydydzyzdzdxzxdxdy不難驗(yàn)證：230同理。4444111100001100(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112424248yzzxxyDDDyzxIxydydzyzdzdxzxdxdyxydydzyzdzdxzxdxdyyz ydydzzx zdzdxyx xdxdydyyz ydzdzyz zdxdxyx xdy4下求的積分。E-mail: 4 例例2222,xdydzz dxdyxyz 計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分222(0).xyRzR R 及及平平面面所所謂謂立立體體表表面面外外側(cè)側(cè) 其其

21、中中 是是由由曲曲面面解：如圖解：如圖222222222222222xdydzxyzxdydzz dxdyxyzxdydzz dxdyxyzxdydzz dxdyxyz 1 12 23 3E-mail: 2222222xdydzz dxdyxdydzxyzxyz 1 11 1而而1xoy 垂垂直直于于面面，所所以以相相應(yīng)應(yīng)的的積積分分為為零零22222222xdydzz dxdyz dxdyxyzxyz222yoz 垂垂直直于于面面，所所以以相相應(yīng)應(yīng)的的積積分分為為零零22222222xdydzz dxdyz dxdyxyzxyz333yoz 垂垂直直于于面面，所所以以相相應(yīng)應(yīng)的的積積分分為為零零E-mail: 222222222xdydzxdydzxdydzxyzxyzxyz11后1前221221:( , ),:( , ),yzyzxRyy zDxRyy zD前后向前向后( , )|,yzDy zRyRRzR 而而222222222xdydzxdydzxdydzxyzxyzxyz11后1前即：2222222222222yzyzyzDDDRy dydzRy dydzRy dydzRzRzRz22222122RRRRdzRy dyRRzE-mail: 23:( , ),:( , ),xyxyzRx y