數(shù)理統(tǒng)計(jì)的幾個(gè)基本概念學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)(sh l tn j)的幾個(gè)基本概念的幾個(gè)基本概念第一頁，共39頁。數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)(sh l tn j)發(fā)展發(fā)展簡史簡史16621662年年 格朗特格朗特 關(guān)于死亡公報(bào)的自然和政治關(guān)于死亡公報(bào)的自然和政治(zhngzh)(zhngzh)觀察觀察（1 1）提出了）提出了“數(shù)據(jù)簡約數(shù)據(jù)簡約”的思想；的思想；（2 2）指出）指出(zh ch)(zh ch)了數(shù)據(jù)的可信性問題；了數(shù)據(jù)的可信性問題；（3 3）統(tǒng)計(jì)比率的穩(wěn)定性概念；）統(tǒng)計(jì)比率的穩(wěn)定性概念；（4 4）引進(jìn)了生命表的概念。）引進(jìn)了生命表的概念。 創(chuàng)新思想：創(chuàng)新思想：第1頁/共39頁第二頁，共39頁?！柏惾~斯提出了一種

2、歸納推理的理論，以后被一些貝葉斯提出了一種歸納推理的理論，以后被一些(yxi)統(tǒng)計(jì)學(xué)者發(fā)展為一種系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷方法，稱為貝葉斯方法統(tǒng)計(jì)學(xué)者發(fā)展為一種系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷方法，稱為貝葉斯方法 .”摘自中國大百科全書摘自中國大百科全書貝葉斯貝葉斯 (17021761 )貝葉斯公式貝葉斯公式(gngsh)、貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)、貝葉斯決策函數(shù)、貝、貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)、貝葉斯決策函數(shù)、貝葉斯決策規(guī)則、貝葉斯估計(jì)量、貝葉斯方法、貝葉斯統(tǒng)計(jì)葉斯決策規(guī)則、貝葉斯估計(jì)量、貝葉斯方法、貝葉斯統(tǒng)計(jì) 第2頁/共39頁第三頁，共39頁。 “ “他的思想深入數(shù)學(xué)、空間、大自然的奧秘他的思想深入數(shù)學(xué)、空間、大自然的奧秘.他推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)展直到下

3、個(gè)世紀(jì)他推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)展直到下個(gè)世紀(jì).”.”摘自慕尼黑博物館高斯畫像摘自慕尼黑博物館高斯畫像(hu xing)(hu xing)下的詩句下的詩句 “高斯是世界上最偉大的數(shù)學(xué)家高斯是世界上最偉大的數(shù)學(xué)家.” .” 拉普拉斯拉普拉斯高斯高斯(o s) (1777-1855 )第3頁/共39頁第四頁，共39頁?！案郀栴D等人關(guān)于高爾頓等人關(guān)于(guny)回歸分析的先驅(qū)性的工作，以及時(shí)間序列分析方面的一些工作，回歸分析的先驅(qū)性的工作，以及時(shí)間序列分析方面的一些工作，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展史中的重要事件是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展史中的重要事件.”摘自中國大百科全書摘自中國大百科全書高爾頓高爾頓 (18221911 )第4

4、頁/共39頁第五頁，共39頁?，F(xiàn)代現(xiàn)代(xindi)統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠統(tǒng)計(jì)學(xué)的奠基人，基人，公認(rèn)為統(tǒng)計(jì)學(xué)之父。公認(rèn)為統(tǒng)計(jì)學(xué)之父。皮爾遜皮爾遜 (18571936 )第5頁/共39頁第六頁，共39頁?！百M(fèi)希爾是使統(tǒng)計(jì)學(xué)成為一門有堅(jiān)實(shí)理論費(fèi)希爾是使統(tǒng)計(jì)學(xué)成為一門有堅(jiān)實(shí)理論(lln)基礎(chǔ)并獲得廣泛應(yīng)用的主要統(tǒng)計(jì)學(xué)家之一基礎(chǔ)并獲得廣泛應(yīng)用的主要統(tǒng)計(jì)學(xué)家之一.” 摘自中國大百科全書摘自中國大百科全書費(fèi)希爾費(fèi)希爾 (18901962 )第6頁/共39頁第七頁，共39頁?！皟?nèi)曼與皮爾遜在內(nèi)曼與皮爾遜在19281938年期間年期間(qjin)發(fā)表了一系列文章，建立了假設(shè)檢驗(yàn)的一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論發(fā)表了一系列文章，建立了

5、假設(shè)檢驗(yàn)的一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論.”摘自中國大百科全書摘自中國大百科全書內(nèi)曼內(nèi)曼 (18941981 )第7頁/共39頁第八頁，共39頁?！皬膹?938年到年到1945年年,許（寶騄）所發(fā)表的論文處在多元分析數(shù)學(xué)理論發(fā)展的前沿許（寶騄）所發(fā)表的論文處在多元分析數(shù)學(xué)理論發(fā)展的前沿.許推進(jìn)了矩陣論在統(tǒng)計(jì)理論中的作用許推進(jìn)了矩陣論在統(tǒng)計(jì)理論中的作用,同時(shí)也證明了有關(guān)同時(shí)也證明了有關(guān)(yugun)矩陣的一些新的定理矩陣的一些新的定理.” 安德遜安德遜許寶祿許寶祿(19101970) “ 我不希望自己我不希望自己(zj)的文章登在有名的雜志上而出名，我希望雜志因?yàn)榈橇宋业奈恼露雒５奈恼碌窃谟忻碾s志上而

6、出名，我希望雜志因?yàn)榈橇宋业奈恼露雒??！?第8頁/共39頁第九頁，共39頁。第9頁/共39頁第十頁，共39頁。第10頁/共39頁第十一頁，共39頁。第11頁/共39頁第十二頁，共39頁。1 總體總體(zngt)與樣本與樣本2 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)(tngj)量量第12頁/共39頁第十三頁，共39頁。第13頁/共39頁第十四頁，共39頁。 一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究(ynji)對(duì)對(duì)象象.1.1.總體總體(zngt)(zngt)（populationpopulation）研究對(duì)象的全體研究對(duì)象的全體(qunt)稱為總稱為總體，體，總體中所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的總體中所包含的

7、個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量容量.總體中每個(gè)成員稱為總體中每個(gè)成員稱為個(gè)體個(gè)體，第14頁/共39頁第十五頁，共39頁。因此在理論因此在理論(lln)(lln)上可以把總體與概率分布等同上可以把總體與概率分布等同起來起來. .總體總體(zngt)可以用隨機(jī)變量及其分布來描可以用隨機(jī)變量及其分布來描述述. 在實(shí)際研究中在實(shí)際研究中, ,我們關(guān)心的是總體中的個(gè)體的某個(gè)或某些指標(biāo)我們關(guān)心的是總體中的個(gè)體的某個(gè)或某些指標(biāo)(zhbio)(zhbio)(如人的身高、燈泡的壽命如人的身高、燈泡的壽命, ,汽車的耗油量汽車的耗油量).).第15頁/共39頁第十六頁，共39頁。 例例1 研究研究(ynji)某批燈泡的

8、壽命時(shí)，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量某批燈泡的壽命時(shí)，關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)就是壽命，那么，此總體就可以用隨機(jī)變量 X 表示，或用其分布函數(shù)表示，或用其分布函數(shù) F(x) 表示表示.某批某批燈泡的壽命燈泡的壽命總體總體壽命壽命(shumng) X 可用一概率（指數(shù)）分布來刻劃可用一概率（指數(shù)）分布來刻劃第16頁/共39頁第十七頁，共39頁。 類似地，在研究類似地，在研究(ynji)某地區(qū)中學(xué)生的某地區(qū)中學(xué)生的營養(yǎng)狀況時(shí)營養(yǎng)狀況時(shí) ，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體，若關(guān)心的數(shù)量指標(biāo)是身高和體重，用重，用 X 和和Y 分別表示身高和體重，那么此分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨

9、機(jī)變量總體就可用二維隨機(jī)變量(X,Y) 或其聯(lián)合分或其聯(lián)合分布函數(shù)布函數(shù) F(x, y) 來表示來表示.統(tǒng)計(jì)中，總體統(tǒng)計(jì)中，總體(zngt)就是一個(gè)概率分布就是一個(gè)概率分布.第17頁/共39頁第十八頁，共39頁。2. 樣本樣本(yngbn)（sample）(1)定義定義(dngy) 為了解總體的分布為了解總體的分布, 從總體中隨機(jī)地取從總體中隨機(jī)地取 n 個(gè)有代表性的個(gè)體個(gè)有代表性的個(gè)體 X1 , Xn , 稱稱 X1, Xn 為總體的一個(gè)為總體的一個(gè)(y )樣本樣本; n 稱為樣本容量稱為樣本容量 . 在實(shí)施抽樣之后，得到在實(shí)施抽樣之后，得到 n 個(gè)實(shí)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù) x1 , xn , 它們它們分

10、別是分別是 X1, Xn 的觀測(cè)值，稱為的觀測(cè)值，稱為樣本值，有時(shí)簡稱樣本值，有時(shí)簡稱樣本樣本.第18頁/共39頁第十九頁，共39頁。注注: 樣本樣本(yngbn)的二重性的二重性1. 樣本樣本(yngbn)是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 : X1, X2, , Xn2. 樣本樣本(yngbn)是一組數(shù)值是一組數(shù)值 : x1, x2, , xn第19頁/共39頁第二十頁，共39頁。例例. 啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為 640 g, 由于由于(yuy)隨機(jī)性隨機(jī)性, 事實(shí)上不可能使得所有的啤酒凈含量均達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)事實(shí)上不可能使得所有的啤酒凈含量均達(dá)到標(biāo)準(zhǔn). 現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤

11、酒中隨機(jī)地抽取現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機(jī)地抽取 10 瓶測(cè)定其凈含量瓶測(cè)定其凈含量, 記為記為X1，X2，X10，具體結(jié)果如下：，具體結(jié)果如下：641 635 640 637 642 638 645 643 639 640這是一容量為這是一容量為 10 的樣本的觀測(cè)值的樣本的觀測(cè)值, 對(duì)應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)對(duì)應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)(shngchn)的瓶裝啤酒的凈含量的瓶裝啤酒的凈含量.第20頁/共39頁第二十一頁，共39頁。最常用的一種抽樣叫作最常用的一種抽樣叫作“簡單簡單(jindn)隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣”，其特點(diǎn)：，其特點(diǎn)：1. 代表性：代表性： X1, X2, Xn 中每一個(gè)與所考察中每一個(gè)與所考察

12、(koch)的總體的總體有有 相同的分布相同的分布.2. 獨(dú)立獨(dú)立(dl)性：性： X1, X2, , Xn 是相互獨(dú)立是相互獨(dú)立(dl)的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量.由簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為由簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本，它可以看成是，它可以看成是n個(gè)個(gè)相互獨(dú)立相互獨(dú)立且且與總體同分布與總體同分布的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量X1, X2, , Xn.(2)簡單隨機(jī)抽樣簡單隨機(jī)抽樣 簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到簡單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，當(dāng)說到“ X1, X2 , Xn 是取自某總體的樣本是取自某總體的樣本”時(shí)，時(shí)，若不特別說明，就指簡單隨機(jī)樣本若不特別

13、說明，就指簡單隨機(jī)樣本.第21頁/共39頁第二十二頁，共39頁。=F(x1) F(x2) F(xn) 若總體若總體 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)(hnsh)為為 F(x) , 則其簡單隨機(jī)樣本則其簡單隨機(jī)樣本 ( X1, X2, , Xn ) 的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)(hnsh)為為21( ,)( )nniiF x xxF x第22頁/共39頁第二十三頁，共39頁。121(,; )( ; )nniip x xxp x 若總體若總體(zngt) X 為離散型為離散型, 分布列為分布列為(; )(; )1,2,.,kkP Xxp xk，為分布中的未知參數(shù),其簡單其簡單(jindn)隨機(jī)樣本的聯(lián)合概

14、率分布列隨機(jī)樣本的聯(lián)合概率分布列為為111(,; )( ; )nnniiP XxXxp x 若總體若總體 X 為連續(xù)型為連續(xù)型, 分布密度為分布密度為 p (x;), 其簡單其簡單(jindn)隨機(jī)樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為隨機(jī)樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為以后統(tǒng)一稱為以后統(tǒng)一稱為概率函數(shù)概率函數(shù).第23頁/共39頁第二十四頁，共39頁。例例1 設(shè)總體設(shè)總體 X B(1, p)，設(shè)，設(shè) X1 , X2, X3 是來自總體是來自總體 X 的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本(yngbn)，（1）寫出（）寫出（X1 , X2, X3）的（聯(lián)合）概率函數(shù)；）的（聯(lián)合）概率函數(shù)；（2） 求求X1 + X2+ X3 的概率分布

15、。的概率分布。第24頁/共39頁第二十五頁，共39頁?？傮w（理論分布）？總體（理論分布）？ 樣本樣本 樣本值樣本值 統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料 樣本值，去推斷總體的情況樣本值，去推斷總體的情況總體分布總體分布(fnb) F(x) 的性質(zhì)的性質(zhì). 總體分布總體分布(fnb)決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體. 樣本是聯(lián)系樣本是聯(lián)系(linx)二者的橋梁二者的橋梁注：總體、樣本、樣本值的關(guān)系注：總體、樣本、樣本值的關(guān)系第25頁/共39頁第二十六頁，共39頁

16、。第26頁/共39頁第二十七頁，共39頁。定義定義 設(shè)設(shè) X1 , Xn 是來自總體是來自總體 X 的一個(gè)樣本，若樣的一個(gè)樣本，若樣本函數(shù)本函數(shù) T = T( X1, Xn ) 不含任何未知參數(shù)，則稱不含任何未知參數(shù)，則稱 T 是一個(gè)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布抽樣分布。 2.1 定義定義(dngy) 第27頁/共39頁第二十八頁，共39頁。2.2. 常用常用(chn yn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量1 樣本均值樣本均值 1、定義、定義(dngy)：設(shè)：設(shè) X1 , X2, Xn 是取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，即：是取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，

17、即：它反映它反映(fnyng)了了總體均值總體均值的信息的信息 niiXnX11第28頁/共39頁第二十九頁，共39頁。 定理定理(dngl) 1樣本均值的分布樣本均值的分布(fnb) 設(shè)設(shè) X1, X2, , Xn 是來自某個(gè)總體是來自某個(gè)總體(zngt) X 的樣本，的樣本，),(2 N （1）若總體分布為）若總體分布為 ，則，則 （2）若總體分布未知或不是正態(tài)分布，但）若總體分布未知或不是正態(tài)分布，但2,EXVarX),(2nNX )1 , 0( NnX 則則 的的漸近分布漸近分布為為 。 2( ,)NnX（大樣本場(chǎng)合）（大樣本場(chǎng)合）第29頁/共39頁第三十頁，共39頁。n 取不同取不同

18、(b tn)值時(shí)樣本均值的分布值時(shí)樣本均值的分布注注 :第30頁/共39頁第三十一頁，共39頁。總體總體(zngt)：擲得反面，擲得正面，, 0, 1X,) 1(pXPEX未知，p樣本：考慮投擲樣本：考慮投擲(tuzh) n 次，次，X1 , Xn 表示第表示第 i 次投擲次投擲(tuzh)情況，情況，,11niiXnX樣本均值：樣本均值：,11pEXnXEnii樣本值：投擲樣本值：投擲 100 次后，得到正面次后，得到正面(zhngmin)的次數(shù)為的次數(shù)為 51 次，次，樣本均值：樣本均值：.51. 0 x第31頁/共39頁第三十二頁，共39頁。2.2 樣本樣本(yngbn)方差方差1、定義

19、、定義(dngy)：設(shè)：設(shè) X1 , X 2, Xn 是取自某總體的樣本，則稱是取自某總體的樣本，則稱為樣本方差為樣本方差(fn ch)，其算術(shù)平方根，其算術(shù)平方根 S 稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。它反映了總體它反映了總體方差的信息方差的信息 niiXXnS122)(1第32頁/共39頁第三十三頁，共39頁。注：注：定義中的定義中的 n 是樣本容量是樣本容量, 稱為稱為偏差平方和偏差平方和, n-1稱為稱為自由度自由度. 即自由變動(dòng)的即自由變動(dòng)的 r.v. 的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù). 這是由于這是由于 niiXX12)(0)(1 niiXX在在 確定后確定后, n 個(gè)偏差個(gè)偏差 中只有中只有n-1個(gè)可以自由變動(dòng)個(gè)可以自由變動(dòng). XXXXXXXn ,21第33頁/共39頁第三十四頁，共39頁。2.3 修正修正(xizhng)樣本方樣本方差差1、定義：