第七章 梁的應(yīng)力

1、17- -1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念7- -2 梁的內(nèi)力梁的內(nèi)力 內(nèi)力圖內(nèi)力圖7- -3 梁橫截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁橫截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件7- -4 梁的彎曲變形及剛度條件梁的彎曲變形及剛度條件7- -5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例7- -6 簡單超靜定梁的解法簡單超靜定梁的解法 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 第七章第七章 彎彎 曲曲第七章 彎 曲 本章主要學(xué)習(xí)等直梁平面彎曲時(shí)的內(nèi)力本章主要學(xué)習(xí)等直梁平面彎曲時(shí)的內(nèi)力(剪力和彎矩剪力和彎矩)、應(yīng)力、應(yīng)力(以正應(yīng)以正應(yīng)力為主力為主)和變形和變形(撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角)計(jì)算；解決梁的強(qiáng)度、剛度計(jì)算問題；分析

2、計(jì)算；解決梁的強(qiáng)度、剛度計(jì)算問題；分析梁的合理界面；介紹簡單超靜定梁的解法。梁的合理界面；介紹簡單超靜定梁的解法。2 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 第七章第七章 彎彎 曲曲教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容： 彎曲的概念，梁的內(nèi)力彎曲的概念，梁的內(nèi)力 內(nèi)力圖，橫截面上的應(yīng)力和變內(nèi)力圖，橫截面上的應(yīng)力和變形的計(jì)算，強(qiáng)度和剛度條件，提高抗彎能力的措施。形的計(jì)算，強(qiáng)度和剛度條件，提高抗彎能力的措施。教學(xué)要求教學(xué)要求： 1. 了解彎曲的概念；了解彎曲的概念； 2. 理解和掌握橫截面上應(yīng)力和變形的計(jì)算；理解和掌握橫截面上應(yīng)力和變形的計(jì)算； 3. 能夠靈活的應(yīng)力和變形的計(jì)算公式解題，掌握強(qiáng)度能夠靈活的應(yīng)力和變形的計(jì)算公式解題

3、，掌握強(qiáng)度和剛度條件。和剛度條件。重點(diǎn)重點(diǎn)：應(yīng)力和變形公式。：應(yīng)力和變形公式。難點(diǎn)難點(diǎn)：強(qiáng)度和剛度條件的應(yīng)用。：強(qiáng)度和剛度條件的應(yīng)用。學(xué)時(shí)安排學(xué)時(shí)安排：4個(gè)學(xué)時(shí)。個(gè)學(xué)時(shí)。3 工程力學(xué)工程力學(xué) C 7.1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念7- -1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念1. 彎曲變形與平面彎曲火車輪軸火車輪軸FFFF軋輥軸軋輥軸高大的塔器高大的塔器 梁： 以彎曲變形為主的桿件。作用在通過桿件軸線的縱向平面內(nèi)的一對(duì)等值、反向的力偶。受力特征：變形特征：桿件軸線由直線變形后成為曲線。彎曲變形4梁的橫截面通常采用對(duì)稱形狀,如矩形、工字形、T 字形、圓形等?？v向?qū)ΨQ面：包含梁橫截面的一個(gè)對(duì)稱軸及其梁

4、軸線的平面稱為縱向?qū)ΨQ面。對(duì)稱彎曲：作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)， 彎曲變形后的軸線是一條在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線， 這種彎曲稱為對(duì)稱彎曲。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念平面彎曲 受彎桿件的軸線為平面曲線時(shí)的彎曲稱為平面彎曲。52. 平面彎曲 橫截面的對(duì)稱軸橫截面的對(duì)稱軸梁的軸線梁的軸線縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面變形后的軸線與外力變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi) 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念6彎曲的實(shí)例l 伽利略（Galileo）歷史回顧 2hbhFl )2(2bhM 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.1 平面

5、彎曲的概念平面彎曲的概念7彎曲的實(shí)例樓板梁 縱梁A 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念8彎曲的實(shí)例火車輪軸 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念9橋式吊車梁彎曲的實(shí)例 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念10 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念2. . 梁的計(jì)算簡圖梁的計(jì)算簡圖 對(duì)于對(duì)稱彎曲的直梁，外力為作用在梁的縱對(duì)稱面內(nèi)的平面力系，故在計(jì)算簡圖中通常就用梁的軸線來代表梁。簡化原則： (1) 盡可能地反映結(jié)構(gòu)的真實(shí)受力情況； (2) 盡可能使計(jì)算簡化。以上兩條原則是互相制約的，

6、必須妥善考慮，所取計(jì)算簡圖的正確與否要看計(jì)算結(jié)果是否符合實(shí)際。11(1) 支座的基本形式支座的基本形式1. 固定端固定端實(shí)例如圖實(shí)例如圖a，計(jì)算簡圖如圖，計(jì)算簡圖如圖b, c。第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力(b)(c)MRFRxFRy(a) 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念12 2. 固定鉸支座固定鉸支座實(shí)例實(shí)例如圖中左邊的支座，計(jì)算簡如圖中左邊的支座，計(jì)算簡圖如圖圖如圖b，e。 3. 可動(dòng)鉸支座可動(dòng)鉸支座實(shí)例如圖實(shí)例如圖a中右邊的支座，計(jì)算簡圖中右邊的支座，計(jì)算簡圖如圖如圖c，f。第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.1 平面彎曲的概

7、念平面彎曲的概念13懸臂梁懸臂梁(2) 梁的基本形式梁的基本形式簡支梁簡支梁外伸梁外伸梁第四章第四章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念14 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.1 平面彎曲的概念平面彎曲的概念荷載分類荷載分類均勻荷載均勻荷載(均布荷載均布荷載)F BA集中荷載集中荷載 BA集中力偶集中力偶載荷集中：載荷集中：分布于梁單位長度上的載荷量分布于梁單位長度上的載荷量q；單位（；單位（N/m或或kN/m）靜定梁靜定梁或或超靜定梁：超靜定梁：對(duì)于支座反力能用靜靜力平衡方程式求出的梁為對(duì)于支座反力能用靜靜力平衡方程式求出的梁為靜定梁靜定梁，否則

8、為，否則為超靜定梁超靜定梁。15mmFS一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩 M ， 又有剪力 FS 。mmFSM mmM 只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素 才能合成彎矩才能合成彎矩只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素 才能合成才能合成剪力剪力所以，在梁的橫截面上一般既有所以，在梁的橫截面上一般既有 正應(yīng)力正應(yīng)力，又有又有 切應(yīng)力切應(yīng)力。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件7- -3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件16純彎曲若梁在某段內(nèi)各橫截面上的 ，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲。

9、非純彎曲各截面不僅有彎矩,還有剪力的作用,產(chǎn)生彎曲變形的同時(shí), 伴隨有剪切變形。這種變形形式稱為非純彎曲。FFaaCDABMeMeCD梁的CD 段純彎曲。梁的AC、DB 段非純彎曲。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件17梁的CD 段純彎曲。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件181、研究內(nèi)容1 1、正應(yīng)力的分布情況、正應(yīng)力的分布情況2 2、正應(yīng)力計(jì)算公式、正應(yīng)力計(jì)算公式2、分析思路：（變形固體的力學(xué)分析方法）1 1、變形的幾何關(guān)系、變形的幾何關(guān)系2 2、力與變形的物理關(guān)系、力與變形的物理關(guān)系3

10、 3、靜力平衡條件、靜力平衡條件 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件19一、 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察與分析梁由直變彎, 以某層（中性層）為界,一側(cè)伸長, 一側(cè)縮短;橫截面仍為平面，只是相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度;在彎曲過程中梁的橫截面始終與梁的軸線保持正交。 若假設(shè)各縱向纖維間無相互擠壓,則各縱向纖維只產(chǎn)生單向拉伸或壓縮。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁橫截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁橫截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件20 中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短， 因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。 中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層中性軸兩個(gè)概念 工工

11、程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件21二、 正應(yīng)力公式推導(dǎo)推導(dǎo)公式時(shí)，要綜合考慮 幾何 ，物理 和 靜力學(xué) 三方面 。取 一 純彎曲 梁段來研究 。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件22O1O2二、 正應(yīng)力公式推導(dǎo)變形后：12dK Ky d變形前：12dK Kx()dddyy 1. 幾何方面K1K2y1K2KOd1O2O上式表達(dá)了梁橫截面上任一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變 隨該點(diǎn)的位置而變化的規(guī)律。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件23二、 正應(yīng)力公式推導(dǎo)2.

12、 物理方面式中：y 幾何方程由假設(shè)的縱向纖維受單向拉伸或壓縮,所以,當(dāng)正應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí),由胡克定律可得：EyEE= 常量結(jié)論：（1）正應(yīng)力 與距離y 成正比,即正應(yīng)力 沿截面高度按直線規(guī)律變化；（2）中性軸上各點(diǎn)處的正應(yīng)力等于零, 距中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣處的 正應(yīng)力最大。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件24二、 正應(yīng)力公式推導(dǎo)2. 物理方面式中：yEE是未知的常量M需要解決的問題：需要解決的問題：如何確定中性軸的位置 ？如何計(jì)算 1/ ?中性軸 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條

13、件253. 靜力學(xué)方面 物理方程yENdAAF0 dd0AAEEyAy Ad0Ay A形心坐標(biāo)0Cy說明中性軸必通過截面的形心。（1 1）如何確定中性軸的位置 ？ 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件d0CAy AyAQ因?yàn)橐驗(yàn)?63. 靜力學(xué)方面yEdAyAM2ddAAEyEyAyA2zdAyAI（2 2）如何計(jì)算1/ ？M彎曲剛度梁橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式截面對(duì)z軸的慣性矩 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件27zMyI梁橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式截面對(duì)z軸的慣性矩為所求應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離為橫截面

14、上的彎矩 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件28zMyI梁橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式說明:(1) 式中M 和 y 均以絕對(duì)值代入;(2)正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力可由觀察梁的變形來判斷;符號(hào)規(guī)定：以中性軸為界:靠凸邊一側(cè)受拉，靠凹邊一側(cè)受壓。正應(yīng)力拉為正；壓應(yīng)力為負(fù)。(3) 公式適用于所有橫截面形狀對(duì)稱于y 軸的梁,如工字形、T 字形、 圓形截面梁等;(4) 公式適用于非純彎曲的情況。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件29zMyIMMyyCZCZ中性軸中性軸中性軸中性軸思考:截面上拉應(yīng)力與壓應(yīng)力發(fā)生

15、在何處？拉應(yīng)力區(qū)壓應(yīng)力區(qū)拉應(yīng)力區(qū)壓應(yīng)力區(qū) 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件30zMyI思考:（1） 中性軸為截面對(duì)稱軸時(shí)最大最小正應(yīng)力的關(guān)系？ 梁橫截面上最大、最小正應(yīng)力絕對(duì)值相等！梁橫截面上最大、最小正應(yīng)力絕對(duì)值相等！maxmaxmaxctMyCZ中性軸中性軸拉應(yīng)力區(qū)壓應(yīng)力區(qū) 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件31 在橫向力的作用下,梁的橫截面一般同時(shí)存在彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力。為了保證梁能安全地工作,必須使梁內(nèi)的最大應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力,因此,對(duì)上述兩種應(yīng)力應(yīng)分別建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件。正

16、應(yīng)力強(qiáng)度條件maxmmaxmaaxmaxxmax| |zzzMMIIWyMy 利用強(qiáng)度條件，可解決三種不同類型的工程問題。（1 1）強(qiáng)度校核；（）強(qiáng)度校核；（2 2）截面尺寸設(shè)計(jì)；（）截面尺寸設(shè)計(jì)；（3 3）確定許用載荷。）確定許用載荷。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件對(duì)于跨度與橫截面高度之比l/h大于5的梁,彎曲切應(yīng)力可以忽略?？箯澖孛嫦禂?shù)，衡量截面抗彎強(qiáng)度的一個(gè)幾何量321. 中性軸為截面對(duì)稱軸時(shí) maxmaxmaxzMyIWz 稱為彎曲截面系數(shù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為maxmaxzMIymaxzMWmaxzzIWy（1）強(qiáng)度校核（2）截面

17、尺寸設(shè)計(jì)（3）確定許用載荷maxmax zMWmax zMWmax zMW等截面梁內(nèi)的最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的橫截面且距中性軸最遠(yuǎn)的位置。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件危險(xiǎn)面：最大正應(yīng)力所在的截面。危險(xiǎn)點(diǎn)：危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力。33Wz 稱為彎曲截面系數(shù)maxzzIWy對(duì)矩形截面： 321262zbhbhWh對(duì)圓形截面： 4364322zddWd 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件34注意：(1)在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí),必須同時(shí)滿足梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。但在一般情況下,正應(yīng)

18、力強(qiáng)度條件往往是起主導(dǎo)作用的。(2) 在選擇梁的截面時(shí),通常是先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺寸, 然后再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。(3)對(duì)于某些特殊情況,梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件也可能起控制作用。例如,梁的跨度很小,或在支座附近有較大的集中力作用,這時(shí)梁可能出現(xiàn)彎矩較小,而剪力卻很大的情況,這就必須注意切應(yīng)力強(qiáng)度條件是否滿足。又如,對(duì)木梁,在木材順紋方向的抗剪能力很差,也應(yīng)注意在進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度較核的同時(shí),進(jìn)行切應(yīng)力的強(qiáng)度校核。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件35等直梁的彎曲強(qiáng)度計(jì)算步驟 根據(jù)梁的約束性質(zhì)，分析梁的受力，確定約束力。根據(jù)梁的約束性質(zhì)，分析梁

19、的受力，確定約束力。 畫出梁的內(nèi)力圖；由此確定可能的危險(xiǎn)截面畫出梁的內(nèi)力圖；由此確定可能的危險(xiǎn)截面( (最大內(nèi)力處最大內(nèi)力處) )。 根據(jù)應(yīng)力分布，確定危險(xiǎn)點(diǎn)根據(jù)應(yīng)力分布，確定危險(xiǎn)點(diǎn)( (最大應(yīng)力處最大應(yīng)力處) )。 應(yīng)用強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。應(yīng)用強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件36 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件例 7-7 如圖所示，下軋輥(圖a)簡化的簡支梁(圖b)，在中部所受軋制壓力可看作集度為q=12.25103kN/m，的均布載荷。輥身直徑D=760mm，

20、輥頸直徑d=570mm，其他尺寸如圖示。材料的許用彎曲正應(yīng)力=80MPa。試校核軋輥的強(qiáng)度。解：（1）求支座反力由靜力平衡條件3312.25 100.8 =4.9 10 kN22CDABqlFF37 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件（2）做彎矩圖如圖，知梁橫截面的最大彎矩為：Mmax=3.09103 kNmMD=2.1103 kNm該截面可能是危險(xiǎn)截面最大應(yīng)力為：36maxmax33.09 101071.54MPa 760 /32zMW 在輥頸截面F上：MF = 1.127 103 kNm，雖然MFMmax，但因截面尺寸較小，也應(yīng)進(jìn)行強(qiáng)度校核

21、。該截面上的最大彎曲正應(yīng)力為36maxmax31.127 101061.7MPa 570 /32zMW軋輥的強(qiáng)度滿足要求。38 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件例 7-8 如圖a所示，一T形截面鑄鐵梁。鑄鐵的許用拉應(yīng)力為t=30MPa，許用壓應(yīng)力為c=60MPa。T截面尺寸如圖b所示。已知截面對(duì)形心軸z的慣性矩Iz=763cm4，且y1=52mm。試校核梁的強(qiáng)度。解：求支座反力，有靜力學(xué)平衡條件可知FA=2.5 kN， FB=10.5 kN最大正彎矩在截面C上，MC=2.5kNm，最大負(fù)彎矩在截面B上， MB=-4kNm。39 工工 程程 力

22、力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件由彎矩圖看出，B截面處梁段的變形為上凸，因此，最大拉應(yīng)力力發(fā)生于截面的上邊邊緣各點(diǎn)處，最大壓應(yīng)力發(fā)生于截面下邊緣的各點(diǎn)處。由于截面對(duì)中性軸不對(duì)稱，故應(yīng)分別計(jì)算，有6144 105227.2 MPa763 10BtzM yI624|4 10(1202052)46.2 MPa763 10BtzMyI 在截面C上雖然彎矩MC小于MB的絕對(duì)值，但是正彎矩，此段梁的變形為下凹，因此最大拉應(yīng)力發(fā)生于截面的下邊邊緣各點(diǎn)，而這些點(diǎn)到中性軸的距離又比較遠(yuǎn)，因而就有可能發(fā)生比截面B還要大的拉應(yīng)力，有6242.5 10(1202052)28.8

23、MPa763 10CtzM yI40 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件例 7-9 如圖所示，懸臂梁是工字形截面，已知F=40kN，l=6m，=150MPa，試?yán)酶戒汣中型鋼規(guī)格表選擇型號(hào)。 解：由彎矩圖可見，最大彎矩發(fā)生在固定端處，最大彎矩為：max|40 6240 kN mMFl抗彎截面系數(shù)：63max|240 101600 cm 150zMW6maxmax6|240 10152.87 MPa 1.57 10Mmax 152.87 1502%5% 150 故可選用45c號(hào)工字鋼，既安全也經(jīng)濟(jì) 查表(P295)得到45c的Wz=1570cm

24、3，與梁所必需的1600cm3相差不到5%，因此采用工字鋼，最大正應(yīng)力為41 補(bǔ)例 一矩形截面簡支木梁,梁上作用均布荷載。已知 l =4 m, b = 140 mm, h = 210 mm, q = 2 kN/m;彎曲時(shí)木材的許用拉應(yīng)力=6.4 MPa。試校核梁的強(qiáng)度并求梁能承受的最大荷載。解：（1）校核強(qiáng)度最大彎矩發(fā)生在跨中截面上,其值為kN.m442818122maxqlM彎曲截面系數(shù)為22230.14 0.210.103 10 m66zbhW最大正應(yīng)力為3maxmax2max4 103.89MPa 0.103 10MW 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上

25、的應(yīng)力及強(qiáng)度條件42（2）求最大荷載根據(jù)強(qiáng)度條件max zMW而所以得326228 8 0.10106.4 103.29 kN/m4zWql2max18Mql即梁能承受的最大荷載為3.29kN/mq 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件43 補(bǔ)例 試為圖示枕木選擇矩形截面尺寸。已知截面尺寸的比例為 b h = 3 4,許用拉應(yīng)力= 6 .4 MPa,許用切應(yīng)力 = 2.5 MPa。解：（1）作剪力圖和彎矩圖（2）按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)截面max98 0.219.6kN.mMFa333max619.6 103.06 10 m 6.4 10zMW2,3

26、/ 46zbhbWh3213648zhWh h333388 3.06 1024.48 10 mzhW 0.29mh 得: 33=0.29=0.22m44bh 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.3 梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件梁截面上的應(yīng)力及強(qiáng)度條件44解： （2）切應(yīng)力強(qiáng)度校核S,max98kNFF3Smax33 98 102.31MPab時(shí)有 6maxlEIalFabB71 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件323221baablx顯然，由于現(xiàn)在ab，故上式表明x1b。解： 由梁整體平衡得： 列彎矩方程AC 段：CB 段：abACBF,AyByFbFa

27、FFll 1111,0AyFbM xF xxxal222222()(),AyFbM xF xF xaxF xaaxllxwAyFByF1x2x78 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 列撓曲線近似微分方程并積分AC 段：10 xa111( )FbEIwM xxl121112FbEIwEIxCl 1311 116FbEIwxC xDl2222()()FbEIwM xxF xal 2222222()22FbFEIwEIxxaCl 23322222()66FbFEIwxxaC xDlCB 段：2axlabACBFxwAyFByF1x2x79 工工 程程

28、力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 確定積分常數(shù)代入求解，得支座約束條件光滑連續(xù)條件11220,(0)0,( )0 xwxlw l12121212,( )( ),( )( )xxaaaxxaw aw a312121660FbCCFbllDD abACBFxwAyFByF1x2x80 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 確定轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程AC 段：10 xaCB 段：2axl12221()26FbFbEIxlbll132211()66FbFbEIwxlbxll2222222()()226FbFFbEIxxalb

29、ll33222222()()666FbFFbEIwxxalbxllabACBFxwAyFByF1x2x81 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令 得，11d0dx令 得，22d0dxmax=Bab Q 根據(jù)圖示撓曲線的大致形狀可知，最大撓度wmax在左段梁內(nèi)。令 得，11d0dwx223221max(),( )39 3FblblbxwEIl 在工程計(jì)算中，只要簡支梁的撓曲線上沒有拐點(diǎn)都可用跨中撓度代替最大撓度。()6AFablblEI ()6BFablaEIl（） maxwDACxwBFab82 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C

30、7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件討討 論論積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？83 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件4. 疊加法求梁的變形 在線彈性和小變形范圍內(nèi)，梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系。當(dāng)梁上有若干載荷作用時(shí)，梁某個(gè)截面處的撓度和轉(zhuǎn)角就等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用下該截面撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算梁位移的疊加原理。 在簡單載荷作用下，懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式，及簡支梁跨中撓度和支座截面轉(zhuǎn)角的表達(dá)式已在附錄中給出。根據(jù)這些資料靈活運(yùn)用疊加原理，往往可較方便地計(jì)算復(fù)雜載荷情況下梁指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角。

31、84 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件圖示簡支梁，q、l、EI均已知。求wC 、B。 將梁上的載荷分解 查表：解：415384CqlwEI 3124BqlEI4248CqlwEI 3216BqlEI4316CqlwEI333BqlEI 85 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時(shí)的結(jié)果求和 4443145384481611( )384CCiiqlqlqlwwEIEIEIqlEI 3333132416311()48BBiiqlqlqlEIEIEIqlEI 86 工工 程程 力力

32、 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 補(bǔ)例 試按疊加原理求圖a所示等直梁的跨中截面撓度 wC 和支座截面的轉(zhuǎn)角A 及 B。(a) 解：此梁 wC 及A，B 實(shí)際上可不按疊加原理而直接利用本教材附錄表中序號(hào)13情況下的公式得出。這里是作為靈活運(yùn)用疊加原理的例子，假設(shè)沒有可直接利用的現(xiàn)成公式來講述的。87 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 作用在該簡支梁左半跨上的均布荷載可視為與跨中截面C正對(duì)稱和反對(duì)稱荷載的疊加(圖b)。(b)(a)88 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 在

33、集度為q/2的正對(duì)稱均布荷載作用下，利用本教材附錄表中序號(hào)8的公式有 EIqlEIlqwC76853842/5441 48242/331EIqlEIlqB 48242/331EIqlEIlqAC89 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件注意到反對(duì)稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，因此可將左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分別視為受集度為 q/2 的均布荷載作用而跨長為 l/2 的簡支梁。于是利用附錄表中序號(hào)8情況下的公式有 384242/2/3322EIqlEIlqBA 在集度為q/2的反對(duì)稱均布荷載作用下，由

34、于撓曲線也是與跨中截面反對(duì)稱的，故有02CwC90 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件按疊加原理得 EIqlEIqlwwwCCC7685076854421 38473844833321EIqlEIqlEIqlBBB 12833844833321EIqlEIqlEIqlAAA91 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 補(bǔ)例 試按疊加原理求圖a所示等直外伸梁其截面B的轉(zhuǎn)角B，以及A端和BC段中點(diǎn)D的撓度wA和wD。92 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 解：為利

35、用本教材附錄中簡支梁和懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角資料，將圖a所示外伸梁看作由懸臂梁(圖b)和簡支梁(圖c)連接而成。原來的外伸梁在支座B左側(cè)截面上的剪力 和彎矩 應(yīng)當(dāng)作為外力和外力偶矩施加在懸臂梁和簡支梁上，它們的指向和轉(zhuǎn)向也應(yīng)與 的正負(fù)相對(duì)應(yīng)，如圖b及圖c中所示。22221qaaqMBBBMF和SqaFB2S93 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 圖c中所示簡支梁BC的受力情況以及支座約束情況與原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到簡支梁B支座左側(cè)的外力2qa將直接傳遞給支座B而不會(huì)引起彎曲后，便可知道按圖d和圖e所示情況由本教材附錄中的資料求Bq， B

36、M 和 wDq，wDM 并疊加后得到的就是原外伸梁的 B和wD。94 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件)(241162238454224EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqB95 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件 圖b所示懸臂梁AB的受力情況與原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的，其轉(zhuǎn)角就是上面求得的B，由此引起的A端撓度w1=|B|a應(yīng)疊加到圖b所示懸臂梁的A端撓度w2上去才是原外伸梁的A端撓度wA： EIqaE

37、IaqaEIqawwwA44321127 823196 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.4 梁的彎曲條件及剛度條件梁的彎曲條件及剛度條件5. 5. 梁的剛度條件梁的剛度條件剛度校核：限制梁的變形不超過某一規(guī)定的允許值。 對(duì)于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿足強(qiáng)度條件的同時(shí)，為保證其正常工作還需對(duì)彎曲位移加以限制，即還應(yīng)該滿足剛度條件(stiffness condition)：式中，l為跨長， 為許可的撓度與跨長之比(簡稱許可撓跨比)， 為許可轉(zhuǎn)角。上列剛度條件常稱之為梁的剛度條件。lwlwlwmaxmax 土建工程中通常只限制梁的撓跨比， 。在機(jī)械工程中，對(duì)于主要的軸， ；對(duì)于傳動(dòng)軸還要求限制在安裝齒

38、輪處和軸承處的轉(zhuǎn)角， 。100012501lw10000150001lw rad001. 0005. 097梁的彎曲強(qiáng)度主要是由正應(yīng)力強(qiáng)度條件控制的,所以,要提高梁的彎曲強(qiáng)度主要就是要提高梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度。梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：目的：降低梁的最大正應(yīng)力！ 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例7- -5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例98梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：一、 選擇合理的截面形狀對(duì)于同種材料，若Wz 則可承受的 M梁的承載能力提高。提高用最少的材料獲得最大彎曲截面系數(shù)。選擇較大的截面AWz截面的合

39、理形狀,就是在截面面積相同的條件下。比較不同形狀截面的Wz 值。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例99WzA=1.14cmWzA=0.84cmWzA=6.68cmzyb hh=2bzydNo20azyA=35.5cm2 A=35.5cm2 A=35.5cm2 工字形截面比矩形截面合理；矩形比圓形截面合理。 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例100zyb h矩形比正方形截面合理!矩形與正方形截面比較：zya221aAbhA2312,66zzbhaWW21321zzWbhh

40、Waazyd正方形截面與圓形截面比較：323361.19132zzaWdW22234dAaA2ad正方形截面比圓形截面合理！ 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例101zyb h矩形豎放與平放比較：2212,66bhhbWW121WhWbzy h b矩形豎放合理！ 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例102從應(yīng)力角度分析：Mzxy所以，在用料一定前提下，盡量減小中性軸附近的面積,而使更多的面積分布在離中性軸較遠(yuǎn)的位置。 薄腹梁 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能

41、力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例103 maxmax()(）+ 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例104思考:(2)脆性材料的梁合理截面形狀?y y1 1y y2 2y y1 1y y2 2max()max()maxmax()()+21yymax)(max() 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例105（a）（b）（c）（d）（b）（d）FlxMFl 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例106二、變

42、截面梁Fxlzyb h(x)()(maxxWxMz( )( ) zM xW x 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例107(1) 若b不變，則按剪切強(qiáng)度要求進(jìn)行修改設(shè)計(jì)：maxhFh1Fxl6( ) Fxh xb( )( ) zM xW xx 截面處：FxxM)(2( )( )6zbhxW x Fmaxh6 Flb231bFh 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例108陽臺(tái)或雨篷等的懸臂梁 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施

43、及工程實(shí)例109(x)xbxFl/2l/2zyb h(x)M 圖Fl/4(2) 若 h 不變 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例110橫截面沿梁軸變化的梁變截面梁 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例111橫截面沿梁軸變化的梁變截面梁 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例112橫截面沿梁軸變化的梁變截面梁 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例113橫截面沿梁軸變化的梁變截面梁 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例114橫截面沿梁軸變化的梁變截面梁FF 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例115橫截面沿梁軸變化的梁變截面梁 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) C 7.5 提高梁抗彎能力的措施及工程實(shí)例提高梁抗彎能力的措施及工