CFD-01=02=CFD概述

1、CFDCFD誕生于上世紀(jì)初誕生于上世紀(jì)初，但其理論和方法上的，但其理論和方法上的突破性發(fā)展是上世紀(jì)七十年代后期開始的，突破性發(fā)展是上世紀(jì)七十年代后期開始的，而以求解而以求解RANS/Euler RANS/Euler 方程為代表的方程為代表的CFDCFD的廣的廣泛的應(yīng)用則始于上世紀(jì)八十年代中期泛的應(yīng)用則始于上世紀(jì)八十年代中期。因。因 此此CFDCFD仍然是一個(gè)年輕的學(xué)科，只不過(guò)它的仍然是一個(gè)年輕的學(xué)科，只不過(guò)它的發(fā)展速度如發(fā)展速度如 此之快、應(yīng)用如此之廣，超出此之快、應(yīng)用如此之廣，超出了人們的預(yù)料。了人們的預(yù)料。以入門基礎(chǔ)知識(shí)為重點(diǎn)以入門基礎(chǔ)知識(shí)為重點(diǎn), , 期望達(dá)到以下目的期望達(dá)到以下目的:

2、: 1、提供CFD的基本原理, 了解CFD的強(qiáng)大作用; 2、理解CFD的基本控制方程; 3、熟悉各種基本的數(shù)值求解方法; 4、掌握CFD中出現(xiàn)的各種術(shù)語(yǔ), 通過(guò)本課程的學(xué)習(xí),可以讀懂CFD領(lǐng)域的更復(fù)雜的文獻(xiàn)資料，進(jìn)而將CFD應(yīng)用到你所關(guān)心的領(lǐng)域。第一部分：基本理論和方程第一部分：基本理論和方程介紹計(jì)算流體力學(xué)的基本原理；流體動(dòng)力學(xué)基本控制方程及其物理意義、適合計(jì)算流體力學(xué)的控制方程形式；偏微分方程的數(shù)學(xué)特性及其對(duì)計(jì)算流體力學(xué)的影響。第二部分第二部分 數(shù)值分析基礎(chǔ)數(shù)值分析基礎(chǔ)*有限差分（finite difference）方法*有限體積（finite volume）方法*網(wǎng)格生成（grid ge

3、neration）第三部分第三部分 一些應(yīng)用一些應(yīng)用概括來(lái)說(shuō)，概括來(lái)說(shuō)，計(jì)算流體力學(xué)、理論流體力學(xué)、實(shí)計(jì)算流體力學(xué)、理論流體力學(xué)、實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)驗(yàn)流體力學(xué)是流體力學(xué)研究工作的三種主要手是流體力學(xué)研究工作的三種主要手段，它們之間既互相獨(dú)立又相輔相成。流體力段，它們之間既互相獨(dú)立又相輔相成。流體力學(xué)研究的三大手段的主要特點(diǎn)：學(xué)研究的三大手段的主要特點(diǎn)：理論分析方法理論分析方法的優(yōu)點(diǎn)在于所得結(jié)果具有普遍性，的優(yōu)點(diǎn)在于所得結(jié)果具有普遍性，各種影響因素清晰可見，是指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)研究和驗(yàn)證各種影響因素清晰可見，是指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)研究和驗(yàn)證新的數(shù)值計(jì)算方法的理論基礎(chǔ)。但是，它往往要新的數(shù)值計(jì)算方法的理論基礎(chǔ)。但是，它往往要

4、求對(duì)計(jì)算對(duì)象進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，才有可能得出理求對(duì)計(jì)算對(duì)象進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化，才有可能得出理論解。對(duì)于非線性情況，只有少數(shù)流動(dòng)才能給出論解。對(duì)于非線性情況，只有少數(shù)流動(dòng)才能給出解析結(jié)果。解析結(jié)果。實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法所得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果真實(shí)可信，它是所得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果真實(shí)可信，它是理論分析和數(shù)值方法的基礎(chǔ)，其重要性不容低估。理論分析和數(shù)值方法的基礎(chǔ)，其重要性不容低估。然而，實(shí)驗(yàn)往往受到模型尺寸、流場(chǎng)擾動(dòng)、人身然而，實(shí)驗(yàn)往往受到模型尺寸、流場(chǎng)擾動(dòng)、人身安全和測(cè)量精度的限制，有時(shí)可能很難通過(guò)試驗(yàn)安全和測(cè)量精度的限制，有時(shí)可能很難通過(guò)試驗(yàn)方法得到結(jié)果。此外，實(shí)驗(yàn)還會(huì)遇到經(jīng)費(fèi)投入、方法得到結(jié)果。此外，實(shí)驗(yàn)還會(huì)遇

5、到經(jīng)費(fèi)投入、人力和物力的巨大耗費(fèi)及周期長(zhǎng)等許多困難。人力和物力的巨大耗費(fèi)及周期長(zhǎng)等許多困難。CFDCFD方法方法恰好克服了前面兩種方法的弱點(diǎn)，在計(jì)恰好克服了前面兩種方法的弱點(diǎn)，在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)一個(gè)特定的計(jì)算，就好像在計(jì)算機(jī)上算機(jī)上實(shí)現(xiàn)一個(gè)特定的計(jì)算，就好像在計(jì)算機(jī)上做一次物理實(shí)驗(yàn)。做一次物理實(shí)驗(yàn)。例如：機(jī)翼的繞流，通過(guò)計(jì)算例如：機(jī)翼的繞流，通過(guò)計(jì)算并將其結(jié)果在屏幕上顯示，就可以看到流場(chǎng)的各并將其結(jié)果在屏幕上顯示，就可以看到流場(chǎng)的各種細(xì)節(jié)：種細(xì)節(jié)：如激波的運(yùn)動(dòng)、強(qiáng)度，渦的生成與傳播，如激波的運(yùn)動(dòng)、強(qiáng)度，渦的生成與傳播，流動(dòng)的分離、表面的壓力分布、受力大小及其隨流動(dòng)的分離、表面的壓力分布、受力大小及

6、其隨時(shí)間的變化等。數(shù)值模擬可以形象地再現(xiàn)流動(dòng)情時(shí)間的變化等。數(shù)值模擬可以形象地再現(xiàn)流動(dòng)情景，與做實(shí)驗(yàn)沒有什么區(qū)別。景，與做實(shí)驗(yàn)沒有什么區(qū)別。分析解法分析解法 成本最低成本最低 結(jié)果最理想結(jié)果最理想 影響因素表達(dá)清楚影響因素表達(dá)清楚 缺點(diǎn)：局限于非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題缺點(diǎn)：局限于非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題數(shù)值方法數(shù)值方法 成本較低：數(shù)值實(shí)驗(yàn)成本較低：數(shù)值實(shí)驗(yàn) 適用范圍寬適用范圍寬 缺點(diǎn)：可靠性差，表達(dá)困難缺點(diǎn)：可靠性差，表達(dá)困難實(shí)驗(yàn)研究實(shí)驗(yàn)研究 可靠可靠 成本高成本高以計(jì)算機(jī)作為模擬手段，運(yùn)用一定的以計(jì)算機(jī)作為模擬手段，運(yùn)用一定的計(jì)算技術(shù)尋求流體力學(xué)各種復(fù)雜問(wèn)題計(jì)算技術(shù)尋求流體力學(xué)各種復(fù)雜問(wèn)題的離散化數(shù)值解。的離散

7、化數(shù)值解。張涵信院士對(duì)張涵信院士對(duì)CFDCFD有有五個(gè)五個(gè)M M和和一個(gè)一個(gè)A A的概括的概括: :1). 1). MachineMachine：即：即ComputerComputer，計(jì)算工具。，計(jì)算工具。2). 2). MeshMesh：網(wǎng)格。：網(wǎng)格。3). 3). MethodMethod：求解流體動(dòng)力學(xué)方程的計(jì)算方法。：求解流體動(dòng)力學(xué)方程的計(jì)算方法。4). 4). MechanismMechanism：機(jī)理，利用：機(jī)理，利用CFDCFD解決流動(dòng)問(wèn)題，所得結(jié)解決流動(dòng)問(wèn)題，所得結(jié)果是數(shù)據(jù)的海洋，從大量數(shù)據(jù)中找出流動(dòng)機(jī)理和規(guī)律果是數(shù)據(jù)的海洋，從大量數(shù)據(jù)中找出流動(dòng)機(jī)理和規(guī)律是非常必要的。是非常

8、必要的。5). 5). MappingMapping：把計(jì)算結(jié)果按需要作出靜態(tài)的或動(dòng)態(tài)的：把計(jì)算結(jié)果按需要作出靜態(tài)的或動(dòng)態(tài)的圖形或圖像。圖形或圖像。一個(gè)一個(gè)A: A: ApplicationApplication，用來(lái)解決各種工程的流動(dòng)問(wèn)題；用，用來(lái)解決各種工程的流動(dòng)問(wèn)題；用來(lái)闡明流動(dòng)自身的機(jī)理和規(guī)律。來(lái)闡明流動(dòng)自身的機(jī)理和規(guī)律。CFDCFD涉及的幾個(gè)方面涉及的幾個(gè)方面: :計(jì)算機(jī)技術(shù)計(jì)算機(jī)技術(shù)流體力學(xué)知識(shí)流體力學(xué)知識(shí)偏微分方程數(shù)值求解技術(shù)偏微分方程數(shù)值求解技術(shù) 計(jì)算網(wǎng)格技術(shù)計(jì)算網(wǎng)格技術(shù)+ +差分離散格式差分離散格式=差分解差分解1 1、CFDCFD的發(fā)展與計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展直接相關(guān)：的發(fā)展與計(jì)

9、算機(jī)技術(shù)的發(fā)展直接相關(guān)：可能模擬的流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜程度、解決問(wèn)題的廣可能模擬的流體運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜程度、解決問(wèn)題的廣度和所能模擬的物理尺度以及可以給出的解的精度和所能模擬的物理尺度以及可以給出的解的精度等等，都與計(jì)算機(jī)的速度、內(nèi)存以及圖形處理度等等，都與計(jì)算機(jī)的速度、內(nèi)存以及圖形處理能力等方面直接相關(guān)；能力等方面直接相關(guān)；目前的計(jì)算機(jī)發(fā)展水平為目前的計(jì)算機(jī)發(fā)展水平為CFDCFD的發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的平臺(tái)的平臺(tái)2 2、CFDCFD可在比較廣泛的流動(dòng)參數(shù)范圍內(nèi)研究流體可在比較廣泛的流動(dòng)參數(shù)范圍內(nèi)研究流體力學(xué)問(wèn)題，并且能給出流場(chǎng)參數(shù)的定量結(jié)果，這力學(xué)問(wèn)題，并且能給出流場(chǎng)參數(shù)的定量結(jié)果，這常常是理

10、論分析和風(fēng)洞試驗(yàn)難以做到的，這里所常常是理論分析和風(fēng)洞試驗(yàn)難以做到的，這里所說(shuō)的廣泛的說(shuō)的廣泛的流動(dòng)參數(shù)流動(dòng)參數(shù)范圍涉及范圍涉及馬赫數(shù)、雷諾數(shù)、馬赫數(shù)、雷諾數(shù)、飛行高度、氣體性質(zhì)、模型尺度飛行高度、氣體性質(zhì)、模型尺度等。等。CFDCFD實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)是有前提條件的：實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)是有前提條件的：1 1、物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法、物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法( (包括數(shù)學(xué)方程及包括數(shù)學(xué)方程及其相應(yīng)的邊界條件等其相應(yīng)的邊界條件等) )是正確的；是正確的；2 2、數(shù)值方法必須可靠、嚴(yán)謹(jǐn)；、數(shù)值方法必須可靠、嚴(yán)謹(jǐn)；然而，實(shí)際問(wèn)題中所求解的多維非線性偏微分方程組十分復(fù)雜，其數(shù)值解的現(xiàn)有數(shù)學(xué)理論尚不夠充分，嚴(yán)格的穩(wěn)定性分析，

11、誤差估計(jì)和收斂性理論的發(fā)展還跟不上數(shù)值模擬的發(fā)展。在計(jì)算流體力學(xué)中，仍然必須依靠一些簡(jiǎn)單的、線性化的、與原問(wèn)題有密切關(guān)系的模型方程的嚴(yán)格數(shù)學(xué)分析，以及依靠啟發(fā)性的推理或是推廣給出所求解問(wèn)題的數(shù)值解的理論依據(jù)。然后再通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)、地面實(shí)驗(yàn)和物理特性分析，來(lái)驗(yàn)證計(jì)算方法的可靠性，從而進(jìn)一步改進(jìn)計(jì)算方法。所以，從當(dāng)前的發(fā)展現(xiàn)狀來(lái)看，所以，從當(dāng)前的發(fā)展現(xiàn)狀來(lái)看，CFDCFD研研究還必須與實(shí)驗(yàn)研究相結(jié)合，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)究還必須與實(shí)驗(yàn)研究相結(jié)合，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展依然是無(wú)法取看，計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展依然是無(wú)法取代實(shí)驗(yàn)研究的！代實(shí)驗(yàn)研究的！CFDCFD數(shù)值計(jì)算的一般流程數(shù)值計(jì)算的一般流程資料準(zhǔn)備、對(duì)求解

12、問(wèn)題的分析資料準(zhǔn)備、對(duì)求解問(wèn)題的分析數(shù)學(xué)模型的建立及三維造型數(shù)學(xué)模型的建立及三維造型網(wǎng)格生成網(wǎng)格生成制定求解策略，給定邊界條件制定求解策略，給定邊界條件迭代求解迭代求解計(jì)算結(jié)果顯示與分析計(jì)算結(jié)果顯示與分析前處理前處理后處理后處理數(shù)值模擬實(shí)例數(shù)值模擬實(shí)例數(shù)值模擬實(shí)例數(shù)值模擬實(shí)例數(shù)值模擬實(shí)例數(shù)值模擬實(shí)例數(shù)值模擬實(shí)例數(shù)值模擬實(shí)例數(shù)值模擬實(shí)例數(shù)值模擬實(shí)例數(shù)值模擬實(shí)例數(shù)值模擬實(shí)例*CFD方法研究；*作為研究工具的CFD；*作為設(shè)計(jì)工具的CFD；*與現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)的發(fā)展相關(guān)聯(lián)的研究方向：（與計(jì)算物理，計(jì)算力學(xué)發(fā)展、圖形學(xué)、網(wǎng)格技術(shù)等）；*與離散數(shù)學(xué)的理論研究相關(guān)連的研究方向；*離散化理論、邊界條件數(shù)值處理的

13、穩(wěn)定性分析、格式的熵條件等；*在一些相關(guān)學(xué)科的邊緣上尋求新的發(fā)展點(diǎn)；*解決眾多相關(guān)學(xué)科的科研工作和工程實(shí)際提出的與流體力學(xué)問(wèn)題有關(guān)的各類復(fù)雜的問(wèn)題：例如，航空航天、氣象、海洋、石油、環(huán)境、建筑、機(jī)械等方面；lAerospace（航空航天）lAutomotive（汽車）lBiomedical（生物醫(yī)學(xué)）lChemical ProcessinglHVAC（采暖通風(fēng)與空調(diào)）lHydraulics（水利）lMarine（航海）lOil & GaslPower Generation（發(fā)電）lSportsAerospaceAutomotiveTemperature and natural conv

14、ection currents in the eye following laser heating. BiomedicalPolymerization reactor vessel - prediction of flow separation and residence time effects. Chemical ProcessingHydraulicsHVACStreamlines for workstation ventilationFlow around cooling towersMarine (movie)Oil & GasPower GenerationSports

15、“數(shù)值實(shí)驗(yàn)”比“物理實(shí)驗(yàn)”具有更大的自由度和靈活性，例如可以“自由地”選取各種參數(shù)等； “數(shù)值實(shí)驗(yàn)”可以進(jìn)行“物理實(shí)驗(yàn)”不可能或很難進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)；例如天體內(nèi)部的溫度場(chǎng)數(shù)值模擬，可控?zé)岷朔磻?yīng)的數(shù)值模擬； “數(shù)值實(shí)驗(yàn)”的經(jīng)濟(jì)效益極為顯著，而且將越來(lái)越顯著； 流動(dòng)機(jī)理不明的問(wèn)題，數(shù)值研究工作無(wú)法進(jìn)行； 數(shù)值研究工作自身仍然有許多理論問(wèn)題有待解決； 離散化不僅引起定量的誤差，同時(shí)也會(huì)引起定性的誤差，所以數(shù)值工作仍然離不開實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證； 物理問(wèn)題的解析解通常依賴于一些特殊形式的方程（如采用若干簡(jiǎn)化假設(shè)、避免方程個(gè)數(shù)過(guò)多等）；而對(duì)于計(jì)算流體力學(xué)的求解，由于數(shù)值計(jì)算的特點(diǎn)，不懼怕方程的復(fù)雜，因此可以基于更一般的

16、方程形式，例如，可以由最基本的物理守恒律導(dǎo)出的普遍形式作為出發(fā)方程。 對(duì)于求解一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，尋求理論的解析解往往需要在任意曲線坐標(biāo)系下來(lái)描述；而在數(shù)值計(jì)算中，需要在貼體坐標(biāo)系下進(jìn)行，因而要求在任意的非正交曲線坐標(biāo)系下來(lái)描述物理問(wèn)題對(duì)于CFD研究來(lái)說(shuō)是極為平常的情況。 對(duì)于理論分析研究，采用守恒或非守恒變量，守恒方程或非守恒方程，通常沒有本質(zhì)的差別，但在離散的數(shù)值計(jì)算中，守恒型與非守恒型將可能導(dǎo)致很大的差別，故方程的守恒性是計(jì)算流體力學(xué)中必須特別注意的問(wèn)題。The fundamental answer to this questions is that it cannot reproduce p

17、hysics that are not properly included in the formulation of the problem. The most important example is turbulence.CFD的幾個(gè)主要方面：1、物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法即建模問(wèn)題建模問(wèn)題；2、流動(dòng)控制方程的數(shù)值離散方法數(shù)值離散方法；3、差分離散方程的求解方法求解方法；4、計(jì)算網(wǎng)格計(jì)算網(wǎng)格技術(shù)。給出物理模型（給出物理模型（Physical model / description)Physical model / description)借助基本原理借助基本原理/ /定律給出定律給出（Mathe

18、matical model)Mathematical model)質(zhì)量守恒（質(zhì)量守恒（Mass ConservationMass Conservation）能量守恒（能量守恒（Energy ConservationEnergy Conservation）動(dòng)量守恒（動(dòng)量守恒（Momentum ConservationMomentum Conservation）傅立葉定律（傅立葉定律（FourierFouriers heat conduction law)s heat conduction law)牛頓內(nèi)摩擦定律（牛頓內(nèi)摩擦定律（NewtonNewtons friction laws fricti

19、on law）出發(fā)點(diǎn)和基礎(chǔ)！出發(fā)點(diǎn)和基礎(chǔ)！對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化和化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化和化簡(jiǎn)簡(jiǎn)化：物理上的簡(jiǎn)化：物理上的化簡(jiǎn)：數(shù)學(xué)上的化簡(jiǎn)：數(shù)學(xué)上的Very Important！求解區(qū)域的離散化求解區(qū)域的離散化(discretization)數(shù)學(xué)模型的離散化數(shù)學(xué)模型的離散化u恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ‘?dāng)?shù)姆椒╱建立結(jié)點(diǎn)處待求變量近似值之間的代數(shù)關(guān)系，建立結(jié)點(diǎn)處待求變量近似值之間的代數(shù)關(guān)系，即離散化方程即離散化方程核心內(nèi)容核心內(nèi)容成敗關(guān)鍵成敗關(guān)鍵物理模型與數(shù)學(xué)模型在概念上的區(qū)別物理模型與數(shù)學(xué)模型在概念上的區(qū)別是指把實(shí)際的問(wèn)題，通過(guò)相關(guān)的物理定律概括是指把實(shí)際的問(wèn)題，通過(guò)相關(guān)的物理定律概括和抽象出來(lái)并滿足實(shí)際情況

20、的物理表征。和抽象出來(lái)并滿足實(shí)際情況的物理表征。比如，我們研比如，我們研究管道內(nèi)的流體流動(dòng)，抽象出來(lái)一個(gè)直管，和粘性流體究管道內(nèi)的流體流動(dòng)，抽象出來(lái)一個(gè)直管，和粘性流體模型，或者我們認(rèn)為管道內(nèi)的液體是沒有粘性的，使用模型，或者我們認(rèn)為管道內(nèi)的液體是沒有粘性的，使用一個(gè)直管和無(wú)粘流體模型。一個(gè)直管和無(wú)粘流體模型。不難理解物理模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象概念，對(duì)實(shí)際問(wèn)不難理解物理模型是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象概念，對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種描述方式，這種抽象包括了實(shí)際問(wèn)題的幾何模題的一種描述方式，這種抽象包括了實(shí)際問(wèn)題的幾何模型，時(shí)間尺度，以及相應(yīng)的物理規(guī)律。型，時(shí)間尺度，以及相應(yīng)的物理規(guī)律。物理模型與數(shù)學(xué)模型在概念上的

21、區(qū)別物理模型與數(shù)學(xué)模型在概念上的區(qū)別就好理解了，就是對(duì)物理模型的數(shù)學(xué)描寫。比如比如N-SN-S方程就是對(duì)粘性流體動(dòng)力學(xué)的一種數(shù)學(xué)方程就是對(duì)粘性流體動(dòng)力學(xué)的一種數(shù)學(xué)描寫，值得注意的是，數(shù)學(xué)模型對(duì)物理模型的描描寫，值得注意的是，數(shù)學(xué)模型對(duì)物理模型的描寫也要通過(guò)抽象，簡(jiǎn)化的過(guò)程。寫也要通過(guò)抽象，簡(jiǎn)化的過(guò)程。Modeling（建模）Modeling is the mathematical physics problem formulation in terms of a continuous initial boundary value problem (IBVP)IBVP is in the for

22、m of Partial Differential Equations (PDEs) with appropriate boundary conditions and initial conditions.Modeling includes: 1. Geometry and domain 2. Coordinates 3. Governing equations 4. Flow conditions 5. Initial and boundary conditions 6. Selection of models for different applications Modeling (gov

23、erning equations)Navier-Stokes equations (3D in Cartesian coordinates)222222zuyuxuxpzuwyuvxuutu222222zvyvxvypzvwyvvxvutv0zwyvxutRTpConvectionPiezometric pressure gradientViscous termsLocal accelerationContinuity equationEquation of state222222zwywxwzpzwwywvxwutwModeling (initial conditions)Initial c

24、onditions (ICS, steady/unsteady flows)ICs should not affect final results and only affect convergence path, i.e. number of iterations (steady) or time steps (unsteady) need to reach converged solutions.More reasonable guess can speed up the convergenceFor complicated unsteady flow problems, CFD code

25、s are usually run in the steady mode for a few iterations for getting a better initial conditionsModeling (boundary conditions)Boundary conditionsNo-slip or slip-free on wallsperiodicinlet (velocity inlet, mass flow rate, constant pressure, etc.)outlet (constant pressure, zero-gradient)non-reflectin

26、gDiscretization methods Finite difference method, finite volume method and finite element method Each type of methods above yields the same solution if the grid is fine enough. However, some methods are more suitable to some cases than others Finite difference method for spatial derivatives with dif

27、ferent order of accuracies can be derived using Taylor expansions, such as 2nd order upwind scheme, central differences schemes, etc. Higher order numerical methods usually predict higher order of accuracy for CFD, but more likely unstable due to less numerical dissipation Temporal derivatives can b

28、e integrated either by the explicit method or implicit method.Discretization methods Explicit methods can be easily applied but yield conditionally stable Finite Different Equations (FDEs), which are restricted by the time step; Implicit methods are unconditionally stable, but need efforts on effici

29、ency. Usually, higher-order temporal discretization is used when the spatial discretization is also of higher order. Stability: A discretization method is said to be stable if it does not magnify the errors that appear in the course of numerical solution process. Selection of discretization methods

30、should consider efficiency, accuracy and special requirements, such as shock wave tracking.Solvers and numerical parametersSolvers include: tridiagonal, pentadiagonal solvers, solution-adaptive solver, multi-grid solvers, etc.Solvers can be either direct (Cramers rule, Gauss elimination, LU decomposition) or iterative (Jacobi method, Gauss-Seidel method, SOR method)Numerical parameters need to be specified to control the calculation. Under relaxation factor, convergence limit, etc.Monitor residuals (change of results between iterations)Numbe