最新題型空間向量證明立體幾何問(wèn)題

1、空間向量證明立體幾何問(wèn)題空間向量空間向量的運(yùn)算空間向量基本定理空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算加減和數(shù)乘運(yùn)算共線向量共面向量空間向量的數(shù)量積知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)夾角和距離平行和垂直1、空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系以單位正方體以單位正方體 的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線為原點(diǎn)，分別以射線OA，OC， 的方向的方向 為正方為正方向，以線段向，以線段OA，OC， 的的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立三條數(shù)軸：長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立三條數(shù)軸：x軸軸,y軸軸,z軸軸,這時(shí)我們建立了一這時(shí)我們建立了一個(gè)個(gè)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系CBADOABC xyzO DO DO CDBACOAByzxO為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)， x軸軸,y軸軸,z軸

2、叫坐標(biāo)軸，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐軸叫坐標(biāo)軸，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面一、基本概念一、基本概念xo右手直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系yz空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系Oxyz橫軸橫軸縱軸縱軸豎軸豎軸1112、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)有序?qū)崝?shù)組（有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）叫做點(diǎn)）叫做點(diǎn)M在此在此空間空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作記作M（x,y,z）其中其中x叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M的的縱坐標(biāo)縱坐標(biāo), z叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo)點(diǎn)點(diǎn)M（X，Y，Z） 如果表示向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂的有向線段所在的直線

3、垂直于平面直于平面,稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面,記作記作n,這時(shí)向量這時(shí)向量n叫做平面叫做平面的法向量的法向量. 4、平面的法向量、平面的法向量n /若, 則稱(chēng) 是直線 的方向向量alal3、直線的方向向量、直線的方向向量1、假設(shè)平面法向量的坐標(biāo)為、假設(shè)平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).2、根據(jù)、根據(jù)na = 0且且nb = 0可列出方程組可列出方程組11122200 x xy yz zx xy yz z3、取、取某一個(gè)變量某一個(gè)變量為常數(shù)為常數(shù)(當(dāng)然取得越簡(jiǎn)單越好當(dāng)然取得越簡(jiǎn)單越好), 便得到平面法向量便得到平面法向量n的坐標(biāo)的坐標(biāo). anb5、平面法向量的求法、平面法向量

4、的求法設(shè)設(shè)a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知由直線與平面垂直的判定定理知,若若na且且nb,則則n.換句話說(shuō)換句話說(shuō),若若na = 0且且nb = 0,則則n.可按如下步驟求出平面的法向量的坐標(biāo)可按如下步驟求出平面的法向量的坐標(biāo)例、已知例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平求平面面ABCABC的法向量的法向量( 4,6, 1),(4,3, 2)ABAC 4604320 xyzxyz解：解：平面平面A

5、BCABC的法向量為的法向量為: :(3,4,12)n 得43zxzy得12z 令(3,4,12)ABCn平面的法向量( , , )nx y z 例、在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖），（如圖），則則O（1，1，0），），A1（0，0，2），），D1（0，2，2），），設(shè)平面設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為的法向量的法向量為n=(x,y,z), 由由 =（-1，-1，2），）， =（-1，1，2）得）得 1OA1OD 2020 xyzxyz 20 xzy解得

6、解得取取z =1得平面得平面OA1D1的法向的法向量的坐標(biāo)量的坐標(biāo)n=(2,0,1)A A BOzyA1C1B1AxCDD15、兩法向量所成的角與二面角的關(guān)系、兩法向量所成的角與二面角的關(guān)系l1n2nl1n2n設(shè)設(shè)n1 、n2分別是二面角兩個(gè)半平面分別是二面角兩個(gè)半平面、的法向量，的法向量，由幾何知識(shí)可知，二面角由幾何知識(shí)可知，二面角-L-的大小與法向量的大小與法向量n1 、n2夾角相等或互補(bǔ)，于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為夾角相等或互補(bǔ)，于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面法向量的夾角求兩個(gè)平面法向量的夾角.二、基本公式：1 1、兩點(diǎn)間的距離公式（線段的長(zhǎng)度）、兩點(diǎn)間的距離公式（線段的長(zhǎng)度）22

7、2212121ABABxxyyzz 2 2、向量的長(zhǎng)度公式（向量的模）、向量的長(zhǎng)度公式（向量的模）2222aaxyz12121 2a bx xy yz z 3 3、向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式111222( ,)(,)ax y zbxyz若那么121212(,)abxxyyzz111(,)axyz121212|,() a bxx yyzzR111222|xyzabxyz4 4、兩個(gè)向量平行的條件、兩個(gè)向量平行的條件5 5、兩個(gè)向量垂直的條件、兩個(gè)向量垂直的條件12121 20abx xy yz z或123123123333xxxxyyyyzzzz7 7、重心坐標(biāo)公式、重心坐標(biāo)公式6

8、6、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式121212222xxxyyyzzz9 9、直線與平面、直線與平面所成角公式所成角公式|sin| | |PM nPMn (PMlMn為為 的法向量的法向量)8 8、直線與直線所成角公式、直線與直線所成角公式 |cos| |AB CDABCD 1010、平面與平面所成角公式、平面與平面所成角公式 1212cos| |n nnn ( 為二面角兩個(gè)半平面的法向量）為二面角兩個(gè)半平面的法向量）1n2n 1111、點(diǎn)到平面、點(diǎn)到平面的距離公式的距離公式|PMndn （PM為平面為平面 的斜線的斜線, 為平面為平面 的法向量）的法向量）n1212、異面直線的、異面直線的距離公

9、式距離公式|AB ndn （A,B為異面直線上兩點(diǎn)為異面直線上兩點(diǎn), 為公垂線的方向向量）為公垂線的方向向量）n利用向量求利用向量求角角直線與直線所成的角直線與直線所成的角直線與平面所成的角直線與平面所成的角平面與平面所成的角（二面角）平面與平面所成的角（二面角）利用向量求距離利用向量求距離點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離直線到平面的距離直線到平面的距離平行到平面的距離平行到平面的距離直線到直線的距離直線到直線的距離三、基本應(yīng)用利用向量證平行利用向量證平行利用向量證垂直利用向量證垂直直線與直線垂直直線與直線垂直直線與平面垂直直線與平面垂直平面與平面垂直平面與平面垂直直線

10、與直線平行直線與直線平行直線與平面平行直線與平面平行平面與平面平行平面與平面平行、垂直問(wèn)題、垂直問(wèn)題四、基本方法1 1、平行問(wèn)題、平行問(wèn)題、角度問(wèn)題、角度問(wèn)題、距離問(wèn)題、距離問(wèn)題（）點(diǎn)到點(diǎn)的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線（）點(diǎn)到點(diǎn)的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到直線的距離直接用公式求解。到直線的距離直接用公式求解。（）點(diǎn)到直線的距離、直線到平面的距離、平（）點(diǎn)到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求面到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解。解。例：090 ,Rt ABCBCAABC中，現(xiàn)將沿著111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1111111，取、的中點(diǎn)、 ，B

11、CCACCABACDF11BDAF求與所成的角的余弦值.CA1AB1B1C1D1F題型一：線線角題型一：線線角五、典型例題五、典型例題A1AB1BC1C1D1Fxyz所以：題型一：線線角題型一：線線角A1AB1B1C1D1F(1,0,0),(0,1,0),AB解：以點(diǎn)C 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，不妨設(shè) 則 11CC CxyzC1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD) 1 ,21,21(,) 1 , 0 ,21(11DBFA1111|3010|AFBDAFBD11cos,AF BD |所以所以 與與 所成角的余弦值為所成角的余弦值為1BD1AF3010, 例.在三棱柱

12、中，底面是正三角形，底面，求證：ABCA B CAAABCA CABBCAB.2,( 3,0,0), (0,1,0),(0, 1,0).( 3,0, ),(0,1, ),(0, 1, ).解.建立如圖空間坐標(biāo)系不妨設(shè)底面邊長(zhǎng)為 高為hABCAh Bh ChABCBCA), 2, 0(), 1, 3(), 1 , 3(hBChCAhAB22203 1,2.020.ABA Ch hABBChBCAB 題型二：線線垂直題型二：線線垂直題型三：線面角題型三：線面角ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由,

13、 51NA)3 , 4 , 0(N(6,2,6),(0,4,3).AMAN 由的法向量設(shè)平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在長(zhǎng)方體在長(zhǎng)方體 中，中，例：例：1111ABCDABC D112,MBCB M 為上的一點(diǎn),且1NAD點(diǎn) 在線段上，15,A NADANM求與平面所成的角., 61AA, 8, 6ADAB題型三：線面角題型三：線面角ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34, 1 , 1 (n得222|0 1 80|3 34,344811()3 (0,8,0),AD 又ADANM與平面所成角的正弦值是34343例：例：在長(zhǎng)方體在長(zhǎng)方體

14、中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，1112,MBCB M 為上的一點(diǎn),且1NAD點(diǎn) 在線段上，15,求與平面所成的角.A NADANM, 61AA|sincos,|AD nAD nAD nABDCA1B1D1C1例例. .在正方體在正方體ACAC1 1中，中，E E為為DDDD1 1的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：DBDB1 1/面面A A1 1C C1 1E EEF題型四：線面平行題型四：線面平行) 1 , 0 , 0(),2 , 2 , 0(),2 , 0 , 2(. 2,11ECAADxyzD則設(shè)證明：如圖建立坐標(biāo)系xyz1111( 2,2,0),( 2,0, 1),(

15、1,1,1).ACAEDB 則的法向量設(shè)平面),(11zyxnCEA00111nEAnCA02022zxyx即即)2, 1 , 1 (n解得, 021111nBDnBD./111ECADB平面: ,.例 在正方體中.E,F分別是的中點(diǎn).求證：平面ABCDA B C DCC BDA FBDEFEXYZ,DA DC DDxyzA 證明:如圖取分別為 軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.A(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)( 1,1, 2),(2,2,0),(0,2,1)( 1,1, 2) (2,2,0)0( 1,1, 2) (0,

16、2,1)0, ,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA FBDE 又平面題型五：線面垂直題型五：線面垂直或先求平面BDE的法向量 再證明A F n n題型六：面面角題型六：面面角ABCDS090 ,11,2例、已知，是一直角梯形，平面求面與面所成的二面角的余弦值。ABCDABCSAABCDSAABBCADSCDSBA解： 建立直角坐系A(chǔ)-xyz如所示,),0 ,21, 0(DA(0,0,0),C(-1,1,0),(0,0,1)S) 1,21, 0(),0 ,21, 1 (DSDC),0 ,21, 0(1DAnSBA的法向量易知，面2( , ),SCDnx y

17、 z 的法向量22,nCD nSD 由得：設(shè)平面0202zyyx) 1 , 2 , 1 (2n解得：,36|,cos212121nnnnnn63即所求二面角的余弦值是。xyz11111111111111:,(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)( 1,0,1),( 1,0,1)|.|.|.|111111證明 如圖分別以、三邊所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則則AA即直線AC，則A平面同理可證：A平面平面AD AD CD Dx y zABCDDB CDB CDBDCB DBCB DBD 11.平面CB DXYZ1CABCD1D1B1A例：在正方體例：

18、在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求證：面中，求證：面A A1 1BDBD面面CBCB1 1D D1 1題型七：面面平行題型七：面面平行或先求兩平面的法向量 再證明12,nn12,nn例、在正方體例、在正方體ACAC1 1中，中，E E、F F分別是分別是BBBB1 1、CDCD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求證：面求證：面AEDAED面面A A1 1FDFD1 1ABCDA1B1C1D1EFXYZ題型八：面面垂直題型八：面面垂直11:(0,0,0) ,(2,0,0),(2,2,1),(0,0,2),(0,1,0)(0,2,1),(2,0,0)(0,1, 2)0,

19、0,111111證明 如圖直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則則AED FAE D FD FAED FD FD F平面平面平面 DAEDFDADADAAEDA FDAED或證明兩平面的法向量垂直或證明兩平面的法向量垂直ABC1A1C1BNMzxy練習(xí)練習(xí)111111111111902(1)(2)cos,(3)如圖，直三棱柱中，棱，、分別是、的中點(diǎn)，求：的長(zhǎng)；的值；證明：。OABCA B CCACBBCAAAMNA BAABNBA CBA BC MxzyABCD1A1D1C1BEF練習(xí)練習(xí)11111124已知長(zhǎng)方體中， 、 分別是，的中點(diǎn)，求異面直線、所成角的大小。ACABBCAAEFADABBE

20、CFBAC1AD1C1B1DEFzxy練習(xí)練習(xí)11111111111111:1: 2(1)(2)(3)如圖，已知正方體中， 是中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求：平面的法向量；直線與平面所成角；平面與平面所成 角的大小。ABCDA B C DEBCFAAA FFAB EFBBB EFB EFA B C DABDC1A1D1C1Bxzy練習(xí)練習(xí)1111111111112(1)(2)(3)O1為直四棱柱，底面ABCD是直角梯形，DAB= ADC=90 ，求異面直線和所成角；求和底面B所成角；求二面角的大小。ABCDABC DADCDaAAABaACBCACBCCCABABMPDCANxzyO練習(xí)練習(xí)23312如

21、圖所示，已知正方形所在平面，點(diǎn)、 分別在、上，（）求證：面面；（ ）若，求二面角的大小。PAABCDMNABPCAMABPCNCPADPCDPAABNDMC題型九：異面直線的距離題型九：異面直線的距離zxyABCC1).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(,1BAECxyzC則解：如圖建立坐標(biāo)系1(1,1,0),(2,2,4),CEAB 則的公垂線的方向向量為設(shè)).,(,1zyxnBAEC001BAnECn即即04220zyxyx取x=1,z則y=-1,z=1,所以) 1 , 1, 1 ( n).0,0, 1 (,ACAC在兩直線上各取

22、點(diǎn)1|2 3.|3n CACEABdn與的距離EA1B1111101.4,2,90 ,例 已知：直三棱柱的側(cè)棱底面中為的中點(diǎn)。求與的距離。ABCABCAAABCACBCBCAEABCEAB000:,(0,0,2),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(4,2,0),(2,4,0).(4,2, 2),(2,4, 2)( , , ),:020CD CB CGXYZGBADEFGEGFEFGnx y znGExynGF 解 以的方向?yàn)檩S軸軸的正方向建立空間坐標(biāo)系,則設(shè)平面的法向量為則有000101203(1,1,3),2(0,4, 1)(0,4, 2)|2211.11.1111xzyxyzznGBnGBdBEFGn 又即點(diǎn) 到平面的距離為ABCDEFGXYZ題型十：點(diǎn)到平面的距離題型十：點(diǎn)到平面的距離:4,2,例 如圖已知是邊長(zhǎng)為