高等數(shù)學(xué)之體積

1、 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)體體 積積一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積

2、積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( 旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( xyo)(xfy xdxx 0,),( xdycyyx及及直直線線 所圍成的曲邊梯形繞所圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所成的立體的體積為為 dcdyyV)(2 xyo)(yx cd例例1 求橢圓求橢圓 12222 byax 所圍成的平面圖形分別繞所圍成的平面圖形分別繞 x 軸和軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積轉(zhuǎn)體（旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積類似地，由連續(xù)曲線類似地，由連續(xù)曲線這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可以看成是由半個(gè)橢圓這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可以看成是由半個(gè)橢圓22xaa

3、by 及及 x 軸所圍成的平面圖形繞軸所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體軸旋轉(zhuǎn)而成的立體dxxaabVaa22221 234ab 與上同理與上同理橢球體也可以看成由半個(gè)橢圓橢球體也可以看成由半個(gè)橢圓22ybbax 及及 y 軸圍成的平面圖形繞軸圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體軸旋轉(zhuǎn)而成的立體解解dyybbaVbb22222 ba234 特別當(dāng)特別當(dāng) a = b 時(shí)時(shí)旋轉(zhuǎn)體成為球體旋轉(zhuǎn)體成為球體32134aVV 例例 2 2 求求星星形形線線323232ayx )0( a繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. 解解,323232xay 332322 xay,aax 旋

4、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積dxxaVaa33232 .105323a 例例 3 3 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的的一拱與一拱與0 y所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞x軸、軸、y軸旋軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積. 解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積a 2a )(xydxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a 繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC 分別繞分別繞y

5、軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差. dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 例例4證明由平面圖形證明由平面圖形 )(0 ,0 xfyba （f ( x ) 連續(xù)）連續(xù)） 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積為 badxxxfV)(2 ,badxxx 對(duì)應(yīng)的部分量對(duì)應(yīng)的部分量 V 可近似看成內(nèi)徑為可近似看成內(nèi)徑為 x ，外徑為，外徑為 x + dx 高為高為 f ( x ) 的薄壁圓筒的薄壁圓筒故故)()(22xfxdxx

6、V dxxxfdV)(2 證證 或展開后近似于長為或展開后近似于長為 寬為寬為 dx 高為高為 f(x) 的薄長方體的薄長方體x 2dxxxfdV)(2 badxxxfV)(2 利用這個(gè)公式，可知上例中利用這個(gè)公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 例例 5 5 求由曲線求由曲線24xy 及及0 y所圍成的圖形所圍成的圖形繞直線繞直線3 x旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積. 解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 d

7、yyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 MdyQP 求圓心在求圓心在 ( b ,0 ) 半徑為半徑為 a ( 0 a b ) 的圓繞的圓繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的環(huán)狀體的體積軸旋轉(zhuǎn)一周所成的環(huán)狀體的體積解解圓的方程圓的方程222)(aybx 22)(bxay abxab dxbxaxVabab 22)(22 bxt dttabtaa 22)(4 dttabdttataaaa 222244 ba222 例例6bxaxfy ),(繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)dV = 薄片圓柱的體積（底半徑為薄片圓柱的體積（底半徑為 f(x) ，高為，高為dx ）dxxfdV)(2 柱片法柱

8、片法繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)dV = 薄壁圓筒的體積（內(nèi)徑為薄壁圓筒的體積（內(nèi)徑為 x ，外徑為，外徑為x+dx高為高為f ( x )dxxxfdV)(2 柱殼法柱殼法旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積bxaxfy ),(繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積為所得的旋轉(zhuǎn)面的側(cè)面積為dxxfxfSba )(1)(22 一一 般地般地 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算.)(xA表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截

9、截面面面面積積，xoab)(xA為為x的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積xdxx 二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積例例 7 一一平平面面經(jīng)經(jīng)過過半半徑徑為為R的的圓圓柱柱體體的的底底圓圓中中心心，并并與與底底面面交交成成角角 ，計(jì)計(jì)算算這這平平面面截截圓圓柱柱體體所所得得立立體體的的體體積積. 解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(212

10、2 .tan323 R RR xyox 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A（1,0,1), B(0,1,0) ，線段，線段AB繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為S，求由，求由S和和兩平面兩平面 z = 0,z = 1所圍立體的體積所圍立體的體積解解AB 的方程為的方程為11111 zyxzyzx 1 在在 z 軸上截距為軸上截距為 z 的水平面截此旋轉(zhuǎn)體所得的水平面截此旋轉(zhuǎn)體所得截面為一個(gè)圓，此截面與截面為一個(gè)圓，此截面與 z 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)Q (0,0,z) ，與與AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)M (z,1-z,z) ，222221)1(|)(zzzzMQzr 截面面積截面面積)221()()(

11、22zzzrzS 立體體積立體體積 1032)( dzzSV故截面的半徑為故截面的半徑為例例8旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積思考題思考題 求求曲曲線線4 xy，1 y，0 x所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.三、小結(jié)三、小結(jié) 14yxy交點(diǎn)交點(diǎn)),1 , 4(立體體積立體體積dyxVy 12dyy 1216 116y.16 yxo思考題解答思考題解答練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題：填空題：1 1、 連續(xù)曲線

12、連續(xù)曲線,)(xfy 直線直線ax ，bx 軸軸及及 x所所圍圖形圍圖形軸軸繞繞 x旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積 v_，軸軸繞繞 y旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體體 v積積_；2 2、 badxxfv)(常用來表示常用來表示_立立體的體積；體的體積；3 3、 拋物線拋物線axy42 及直線及直線)0(00 xxx所圍成的圖所圍成的圖形形軸軸繞繞 x旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積_；4 4、 0, 0,cosh yaxxaxay所圍成的圖所圍成的圖x形繞形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的 v體積體積_；二二、 有有一一鐵鐵鑄鑄件

13、件，它它是是由由拋拋物物線線、2101xy 11012 xy與與直直線線10 y圍圍成成的的圖圖形形，軸軸繞繞 y旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體，算算出出它它的的質(zhì)質(zhì)量量（長長度度單單位位是是厘厘米米，鐵鐵的的密密度度是是38 .7厘厘米米克克）. .三三、 把把星星形形線線323232ayx 軸軸繞繞 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，計(jì)計(jì)算算所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積 . .四、四、 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，繞直線，繞直線ay2 旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積. .五五、 求求222ayx 繞繞)0( abbx旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積 . . 六六、 設(shè)設(shè)有有一一截截錐錐體體，其其上上，下下底底均均為為橢橢圓圓，橢橢圓圓的的軸軸長長分分別別為為和和BA 2,2ba 2,2, ,h高高為為，求求這這截截錐錐體體的的體體積積 . . 七七、 設(shè)設(shè)直直線線baxy 與與直直線線0 x，1 x及及0 y所所圍圍 成成梯梯形形面面積積等等于于A，試試求求ba ,使使這這個(gè)個(gè)