線性代數(shù)5-1-2

1、Ch5 特征值問(wèn)題與二次型特征值問(wèn)題與二次型第一節(jié)第一節(jié) 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的的概概念念一一、二二次次型型及及其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形二二、二二次次型型的的表表示示方方法法三三、二二次次型型的的矩矩陣陣及及秩秩的的正正交交變變換換法法四四、化化二二次次型型為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形六六、小小結(jié)結(jié)、思思考考題題的的配配方方法法五五、化化二二次次型型為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 稱為二次型稱為二次型. .的的二二次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)變變量量含含有有定定義義nxxxn, 121; , 稱稱為為是是復(fù)復(fù)數(shù)

2、數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)faij復(fù)二次型復(fù)二次型. , 稱稱為為是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)faij實(shí)二次型實(shí)二次型 本書只考慮實(shí)二次型本書只考慮實(shí)二次型說(shuō)明說(shuō)明只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型2222211nnykykykf 稱為二次型的稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都為都為二次型；而二次型；而 23222132144,xxxxxxf 為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形. . 323121321,xxxxxxxxxf 1 1用和號(hào)表示用和號(hào)表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,

3、 對(duì)二次型對(duì)二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 則則于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 2 2用矩陣表示用矩陣表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx2211222

4、2121121211121),(., 為為實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣其其中中則則二二次次型型可可記記作作AAxxfT ,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA若若記記 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型這樣，二稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型這樣，二次型與對(duì)稱矩陣之間存在次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系; 的矩陣的

5、矩陣叫做二次型叫做二次型實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣fA; 的的二二次次型型叫叫做做實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣 Af. 的的秩秩的的秩秩叫叫做做二二次次型型實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣fA解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩陣陣寫寫出出二二次次型型xxxxxxxf 例例2例例試寫出二次型試寫出二次型3122214321423),(xxxxxxxxf .A的的矩矩陣陣解解陣陣應(yīng)應(yīng)為為依依題題意意，該該二二次次型型的的矩矩 0000000200200203A三三個(gè)個(gè)不不同同變變量量，但但雖雖然然實(shí)實(shí)際際

6、表表達(dá)達(dá)式式中中只只有有說(shuō)明說(shuō)明不不過(guò)過(guò)一一般般不不量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)為為準(zhǔn)準(zhǔn)必必需需按按記記號(hào)號(hào)中中出出現(xiàn)現(xiàn)的的變變.際際出出現(xiàn)現(xiàn)的的不不同同變變量量數(shù)數(shù)為為特特別別指指明明的的話話，總總以以實(shí)實(shí).其其矩矩陣陣的的維維數(shù)數(shù)3例例試寫出二次型試寫出二次型 321321020511132,xxxxxxf.A的的矩矩陣陣解解實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣，故故由由于于二二次次型型的的矩矩陣陣必必是是而有而有 022520122512312012312A 0272127112112 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,設(shè)有可逆設(shè)有可逆線性變換線性變

7、換對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形),(cijC 若記矩陣若記矩陣記記作作則則上上述述可可逆逆線線性性變變換換可可 Cyx AxxfT 有有將將其其代代入入, AxxfT . yACCyTT CyACyT 說(shuō)明：說(shuō)明：; ,1 ACCBAfCyx. T 變變?yōu)闉榈牡木鼐仃囮囉捎傻淦渲戎炔徊蛔冏兒蠛蠖未涡托徒?jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使變變成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形經(jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換要要使使二二次次型型, 2 Cyxf. ,),(21

8、2121 yyykkkyyynnn.成成為為對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣也也就就是是要要使使ACCT2定定義義,PnBAn階階滿滿秩秩陣陣若若存存在在和和階階方方陣陣對(duì)對(duì)使使成成立立APPBT BA與與則則稱稱.合同合同合同這種關(guān)系的性質(zhì)：合同這種關(guān)系的性質(zhì)：）同與同與合合則則合同于合同于合同與合同與（即若（即若傳遞性傳遞性）則則對(duì)稱性；（即若對(duì)稱性；（即若）自反性；（即自反性；（即CACBBABPPAAPPBAIIATTT,.)3()(,)2()1(11 形形的的問(wèn)問(wèn)題題就就轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變變成成如如何何于于是是，化化二二次次型型為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn).對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣的的問(wèn)問(wèn)題題使使實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣合合同同于于實(shí)實(shí)即

9、即有有用用于于二二次次型型因因此此把把這這個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)論論應(yīng)應(yīng)即即使使總總有有正正交交矩矩陣陣陣陣由由于于對(duì)對(duì)任任意意的的實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩,., 1 APAPPAPPT 化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形使使正正交交變變換換總總有有任任給給二二次次型型fPyxaaxxafjiijnjijiij, 1, ,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩陣陣是是其其中中ijnaAf 1定理定理用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟：;,. 1AAxxfT求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 3

10、21n 征征向向量量求求出出對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則則得得作作正正交交變變換換 1 1寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值 144241422217A 144241422217IA 9182 什么曲面？什么曲面？表示表示化成標(biāo)準(zhǔn)形，并問(wèn)化成標(biāo)準(zhǔn)形，并問(wèn)通過(guò)正交變換通過(guò)正交變換將二次型將二次型2,844141417 323121232221 fPyxxxxxxxxxxf例例4 4解解從而得特征值從而得特征值.18,

11、 9321 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系代入代入將將, 091 xIA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系代代入入將將, 01832 xIA ,)0,1 ,2(2 T .)1 ,0,2(3 T 3 3將特征向量正交化將特征向量正交化,11 取取)1,1,21(1T ,22 ,2223233 得正交向量組得正交向量組.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 ,2(2 T ,)1, 1,21(1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4將正交向量組單位化，得正交

12、矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣P于是所求正交變換為于是所求正交變換為,45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且且有有即即,Pyx 表表示示橢橢球球面面。此此時(shí)時(shí)，容容易易看看出出2 f.1的的特特征征值值系系數(shù)數(shù)一一定定是是準(zhǔn)準(zhǔn)形形經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)正正交交變變換換化化成成的的標(biāo)標(biāo)、AAxxfT 說(shuō)明：說(shuō)明：時(shí)時(shí)，必必有有在在持持向向量量的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度不不變變，即即而而言言，正正交交變變換換將將保保、對(duì)對(duì)正正交交變變換換QyxQyx 222yx 化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出 表示何種二次表示何種二次 1,321 xxxf曲面曲面.

13、323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 求一正交變換，將二次型求一正交變換，將二次型,333351315 A二二次次型型的的矩矩陣陣為為解解),9)(4( IA可可求求得得, 9, 4, 0321 的的特特征征值值為為于于是是A.111,011,211 321 ppp對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)特特征征向向量量為為將其單位化得將其單位化得,626161 111 ppq,02121222 ppq.313131 333 ppq .,321為為正正交交陣陣則則令令PqqqP ，即，即故正交變換為故正交變換為Pyx ,31062312161312161 321321 yyyxxx.94 2

14、322yyf 化化二二次次型型為為.1),(321表示橢圓柱面表示橢圓柱面可知可知 xxxf5例例AxxfAT 階階實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣，二二次次型型為為已已知知3 .,1, 1, 131,43321232221QyxQyyyQyxT 所所作作的的正正交交變變換換試試求求，且且中中矩矩陣陣其其化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形經(jīng)經(jīng)正正交交變變換換 解解兩兩兩兩正正交交，且且由由，正正交交知知，由由321 Q知知?jiǎng)t則由由的的特特征征向向量量為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)特特征征值值征征向向量量，設(shè)設(shè)的的特特是是對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于，的的特特征征值值為為題題設(shè)設(shè)知知0,144113213 xxxxxAATT 0321 xxx的線性無(wú)關(guān)特

15、征向量的線性無(wú)關(guān)特征向量的對(duì)應(yīng)于特征值的對(duì)應(yīng)于特征值由此可得由此可得1ATT1, 0, 1,0, 1, 121 經(jīng)經(jīng)正正交交化化、單單位位化化，得得TT2, 1, 161,0, 1, 12121 為為因因此此，正正交交變變換換Qyx 323321232113162316121316121yyxyyyxyyyx用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保保持幾何形狀不變持幾何形狀不變問(wèn)題問(wèn)題有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？為標(biāo)準(zhǔn)形？問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法效的方法拉

16、格朗日配方法拉格朗日配方法1.若二次型含有若二次型含有 的平方項(xiàng)，則先把含有的平方項(xiàng)，則先把含有 的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法的步驟拉格朗日配方法的步驟2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是 則先作可逆線性變換則先作可逆線性變換0 ija),(ji 化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按化二次型為含有平方項(xiàng)的

17、二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并求所用的變換矩陣并求所用的變換矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型化二次型xxxxxxxxxf 例例7 731212122xxxxx 322322652xxxx 的的項(xiàng)項(xiàng)配配方方含含有有x1含有平方項(xiàng)含有平方項(xiàng) 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng)去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng) 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyx

18、yyyxCyyyyxxxx 32132110021011132312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用的可逆變換矩陣為所用的可逆變換矩陣為 .01,100210111 CC.,62252 323121232221并求所用的變換矩陣并求所用的變換矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型化二次型xxxxxxxxxf 例例7 7,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例8 8由

19、于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112 yzyyzyyz令令,233322311 zyzzyzzy .622 232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用的可逆變換矩陣為所用的可逆變換矩陣為 1002101011000110111C.100111311 .021 C232221622 zzzf 則則得得 233211612121tztztz若再令若再令Qttz 061021000021即即再再有有可可逆逆變變換換2

20、32221ttt 變變換換矩矩陣陣為為而而此此標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的可可逆逆 10011131112QCC 061021000021 0610216121216321.系系數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)負(fù)負(fù)）形形中中卻卻具具有有相相同同的的正正（準(zhǔn)準(zhǔn)形形不不同同；但但不不同同標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)不不同同，則則對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的標(biāo)標(biāo)化化標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形時(shí)時(shí)，可可逆逆變變換換說(shuō)明說(shuō)明 .,323121321變變換換并并寫寫出出所所作作的的可可逆逆線線性性為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 故令故令方項(xiàng)方項(xiàng)由于所給二次型不含平由于所給二次型不含平, 解解 ,33212211 yxyyxyyx,)( 2322312yyy

21、yf 有有 , ,3322311 3322211zyzyzzyyzyzyyz或或再再令令yPx1 即即zPy2 即即, 232221zzzf 則則得得標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形 ., ,)( )(333212321121211zxzzzxzzzxzPPzPPyPx即即所所用用可可逆逆線線性性變變換換為為任一二次型任一二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = XTAX (其中其中 AT = A) ，一定存在可逆線性替換，一定存在可逆線性替換 X = CY 將其化為標(biāo)準(zhǔn)形將其化為標(biāo)準(zhǔn)形.即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 C，使，使 CTAC為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣. 在第一章，我們知道：可逆矩陣可寫在第一章

22、，我們知道：可逆矩陣可寫成若干個(gè)初等矩陣的乘積成若干個(gè)初等矩陣的乘積.所以，存在初等矩陣所以，存在初等矩陣P1 , P2 , , Ps ,有有C = P1 P2 Ps 對(duì)于任一初等矩陣對(duì)于任一初等矩陣 Pi (1 i s )，PiT 仍為同種仍為同種初等矩陣初等矩陣.所以所以CTAC = PsT P2T P1T A P1 P2 Ps 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.上式說(shuō)明：上式說(shuō)明：由此得到將二次型標(biāo)準(zhǔn)由此得到將二次型標(biāo)準(zhǔn)化的初等變換法：化的初等變換法：首先構(gòu)造首先構(gòu)造 2n n 矩陣矩陣,EA對(duì)對(duì) A 每施以一次行每施以一次行初等變換，就對(duì)初等變換，就對(duì)EA施行一次同種的初等列變換施行一次同種的初等

23、列變換. 當(dāng)當(dāng)矩陣矩陣 A 化為對(duì)角矩陣時(shí)，矩陣化為對(duì)角矩陣時(shí)，矩陣 E 將化為可逆矩陣將化為可逆矩陣 C.即即EAEAPsTP2TP1TAP1P2PsP1P2Ps由此可得可逆矩陣由此可得可逆矩陣 C = P1P2Ps 和對(duì)應(yīng)的可逆線性和對(duì)應(yīng)的可逆線性替換替換 X = CY ，在此變換下，二次型，在此變換下，二次型 XTAX 化為標(biāo)準(zhǔn)化為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于二次型對(duì)于二次型,622323121xxxxxx在本節(jié)在本節(jié)例例 3 中所得到的標(biāo)準(zhǔn)形為中所得到的標(biāo)準(zhǔn)形為,622232221www而而在例在例 5 中所到的標(biāo)準(zhǔn)形為中所到的標(biāo)準(zhǔn)形為,6212232221yyy即一個(gè)即一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，這與所作

24、的可逆線性替換二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，這與所作的可逆線性替換有關(guān)有關(guān). 但是，同一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形但是，同一個(gè)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中所含的正、負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)卻是相同的中所含的正、負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)卻是相同的.為了深為了深入地討論這一問(wèn)題，需引入二次型的規(guī)范形的概念入地討論這一問(wèn)題，需引入二次型的規(guī)范形的概念.如果二次型如果二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = XTAX (其中其中 AT =A) 通過(guò)可逆線性替換可以化為通過(guò)可逆線性替換可以化為(5.12)則則 (5.12) 稱為該二次型的稱為該二次型的例如，本節(jié)例例如，本節(jié)例 5 中，二次型中，二次型32312132

25、1622),(xxxxxxxxxf的標(biāo)準(zhǔn)形為的標(biāo)準(zhǔn)形為.6212),(232221321yyyxxxf作可逆線性替換作可逆線性替換,61221233211zyzyzy即即32132106102000021zzzyyy則二次型化為規(guī)范形則二次型化為規(guī)范形)13. 5(),(232221321zzzxxxf記記061020000211C則所作的可逆線性替換為則所作的可逆線性替換為32110610200002110012/ 1132/ 11zzzZCCCYX即即3210610216121216321zzzX在例在例 3 中，我們?cè)门浞椒▽⑼欢涡椭校覀冊(cè)门浞椒▽⑼欢涡?23121321622),(xxxxxxxxxf化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形. 不難驗(yàn)證，作適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換，不難驗(yàn)證，作適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換，該標(biāo)準(zhǔn)形也可化為規(guī)范形該標(biāo)準(zhǔn)形也可化為規(guī)范形 (5.13) . 這表明，一個(gè)二這表明，一個(gè)二次型的規(guī)范形與所作的可逆線性替換無(wú)關(guān)次型的規(guī)范形與所作的可逆線性替換無(wú)關(guān).利用矩陣的語(yǔ)言，定理利用矩陣的語(yǔ)言，定理 5.4 可以敘述為可以敘述為 OEEprp在二次型的規(guī)范形在二次型的規(guī)范形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) p 稱為二次型的稱為二次型的；負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù) r p 稱為二次型的稱為二次型