全概率公式與貝葉斯公式

1、.16.6.全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式解：B=AB+B且AB與B互不相容。P(B)=P(AB+B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.70.95+0.30.8=0.905P ABP A BP B()(|)( )P A P B AP A P B AP A P B A( ) (|)( ) (|)( ) (|)0 7 0 950 7 0 950 3 0 8.0 735.例1 市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70，乙廠占30，甲廠產(chǎn)品的合格率是95，乙廠的合格率是80若用事件A，分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，B表示產(chǎn)品為合格品。求市場(chǎng)上買一個(gè)燈泡的合格率，及

2、買到合格燈泡是甲廠生產(chǎn)的概率。.2定理1 (全概率公式)若事件A1,A2,構(gòu)成一個(gè)完備事件組并且都具有正概率，則對(duì)任何一個(gè)事件B,有iiiP BP A P B A( )() (|)證：A1,A2,兩兩互斥，故A1B,A2B,兩兩互斥BB且iiBA()iiA B由加法法則iiP BP A B( )()再由乘法法則iiiP A BP A P B A()() (|)iiiP BP A P B A( )() (|)故.3定理2 (貝葉斯公式)若事件A1,A2,構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都具有正概率，則對(duì)任何一個(gè)概率不為零的事件B,有mmmiiiP AP B AP A |BP A P B A() (|)()

3、() (|)mmP A BP ABP B證：()(|)( )mmiiiP AP B AP A P B A() (|)() (|)各原因下條件概率已知 求事件發(fā)生概率求是某種原因造成得概率 事件已發(fā)生全概率貝葉斯.4例2 設(shè)5支槍中有2支未經(jīng)試射校正，3支已校正。一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4。(1)該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？(2)若任取一支槍射擊，結(jié)果未中靶，求該槍未校正的概率。解：設(shè)A表示槍已校正，B表示射擊中靶3P A5( ),則2P A5( ) P B A0 9(|).P B A0 1(|).P B A0 4(|).P B A0

4、6(|).1 P BP A P B AP A P B A( ) ( )( ) (|)( ) (|)320 90 455.0 7 .P A P B A2 P A BP A P B AP A P B A( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)20 65230 60 155.0 8 .5例3 有三個(gè)同樣的箱子，A箱中有4個(gè)黑球1個(gè)白球，B箱中有3個(gè)黑球3個(gè)白球，C箱中有3個(gè)黑球5個(gè)白球?，F(xiàn)任取一箱，再從中任取一球，求(1)此球是白球的概率(2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。解：用A、B、C表示A、B、C三個(gè)箱子取球用D表示取出的是白球。則A、B、C是完備事件組。1P AP BP

5、 C3( )( )( )且115P D AP D BP D C528(|)(|)(|).61 P DP A P D AP B P D BP C P D C( ) ( )( ) (|)( ) (|)( ) (|)111115353238531200 442.P B P D B2 P B DP A P D AP B P D BP C P D C( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)113211111535323820530 378.74P A0 410( ).例4 (抽簽的公正性)設(shè)10支簽中有4支難簽。甲、乙、丙依次不放回的抽取。求各人抽到難簽的概率。解：分別用A

6、、B、C表示甲、乙、丙抽到難簽。P BP A P B AP A P B A( )( ) (|)( ) (|)436410910936900 4 .P CP AB P C ABP AB P C ABP AB P C ABP AB P C AB( )() (|)() (|)() (|)() (|)P A P B A P C ABP A P B A P C ABP A P B A P C ABP A P B A P C AB( ) (|) (|)( ) (|) (|)( ) (|) (|)( ) (|) (|)432463643643654109810981098109810982887200 4

7、.8例5 設(shè)驗(yàn)血診斷某種疾病的誤診率僅為5，即若用A表示驗(yàn)血陽性，B表示受驗(yàn)者患病，則P A BP A B5(|)(|)%。若受檢人群中僅有0.5患此病，即P(B)=0.005。求一個(gè)驗(yàn)血陽性的人確患此病的概率。P B P A BP B AP B P A BP B P A B解：( ) (|)(|)( ) (|)( ) (|)0 005 0 950 005 0 950 995 0 05.0 087.若有10000人受檢，患病者僅50人，其中驗(yàn)血陽性約47.5人而9950健康人中，驗(yàn)血陽性者為99500.05497.5人.97 7 獨(dú)立試驗(yàn)概型獨(dú)立試驗(yàn)概型(一一)事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性故若A獨(dú)

8、立于B，則B也獨(dú)立于A,稱事件A與事件B相互獨(dú)立。P AP A B( )(|)若P ABP B()( )P ABP BP A()( )( )則P B A(|)關(guān)于獨(dú)立性有如下性質(zhì)：定義1 若事件發(fā)生的可能性不受事件B發(fā)生與否的影響，即P(A|B)=P(A),則稱事件A獨(dú)立于事件B。定義2 若n (n2)個(gè)事件A1,An中任何一個(gè)事件發(fā)生的可能性都不受其它一個(gè)或幾個(gè)事件發(fā)生與否的影響，稱A1,A2,An相互獨(dú)立。.10(1)事件A與B獨(dú)立的充分必要條件是P(AB)=P(A)P(B)證：必要性若A與B中有一個(gè)事件概率為零，結(jié)論成立。設(shè)A與B的概率都不為零，由獨(dú)立性P(B|A)=P(B)而由乘法法則

9、可得P(AB)=P(A)P(B|A) =P(A)P(B)充分性設(shè)P(B)0,則P ABP A BP B()(|)( )P A P BP B( ) ( )( )=P(A)即A與B獨(dú)立。.11(2)若事件A與B獨(dú)立，則A與B， A與B， A與B中的每一對(duì)事件都相互獨(dú)立。證：P ABP AAB()()P AP AB( )()P A P B( ) ( )類似可證其它兩對(duì)事件獨(dú)立。=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)由(1)可知，A與B獨(dú)立。.12(3)若事件A1,A2,An相互獨(dú)立，則有P(A1An)=P(A1)P(An)證：P(A1An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1An-

10、1)12n1n1n4A AAP AA1P AP A若事件相互獨(dú)立，則有( ),.,(.)(). ()而P(A2|A1)=P(A2),P(An|A1An-1)=P(An)故P(A1An)P(A1)P(A2)P(An)n1n1由于A ,.，A 對(duì)立， A ,.證, A：也對(duì)立1nnP AA1(.)1P(A +.+A )1n1P AA(.) 1n1 P AP A(). () .13例1 設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9和0.8。求一次射擊中，目標(biāo)被擊中的概率。解：分別用A,B表示甲、乙擊中目標(biāo)。目標(biāo)被擊中，即至少有一人擊中，即A+BA與B獨(dú)立。故P(A+B)=P(A)

11、+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.90.8=0.98或由性質(zhì)(4)=0.98P AB1P A P B()( ) ( ) =1-0.10.2.14例2 一名士兵用步槍射擊飛機(jī)，命中率為0.004。求：(1)若250名士兵同時(shí)射擊，飛機(jī)被擊中的概率。(2)多少名士兵同時(shí)射擊，才能使飛機(jī)被擊中的概率達(dá)到99？解：用Ai表示第i名士兵擊中飛機(jī)，P(Ai)0.004125012501 P AA1P AP A( ) (.)(). () 2501 0 996. 0 63.2n( )設(shè)要 名士兵同時(shí)射擊1n1nP AA1P AP A(.)(). ()n1 0 9

12、96. 0.99即0.996n0.010 01n0 996lg .lg .故1150.15例3 甲、乙、丙3部機(jī)床獨(dú)立工作，由一個(gè)工人照管，某段時(shí)間內(nèi)它們不需要工人照管的概率分別為0.9，0.8及0.85。求在這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工人照管的概率以及機(jī)床因無人照管而停工的概率。解：用A、B、C分別表示在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)床甲、乙、丙不需要照管。則A、B、C相互獨(dú)立，且P(A)=0.9P(B)=0.8P(C)=0.85P ABC()P ABC()1 P ABC() 1P A P B P C( ) ( ) ( ) 10 9 0 8 0 85. 0 388.P ABBCAC()P ABP BCP AC2P

13、ABC()()()()0 1 0 20 2 0 150 1 0 152 0 1 0 2 0 15. 0 059.16例4 圖中開關(guān)a、b、c開或關(guān)的概率都是0.5，且各開關(guān)是否關(guān)閉相互獨(dú)立。求燈亮的概率以及若已見燈亮，開關(guān)a與b同時(shí)關(guān)閉的概率。解：令A(yù)、B、C分別表示開關(guān)a、b、c關(guān)閉，D表示燈亮P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C)=0.50.5+0.5-0.50.50.5=0.625ABD,由于ABD=ABP ABDP AB DP D()(|)( )P ABP D()( )0 5 0 50 625.=0.4abc.

14、17例5 甲、乙、丙三人獨(dú)立射擊一個(gè)目標(biāo)，命中率分別為0.4，0.5，0.7，若只有一人擊中，目標(biāo)被摧毀的概率是0.2，若二人擊中，則目標(biāo)被摧毀的概率是0.6，若三人都擊中，目標(biāo)一定被摧毀。若目標(biāo)被摧毀，求它是一人摧毀的概率。解：用Ai表示有i個(gè)人擊中目標(biāo)，i=0,1,2,3用B表示目標(biāo)被摧毀。P(B|A0)=0P(B|A1)=0.2P(B|A2)=0.6P(B|A3)=1P(A0)=0.60.50.3=0.09P(A1)=0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7=0.36P(A2)=0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7=0.41P(A3)=0.40.5

15、0.7 =0.143iii0P BP A P B A( )() (|)0.458.18(二二)獨(dú)立試驗(yàn)序列概型獨(dú)立試驗(yàn)序列概型進(jìn)行n次試驗(yàn)，若任何一次試驗(yàn)中各結(jié)果發(fā)生的可能性都不受其它各次試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生情況的影響，則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。在同樣條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為獨(dú)立試驗(yàn)序列概型。若在每次試驗(yàn)中只關(guān)心某事件A發(fā)生或不發(fā)生，且每次試驗(yàn)結(jié)果與其它各次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)，即在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率都是p(0p1)。這樣的n次重復(fù)試驗(yàn)稱為n重貝努里試驗(yàn)。.19例6 一批產(chǎn)品的廢品率為p,(0p1)重復(fù)抽取n次，求有k次取到廢品的概率。解：設(shè)所求事件的概率為P(B),事件B由下列m個(gè)互不相容

16、的事件組成：B1=(廢，廢，正，正)B2=(廢，廢，正，廢，正，正)Bm=(正，正，廢，廢)P(B1)=P(B2)=P(Bm)=pk(1-p)n-kknmC ,而故mkkn ki1ni 1P BP BmP BC P 1 P( )()()().20一般地，有如下的定理：解：設(shè)B表示至少有兩件一級(jí)品1010k 2P BPk( )( )1-P10(0)-P10(1)1019101 0 4C0 6 0 4. 0 998.nkkn knn1AppnkP (k)P kC p qk0 1nq1 p 定理貝努里定理 設(shè)一次試驗(yàn)中事件 發(fā)生的概率為 ，(0 1),則 重貝努里試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生次的概率為其中

17、()( ),(, ,., )例7 一條自動(dòng)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.6，現(xiàn)在檢查了10件，求至少有兩件一級(jí)品的概率。.21例8 某藥物對(duì)某病的治愈率為0.8，求10位服藥的病人中至少有6人治愈的概率。解：設(shè)A表示至少有6人治愈。1010k 6P APk( )( )P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)664773882991010101010C 0 8 0 2C 0 8 0 2C 0 8 0 2C 0 8 0 20 8.0 97.而正好有8人治愈的概率為8821010P8C 0 8 0 2( ).=0.302.22例9 在四次獨(dú)立試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為

18、0.59，求A至多出現(xiàn)一次的概率。解：設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p則A至少出現(xiàn)一次的概率為4444k 1P k1 P 011 p0 59( )( )(). 故(1-p)4=0.411-p=0.8p=0.2A至多出現(xiàn)一次的概率為：P4(0)+P4(1)41341pC p 1p()()=0.8241340 8C0 2 0 8.23例10 (分賭注問題)甲、乙各下注a元，以猜硬幣方式賭博，五局三勝，勝者獲得全部賭注。若甲贏得第一局后，賭博被迫中止，賭注該如何分？解法一：12每局雙方獲勝的可能性均為 。應(yīng)按照比賽雙方最終獲勝的可能性分賭注。即在余下的四局中甲贏得2局以上即可。甲最終獲勝的概率為P4(2)+P4(3)+P4(4)2234234411111CC22222 1116516乙勝的概率為，賭注應(yīng)按11：5的比例分配。.24解法二：一般情況下不必比到第五局，有一方贏得三局即中止。甲方在第三局結(jié)束賭博獲得勝利的概率為231P B2()14甲方在第四局結(jié)束賭博獲勝的概率為142111P BC222()14甲方在第五局結(jié)束賭博獲勝的概率為21531 11P BC2 22()3