隱函數(shù)組的存在性連續(xù)性與可微性是函數(shù)方程組求解問題的PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1一、隱函數(shù)組概念 設(shè)有一組方程 ( , , , )0,(1)( , , , )0,F x y u vG x y u v則稱由 (1) 確定了隱函數(shù)組 之對應(yīng), 能使( , , , ),(1),x y u vV 且滿足方程組且滿足方程組其中 定義在 若存在 2,R ,D E4R .V FG與與使得對于任給的 ( , ),x yD ()u,vE 與與有惟一的第1頁/共32頁( , ),( , ),( , ),( , ),uu x yx yDu vEvv x y 并有 ( , , ( , ), ( , )0,( , ).( , , ( , ), ( , )0,F x y u x y v x

2、yx yDG x y u x y v x y 關(guān)于隱函數(shù)組的一般情形 ( 含有 m + n 個變量的 m 個方程所確定的 n 個隱函數(shù) )，在本章不作詳 細討論 第2頁/共32頁首先來看看, 若由方程組 (1) 能確定兩個可微的隱 函數(shù) , 則函數(shù) ( , )( , )uu x yvv x y與與GF、應(yīng)滿 足何種條件呢? 不妨先設(shè) 都可微, 由復(fù)合求導(dǎo)法, 通過對 (1)GF、分別求關(guān)于 x 與關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù), 得到 0,(2)0;xuxvxxuxvxFF uF vGG uG v 0,(3)0.yuyvyyuyvyFF uF vGG uG v 第3頁/共32頁能由 (2) 與 (3) 惟

3、一解出 的充要 ),(),(yyxxvuvu與與條件是雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零，即 def0.(4,)()( , )uvuvFFF GJGGu v 由此可見，只要 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且 GF、其中 是滿足 (1) 的某一 ,00 PJ00000(,)P xy u v初始點, 則由保號性定理， 使得在此鄰域 , )(0PU 內(nèi) (4)式成立 根據(jù)以上分析, 便有下述隱函數(shù)組定理.第4頁/共32頁 雅可比（ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德國 ）第5頁/共32頁定理 11.4 ( 隱函數(shù)組定理 ) 設(shè)方程組 (1) 中的函數(shù) F 與 G 滿足下列條件：

4、 (i) 在以點 為內(nèi)點的某區(qū)域 ),(00000vuyxP4RV 上連續(xù)； (ii) (初始條件); 0)()(00 PGPF(iii) 在 V 內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)； (iv).0),(),(00 PPvuGFJ二、隱函數(shù)組定理 第6頁/共32頁, )(),( !, )(),(00WUvuQUyx 即有 ; )(),(, )(),(, ),(, ),(00WUvuQUyxyxvvyxuu( , , ( , ), ( , )0,( , , ( , ), ( , )0,F x y u x y v x yG x y u x y v x y . )(),(0QUyx 則有如下結(jié)論成立： 且滿足

5、000000(,),(,)uu xyvv xy以及以及1必定存在鄰域 ,)()()(000VWUQUPU 其中 000000(,),(,),QxyWu v使得 第7頁/共32頁2o o( , ), ( , )u x yv x y在 上連續(xù). 0()U Q3o o( , ), ( , )u x yv x y在 上存在一階連續(xù)偏導(dǎo) 0()U Q數(shù), 且有 1(,),( , )1(,).( , )vF GxJu xvF GyJu y 1(,),( , )1(,);( , )uF GxJx vuF GyJy v 本定理的詳細證明從略 ( 第二十三章有一般隱函 數(shù)定理及其證明 ), 下面只作一粗略的解釋

6、: 第8頁/共32頁 由方程組 (1) 的第一式 確定隱 ( , , , )0F x y u v 函數(shù) ( , , ),ux y v 且有且有,.xxuyyuvvuFFFFFF ( , , )( , , ( , , ), )0.H x y vG x yx y v v ( , , ( , )( , ).ux y v x yu x y ( , , )ux y v 將 代入方程組(1) 的第二式, 得 ( , ),vv x y 再由此方程確定隱函數(shù) 并代回至 這樣就得到了一組隱函數(shù) ( , ),( , ).uu x yvv x y第9頁/共32頁通過詳細計算, 又可得出如下一些結(jié)果: ,;xxuxv

7、uvvHGGHGG1(,),( , )xvxxvxuuvxvxuxuuuvvFFHuvxFFHFFGGF GFFGGJx v L L1(,);( , )yvyuF GvyJy v L L1(,)1(,),.( , )( , )vF GvF GxJu xyJu y同理又有同理又有 第10頁/共32頁例1 設(shè)有方程組 22240,(5)50.xyyzx yyzz 2224,( , , )5( , , ),xyyzF x y zx yyzzG x y z 0(1, 2,1)P 試討論在點 的近旁能確定怎樣的隱函 0P數(shù)組？并計算各隱函數(shù)在點 處的導(dǎo)數(shù). 0P解 易知點 滿足方程組 (5) . 設(shè) 第

8、11頁/共32頁它們在 上有連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù). 再考察 3R,F G0022222xyzPPxyzFFFyxzyzGGGxyxzyz 2 24.4 24 0P在點 關(guān)于所有變量的雅可比矩陣 02 2(,)40,( , )4 2PF Gx y 由于第12頁/共32頁042(,)80,( , )44PF Gz x 024(,)0,( , )24PF Gy z ( ),( ),( ),( );xx zzz yyy zxx y與與0P因此由隱函數(shù)組定理可知, 在點 近旁可以惟一 地確定隱函數(shù)組: 但不能肯定 y , z 可否作為 x 的兩個隱函數(shù). 第13頁/共32頁00d0(,)(,)0,( , )

9、d4( , )PPxF GF Gz yzx y 00d( 8)(,)(,)2;( , )d4( , )PPyF GF Gx zzx y 00d41(,)(,),( , )d82( , )PPzF GF Gy xyz x 00d0(,)(,)0 .( , )d8( , )PPxF GF Gz yyz x 3o o0P運用定理 11.4 的結(jié)論 , 可求得隱函數(shù)在點 處 的導(dǎo)數(shù)值: 第14頁/共32頁022d10.4dPxy *注 通過詳細計算, 還能求得 ( )2xx yy 在在這說明 處取極大值, 從而知道 0P在點 的任意小鄰域內(nèi), 對每一個 x 的值, 會有 多個 y 的值與之對應(yīng). 類似

10、地, 對每一個 x 的值, 也會有多個 z 的值與之對應(yīng). 所以方程組 (5) 在點 0P近旁不能惟一確定以 x 作為自變量的隱函數(shù)組. 第15頁/共32頁例 2 設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), ( , ),( , )f x yg x y2(,),(,)0uf ux vyg ux v y1212212121.2xyuvxyuvFFFFuffx ffGGGGgv ggvyg ( , )( , )uu x yvv x y與與是由方程組 ,.uvxy所確定的隱函數(shù)組. 試求 2(,),(,),Fuf ux vyGg ux v y解 設(shè) 則有 第16頁/共32頁由此計算所需之雅可比行列式: 1221 22

11、112122,2uvx ffJvygxyvf gf ggvyg121 221122,2xvuffJyuvf gf ggvyg 122221 2212121.uyx ffJv gxv f gf ggv g于是求得 第17頁/共32頁1 22 121 22 12,22xvuvJyuvf gf guxJyvgxyvf gf g 221 22 1221 22 1.22uyuvJxv f gf gv gvyJyvgxyvf gf g 注 計算隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù) ( 或?qū)?shù) ) 比較繁瑣, 要學(xué)懂前兩例所演示的方法 ( 利用雅可比矩陣和 雅可比行列式 ), 掌握其中的規(guī)律. 這里特別需要 “ 精心細心耐心

12、”. 第18頁/共32頁三、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換 設(shè)有一函數(shù)組 2( , ),( , ), ( , )(R ),(6)uu x yvv x yx yB它確定了一個映射 ( 或變換 ) : ( ),;QT PPBB寫成點函數(shù)形式, 即為 并記 的 ( ).BT B 象集為 現(xiàn)在的問題是: 函數(shù)組 (6) 滿足 T1?T 何種條件時, 存在逆變換 即存在 ( , )( , ) .P x yQ u va a2:R ,TB 第19頁/共32頁( , )( , )Q u vP x ya a1( ),),PTQQB 或或1:,TBB 亦即存在一個函數(shù)組 ( , ),( , ), ( , ),(7)xx u

13、vyy u vu vB ( ( , ), ( , ),( ( , ), ( , ) .uu x u vy u vvv x u vy u v使得滿足 這樣的函數(shù)組 (7) 稱為函數(shù)組 (6) 的反函數(shù)組. 它 的存在性問題可化為隱函數(shù)組的相應(yīng)問題來處理. 第20頁/共32頁為此, 首先把方程組 (6) 改寫為 ( , , , )( , )0,(8)( , , , )( , )0.F x y u vuu x yG x y u vvv x y 然后將定理 18. 4 應(yīng)用于 (8) , 即得下述定理. 定理 11. 5 (反函數(shù)組定理) 設(shè) (6) 中函數(shù)在某區(qū)域 0000000( , )(,),(

14、,),0.( , )Pu vuu xyvv xyx y 2RD 000(,)P xyD上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 是 的內(nèi)點, 且 第21頁/共32頁則在點 的某鄰域 內(nèi), 存在惟一 000(,)Pu v 0()U P 000000(,),(,);xx u vyy u v( ( , ), ( , ),( ( , ), ( , ) .uu x u vy u vvv x u vy u v此外, 反函數(shù)組 (7) 在 內(nèi)存在連續(xù)的一階 0()U P (,)( , ),( , )( , )xyF Gu vJx yx y的一組反函數(shù) (7) , 使得 0( ( , ), ( , )();x u vy u

15、vU P 偏導(dǎo)數(shù); 若記 第22頁/共32頁則有 (,)(,)( , )( , )11,0yyxyxyyxF GF Gu yx yuuvJJv 同理又有 ,yxyuxvJ ,.xxxyxyvuyyuJvJ (9) 第23頁/共32頁由 (9) 式進一步看到: 2( , )1( , )yyxxxyvux yu vvuJ 此式表示: 互為反函數(shù)組的 (6) 與 (7) , 它們的雅 可比行列式互為倒數(shù), 這和以前熟知的反函數(shù)求 導(dǎo)公式相類似. 于是可把一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)組 (6) 的雅可比行列式看作對應(yīng)物. 22( , )1.( , )xyyxxyxyxyu vu vJu vx yJJ 第24頁

16、/共32頁:cos ,sin .Txryr例3 平面上點的直角坐標(biāo) 與極坐標(biāo) 之 ( , )r ( , )x y間的坐標(biāo)變換為 試討論它的逆變換. cossin( , ),( , )sincosrx yrrr 解 由于 因此除原點 (r = 0) 外, 在其余一切點處, T 存在 1:T 逆變換 第25頁/共32頁arctan,0,arctan,0 ,yxxyxx arccot,0,arccot,0.xyyxyy 或或22,rxy第26頁/共32頁例4 空間直角坐標(biāo) 與球坐標(biāo) 之間 ( , , )x y z( , , ) sincos ,:sinsin ,cos.xTyz sincoscosc

17、ossinsin( , , )sinsincossinsincos( , , )cossin0 x y z 的坐標(biāo)變換為 ( 見圖115 ) 2sin , ( , , )x y zxyzO 圖 115由于 第27頁/共32頁222,arccos,arctan.zyxyzx 22222(0),(10)aaxt2sin0 因此在 ( 即除去 Oz 軸上的一切點 ) 時, T1:T 存在逆變換 例5 設(shè)有一微分方程 (弦振動方程) : ( , )x t 其中 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 試問此方程在 :,T uxat vxat坐標(biāo)變換 之下, 將變成何 種形式? 第28頁/共32頁( , )1,20,( , )xxttu vuvuvaax t ddddd , ddd .xtuuxutxa tvxa td=d+d = ()d()d ,uvuvuvuvx+at解 據(jù)題意, 是要把方程 (10) 變換成以 u, v 作為自 變量的形式. 現(xiàn)在按此目標(biāo)計算如下: 首先有 故 T 的逆變換存在, 而且又有 依據(jù)一階微分形式不變性, 得到 并由此推知 第29頁/共32頁,().xuvtuva(