高中數(shù)學復習單元空間中的直線與平面(20211109184037)

1、單元：空間中的直線與平面主題：空間概念類題:1.如右圖中ABCD正四面體,M為線段CD中點,試問以下哪些敘述是正確的(A)直線CD與平面ABM垂直(B)向量AB與向量CD垂直(C) / AMB>Z ADB (D)平面ACD與平面BCD的二面角(銳角)大於6 0 0(E) BA 二 BM解答：ABCDDCC2.如右圖中，ABCD-A' B' C D為立方體的八個頂點，試問以下哪些線段會與線陀(A) BC (B) AC (C)DB (D)DD (E)CD 共平面？解答：AEC主題：兩面角範例_兩平面E , F交角4 5 0 ,其公共之稜為AB ,在E上之 ABC中 , AB

2、= 6, AC二3. 3, BAC =30°, ABC在 F 上之投影為 ABC ,求(1)CC =?( 2) AC = ?類題：1.如圖，四角錐A- BCDE勺底面是邊長為2的正方形，側(cè)面為等腰三角形AC AD AB AE =3,求平面ACB與平面ACD的夾角13(2)平面ABE與平面BCDE勺夾角解答：cos (2)cos84返2. 一正四面體的邊長為1 2,試求外接球半徑？內(nèi)切球半徑？解答：3.6 .63. 長方體中，互為歪斜線的稜線共有多多少對？解答：2 4範例：解答:7,AB 二一個正立方體的八個頂點中有四個頂點，各頂點彼此間的距離都是1,則此正立方體的體積為?類題：1.

3、如右圖的正方體體種,其各邊長為a ,則厶BCD的面積為?2. 如圖,ABCD為四面體,AD垂直於平面BCD,BC _ BD, BC二解答：25 , sin207假設平面ADB與平面ADC之夾角為9 ,則sin 9=?主題：空間座標系 範例：1. 空間座標中,設Q(3,1,5),R(1,3,4),S(3,5,2),以下敘述何者為真？(A)點Q對於x軸的對稱點座標為(3,1,-5) (B) 點R到x軸的距離為5 (C)點S在yz平面的正射影的座標為(3,0,2) (D) 線段RS在 xy平面上的正射影長為22 (E) QRS為 銳角三角形2. 空間有一線段，垂直投射到x y平面上的投影長為20 ,

4、垂直投射到y(tǒng)z平面上的投影長為21 , 垂直投射到xz平面上的投影長為29 ,則此線段的長度為？類題:1. 在空間中，x,y,z座標皆為整數(shù)，且與原點的距離為,17的點,一共有多少個？解答：482. 以之一正四面體,其中三個頂點作標分別為(0,0,0),(2,0,0),(1,1,.2)則第四點的座標為？解答：(1,-1八2),(1,類題：1. 如圖，長方體ABCD- A BCD ,AD =1,A2,AA =3,試求 (1 ) ACB 的面積(2 ) DB與BD的夾角9 ,求sin 9=？ 有一長方體的長、寬、高分別為 3、4、5 ,今置頂點A於座標系的原點(0,0,0 ) , B512 解答：

5、52 如圖O- BCD為金字塔，底是邊長為1之正方形，頂點O與A , B , C , D 距離均為2,試問以下哪些是正確的？ 丄丄 丄1 1 d (A)OA OB OC OD =0(B)OA OB -OC -OD =0,2)333. 設P點向三座標軸引垂線垂足均在各軸之正向局部,且到x ,y,z軸之距離順序為5 , . 34,41,試求P點的座標為？解答：(5,4,3)主題：空間向量範例一：1. 空間三點 A(1,2,3),B(2,4,5),C(3,4,3), 假設與AC 夾角為 B ,則(1) sin 9=?(2) ABC的面積為？'I解答:解答:723.； 57正z軸上,則頂點C之

6、z座標為?A置於的2. 空間中 A , B , C , D , AB =1,BC =2,CD =3,. ABC "BCD = 120°,而TC與CD 之夾 角為60° ,則線段AD的長為？cOAOB OCOD =0dOAQB=oC那eOA，C =2 解答：cd刁nOA.QDBPC4. 如右圖,ABCD為正立方體的一面,P , Q 分別為BC,CD的中點,0為1正立方體的中心，則cos / POG?解答：2主題：平面方程式範例：求以下各條件的平面方程式1. 點P ( 2,1 , 3 ) 與點Q ( 4,4,5 ), 則線段PQ之垂直平分面2. 直線L與平面E: x+

7、 2 y + 3 z = 9垂直,則過點(2 , 3,4 )且與直線L垂直的平面F3. 包含A ( 1 , 1 , 3 ) , B ( 2,1 , 1 )兩點且與平面 E: x 2 y + 3 z = 6互相垂直之平面4. 與平面E: 3 x + 2 y + z = 1 1平行，且其x截距，y截距，z截距的和為2 2的平面F類題：1. 求經(jīng)過三點 P(-1,1,2),Q(2,0,-3),R(5,1,-2) 的平面方程式解答：2x-9y + 3z+ 5= 02. 一平面包含x軸，且過點A(1,-1,2)求此平面方程式解答：2y+ z = 03. 空間中一平面E與正x軸，正y軸，正z軸分別交於A

8、, B , C三點，C點的座標為(0,0 ,1)3 7CA二CB且厶ABC的面積為求A?解答：(.7,0,0)2(2 )及平面ABC的個單位法向量解答：(1,")3 334. 設一平面平行平面2x+ y+ 2z = 1且與三座標平面所成之四面體體積為 9 ,則此平面方程式？解答：2x + y + 2z=±6主題：兩平面的夾角兩平面方程式分別為 E:a1x+b1y+c1z+d1=0,F:a 2x+b2y+c2z+d2=0,則E與F的夾角為cos 31 -玄尼2 + Sb2 + c1c2ajb； - c； a2b22 - c22範例:在空間中,平面E通過(3,0,0),(0,4

9、,0) 及正z軸上一點(0,0,a),如果平面E與xy平面夾角 成45°求a=?主題：點到平面的距離空間上一點P( a , B，丫)及一平面E:ax+by+cz+d=0,則P點到平面E的距離為Lab c d 1Ja2 + b2 + c2空間兩平行平面 E:ax+by+cz+d=0,F:ax+by+cz+e=0,則U E,F 的距離為1 d _ e 1Ja2 + b2 + c2範例：設 A(1,3,1), 平面 E: 2 x -2 y + z-6= 0 , 則:(1)A 在E的正射影座標(2)A在E的對稱點座標(3) A 到E的距離類題:1.點 0(0,0,0),E : x + y +

10、 z = 1 ,F : x + y + z + 1= 0 求 E與 F 的距離解答:22.空間中四個平面x= 0 , y= 0 , z = 0 , x + y + z = 1圍成一四面體,則此四面體之內(nèi)切球半徑為?解答:36主題：空間的直線三種直線方程式:at)、參數(shù)式:y1bt ,tR,其中(a,b,c)為L的方向向量ct(二)、對稱式:(三)、兩面式:a1xb1yc1zd 0a2xb2yc2zd2 = 0範例：在空間中以下選項中的方程式，何者圖形為一直線？ (A)3x + 2y + z= 1 , 6x + 4y+ 2z = 5x =2t 1 x-2 y-6 z-5(B) y=3t_2,t

11、R(C) 二 (D) 2 x + y 二 1I323z = 3(E) x + y 2z= 0 , x 2y+ z= 1 , 2x y z = 1類題2x + y - z = 01. 關(guān)於直線 y,以下選項何者為真？ (A)方向向量為(1,-1,3) (B)點(0,1,1)在直線x +2y z =1上(C)直線與二口 =1 重合(D)直線與2L=1=1垂直(巳 直線在平面1-11 1-21x y+ 1 = 0 上解答：BDE2. 假設方程式L: 3x y 一7" 與方程式 二口二口 表同一直線,則m+ n+ b+ c=?2x + y - 3z +14 = 02 m n解答：2 4主題：

12、兩直線的關(guān)係空間兩線的關(guān)係有：相交於一點；平行;歪斜(兩直線不在同一平面)範例：空間兩直線L1:x3Uz4及L?"11 =八5/一6交於P點,則：23463-2(1) P 點的座標(2) 包含兩直線的平面方程式類題：以下何組之兩直線不共平面x -1yz_2、 x-1yz-2(AU：丄2：-12-1131x1y2z3x2y4z6(C)L1：丄2：-123246x y T z-2 、 x T y 1 z8 (E)L1 :丄2：-2 1-12-1-1 | 二2 2332(D)L1：2- y -31(肌疔1x-1 y 1 z 2 丄2：2 解答:主題：點到直線的距離(注意沒有公式一定要知道做

13、法)範例:-2 ), L：x；51y -321 P 在L上的正射影 2 P到L的距離3 L 與L'的距離y 2 z 4 x= Lh：-2 2 1主題：兩歪斜線的距離範例：'x+y=1設L:與z軸的公垂線PQP L,Qz,求1 P , Q 座標i z =02 PQ 3PQ直線參數(shù)式類題:1.試求兩歪斜線訐=二寧，L2：xf二節(jié)的距離解答：32.空間四點 A ( 0,0,4 ) , B ( 0,3,0 ) , C ( 2,0,0 ) , D ( 0,0,1 )求(1 )包含直線CD且與直線AB平行的平面方程式2 直線CD與直線AB的距離解答：3 x + 8 y + 6 z = 6主題：直線與平面的關(guān)係直線與平面的關(guān)係