一元函數(shù)微分學的應用PPT學習教案

1、會計學1一元函數(shù)微分學的應用一元函數(shù)微分學的應用 一、一、 柯西中值定理柯西中值定理 二、二、 洛必達法則洛必達法則 第1頁/共86頁定理定理 1 1 （柯西中值定理） 如果函數(shù)（柯西中值定理） 如果函數(shù))(xf與與 )(xF滿滿足下列條件：足下列條件： (1) (1) 閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)；上連續(xù)； (2) (2) 在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導； (3) (3) )( xF在在),(ba內的每一點均不為零， 那么， 在內的每一點均不為零， 那么， 在),(ba內至少有一點內至少有一點， .f(b)f(a)f ()F(b)F(a)F ()使得使得第2頁/共86頁 把兩個無窮小量之

2、比或兩個無窮大量之比的極限把兩個無窮小量之比或兩個無窮大量之比的極限稱為稱為 00型或型或 型不定式型不定式( (也稱為也稱為 00型或型或 型未定型型未定型) )的極限的極限, ,洛必達法則就是以導數(shù)為工具求不定式的極限洛必達法則就是以導數(shù)為工具求不定式的極限方法方法 (1)(1) 0)(lim0 xfxx，0)(lim0 xgxx； (2) (2) )(xf與與)(xg在在 0 x的某鄰域內（點的某鄰域內（點 0 x可除外）可除外）可導，且可導，且0)( xg； 定定理理 2 2 ( (洛洛必必達達法法則則) ) 若若 第3頁/共86頁 (3) (3) Axgxfxx)()(lim0( (

3、 A為有限數(shù)，也可為為有限數(shù)，也可為或或 ) )，則，則 證證 由于我們要討論的是函數(shù)在點由于我們要討論的是函數(shù)在點 0 x的極限，的極限，而極限與函數(shù)在點而極限與函數(shù)在點 0 x的值無關， 所以我們可補充的值無關， 所以我們可補充)(xf與與)(xg在在0 x的定義，而對問題的討論不會發(fā)生任何影的定義，而對問題的討論不會發(fā)生任何影響令響令0)()(00 xgxf，則，則)(xf與與)(xg在在點點 0 x就連就連續(xù)了在續(xù)了在 0 x附近任取一點附近任取一點 x，并應用柯西中值定理，并應用柯西中值定理，得得 Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim00 . . )()()()()

4、()()()(00gfxgxgxfxfxgxf (在x與 0 x之間) . 第4頁/共86頁由于由于0 xx 時，時，0 x ，所以，對上式取極限便得要證，所以，對上式取極限便得要證的結果，證畢的結果，證畢 注注：上述定理對：上述定理對x時的時的 00未定型同樣適用，對于未定型同樣適用，對于0 xx 或或x時的未定型時的未定型 ，也有相應的法則，也有相應的法則 第5頁/共86頁例例 1 1 求求123lim2331xxxxxx 解解 123lim2331xxxxxx = 12333lim221xxxx = 266lim1xxx = 46 = 23 例例 2 2 求求xxxtancos1lim

5、解解 xxxtancos1lim = xxx2cos1sinlim = 0 第6頁/共86頁例例 3 3 求求 arctan2lim1xxx 解解 arctan2lim1xxx = 22111limxxx = 221limxxx = 1 例例 4 4 求求 )0(lnlimnxxnx. . 解解 01lim1limlnlim1nxnxnxnxnxxxx 第7頁/共86頁例例 5 5 求求xxxxln11lim1 解解 這是這是未定型，通過“通分”將其化為未定型，通過“通分”將其化為 00未定型未定型 xxxxxxxxxxln) 1() 1(lnlimln11lim11xxxxxxx1ln1ln

6、1lim1 除未定型除未定型00與與之外， 還有之外， 還有00,1 ,0 ,0等未等未定型， 這里不一一介紹， 有興趣的同學可參閱相應定型， 這里不一一介紹， 有興趣的同學可參閱相應的書籍，下面就的書籍，下面就未定型再舉一例未定型再舉一例 第8頁/共86頁 在使用洛必達法則時，應注意如下幾點：在使用洛必達法則時，應注意如下幾點： (1) (1) 每次使用法則前，必須檢驗是否屬于每次使用法則前，必須檢驗是否屬于 00或或 未定型，若不是未定型，就不能使用該法則；未定型，若不是未定型，就不能使用該法則； (2) (2) 如果有可約因子， 或有非零極限值的乘積因子，如果有可約因子， 或有非零極限值

7、的乘積因子，則可先約去或提出，以簡化演算步驟；則可先約去或提出，以簡化演算步驟； (3) (3) 當當(x)g(x)flim不存在不存在( (不包括不包括 的情況的情況) )時，并不時，并不能斷定能斷定g(x)f(x)lim也不存在，此時應使用其他方法求極限也不存在，此時應使用其他方法求極限 xxxxln11lnlim121111lim21xxxx . . 第9頁/共86頁2 2把柯西中值定理中的“把柯西中值定理中的“)(xf與與)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)”換成“上連續(xù)”換成“f(x)與與)(xF在開區(qū)間在開區(qū)間 ),(ba內連續(xù)”內連續(xù)”后，柯西中值定理的結論是否還成立？試舉例（只

8、需畫后，柯西中值定理的結論是否還成立？試舉例（只需畫出函數(shù)圖象）說明出函數(shù)圖象）說明 思考題思考題 1 1用洛必達法則求極限時應注意什么？用洛必達法則求極限時應注意什么？ 第10頁/共86頁 一、一、 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 二、二、 兩個重要推論兩個重要推論 三、三、 函數(shù)的單調性函數(shù)的單調性 第11頁/共86頁定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf滿足下列條件：滿足下列條件： （1 1） 在在 區(qū)間區(qū)間,ba上連續(xù)；上連續(xù)； （2 2） 在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導，那么，在內可導，那么，在),(ba內內至少有一點至少有一點 ，使得，使得 )()()(abfafbf .

9、. 如果令如果令abxax,，則上式為，則上式為 xfxfxxf)( )()( , 其 中其 中介 于介 于x與與xx之 間 ， 如 果 將之 間 ， 如 果 將 表 是 成表 是 成) 10(xx，上式也可寫成，上式也可寫成 ()( )()(01)f xxf xfxxx . 拉格朗日中值定理幾何演示拉格朗日中值定理幾何演示第12頁/共86頁推論推論 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),(ba內滿足內滿足0)( xf，則在，則在),(ba內內Cxf)(（C為常數(shù)） 為常數(shù)） 證證 設設21,xx是區(qū)間是區(qū)間),(ba內的任意兩點，且內的任意兩點，且21xx ，于是在區(qū)間，于是在區(qū)間

10、,21xx上函數(shù)上函數(shù))(xf滿足拉格朗日滿足拉格朗日中值定理的條件，故得中值定理的條件，故得 由于由于0)( f，所以，所以0)()(12xfxf，即，即)()(21xfxf. . 212112()()( )()(),f xf xf xxxx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第13頁/共86頁因為因為21,xx是是),(ba內的任意兩點，于是上式表明內的任意兩點，于是上式表明)(xf在在),(ba內任意兩點的值總是相等的，即內任意兩點的值總是相等的，即)(xf在在),(ba內是一個常數(shù)，證畢內是一個常數(shù)，證畢 推 論推 論 2 2 如 果

11、 對如 果 對),(ba內 任 意內 任 意 x， 均 有， 均 有)()(xgxf，則在，則在),(ba 內內)(xf與與)(xg之間只差一個之間只差一個常數(shù)，即常數(shù)，即Cxgxf)()(（C為常數(shù)） 為常數(shù)） 證證 令令)()()(xgxfxF，則，則0)( xF，由推論，由推論 1 1知 ，知 ，)(xF 在在),(ba內 為 一 常 數(shù)內 為 一 常 數(shù)C， 即， 即),(,)()(baxCxgxf，證畢，證畢 第14頁/共86頁如圖觀察區(qū)間如圖觀察區(qū)間,ba上的單調遞上的單調遞增函數(shù)增函數(shù))(xf的圖像，當?shù)膱D像，當 x增大時，增大時，曲線上任一點處的切線與曲線上任一點處的切線與 x

12、軸正軸正向夾角為銳角，即向夾角為銳角，即0)( xf（個別點（個別點處處( )0fx） ，反過來是否也成立） ，反過來是否也成立呢？我們有如下定理：呢？我們有如下定理： 定理定理 2 2 設函數(shù)設函數(shù))(xf在在,ba上連續(xù)，在上連續(xù)，在),(ba內內可導，則有可導，則有 （1 1）如果在）如果在),(ba內內0)( xf，則函數(shù)，則函數(shù))(xf在在,ba上單調增加；上單調增加； xy0ab第15頁/共86頁證證 設設21,xx是是,ba上任意兩點上任意兩點, ,且且21xx ，由拉格由拉格朗日中值定理有朗日中值定理有 )()()()(211212xxxxfxfxf . 如果如果0)( xf，

13、必有，必有0)(f，又，又012 xx， 于是有于是有0)()(12xfxf， 即即)()(12xfxf, ,由于由于21,xx)(21xx 是是,ba上任意上任意兩點，所以函數(shù)兩點，所以函數(shù))(xf在在,ba上單調增加上單調增加 同理可證，如果同理可證，如果0)( xf，則函數(shù)，則函數(shù))(xf在在,ba上上單調減少，證畢單調減少，證畢 （2 2）如果在）如果在),(ba內內0)( xf，則函數(shù)，則函數(shù))(xf在在 ,ba上單調減少上單調減少 第16頁/共86頁函數(shù)單調區(qū)間的確定：函數(shù)單調區(qū)間的確定： （1 1） 求出使） 求出使0)( xf的點 （稱這樣的點為駐點） ，的點 （稱這樣的點為駐

14、點） ， （2 2）用這些駐點將）用這些駐點將)(xf的定義域分成若干個子的定義域分成若干個子區(qū)間，再在每個子區(qū)間上判斷函數(shù)的單調性區(qū)間，再在每個子區(qū)間上判斷函數(shù)的單調性. . 例例 討論函數(shù)討論函數(shù)323)(xxxf的單調性的單調性 解解 因為因為323)(xxxf, , 所以所以)2(336)( 2xxxxxf, , 令令0)( xf得駐點：得駐點：01x，22x, ,用它們將用它們將)(xf的的定義區(qū)間定義區(qū)間),(分成三個部分區(qū)間分成三個部分區(qū)間: : )0 ,(，)2 , 0(，), 2(. . 第17頁/共86頁當當)0 ,(x時， 有時， 有0)( xf； 當； 當)2 , 0(

15、x時時0)( xf; ;當當), 2( x時，時，0)( xf， 因此， 由定理， 因此， 由定理 2 2 知， 函數(shù)知， 函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間)0 ,(與與), 2( 上單調減少，在區(qū)間上單調減少，在區(qū)間)2 , 0(單調增單調增加加 第18頁/共86頁1 1 將拉格朗日中值定理中的條件將拉格朗日中值定理中的條件)(xf“在“在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)”換為“在開區(qū)上連續(xù)”換為“在開區(qū)),(ba內連續(xù)”內連續(xù)”后后, ,定理是否還成立定理是否還成立? ?試舉例試舉例( (只需畫圖只需畫圖) )說明說明 羅爾羅爾(Rolle)(Rolle)中值定理中值定理 若若)(xf滿足如下滿足如下 3

16、 3 條條: : ( (1 1) ) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù); ; (2) (2) 在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導; ; (3) (3) 在區(qū) 間在區(qū) 間,ba端 點出的 函數(shù) 值相等端 點出的 函數(shù) 值相等 , ,即即)()(bfaf, ,則在開區(qū)間則在開區(qū)間),(ba內至少存在一點內至少存在一點, ,使使得得0)(f 思考題思考題 2 2 羅爾羅爾(Rolle)(Rolle)中值定理是微分中值定理中一個最基本的定理仔細閱讀下面給出的羅爾中值定理的條件與結論中值定理是微分中值定理中一個最基本的定理仔細閱讀下面給出的羅爾中值定理的條件與結論, ,并回答所列問題并回答所列問題

17、 第19頁/共86頁需回答的問題需回答的問題: : ( (1 1) ) 羅爾中值定理與拉格朗日中值定理的聯(lián)系與羅爾中值定理與拉格朗日中值定理的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別? ? (2) (2) 若將羅爾中值定理中條件若將羅爾中值定理中條件(1)(1)換成“在開區(qū)間換成“在開區(qū)間),(ba內連續(xù)”內連續(xù)”, ,定理的結論還成立嗎定理的結論還成立嗎? ?畫圖說明畫圖說明 (3) (3) 不求不求)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的導數(shù)的導數(shù), ,說明方程說明方程)(xf 有幾個實根有幾個實根, ,并指出它們所在的區(qū)間并指出它們所在的區(qū)間 第20頁/共86頁 一、一、函數(shù)的極值函數(shù)的極值 二、二、函數(shù)的最值

18、函數(shù)的最值 第21頁/共86頁定義定義 設函數(shù)設函數(shù))(xf在在 0 x的某鄰域內有定義的某鄰域內有定義, ,且對且對此鄰域內任一點此鄰域內任一點)(0 xxx, ,均有均有)()(0 xfxf, ,則稱則稱)(0 xf是函數(shù)是函數(shù))(xf的一個極大值的一個極大值; ;同樣同樣, ,如果對此鄰域如果對此鄰域內任一點內任一點)(0 xxx, ,均有均有)()(0 xfxf, ,則稱則稱)(0 xf是函是函數(shù)數(shù))(xf的一個極小值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為的一個極小值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點函數(shù)的極值使函數(shù)取得極值的點 0 x, ,稱為極值點稱為極值點 第22頁/共8

19、6頁定理定理 1 1 ( (極值的必要條件極值的必要條件) ) 設設)(0 xf在點在點0 x處具有導數(shù)處具有導數(shù), , 且在點且在點0 x取得極值取得極值 , ,那么那么0)(0 xf 觀察可導函數(shù)在取得極值處切線特征，觀察可導函數(shù)在取得極值處切線特征， 可以看出可以看出, ,可導函數(shù)在取得極值處的可導函數(shù)在取得極值處的 切線是水平的切線是水平的, ,即極值點即極值點 0 x處處, ,必有必有 0)(0 xf, ,于是有下面的定理于是有下面的定理 證證 只證只證)(0 xf是極大值的情形由假設是極大值的情形由假設, , )(0 xf 存在存在, ,所以所以 00000)()(lim)()(l

20、im)(00 xxxfxfxxxfxfxfxxxx, , xyO第23頁/共86頁因為因為)(0 xf是是)(xf的一個極大值的一個極大值, ,所以對于所以對于 0 x的某的某鄰域內的一切鄰域內的一切 x, ,只要只要0 xx , ,恒有恒有)()(0 xfxf因此因此, ,當當0 xx 時時, , 有有0)()(00 xxxfxf于是于是, ,有有 00)()(lim0 xxxfxfxx0， 當當0 xx 時時, ,0)()(00 xxxfxf, ,所以所以 00)()(lim0 xxxfxfxx 0, ,從而得到從而得到0)(0 xf 類似可證類似可證)(0 xf為極小值情形為極小值情形,

21、 ,證畢證畢 第24頁/共86頁函數(shù)極值點特征：對于可導函數(shù)由定理函數(shù)極值點特征：對于可導函數(shù)由定理 1 1 知，可導函數(shù)知，可導函數(shù))(xf的極值點必是的極值點必是)(xf的駐點反過來的駐點反過來, ,駐點卻不一定駐點卻不一定 是是)(xf的極值點如的極值點如0 x是函數(shù)是函數(shù)3)(xxf的駐點，但的駐點，但不是其極值點對于連續(xù)函數(shù)不是其極值點對于連續(xù)函數(shù), ,它的極值點還可能是它的極值點還可能是使導數(shù)不存在的點使導數(shù)不存在的點, ,稱這種點為尖點 例如稱這種點為尖點 例如, ,xxf)(，但但0 x處導數(shù)不存在處導數(shù)不存在, ,但是，但是，0 x是它的極小值點是它的極小值點 定理定理 （極

22、值的第一充分條件）設（極值的第一充分條件）設)(xf在點在點 0 x連續(xù)，在點連續(xù)，在點 0 x的某一空心鄰域內可導當?shù)哪骋豢招泥徲騼瓤蓪М?x由小由小增大經(jīng)過增大經(jīng)過 0 x時，如果時，如果 (1)(1) )(xf 由正變負，那么由正變負，那么 0 x 是極大值點；是極大值點；(2)(2) )(xf 由負變正，那么由負變正，那么 0 x是極小值是極小值點；點；(3) (3) )(xf 不變號，那么不變號，那么 0 x不是極值點不是極值點 第25頁/共86頁證證 （）由假設知，（）由假設知，)(xf在在 0 x的左側鄰近單調的左側鄰近單調增加增加, , 即當即當0 xx 時，時，)()(0 x

23、fxf; ;在在0 x的右側鄰近的右側鄰近單調減少，即當單調減少，即當0 xx 時，時，)()(0 xfxf. .因此因此 0 x是是)(xf的的極大值點極大值點, , )(0 xf是是)(xf的極大值的極大值 類似可以證明（類似可以證明（2 2） ） (3)(3) 由假設，當由假設，當 x在在 0 x 的某個鄰域的某個鄰域)(0 xx 內取內取值時，值時，)0(0)( xf，所以，在這個鄰域內是單調增加，所以，在這個鄰域內是單調增加（減少）的，因此（減少）的，因此0 x不是極值點，證畢不是極值點，證畢 定理定理 （極值的第二充分條件）（極值的第二充分條件） 設設)(xf在點在點 0 x處具有

24、二階導數(shù)處具有二階導數(shù), ,且且0)(0 xf, ,0)( xf 第26頁/共86頁(1)(1) 如果如果0)(0 xf, ,則則)(xf在點在點 0 x取得極大值；取得極大值； (2) (2) 如果如果0)(0 xf, ,則則)(xf在點在點 0 x取得極小值取得極小值 證證 （）由于（）由于0)(0 xf, ,所以所以 0)( )( lim)(0000 xxxfxfxfxx， 所以，在所以，在0 x的某鄰域內必有的某鄰域內必有 0)()(00 xxxfxf , , )(0 xx ， 因為因為0)( xf，所以有，所以有0)(0 xxxf , , )(0 xx . . 第27頁/共86頁從而

25、知道， 當從而知道， 當0 xx 時，時，0)( xf； 當； 當0 xx 時，時，0)( xf, ,由定理知由定理知)(0 xf為為)(xf的極大值類似地可證明的極大值類似地可證明（） ，證畢（） ，證畢. . 例例 求函數(shù)求函數(shù)xxxxf96)(23的極值的極值. . 解解 一一 因 為因 為96)(23xxxf的 定 義 域 為的 定 義 域 為( (,),),且且 )3)(1(39123)(2xxxxxf, , 令令0)( xf，得駐點，得駐點11x, ,32x . . 在在) 1 ,(內，內，0)( xf，在，在)3 , 1 (內，內，0)( xf, ,故由定理故由定理2 2 知，知

26、，4) 1 (f為函數(shù)為函數(shù))(xf的極大值的極大值 第28頁/共86頁解二解二 因為因為xxxxf96)(23的定義域為的定義域為),(， 且且 9123)(2xxxf, ,126)( xxf 令令0)( xf, ,得駐點得駐點11x, ,32x又因為又因為06) 1 ( f, ,所以，所以，4) 1 (f為極大值為極大值 06)3( f, ,所以所以0)3(f為極小值為極小值 例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù)32) 1(2)(xxf的極值的極值 解解 因 為因 為32) 1(2)(xxf的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(, ,且且)(xf在在),(上連續(xù)，所以上連續(xù)，所以 第29頁/共8

27、6頁131322( )(1)(1)33(1)fxxxx , ,1x時時, ,)(xf 不存不存在在 , , 所 以所 以1x為為)(xf的 可 能 極 值 點 在的 可 能 極 值 點 在) 1 ,(內內, ,0)( xf; ;在在), 1 ( 內內, ,0)( xf, ,由定理知由定理知)(xf在在1x處取得極大值處取得極大值2) 1 (f 第30頁/共86頁對于閉區(qū)間對于閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù))(xf由最值存在定由最值存在定理知一定存在著最大值和最小值顯然，函數(shù)在閉區(qū)理知一定存在著最大值和最小值顯然，函數(shù)在閉區(qū)間間,ba上的最大值和最小值只能在區(qū)間上的最大值和最小值只能在區(qū)間

28、),(ba內的極內的極值點和區(qū)間端點處達到因此可得求閉區(qū)間值點和區(qū)間端點處達到因此可得求閉區(qū)間,ba上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù))(xf的最值步驟為： （的最值步驟為： （1 1）求出一切可能的極）求出一切可能的極值點值點( (包括駐點和尖點包括駐點和尖點) )和端點處的函和端點處的函數(shù)值， （數(shù)值， （2 2）比較）比較這些函數(shù)值的大小，最大的值為函數(shù)的最大值，最小這些函數(shù)值的大小，最大的值為函數(shù)的最大值，最小的值為函數(shù)的最小值的值為函數(shù)的最小值 第31頁/共86頁例例 3 3 求函數(shù)求函數(shù)xxxxf1232)(23在在4 , 3上的最上的最大值和最小值大值和最小值 解解 因為因為 在在xxxx

29、f1232)(23在在4 , 3上連續(xù)，上連續(xù)，所以在該區(qū)間上存在著最大值和最小值所以在該區(qū)間上存在著最大值和最小值 又因為又因為) 1)(2(61266)(2xxxxxf, , 令令0)( xf, ,得駐點得駐點21x, ,12x, ,由于由于 20)2(f, ,7) 1 (f, ,9)3(f, ,128)4(f 比較各值可得函數(shù)比較各值可得函數(shù))(xf的最大值為的最大值為128)4(f, ,最小值最小值為為7) 1 (f 對于實際問題的最值， 往往根據(jù)問題的性質就可斷對于實際問題的最值， 往往根據(jù)問題的性質就可斷定函數(shù)定函數(shù))(xf在定義區(qū)間的內部確有最大值或最小值在定義區(qū)間的內部確有最大

30、值或最小值 第32頁/共86頁理論上可以證明： 若實際問題斷定理論上可以證明： 若實際問題斷定)(xf在其定義區(qū)間內在其定義區(qū)間內部（不是端點處）存在最大值（或最小值） ，且部（不是端點處）存在最大值（或最小值） ，且0)( xf在定義區(qū)間內只有一個根在定義區(qū)間內只有一個根0 x, ,那么，可斷定那么，可斷定)(xf在點在點 0 x取得相應的最大值（最小值） 取得相應的最大值（最小值） 例例 4 4 有一塊寬為有一塊寬為a2的長方形鐵皮，將寬的兩的長方形鐵皮，將寬的兩個邊緣向上折起，做成一個開口水槽，其橫截面為矩個邊緣向上折起，做成一個開口水槽，其橫截面為矩形，高為形，高為x, ,問高問高 x

31、取何值時水槽的流量最大取何值時水槽的流量最大( (下圖所下圖所示為水槽的橫截面）？示為水槽的橫截面）？ 解解 設兩邊各折起設兩邊各折起 x, ,則橫截面積為則橫截面積為 )(2)(xaxxS )0(ax x2a-2xx第33頁/共86頁這樣，問題歸結為：當這樣，問題歸結為：當 x為何值時，為何值時，)(xS取得最大值取得最大值 由于由于xaxS42)(, ,所以令所以令0)( xS, ,得得)(xS的的惟惟一駐點一駐點2ax 又因為鐵皮兩邊折的過大或過小，其橫截面積都又因為鐵皮兩邊折的過大或過小，其橫截面積都會變小，因此，該實際問題存在著最大截面積會變小，因此，該實際問題存在著最大截面積 所以

32、，所以，)(xS的最大值在的最大值在2ax 處取得，即當處取得，即當2ax 時，水槽的流量最大時，水槽的流量最大 例例 5 5 鐵路線上鐵路線上AB的距離為的距離為 100 km,100 km,工廠工廠C距距A處處為為 2020 km, km,AC垂直于垂直于AB, ,要在要在AB線上選定一點線上選定一點 D向工向工廠修筑一條公路，已知鐵路與公路每廠修筑一條公路，已知鐵路與公路每 kmkm 貨運費之比為貨運費之比為3 3：5,5,問問D選在何處，才能使從選在何處，才能使從B到到 C的運費最少的運費最少? ? 第34頁/共86頁解解 設設 xAD (km),(km),則則 xDB100, ,22

33、20 xCD 由于鐵路每由于鐵路每 kmkm 貨物運費貨物運費與公路每與公路每 kmkm 貨物運費之比為貨物運費之比為3 3：5 5，因此，不妨設鐵路上每，因此，不妨設鐵路上每km km 運費為運費為k3, ,則公路上每則公路上每 kmkm運費為運費為k5, ,并設從并設從 B 到到 C 點需點需要的總運費為要的總運費為 y, ,則則 )100(320522xkxky 0( x )100. . 由此可見，由此可見，x過大或過小，總運費過大或過小，總運費 y均不會變小，均不會變小，故有一個合適的故有一個合適的 x使總運費使總運費 y達到最小值達到最小值 C BAD 第35頁/共86頁又因為又因為

34、 340052xxky 令令0 y, ,即即2530400 xx, ,得得15x為函數(shù)為函數(shù) y在在其定義域內的惟一駐點，故知其定義域內的惟一駐點，故知 y在在15x處取得最小處取得最小值，即值，即D點應選在距點應選在距 A為為 15 kmkm 處，運費處，運費最少最少 第36頁/共86頁 1. 1. 畫圖說明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)畫圖說明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù))(xf的極值與最的極值與最值之間的關系值之間的關系 2. 2. 可能極值點有哪幾種可能極值點有哪幾種？如何判斷可能極值點如何判斷可能極值點是否為極值點是否為極值點. . 思考題思考題 第37頁/共86頁 一、一、曲率的概念曲率的概念 二、二、曲率

35、的計算曲率的計算第38頁/共86頁設設和和 , ,是曲線是曲線)(xfy 上兩個點，假如曲線在上兩個點，假如曲線在點和點和點的切線與點的切線與 x 軸的夾角分別為軸的夾角分別為 和和 ，那，那么， 當點從么， 當點從沿曲線沿曲線)(xfy 變到變到 時，時， 角度改變了角度改變了 ，而改變這個角度所經(jīng)過的路程則是弧長而改變這個角度所經(jīng)過的路程則是弧長s AB，我們，我們自然就用比值自然就用比值s來刻畫曲線段來刻畫曲線段 AB上的彎曲程度，稱上的彎曲程度，稱為平均曲率為了刻畫曲線在某點處的曲率，我們有如為平均曲率為了刻畫曲線在某點處的曲率，我們有如下定義下定義 定義定義 稱稱sskxddlim0

36、為曲線在點為曲線在點 A的曲率的曲率 第39頁/共86頁例例 1 1 求半徑為求半徑為R的圓的平均曲率及曲率的圓的平均曲率及曲率. . 解解 在圖中，由于在圖中，由于BOA 等于等于 ， 又等于又等于Rs，所以，所以RsRss1 為弧為弧 AB 段的平均曲率，段的平均曲率， 當當 時，有時，有0s， 所以圓上任意一點所以圓上任意一點 A 的曲率的曲率 RRsakss11limlim00 . O xyOABa+aaa第40頁/共86頁可見可見, ,圓上任一點處的曲率都等于圓半徑的倒數(shù)圓上任一點處的曲率都等于圓半徑的倒數(shù). .因而圓的半徑愈大因而圓的半徑愈大, ,曲率愈小曲率愈小; ;半徑愈小半徑

37、愈小, ,曲率愈大曲率愈大. .這這表明曲率確實反映了曲線的彎曲程度表明曲率確實反映了曲線的彎曲程度. . 由于圓的半徑等于圓的曲率的倒數(shù)由于圓的半徑等于圓的曲率的倒數(shù), ,所以對于一般所以對于一般的曲線的曲線, ,我們把它在各點的曲率的倒數(shù)稱為它在該點的我們把它在各點的曲率的倒數(shù)稱為它在該點的曲率半徑曲率半徑, ,記為記為R, ,因此因此, ,kR1( (如果如果0k, ,則說明曲率則說明曲率半徑為半徑為) ). . 第41頁/共86頁以以s表示這條曲線由基點表示這條曲線由基點0M到點到點M的一段弧的一段弧0M M的長的長度（當度（當M在在0M右邊時規(guī)定右邊時規(guī)定0s, ,當當M在在0M左邊

38、時規(guī)定左邊時規(guī)定0s）, ,弧長弧長 s是是 x的函數(shù)，的函數(shù)， 設函數(shù)設函數(shù))(xfy 在在),(ba內具有連續(xù)導數(shù)，內具有連續(xù)導數(shù)， 0 x為為),(ba內一個定點；內一個定點；x, ,xx為為),(ba內兩個鄰近的點；內兩個鄰近的點；0M，M，M分別為曲線分別為曲線)(xfy 上與上與 0 x, , x, , xx對應的點對應的點. . Ox yabM0MMxyxxx0 x第42頁/共86頁設對應于設對應于 x的增量的增量 x，弧長，弧長 s的增量為的增量為 s， 則則00sM MM M. .于是有于是有0lim0MMx我們還我們還可以證明：可以證明：1lim0MMsx這就是說這就是說

39、s與與MM是是 0s時的兩個等價無窮小量，因此時的兩個等價無窮小量，因此 00220dlimlimd()()limxxxssMMxxxxyx 21y, 所以所以 xysd1d2. . 第43頁/共86頁又因為曲線又因為曲線)(xfy 在點在點 M處的切線斜率為處的切線斜率為tany 所以，所以，arctan y 2dd1yxy, , 因此因此 223/22dd1d(1)1dyxyyksyyx 這就是曲線這就是曲線)(xfy 的曲率計算公式的曲率計算公式 第44頁/共86頁例例 2 2 求直線求直線baxy的曲率的曲率 解解 因為因為ay , ,0 y, ,所以所以 0k, ,即直線的即直線的彎

40、曲程度為彎曲程度為 0（直線不彎曲） （直線不彎曲） 例例 3 3 一飛機沿拋物線路徑一飛機沿拋物線路徑40002xy 做俯沖飛行， 在做俯沖飛行， 在原點原點O處的速度為處的速度為400v m/s m/s 飛行員體重飛行員體重 7070 kg kg，求俯，求俯沖到原點時，飛行員對座椅的壓力沖到原點時，飛行員對座椅的壓力 解解 在在O點飛行員受到兩個力作用，即重力點飛行員受到兩個力作用，即重力 P和座椅對飛行員的反力和座椅對飛行員的反力 Q， 他們的合力， 他們的合力P-Q為飛行員為飛行員隨飛機俯沖到隨飛機俯沖到O點時， 所需的向心力點時， 所需的向心力 F, ,即即FP-Q或或FQ P，物體

41、做勻速圓周運動時，物體做勻速圓周運動時，向心力為，向心力為 2mRv（R為圓半徑）為圓半徑） 第45頁/共86頁O 點可看成是曲線在這點的曲率圓上點可看成是曲線在這點的曲率圓上的點，所以在這點向心力為的點，所以在這點向心力為 2mFRv（R為為 O點的曲率半點的曲率半徑） ，徑） ， 因為因為 020000 xxy, ,20001 y 故曲線在故曲線在 O O 點的曲率點的曲率20001k, ,曲率半徑曲率半徑 R R=2000=2000 m m，所以，所以 N5600N2000)400(702F )56008 . 970(QN N6286 N N 因為飛行員對座椅的壓力和座椅對飛行員的反力因

42、為飛行員對座椅的壓力和座椅對飛行員的反力大小相等，方向相反，所以，飛行員對座椅的壓力為大小相等，方向相反，所以，飛行員對座椅的壓力為62866286 N N. . yPOxQ第46頁/共86頁 1.1. 對圓來說，其半徑與其曲率半徑相等嗎？對圓來說，其半徑與其曲率半徑相等嗎？ 為什么？為什么？ 2.2.是否存在負曲率，為什么？是否存在負曲率，為什么？ 思考題思考題 第47頁/共86頁 一、一、曲線的凹向及其判別法曲線的凹向及其判別法 二、二、拐點及其求法拐點及其求法 三、三、曲線的漸近線曲線的漸近線 四、四、函數(shù)作圖的一般步驟函數(shù)作圖的一般步驟 第48頁/共86頁定義定義 1 1 若在某區(qū)間若

43、在某區(qū)間()a,b內曲線段總位于其上任意內曲線段總位于其上任意一點處切線的上方，則稱曲線段在一點處切線的上方，則稱曲線段在 ()a,b內是向上凹的內是向上凹的（簡稱上凹， 也稱凹的） ； 若曲線段總位于其上任一點處（簡稱上凹， 也稱凹的） ； 若曲線段總位于其上任一點處切線的下方，則稱該曲線段切線的下方，則稱該曲線段),(ba內是向下凹的（簡稱下內是向下凹的（簡稱下凹，也稱凸的） 凹，也稱凸的） 從圖可以看出曲線段從圖可以看出曲線段AB是下凹是下凹的；曲線段的；曲線段 BC是上凹的是上凹的 定理定理 1 1 設函數(shù)設函數(shù) y= =)(xf在開在開區(qū)間區(qū)間()a,b內具有二階導數(shù)內具有二階導數(shù)

44、(1)(1)若在若在()a,b內內0)( xf, ,則曲則曲線線)(xfy 在在),(ba內是向上凹的；內是向上凹的； yOx ABCabc 第49頁/共86頁(2)(2)若在若在),(ba內內0)( xf, ,則曲線則曲線)(xfy 在在),(ba上是上是向下凹的向下凹的. 若把定理若把定理1 1中的區(qū)間改為無窮區(qū)間， 結論仍然成立中的區(qū)間改為無窮區(qū)間， 結論仍然成立 例例 1 1 判定曲線判定曲線xyln的凹向的凹向 解解 函數(shù)函數(shù)xyln的定義域為的定義域為), 0( , , xy1, , 21xy , ,當當0 x時，時，0 y， 故曲線， 故曲線xyln在在), 0( 內內是向下凹的

45、是向下凹的 第50頁/共86頁定義定義 2 2 若連續(xù)曲線若連續(xù)曲線 y= =)(xf上的點上的點 P是曲線向是曲線向上凹與向下凹的分界點，則稱上凹與向下凹的分界點，則稱 P是曲線是曲線)(xfy 的拐的拐點點 由于拐點是曲線凹向的分界點， 所以拐點左右兩側由于拐點是曲線凹向的分界點， 所以拐點左右兩側近旁近旁)(xf 必然異號因此，曲線拐點的橫坐標必然異號因此，曲線拐點的橫坐標 0 x，只可能是使只可能是使0)( xf的點或的點或)(xf 不存在的點從而可不存在的點從而可得求得求),(ba內連續(xù)函數(shù)內連續(xù)函數(shù) y= =)(xf拐點的步驟：拐點的步驟： (1) (1) 先求出先求出)(xf ，

46、找出在，找出在),(ba內使內使0)( xf的點的點和和)(xf 不存在的點；不存在的點； (2) (2) 用上述各點按照從小到大依次將用上述各點按照從小到大依次將),(ba分成小分成小區(qū)間區(qū)間, ,再在每個小區(qū)間上考察再在每個小區(qū)間上考察)(xf 的符號；的符號； 第51頁/共86頁(3) (3) 若若)(xf 在某點在某點 ix兩側近旁異號， 則兩側近旁異號， 則(,()iixf x是曲線是曲線y= =)(xf的拐點，否則不是的拐點，否則不是 例例 2 2 曲線曲線3xy 的定義域為的定義域為),(，畫其草圖，畫其草圖 解解 因為因為3xy 的定義域為的定義域為),(，且且23xy , ,

47、 xy6 , , 令令0 y，得，得0 x 用用0 x將將),(分成兩個分成兩個 小區(qū)間：小區(qū)間：)0 ,( 和和), 0( . . 當當)0 ,(x時，時，0 y, , 曲線曲線3xy 下凹下凹 當當), 0( x時，時，0 y, , 曲線曲線3xy 上凹上凹 所以，點所以，點)0 , 0(為曲線為曲線3xy 的拐點的拐點 yxO11-1-1第52頁/共86頁定義定義 3 3 若曲線若曲線C上動點上動點 P沿著曲線無限地遠離沿著曲線無限地遠離原點時，點原點時，點 P與某一固定直線與某一固定直線 L的距離趨于零，的距離趨于零， 則稱直線則稱直線 L為曲線為曲線 C的漸的漸近近線線 1 1斜漸斜

48、漸近近線線 定理定理 2 2 若若)(xf滿足：滿足： (1) (1) kxxfx)(lim; ; (2) (2) bkxxfx)(lim, , 則曲線則曲線y= =)(xf有斜漸有斜漸近近線線bkxy yOxCMNPLay kx b( )yf x第53頁/共86頁例例 3 3 求曲線求曲線3223xxxy的漸的漸近近線線 解解 令令32)(23xxxxf, ,因為因為 132lim)(lim22xxxxxfkxx, 2)32(lim)(lim23xxxxkxxfbxx, 故得曲線的漸故得曲線的漸近近線方程為線方程為2 xy 第54頁/共86頁2 2鉛直漸鉛直漸近近線線 定義定義 4 4 若

49、當若 當Cx 時（有時僅當時（有時僅當Cx或或Cx） ，） ，)(xf則稱直線則稱直線Cx 為曲線為曲線)(xfy 的鉛的鉛直漸近線（也叫垂直漸近線） （其中直漸近線（也叫垂直漸近線） （其中 C為常數(shù)） 為常數(shù)） 所以當所以當3x和和1x時時 ，有，有y，所以曲線，所以曲線3223xxxy有兩條鉛直漸近線有兩條鉛直漸近線3x和和1x 例例 ) 1)(3(32323xxxxxxy， 第55頁/共86頁例例 當當x時，有時，有2e0 x, ,所以所以0y為曲線為曲線2exy的水平漸近線的水平漸近線. . y O x 3 3水平漸水平漸近近線線 定義定義 5 5 若當若當x時，時，Cxf)(則稱曲

50、線則稱曲線)(xfy 有水平漸近線有水平漸近線Cy . . 第56頁/共86頁(1) (1) 確定函數(shù)的定義域及值域；確定函數(shù)的定義域及值域； (2) (2) 考察函數(shù)的周期性與奇偶性；考察函數(shù)的周期性與奇偶性； (3)(3) 確定函數(shù)的單增、單減區(qū)間、極值點、凹確定函數(shù)的單增、單減區(qū)間、極值點、凹凸區(qū)間及其拐點；凸區(qū)間及其拐點； (4) (4) 考察漸近線；考察漸近線； (5) (5) 考察與坐標軸的交點考察與坐標軸的交點 最后，根據(jù)上面幾方面的討論畫出函數(shù)的圖最后，根據(jù)上面幾方面的討論畫出函數(shù)的圖像像 第57頁/共86頁例例 4 4 描繪函數(shù)描繪函數(shù)xyx1e的圖的圖像像 解解 函數(shù)函數(shù)x

51、xfy1e)(x的定義域為的定義域為1x的全的全體實數(shù)，且當體實數(shù)，且當1x時，有時，有0)(xf，即，即1x時，圖時，圖像像在在x軸下方，當軸下方，當1x時，有時，有0)(xf, ,即即1x時，時，圖圖像像在在x軸上方軸上方 由于由于)(lim1xfx，所以，所以1x為曲線為曲線)(xfy 的的鉛直漸鉛直漸近近線線 又因為又因為01elimxxx，所以，所以，0y為該曲線的水為該曲線的水平漸平漸近近線線 第58頁/共86頁因為因為 2)1 (exxyx, , 32)1 () 1(exxyx ， 令令0 y, ,得得, 0 x又又1x時，時，y 不存在不存在 用用0 x, ,1x將定義區(qū)間分開

52、， 并進行討論如將定義區(qū)間分開， 并進行討論如下：下： x (,1) (1,0) 0 (0,+) y + y + + y 極小值 注注：符符號號 表表示示曲曲線線單單減減且且下下凹凹； 表表示示單單增增且且上上凹凹，其其余余類類推推 第59頁/共86頁極極小小值值0e(0)11 0f. .根根據(jù)據(jù)如如上上討討論論，畫畫出出圖圖像像 y O x 1 2 1 2 -1 第60頁/共86頁例例 5 5 描繪函數(shù)描繪函數(shù)xxxfln)(的圖的圖像像 （2 2） 漸漸近近線線 因為因為)(lim0 xfx，所以，所以0 x為鉛直漸為鉛直漸近近線線 又因為又因為0lnlimxxx，所以，所以y=0=0 為

53、水平漸為水平漸近近線；線； （3 3） 因為因為2/32ln2xxy，2/548ln3xxy 所以所以，令令0 y得得2ex389. 7令令0 y得得 38ex39.14; ; 解解 （1 1）定義域）定義域), 0( ； 第61頁/共86頁（4 4） 列表討論：列表討論： x (0,e2) e2 (e2,e8/3) e8/3 (e8/3,+) y + y + y 極大值極大值 2e 拐點拐點48/338(e, e)3 第62頁/共86頁y O x 1 e2 e8/3 (5)(5) 令令ln0 xx，得，得 x=1=1 為曲線與為曲線與 x 軸交點的橫軸交點的橫坐標坐標 (6) (6) 根據(jù)上

54、述討論畫出曲線根據(jù)上述討論畫出曲線 第63頁/共86頁1 1 若 若)(,(00 xfx為連續(xù)曲線弧為連續(xù)曲線弧)(xfy 的拐點， 問：的拐點， 問： (1) (1) )(0 xf有無可能為有無可能為)(xf的極值，為什么？的極值，為什么？ (2) (2) )(0 xf 是否一定存在？為什么？畫圖說明是否一定存在？為什么？畫圖說明 2. 2. 根據(jù)下列條件，畫曲線：根據(jù)下列條件，畫曲線： (1) (1) 畫出一條曲線，使得它的一階和二階導數(shù)處畫出一條曲線，使得它的一階和二階導數(shù)處處為正；處為正； (2) (2) 畫出一條曲線，使得它的二階導數(shù)處處為負，畫出一條曲線，使得它的二階導數(shù)處處為負，

55、但一階導數(shù)處處為正；但一階導數(shù)處處為正； (3) (3) 畫出一條曲線，使得它的二階導數(shù)處處為正，畫出一條曲線，使得它的二階導數(shù)處處為正，但一階導數(shù)處處為負；但一階導數(shù)處處為負； (4) (4) 畫出一條曲線，使得它的一階和二階導數(shù)處畫出一條曲線，使得它的一階和二階導數(shù)處處為負處為負 思考題思考題 第64頁/共86頁 一、一、成本函數(shù)與收入函數(shù)成本函數(shù)與收入函數(shù) 二、二、邊際分析邊際分析 三、三、彈性與彈性分析彈性與彈性分析第65頁/共86頁一個企業(yè)的經(jīng)營效益取決于該企業(yè)的成本支出、收一個企業(yè)的經(jīng)營效益取決于該企業(yè)的成本支出、收 入以及二者關于產(chǎn)量變化率等因素本節(jié)重點研究導數(shù)入以及二者關于產(chǎn)量

56、變化率等因素本節(jié)重點研究導數(shù) 應用于成本函數(shù)和收入函數(shù)應用于成本函數(shù)和收入函數(shù) 成本函數(shù)成本函數(shù)( )C q給出了生產(chǎn)給出了生產(chǎn)數(shù)量為數(shù)量為 q的某種產(chǎn)品的總的某種產(chǎn)品的總成本成本 )(qC是單增函數(shù)是單增函數(shù). .對一些產(chǎn)對一些產(chǎn)品來說，如汽車或電視機等，產(chǎn)品來說，如汽車或電視機等，產(chǎn)量量q只能是整數(shù)，所以只能是整數(shù)，所以)(qCC 的圖像由彼此孤立的點組成 （右的圖像由彼此孤立的點組成 （右圖一） ；對糖、煤等產(chǎn)品來說，圖一） ；對糖、煤等產(chǎn)品來說，產(chǎn)量產(chǎn)量q可以連續(xù)變化，所以可以連續(xù)變化，所以)(qCC 的圖像可能是一條連的圖像可能是一條連續(xù)曲線（右圖二） 續(xù)曲線（右圖二） O C q

57、圖二 O C q 圖一 第66頁/共86頁總假定成本函數(shù)總假定成本函數(shù))(qCC 對一切非負實數(shù)有意義對一切非負實數(shù)有意義 由于任何企業(yè)在正式生產(chǎn)之前，都要先期投入，即企由于任何企業(yè)在正式生產(chǎn)之前，都要先期投入，即企業(yè)的產(chǎn)量業(yè)的產(chǎn)量0q時，成本時，成本0)0(CC一般不為零，通常成為固一般不為零，通常成為固定成本，幾何上，固定成本定成本，幾何上，固定成本 C0 0就是成本函數(shù)曲線在就是成本函數(shù)曲線在 C 軸上軸上的截距的截距 一般來說，成本函數(shù)最初一段時間增長速度很快，然一般來說，成本函數(shù)最初一段時間增長速度很快，然后逐漸慢下來（即成本函數(shù)后逐漸慢下來（即成本函數(shù))(qCC 的曲線的斜率由大到

58、的曲線的斜率由大到小變化，曲線下凹） ，因為生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量較大時要比數(shù)量小變化，曲線下凹） ，因為生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量較大時要比數(shù)量較小時的效率高較小時的效率高這稱為經(jīng)濟規(guī)模 當產(chǎn)品保持較高水這稱為經(jīng)濟規(guī)模 當產(chǎn)品保持較高水平時， 隨著資源的逐漸匱乏， 成本函數(shù)再次開始較快增長，平時， 隨著資源的逐漸匱乏， 成本函數(shù)再次開始較快增長，當不得不更新廠房等設備時，成本函數(shù)就會急速增長因當不得不更新廠房等設備時，成本函數(shù)就會急速增長因此，曲線此，曲線)(qCC 開始時是下凹的，后來是上凹的（如上開始時是下凹的，后來是上凹的（如上頁頁圖圖二二） ） 第67頁/共86頁 收入函數(shù)收入函數(shù))(qR表示企業(yè)售出數(shù)量為

59、表示企業(yè)售出數(shù)量為 q的某種產(chǎn)品所的某種產(chǎn)品所 獲得的總收入由于售出量獲得的總收入由于售出量 q 越多，收入越多，收入)(qR越大，所越大，所 以以)(qR是單增函數(shù)是單增函數(shù). . 如果價格如果價格p是常數(shù)是常數(shù), ,那么那么 qpR ,數(shù)量價格收入 且且R的圖像是通過原點的圖像是通過原點的直線（圖一） ，實際上，當?shù)闹本€（圖一） ，實際上，當產(chǎn)量產(chǎn)量q的值增大時， 產(chǎn)品可能的值增大時， 產(chǎn)品可能充斥市場，從而造成價格下充斥市場，從而造成價格下落，落，R的圖像如圖二的圖像如圖二 作出決策?？紤]到利潤作出決策?？紤]到利潤 L, , 成本收入利潤, ,即即CRL. . O R q 圖一 O R

60、q 圖二 第68頁/共86頁例例 1 1 如果成本函數(shù)如果成本函數(shù))(qC及收入函數(shù)及收入函數(shù))(qR由下圖給由下圖給 出，問出，問q的值多大時，企業(yè)可獲得利潤的值多大時，企業(yè)可獲得利潤 ？ 解解 只有當收入大于只有當收入大于成本時，即成本時，即 R C 時，企業(yè)時，企業(yè)才可以獲得利潤 由右圖可才可以獲得利潤 由右圖可知， 當知， 當200100 q時，時，R的的圖像位于圖像位于C的圖象之上，因的圖象之上，因此產(chǎn)量介于此產(chǎn)量介于100和和200之間，之間，可獲得利潤可獲得利潤 C O R q C R 100 200 第69頁/共86頁邊際概念是經(jīng)濟學中的重要概念，通常指經(jīng)濟變化邊際概念是經(jīng)濟學