3-4 向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)

1、上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回11節(jié)向量空間的基、維數(shù)節(jié)向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)與坐標(biāo)一向量空間一向量空間二向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)二向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)三基變換與坐標(biāo)變換三基變換與坐標(biāo)變換四小結(jié)四小結(jié)上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回2說(shuō)明說(shuō)明.,VRV 則則若若;,VVV 則則若若一、向量空間一、向量空間定義定義3.18 3.18 設(shè)設(shè) 是非空是非空 維向量的集合，若維向量的集合，若 對(duì)于對(duì)于向量的加法及向量乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，則稱向量的加法及向量乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，則稱 為一為一個(gè)個(gè)向量空間向量空間nVVV集合集合 對(duì)于加法及乘數(shù)兩種對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉是運(yùn)算封閉是指指V上一頁(yè)

2、上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回33 3 ,.R維維向向量量的的全全體體是是一一個(gè)個(gè)向向量量空空間間例例1 13 33,33. R因因?yàn)闉槿稳我庖鈨蓛蓚€(gè)個(gè) 維維向向量量之之和和仍仍然然是是 維維向向量量 數(shù)數(shù)乘乘 維維向向量量仍仍然然是是 維維向向量量，它它們們都都屬屬于于.nnR類類似似地地， 維維向向量量的的全全體體，也也是是一一個(gè)個(gè)向向量量空空間間上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回4例例2 2 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間.T1220,nnVxxxxxR解解.V 是向量空間是向量空間1的任意兩個(gè)元素的任意兩個(gè)元素因?yàn)閷?duì)于因?yàn)閷?duì)于1V TT220,0,nnaabb ,V

3、1 T221 0,nnababV 有有T210,.naaV 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回5例例3 3 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間.T2221,nnVxxxxxR解解T2222,2,2.naaV 則則.V 不是向量空間不是向量空間2T221,naaV 因因?yàn)闉槿羧魧?duì)數(shù)乘不封閉，同樣可證對(duì)加法也不封閉對(duì)數(shù)乘不封閉，同樣可證對(duì)加法也不封閉. .上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回6那末，向量組那末，向量組 就稱為向量空間的就稱為向量空間的r, 21V一組基一組基， 稱為向量空間稱為向量空間 的的維數(shù)維數(shù)，并稱，并稱 為為 維維向量空間向量空間VrVr二、向量空間的基、維

4、數(shù)與坐標(biāo)二、向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)定義定義3.193.19 設(shè)設(shè) 是向量空間，如果是向量空間，如果 個(gè)向量個(gè)向量 且滿足且滿足r,21 V,rV （1） 線性無(wú)關(guān)；線性無(wú)關(guān)；12,r 12,r （2） 中任一向量都可由中任一向量都可由 線性表示線性表示.V上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回711221,rrrVx R （1）只含有零向量的向量空間稱為）只含有零向量的向量空間稱為0維向量維向量空間，因此它沒(méi)有基空間，因此它沒(méi)有基說(shuō)明說(shuō)明 （3）若向量組）若向量組 是向量空間是向量空間 的一的一個(gè)基，則個(gè)基，則 可表示為可表示為r, 21VV （2）若把向量空間）若把向量空間 看作向量組，那末看

5、作向量組，那末 的基的基就是向量組的極大無(wú)關(guān)組就是向量組的極大無(wú)關(guān)組, 的維數(shù)就是向量組的的維數(shù)就是向量組的秩秩.VVV上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回8 若若 是向量空間是向量空間 的一組基，的一組基，12,r V,V 12,rx xx則對(duì)則對(duì) 存在唯一一組有序數(shù)存在唯一一組有序數(shù) 使得使得rrxxx 1122， 稱為向量稱為向量 在基在基 下的下的坐標(biāo)坐標(biāo) 12,rx xx 12,r rxxx 12(,).記為記為上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回9 特別，若特別，若 是向量空間是向量空間 的一組基，的一組基，12,r V且為單位向量，稱且為單位向量，稱 為為V 的一組的一組規(guī)范基規(guī)范基

6、 .12,r r 12,且且 兩兩正交，則稱兩兩正交，則稱 12,r 為為V 的一組的一組正交基正交基；若；若 兩兩正交兩兩正交 12,r 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回10 空間的一組規(guī)范基為空間的一組規(guī)范基為nR12(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)n,向量向量 在此規(guī)范基下的坐標(biāo)為在此規(guī)范基下的坐標(biāo)為12(,.,)na aa 12().na ,a ,.,a1 122.nna a a 因?yàn)橐驗(yàn)樯弦豁?yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回11例例 4 設(shè)設(shè) 123(1, 1,1),(1,2,0),(1,0,3),4(2, 3,7), 證明證明123, 是是 的一組基的一組基3R 并求并求

7、關(guān)于基關(guān)于基 的坐標(biāo)的坐標(biāo).4 123:,B 解解A TTTT1234(,)111212031037 521011302111 1470052102111上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回12所以所以41231( 1)2 因此因此4 在基在基123:,B 下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為B 4()(1, 1,2). 210010101001210052102111A由行階梯矩陣知由行階梯矩陣知()3,r A 且且123, 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān),知其為知其為 的一組基的一組基, 進(jìn)一步將進(jìn)一步將A變成變成行行最簡(jiǎn)形：最簡(jiǎn)形：3R上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回13 , a bn設(shè)設(shè)為為兩兩個(gè)個(gè)已已知知的的 維

8、維向向量量，集集合合例例5 5,Vxab R試判斷集合試判斷集合V是否為向量空間是否為向量空間.111 .,Vxab 是是一一個(gè)個(gè)向向量量空空間間 因因?yàn)闉槿羧艚饨猓琤ax222 則則有有,)()(212121Vbaxx .)()(111Vbkakkx ,.a b這這個(gè)個(gè)向向量量所所生生成成的的空空間間稱稱為為由由量量向向量量空空間間向向上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回141 12 212,m mmVxaaa R12 n,ma aa設(shè)設(shè)有有 維維向向量量，則則它它們們的的一一切切線線性性組組合合所所成成的的集集合合一般有一般有1212,mma aaL a aa稱稱為為由由向向量量所所生生成成

9、的的向向量量空空間間，記記為為即即121 12 212, ,| ,mm mmL a aax xaaa R1212,mma aaLa aaL向向量量組組的的極極大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組即即為為的的基基；的的秩秩即即為為的的維維數(shù)數(shù). .上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回15三、基變換與坐標(biāo)變換三、基變換與坐標(biāo)變換 由基的定義可知向量空間中的基不唯一，由基的定義可知向量空間中的基不唯一，由基的變化，相應(yīng)的引起同一向量坐標(biāo)的變化由基的變化，相應(yīng)的引起同一向量坐標(biāo)的變化. .nnnnnnnnnnep ep ep eep ep ep eep ep ep e111 12121212 122221122,. 兩組兩

10、組基的基的變換變換公式公式表示表示的兩組基，則后一組基可由前一組基唯一線性的兩組基，則后一組基可由前一組基唯一線性設(shè)設(shè)12,ne ee12,neee與與是是 維向量空間維向量空間n上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回16其矩陣形式為其矩陣形式為：12,ne ee由基由基到基到基12,ne ee的的過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣P前面已經(jīng)提到：對(duì)于同一向量，基的不同，可能前面已經(jīng)提到：對(duì)于同一向量，基的不同，可能引起坐標(biāo)的變化，那么它們會(huì)怎樣變化呢？引起坐標(biāo)的變化，那么它們會(huì)怎樣變化呢？1112121222121212(,)(,)nnnnnnnnpppppppeeepee ep （1）P稱為稱為 上一頁(yè)上一頁(yè)下

11、一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回17設(shè)向量設(shè)向量 在上述兩組基下的坐標(biāo)分別為在上述兩組基下的坐標(biāo)分別為12(,)nx xx 12(,),nx xx和和即即1 1221 122nnnnx ex ex ex ex ex e 1212(,)nnxxe eex 1212(,)nnxxe eex 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回18將將（1）式代入上面方程得式代入上面方程得1212(,)nnxxxe ee 1112112122221122(,)nnnnnnnnpppxpppxppeepxe 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回19所以有所以有1122nnxxxxPxx 或或11221nnxxxxPxx （2）上式就

12、是在兩組基下的上式就是在兩組基下的坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式.上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回20例例6 設(shè)設(shè) 中的兩組基中的兩組基： T1T2T3T4(1,2, 1,0)(1, 1,1,1)(1)( 1,2,1,1)( 1, 1,0,1)，； T1T2T3T4(2,1,0,1)(0,1,2,2)(2)( 2,1,1,2)(1,3,1,2) .，4R 求基求基（1）到基到基（2）的過(guò)渡矩陣，并求坐標(biāo)的過(guò)渡矩陣，并求坐標(biāo)變換公式變換公式. .解解 取取 中的第三組基為規(guī)范基中的第三組基為規(guī)范基4R1234, 則有則有上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回2112341234(,)(,)A 12341234(,)(,)B 其中其中11112121;11100111A 20211113;02111222B 由由112341234(,)(,)A 112341234(,)(,)A B 有有上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回22所以過(guò)渡矩陣所以過(guò)渡矩陣 .通過(guò)計(jì)算可得通過(guò)計(jì)算可得:1PA B 1001110101110010P 所以所以10111110000011111P 上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)返返 回回23若若 在基（在基（1）下的坐標(biāo)為）下的坐標(biāo)為 ，在，在基（基（2）下的坐標(biāo)為）下的坐標(biāo)為 ，則由坐標(biāo)變，則由坐標(biāo)變換公式