2022年高考數(shù)學大復(fù)習小題課時練37 雙曲線 解析版

1、翼時37雙曲線(基礎(chǔ)題) 一、單選題1. (2019上海寶山高三二模)已知雙曲線£-3=1(>0,6>0)的右焦點為尸(c,0),直線y = k(xc)與 雙曲線的右支有兩個交點，則A. | >B, 11 <C.網(wǎng)>£D. 11 <aciaa【答案】A【分析】求得雙曲線的漸近線方程，結(jié)合圖象可得直線的斜率k的范圍.“2 Jh【詳解】解：雙曲線一卓=1(。>0,6>0)的漸近線方程為y = ±：x,直線經(jīng)過焦點y = k(xc)，/(c,0)，當火>0時，可得出>2, a當A<0時，k<-, a

2、故 ki，, a故選A.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運用，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于基礎(chǔ)題.222. (2021上海普陀高三二模)設(shè)7Vm<16,則雙曲線一 +二一=1的焦點坐標是()16 加 7 mA. (±4,0)B. (±3,0)C. (0,±5)D. (0,±4)【答案】B【分析】確定雙曲線的焦點位置，求出c的值，即可得出雙曲線的焦點坐標.【詳解】.-7</«<16,則16m>0, 7-m<0,所以，雙曲線的標準方程為一工=1,16-m m-1所以該雙曲線的焦點在x軸上，且c=16

3、-,，b2 =m-l 則c =+從=3，因此該雙曲線的焦點坐標為（±3,0）.故選：B.3. （2021上海高三專題練習）過雙曲線的右頂點作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于點A, a b若以C的右焦點為圓心，以2為半徑的圓經(jīng)過A、。兩點（。為坐標原點），則雙曲線C的方程為（）A. - - V2 = 13C / 22B. /-工=13D 一1126【答案】B【分析】尸0 = 2,故c = 2,不妨設(shè)漸近線方程為y = 3,則A（a,b）,根據(jù)AF = 2, UWJ到答案. a【詳解】連接AF, FO = 2,故c = 2,不妨設(shè)漸近線方程為y = x,則A（«b）.故22=從

4、+（2a）解得a = 1,6 = G，故雙曲線方程為乂2-f=1二、填空題4. （ 2017上海虹口高三二模）已知雙曲線W -4=l（a 0），它的漸近線方程是y = ±2x,則。的值為 CT【答案】2【詳解】因為雙曲線Y -4 = 1（。 0）,它的漸近線方程是y=±2， a所以可得丫=土辦二垃工二白二？.5. （2018上海高三一模）雙曲線V-y2=的焦距為【答案】2旨 【解析】由雙曲線的方程可得：a2=b2=,則,2="+從=2, 雙曲線的焦距為2c = 20 .6. （2019上海普陀高三二模）雙曲線C：q-E = l的頂點到其漸近線的距離為16 912【

5、答案】y 【分析】先由雙曲線方程得到其頂點坐標，與漸近線方程，再由點到直線距離，即可求出結(jié)果.無？ /b 3【詳解】因為雙曲線C囁-$1的頂點為（±4。），漸近線方程為：f產(chǎn)|3x4|12V32 + 42 5即 3x±4y = 0,因此頂點到漸近線的距離為:12故答案為三 【點睛】本題主要考杳雙曲線頂點到漸近線的距離，熟記雙曲線的性質(zhì)，以及點到宜線距離公式即可，屬 于基礎(chǔ)題型.7. （2020上海奉賢高三一模）若雙曲線的漸近線方程為y = ±3x,它的焦距為2加，則該雙曲線的標準方程為.【答案/-£ = ±19【分析】根據(jù)雙曲線的焦點的位置，分

6、類討論求出雙曲線的標準方程.【詳解】雙曲線的焦距為2加，所以c = W.當雙曲線的焦點在橫軸時，因為雙曲線的漸近線方程為y = ±3x,所以2 = 3 = 6 = 3。, a又因為c2=/+，所以解得。2=1方=9,所以雙曲線方程為：x2- = l；當雙曲線的焦點在縱軸時，因為雙曲線的漸近線方程為y = ±3x,所以= = 3 =。= 3, b又因為。2=/+從，所以解得/=9,6=1,所以雙曲線方程為：-x2=l,因此該雙曲線的標準方程為/=±1 .9故答案為：x2 = ±19【點睛】本題考查了雙曲線方程的求法，考查了雙曲線漸近線方程，考查了分類討論思

7、想，考查了數(shù)學運 算能力.8. （2020上海高三二模）已知雙曲線C： £_與=1 （4>0,人>0）的實軸與虛軸長度相等，則C： 0-與=1 ar ha' b（a>0, b>0）的漸近線方程是.【答案】y=【分析】根據(jù)實軸與虛軸的定義可得”=力，根據(jù)雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意得2« = %，即a = 6,/h所以C：當=1 （a>0,力>0）的漸近線方程是丫 = ±%=±*. a- bza故答案為：y=±x【點睛】本題考查了雙曲線的實軸，虛軸，漸近線，屬于基礎(chǔ)題.9. （2020上海

8、市建平中學高三模擬預(yù)測）橢圓合+ / = 1作>0）與雙曲線有公共的焦點，則。=【答案】4【分析】本題利用焦點相同，建立等量關(guān)系，即可求解【詳解】由題意得兩條曲線的/值相等，回25=8+1,求得從=16，又因為b>0,則6 = 4.故答案為：b = 4.【點晴】本題考查了橢圓和雙曲線的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10. （2019上海高三模擬預(yù)測）已知雙曲線x2 y2in+ 2 ？ +1=1的離心率為五，則萬=2【答案】2或-522【解析】雙曲線=1,當焦點在x軸時，a2=m+2, b2=m+l,m + 2 zn + 1可得c2=a2+b2=3+2m,雙曲線上E_ = i的離心率為也，所

9、以2±也=2,機=2 m+2 機+12m+2 4一3 一 2/ 7當焦點在 y 軸時,a2=-m-l, b2=-m-2, nT c2=a2+b2=-3-2m,所以=/. m = -5-m-4故答案為2或5.點睛：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，因為沒有指出焦點在哪個軸上，所以討論兩種 情況，要抓住雙曲線方程的特征得出/，/，c?即可得解 2211 .（2021上海嘉定高三二模）已知點4 8分別是雙曲線C：，母=1（。>0/>0）的左、右頂點， 點P是雙曲線C上異于4 8的另外一點，且M8P是頂角為120。的等腰三角形，則該雙曲線 的漸近線方程為.答案】x&#

10、177;y=O【詳解】如圖所示，過點P作戶CHx軸，因為|A8| = |PB| =2% P8C=60",所以18cl=a, yP= |PC| = >/3 a,點P（2a,百a），將P代入=1中得。=b,所以其漸近線方程為x土y=0.a' b12 . （2019上海楊浦高三一模）已知雙曲線Y-y2 = i,則其兩條漸近線的夾角為.【答案】g 2【分析】先計算漸進線為丫=±九計算其傾斜角，得到答案.【詳解】雙曲線W-y2=l的漸近線為：y = ±x,對應(yīng)傾斜角為若，故漸近線夾角為g4 42jr故答案為：【點睛】本題考查了漸近線夾角，屬于簡單題型.13.

11、（2018上海閔行高三一模）已知耳工分別是雙曲線A-力 = l（a>0">0）的左右焦點，過K且傾斜 a b角為30的直線交雙曲線的右支于尸，若則該雙曲線的漸近線方程是.【答案】y = ±/2x【分析】設(shè)|PFi| =m, PF2=n, FiF2=2ct由雙曲線的定義和直角：角形中的性質(zhì)，可得m,門的關(guān)系,由Q, b, C的關(guān)系可得b,再由雙曲線的漸近線方程即可得到所求.【詳解】解：設(shè)|P&|=m, |PF2|=c, |FiF2|=2c,在直角由PF1F2中，團PFiF2=30°,可得m=2。，則 m - n = 2a=n, 即 a = n,2

12、2c=yjn, HP c=-n,2b = yjc2 - a2 =n,2可得雙曲線的漸近線方程為y=1-x,a即為y;土&x,故答案為：y=土舊.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用雙曲線的定義和解宜角三角形，考查運算能力, 屬于中檔題.14. (2017上海浦東新高三一模)過雙曲線C:；-上=1的右焦點F作一條垂直于x軸的垂線交雙曲線C a' 4的兩條漸近線于A、8兩點，。為坐標原點，則aOA8的面積的最小值為.【答案】8【分析】求得雙曲線的b, c,求得雙曲線的漸近線方程，將x=c代入雙曲線的漸近線方程，可得A, 8的坐標，求得回。48的面積，運用基本不等式可得

13、最小值.【詳解】解：雙曲線C：4-工=1的b=2, /=/+4, (a>0), a 42設(shè)F(c, 0),雙曲線的漸近線方程為y=±-x, a由x=c代入可得交點A (c, ) , B (c, aa即W0O4B的面枳為5 = g c竺2 a當且僅當。=2時，回OA8的面積取得最小值8.故答案為：8.【點睛】本題考杳雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運用，考查三角形的面積的最值求法，注意 運用基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題.2215. (2017上海青浦高三二模)已知雙曲線金-h'=1(。>0)的一條漸近線方程為y = 2x,則。=cr (a + 3y【答

14、案】3b h【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程可判斷焦點在X軸上，則漸近線方程為y = ±x,即± = 2,故可得。+3 =。=勿, a a求解即可【詳解】因為漸近線方程為y = 2x,且焦點在x軸上，所以2 = 2,即人= 2a,a 因為a>0,所以。+ 3>0,則 a + 3 = b = 2a,所以。=3故答案為：3【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的應(yīng)用，考查雙曲線的幾何性質(zhì)16. （2017上海高三模擬預(yù)測）若耳、尸2是雙曲線1-/=的兩個焦點，點*8,%）在雙曲線上，則 的面積為_.【答案】5石 【分析】求出焦點坐標，把網(wǎng)8,先）點坐標代入雙曲線方程求出力,

15、由面積公式計算三角形面積.【詳解】根據(jù)題意，雙曲線的方程為：y2 = ,4其焦點在光軸上，且。="訐=6， 則其焦點坐標為（土石,0），則田段=20，q2又由點P（&%）在雙曲線上,則有-y（j=l,解可得% = ±715 ,故4尸K的面積S = gx|%|x|耳周=56 ,故答案為：55/3 .【點睛】本題考查雙曲線中焦點三角形面積，求出焦距和雙曲線上點的縱坐標，利用二角形面積公式計算.17. （2020上海金山高三二模）已知雙曲線->2=1（“>0）的一條漸近線方程為2x-y = 0,則實數(shù)a = a【答案】3【分析】由雙曲線的性質(zhì)結(jié)合題意可得1=2

16、,即可得解.a【詳解】雙曲線5一V = 1（。>0）的一條漸近線方程為2x-y = 0, a' = 2 即 a = La2故答案為：g.【點睛】本題考查了雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18. （2020上海高三模擬預(yù)測）已知雙曲線三-=1的一個焦點的（5,0）,其中一條漸近線為/,過耳作 m 16耳A _L /交/于A ,則A到原點距離是.【答案】3【分析】利用雙曲線的方程及焦點坐標得出加=9,則可寫出漸近線/的方程，然后根據(jù)題H條件利用幾何 法解出,QA到原點的距離.【詳解】443設(shè)漸近線/：y=§x，則 tan?AO6 所以cos?AO/=又因為

17、|。4=5,故|Q4|=5cos?AO£ 3.故答案為：3.【點睛】本題考查雙曲線的標準方程及漸近線的應(yīng)用，較簡單.解答時，注意數(shù)形結(jié)合，利用幾何法求解.19. （2018上海浦東新華師大二附中高三三模）如果雙曲線£-.=1的焦點在）軸上，焦距為8,則實 3 m m數(shù)吁【答案】-4【分析】先化為標準式，再由焦距為8,列出m方程，即可得到結(jié)論. 2222【詳解】由題意，雙曲線工-匕=1的焦點在y軸上，則2-=1,半焦距為4,則-m-3m=16, 3m mm 3m0/n= - 4.故答案為-4.【點睛】本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.20. （2017長

18、寧上海市延安中學高三三模）如圖，在矩形A5CQ中，AB = 2, BC = 5,以A、8為焦點的雙曲線M：=1恰好過C、。兩點，則雙曲線M的標準方程為【答案】-=1 16 20a2+b2 =6? =36b2，解得:a2 =16從=20【分析】根據(jù)焦點坐標和半通彳仝長可構(gòu)造方程組求得標,尸，進而得到所求標準方程.【詳解】設(shè)雙曲線m標準方程為：4-4=1 a b雙曲線”標準方程為占-匕16 20f v2故答案為：=116 20【點睛】本題考查雙曲線標準方程的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.21. （2020上海崇明高三一模）若雙曲線的一個頂點坐標為（3,0）,焦距為10,則它的標準方程為.【答案】- = 1

19、9 16【分析】根據(jù)頂點坐標求得。，根據(jù)焦距求得c,進而根據(jù)b2 = c2-a2求得b,進而求得雙曲線的標準方程.【詳解】依題意可知。=3,c = 5回力=,25-9=4 根據(jù)頂點坐標可知焦點在*軸,E雙曲線的方程為看-反=1. 9 16故答案為：- = 1 9 16【點睛】本題考查了由。，瓦c求雙曲線的標準方程,需熟記/=/+，屬于基礎(chǔ)題.22. （2021上海高三專題練習）設(shè)尸為雙曲線-親 = 1（%>0）的右焦點，。為坐標原點，P、Q是以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線漸近線的兩個交點.若歸。=|。尸|,則6 =【答案】1【分析】由已知得出點坐標，代入漸近線方程即可.【詳解】由已知|改=|。

20、目可得pd，W),又點。在漸近線尸也上，；，.；na = 6 2 2a2 a 2又a = l , ：.b = 三、解答題23. (2019上海黃浦高三二模)已知雙曲線C:x2-, = l(b>0).(1)若雙曲線C的一條漸近線方程為y = 2x,求雙曲線C的標準方程；(2)設(shè)雙曲線C的左、右焦點分別為用用，點尸在雙曲線C上，若且APKF的面積為9,求b 的值.【答案】(1)4-£ = 1；(2) b = 34【分析】(1)由雙曲線C:x2_ = ie>o)的漸近線為y=土法，而它的一條漸近線為y = 2x,所以b = 2, b從而可得雙曲線的標準方程：(2)由喈，明，且A

21、/岑瑪?shù)拿娣e為9,可得|P£|,|P段= 18,由雙曲線的定義可知歸用一|刷= 2a = 2,兩邊平方，再結(jié)合勾股定理和c2 = a2+b2可求出b的值.【詳解】(1)因為雙曲線C:x2-，= i(/,>0)的漸近線為y=±法，而它的一條漸近線為y = 2x,所以b = 2,所以雙曲線的標準方程為/-$ = 1,4(2)因為防，尸鳥，所以.閥|.|尸閭，因為AP耳瑪?shù)拿娣e為9,所以|即|.忸閭=18,又因為仍用一|尸曰= 2a = 2,所以附-2|叫.|尸號+|尸用:4,所以戶用2+仍用2=40,又因為|P用，儼用2 =閨用2 =牝2,所以©2=10，所以1

22、 +/=10，所以6 = 3.【點睛】此題考查的是雙曲線的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.24. (2017上海崇明高三一模)已知點小 鳥為雙曲線C:f -g = 1(6>0)的左、右焦點，過工作垂直于x 軸的直線，在x軸的上方交雙曲線C于點M,且NM耳K=30°.求雙曲線C的方程；(2)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、力求所理的值.【答案】x2- = 1;(2) | 29【分析】(1)在直用三角形鳥中，根據(jù)NM£6=30。,可以求出“?河鳥的長,利用雙曲線的定義得到等式, 可以求出c,也就能求出最后寫出雙曲線的方程即可.確定雙曲線的漸近線方程，設(shè)

23、出點P的坐標，根據(jù)點到直線距離可以求出珞熙|的長，利用平面向量數(shù)量 積的定義，兩條漸近線的夾角，最后求記國下月的值.【詳解】 在立角三角形叫人中，因為NM尸石=30°，所以有tan NM46=若,cosNM"尸?=若 =由雙曲線的定義可知： “瑪-加耳=2 = 2=>3&-|>/50 = 2 =，=百,© = >/17"'=>62=2，所以雙曲線<的方程是丁-21 = 1.設(shè)2(不，%)是雙曲線C上任意一點，故有2x： - y： = 2兩條漸近線方程為：4 ：VIr-y = 0；/2 ：、&+y =

24、0,設(shè)4 ：、Qx-y = 0的傾斜角為a ,故tana = 0,設(shè)兩條漸近 線在第、四象限夾角為仇所以cos® = cos 2a = 1 二叫 a = 一1，于是有 cos西,= -cos。= L1 +tan2 a 33因為P到雙曲線兩條漸近線的距離為:|V2x,)-y0II+%,閥1= -|缶0一%| |瓜 + %I|2x：-y：| I 2PP, PP. = Jj=_'-i；=L-cos（PP,PP） = J一=-273 G33 9【點睛】本題考杳了雙曲線的定義，考查了平面向量數(shù)量積的運算，考杳了數(shù)學運算能力.技能專題練J（能力題）一、單選題1. （2019上海寶山高三一

25、模）設(shè)點M、N均在雙曲線（7:鳥-m=1上運動，R、6是雙曲線C的左、右 43焦點，則|砥+砥'-2麗|的最小值為（）A. 2后B. 4C. 2y/lD.以上都不對【答案】B【分析】根據(jù)向量的運算，化簡得+ 2MM = 2MM = 2|啊，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】山題意，設(shè)O為TK的中點，根據(jù)向量的運算，可得2MM = |2M。-2MM = 2|叫'乂由N為雙曲線C:-1 = l上的動點，可得|N乖a,所以 防 +“外二2MM = 2岡 2 2a = 4,即,6 + MF；-2MM的最小值為4 .故選：B.【點睛】本題主要考查r向量的運算，以及雙曲線的標準方程及簡單

26、的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中利用 向量的運算，合理化簡，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查r分析問題和解答問題的能 力，屬于中檔試題.222. （2019上海楊浦復(fù)旦附中高三三模）"4>2”是圓錐曲線仁二-二=1的焦距與實數(shù)2無關(guān)的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件【答案】A【分析】將曲線分為橢圓或雙曲線兩類，利用橢圓或雙曲線的性質(zhì)列不等式，由此求得義的取值范圍，進而 判斷出充分、必要條件.【詳解】若圓錐曲線工-工> = 1,即上+工_ = 1為橢圓，則c2=k+5（2-2）| = 7,即焦距與;I無2+5 2-22+

27、5 2-2112 + 5>0關(guān).此時卜-2>0,解得丸>2.義+ 5工/1-2若圓錐曲線上-9=1為雙曲線，則。2=卜+ 5+（2-刈=7,與2無關(guān).此時（2+5）（2-；1）>0,解得 a + 5 2. - A,5 < /I < 2.所以當彳e（-5,2）=（2,田）時，圓錐曲線1-工=1的焦距與實數(shù)2無關(guān).所以">2"是圓錐曲線工-工 =1的焦距與實數(shù)/I無關(guān)的充分不必要條件.2+5 2-2故選A.【點睛】本小題主要考查橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查充分、必要條件 的判斷，屬于中檔題.3. （2019上

28、海松江高三二模）過點（1,0）與雙曲線三-V=l僅有一個公共點的直線有（）4A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條【答案】D【分析】可判斷出點（L0）不在曲線上,依據(jù)其幾何性質(zhì)可判斷切線與平行于漸近線的直線均滿足只有一個公 共點的條件【詳解】山題可知點（1,0）不在雙曲線上，則過該點可作雙曲線的切線有2條，平行漸近線的直線山2條，這4 條直線與雙曲線均只有一個公共點 故選D【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，當過雙曲線外一點作直線與雙曲線只有一個公共點,由兩種情況: （1）直線與雙曲線相切：（2）直線平行于雙曲線的漸近線4. （2019上海市大同中學高三三模）已知雙曲線C： /-亡=1,

29、過點P（L1）作直線/,使/與C有且僅有 一個公共點，則滿足上述條件的直線/共有（A. 1條【答案】DB. 2條C. 3條D. 4條【分析】當直線/斜率不存在時，可得宜線x = l滿足題意；當宜線/斜率存在時，設(shè)為y = A(x-l) + l,與雙曲線方程聯(lián)立：節(jié)所得方程：次項系數(shù)為零時，可求得滿足題意的上力二次項系數(shù)不為零時，利用判別式 等于零可求得 ;綜合上述情況可得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知其頂點坐標為(±1,0)當直線/斜率不存在時，直線/方程為：x = l,滿足與曲線C只有一個公共點當直線/斜率存在時，設(shè)直線/方程為：y-l = Ar(x-l),即：y = (x-l)

30、+ ly = (x-l) + l聯(lián)立2 /,整理可得：(4r+(2/一2%)x卜2-24+5)= 0廣-=1I 4當4-公=0,即人=±2時，此時方程有且僅有一個實數(shù)根直線/:y = ±2(x-l) + l與曲線C有且僅有個公共點5當 4 一公 羊0 時，A =(2Jt2-2%)-+4(4-k2)(42_2% + 5)= 0,解得：k =-直線/ ： y = |(x-1) +1與曲線C行且僅有一個公共點綜上所述：滿足條件的直線/行4條故選：D【點睛】本題考直根據(jù)直線與雙曲線交點個數(shù)求解參數(shù)的問題，易錯點是忽略直線斜率不存在的情況、直 線與雙曲線方程聯(lián)立后未對二次項系數(shù)是否為

31、零進行討論.5. (2020上海普陀高三三模)設(shè)尸為雙曲線事-丫2=1 (a>0)的上一點，/耳尸瑪=：-,(4、外為左、右焦點)，則A6P8的面積等于()A. 6azb.22C.3D.空333【答案】C【分析】先利用雙曲線的定義，得I尸用TPGI=2a,利用余弦定理求出IP6IIPKI的值，結(jié)合:角形的面積 公式即可求出£尸行的面積.【詳解】雙曲線1-/=1(。>0),則力=1a"不妨設(shè)尸是雙曲線的八支上一點,則由雙曲線的定義,得I咫I - I P瑪1= 2a27r貝|JNE尸人=,2乃所以4c2 =PF+PF212 -2|P/=；|-|P/=；|cos= d

32、PFl-PF2 |）2+3|P|-|P|所以4c2=4/+3/耳卜|巴|,即 31P石 | PE |=4/-4/=4從=44所以6 |=§而 Z C1 I DI7 I I DU I _2114G 石'力以=q|PR II P/s |sin = -x-x =故選：C【點睛】本題考查三角形面積的求法，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合余弦定理將條件進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)犍， 解題時要認真審題，注意雙曲線定義、余弦定理的靈活運用，屬于中檔題.6. （2021上海高三專題練習）已知點P為雙曲線0-£ = 1（“>0/>0）右支上一點，點6 ,尸2分別為雙 曲線的左右焦點，點/

33、是鳥的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有Sg-S，叫=S叼3則雙曲線的漸近線方程是（）+一=yAy- c立 2V3一 3± ±- =y y【答案】D【分析】根據(jù)三角形的面積關(guān)系尋求a，c等量關(guān)系，再推導出。涉關(guān)系即可.【詳解】,: SzpF'-S昨=與%6石'11 /是鳥的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則g|P用.r-gPEl.rux/xZcxr ,.|尸/一忸周=&,即2a = JL,b2 c2-a2 1 mb 也r =;-=一，即一=一，a，a23 a3漸近線方程是y = ±故選：D.【點睛】求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析、既

34、使不面出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形, 當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.7.（2022上海高三專題練習）已知小尸2分別是雙曲線E：-烏=1（。>0,6>0）的左、右焦點，且I月61=2, a若P是該雙曲線右支上一點，且滿足口61=2|尸KI,則尸石工面積的最大值是（）45A. 1B. -C. -D. 233【答案】B 【分析】設(shè)|P£l=m，口5l=，NEP工=。，由雙曲線定義得”=勿，根據(jù)2aNc-a = l-a得n2>, 根據(jù)余弦定理和三角形面枳公式得到面積關(guān)T n2的函數(shù)，根據(jù)：次函數(shù)知識可

35、求得結(jié)果.【詳解】設(shè)IP51=，鳥=。，由題意得仙=2, 由雙曲線定義得/一 =勿，團=勿,12.4所以為Nc-a = l 所以所以所以 2之§,由余弦定理得cos。=2nrn5n2 -44n21 /n_4 7Z2 T7 1 In/2 20、2 256 =yj9n +40 - 16=-J9() H,44V99 20 44當2=三時，百巴面積的最大值是 故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)余弦定理和三角形面積公式得到面積關(guān)于2的函數(shù)是解題關(guān)健.二、填空題8. （2021上海高三模擬預(yù)測）己知雙曲線鼻-2=1 （。>。8>0）,過雙曲線上任意一點P分別作斜率為a ba和2的兩條

36、宜線乙和4,設(shè)直線4與X軸、y軸所圍成的三角形的面積為S,直線4與X軸、y軸所圍成的三 a角形的面積為T,則ST的值為.【分析】設(shè)出尸點坐標（小,打）,根據(jù)點斜式方程寫出44的方程，并求出44與坐標軸交點的坐標，從而可求出S,T的值，最后計算并化筒S-T的結(jié)求 【詳解】設(shè)P(玉,%)，所以Z,：y = -：(x-x0) + %,令 x = 0,所以 y = %+組，令 y=。，所以 x = x),+罕，所以 S =1x % + 組| x |x0 + 也= ab24 11b 2ah又/, ：y = 2(x-xj+yo，令x = 0,所以y = %-8，令y=。,所以x = %-華，所以 '

37、; aab故答案為.4【點睛】本題考查雙曲線中的定值問題的計算，難度一般.定值問題的計算步驟：（1）根據(jù)條件列出已知量;（2）表示出待求值，運用雙曲線的方程做變形、化簡，最后得到結(jié)果.9. （2018寶山上海交大附中高三模擬預(yù)測）雙曲線3/%的兩漸近線的夾角大小為.【答案】y:【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得其見解析的方程，利用直線的夾角公式，即可求解.【詳解】山雙曲線3x2-y2=2,可化為二一工=1， 可得雙曲線的兩條漸近線的方程為y = ±6x ,7T設(shè)雙曲線的兩條漸近線夾角為e旦e e o,9,-73/3)1+行（-6）6所以eg即兩條漸近線的傾斜角分別為y .IT故答案為【點

38、睛】本題主要考查了以雙曲線為我體，求解兩直線的夾角，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)，合理 可用直線的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10. （2018上海長寧高三二模）已知函數(shù)/（x）= IglTZTT+or）的定義域為R,則實數(shù)。的取值范圍是故答案為則此雙曲線方程為.【分析】根據(jù)雙曲線的漸進線方程為設(shè)雙曲線曲線焦點公式得到答案【詳解】焦點為（土所,0）（2020上海高三模擬預(yù)測）已知雙曲線與橢圓【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題1有相同的焦點，旦雙曲線的漸進線方程為它表示焦點在y軸上的雙曲線的一支，且漸近線方程為團實數(shù)。的

39、取值范圍是【X0R；它表示過原點的宜線由題意知，直線成W時。的取值范圍【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,得出J7W+ax>0恒成"利用構(gòu)造函數(shù)法結(jié)合圖象求出不等式恒的圖象應(yīng)在y=Jf + l的卜方，畫出圖形如圖所示0 yjx2 +1> - ax 恒成立計算橢圓焦點為（土加，0）,根據(jù)雙=1的焦點為：（土Ji3,o）雙曲線的漸進線方程為> =土：X ,則設(shè)雙曲線方程為22故4）2+ = 10. A? = 2 »雙曲線方程為 = 182故答案為：=182【點睛】本題考查了求雙曲線方程,根據(jù)漸近線設(shè)雙曲線為£-=1是解題的關(guān)鍵. 4/r b'2

40、12. （2018上海高三一模）在平面直角坐標系xQy中，以直線y = ±2x為漸近線，且經(jīng)過橢圓/+3=1右頂點的雙曲線的方程是.【答案】一上=14【分析】根據(jù)漸近線方程5= ±2, 設(shè)雙曲線方程為4/-y2= ”義工0）,將橢圓*2+亡=1右頂點（1,0）代入 雙曲線方程，求解3即可.【詳解】由題意可知，設(shè)雙曲線方程為4x2-y2=42H0）.雙曲線經(jīng)過橢圓/ +=1右頂點（1,0）4v2/. 2 = 4xl-0 = 4,則雙曲線方程為4/一y2 =4,即彳2一2_ = 14故答案為：x2 = 14【點睛】本題考查求雙曲線方程，屬于中檔題.13. （2021上海高三專題

41、練習）雙曲線;-y2=i繞坐標原點。旋轉(zhuǎn)適當角度可以成為函數(shù)/（幻的圖象，關(guān)于此函數(shù)f（x）有如下四個命題:f（x）是奇函數(shù)；f（x）的圖象過點或（且,-馬；fa）的值域是E等嗎竹函數(shù)/-、有兩個零點；則其中所有真命題的序號為 【答案】 分析】根據(jù)雙曲線關(guān)于坐標原點對稱，則旋轉(zhuǎn)后得到的函數(shù)的“X）圖象也關(guān)于原點勸稱，即有“X）為奇函數(shù); 根據(jù)雙曲線的頂點、漸近線方程可得旋轉(zhuǎn)后的,"X）的圖象的漸近線，再由對稱性可得/（X）的圖象過（弓,會或 （日,一|）；根據(jù)/（X）的圖象按逆時針旋轉(zhuǎn)60,位于一三象限由圖象可得頂點為點，不是極值點，則f（x）的值域 不是（-00,-611百+00）

42、，也不是（9，-右嗎用）：分"X）的圖象所在的象限討論，得出“X）的圖象與直線y = x沒有交點，函數(shù)y=/（x）-x沒有零點.【詳解】解：雙曲線1->2=1關(guān)于坐標原點對稱, 可得旋轉(zhuǎn)后得到的函數(shù)的fM圖象關(guān)于原點對稱，即有幻為奇函數(shù)，故對；由雙曲線的頂點為（士百,0），漸近線方程為y=土日X，可得/（X）的圖象的漸近線為犬=0和' = ±3，3圖象關(guān)于直線y = J£對稱，可得x）的圖象過6 32,2由對稱性可得了（幻的圖象按逆時針60旋轉(zhuǎn)位于一三象限；按順時針旋轉(zhuǎn)6（T位于二四象限；故對；f（x）的圖象按逆時針旋轉(zhuǎn)60位于一二：.象限由圖象可得

43、頂點為點隹|卜慘-g .不是極值點，則/（x）的值域不是（-co,-3嗚收）：f（x）的圖象按順時針旋轉(zhuǎn)60位手：四象限,山對稱性可得"X）的值域也不是（-，-/嗚收）,故不對；當fM的圖象位于一三象限時,f（x）的圖象與直線y = X有兩個交點，函數(shù)y=/（x） - X仃兩個零點；當fM的圖象位丁一：四象限時,“X）的圖象與直線y = X沒有交點，函數(shù)y=f（x） - X沒有零點故錯. 故真命題為：故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)和函數(shù)圖象的對稱性、極值、零點,屬于中檔題.14. (2018上海交通大學附屬中學嘉定分校高三模擬預(yù)測)若雙曲線W-£ = l的漸近線與圓

44、(x-2)2+ V =3 a h相切，則兩漸近線夾角為.【答案】y【分析】利用雙曲線的漸近線與圓相切，求出兩漸近線的斜率及傾斜角，可得出兩漸近線的夾角.【詳解】雙曲線與-2=1的漸近線方程為y = ±-x, ar b-a網(wǎng)(x-2)2 + 丁 = 3的圓心坐標為(2,0),半徑為G，2b由題意得I工、2 =6,解得2 = 6,所以，兩漸近線的斜率為±6,傾斜角分別為9、?，因此，兩At) a漸近線夾角為故答案為：【點睛】本題考查雙曲線兩漸近線夾角的計算，解題時要結(jié)合直線與圓相切列等式求出漸近線的斜率，考 查運算求解能力，屬于中等題.2215. (2020上海黃浦高三二模)已

45、知雙曲線今-方=l(a > 0*> 0)的一條漸近線平行于直線/： y=2x+10,雙曲線的一個焦點在直線/上，則雙曲線的方程為.【答案】- = 1 520【分析】根據(jù)漸近線與直線/的平行關(guān)系確定出a,b的關(guān)系，再根據(jù)焦點在/上確定出。的值，結(jié)合/+ =02計算出a2,b2即可得到雙曲線的方程.【詳解】因為一條漸近線與y = 2x+l。平行，所以2 = 2,a22又因為雙曲線與-表 = l(a>0,6>0)的焦點為(土c,0),且直線/過點(一5,0),所以c = 5,h = 2aa2 =5所以2 /2 J，所以N ”，+6=/ = 25也 = 20所以雙曲線的方程為：

46、2-f = 1. 520故答案為：-Z = i.520【點睛】本題考杳根據(jù)直線的平行關(guān)系求解參數(shù)、根據(jù)出瓦。的值求解雙曲線的方程，難度一般.當直線過標 準形式橢圓或者雙曲線的焦點時，此時焦點一定為宜線與坐標軸的交點.16. （2020上海浦東新高三二模）已知雙曲線的漸近線方程為y = ±x,且右焦點與拋物線V=4x的焦點重 合，則這個雙曲線的方程是.【答案】2/-29=1【分析】由已知可得雙曲線的右焦點為（1,0）,即c=l,由雙曲線的漸近線方程為y = ±x,可設(shè)其方程為：V - =2,2 >0 ,再由/+°2 =c2 uj_得：2 + 2=1,求出2,問

47、題得解.【詳解】.拋物線y2=4x的焦點為：（1,0）雙曲線的右焦點為：Q0）,即c = l雙曲線的漸近線方程為y=±x,雙曲線的方程可設(shè)為：x2-r=A,2>0,22即"上匕If J 由 a? + 從=c"可得：A + >1 = 1> .1.2 = 雙曲線的方程是2x2-2y2=|.故答案為：2x2-2/=1 【點睛】本題考查了雙曲線的標準方程和其漸近線方程，關(guān)鍵是掌握共漸近線的曲雙線方程的設(shè)法，屬于 中檔題.17. （2020,上海高三專題練習）過雙曲線£-£ = 1的左焦點寫作傾斜角為a的直線與y軸交于點A ,與 16

48、8雙曲線的右支位于第四象限的部分交于點8,若礪=g（而+西），則a=.【答案】a = 7r-arctan 12【分析】由雙仙線方程求得左焦點坐標，由立線的傾斜角可得立線的斜率，寫出直線方程，得到直線在y軸 上的截距，由向量等式可知A為耳B的中點，由中點坐標公式求得B點坐標，代入雙曲線方程可得tana.再由反:角函數(shù)求得角a值.22【詳解】如圖，由雙曲線土-二16 8得耳（一26,0）,直線AB的斜率為tana（a為鈍角），直線方程為y = iana（x + 2#）,取 X = 0，得 y = 2x/tana.則 A(0,2>/6 tana),.1 一 一.由。4 = 2(03 + Of；

49、), Hj f'J A 為 F、B 的中，設(shè) 8(x, y),x-2>/6=0_r , /. B(2V6 , 4V6tana). y + 0 = 4j6 tana5在雙曲線上，.96tMi”16=1» 即 tana = 一12Qa為鈍角，a = 7T arctan .12故答案為：a = n arctan 12【點睛】本題考杳直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查向量的幾何含義，中點坐標公式，考查運算求解能力, 是中檔題.2218-（2皿上海高三專題練習）設(shè)五"分別是雙曲線土方=1（。，"。）的左、右焦點，點P在雙曲線右支上且滿足I尸鳥1=1耳61,雙曲線的漸

50、近線方程為4x±3y = 0,則cosN尸耳人=4 【答案】y 【分析】設(shè)雙曲線的半焦距為c,求得雙曲線的漸近線方程可得，b, c的關(guān)系，求出Ag6的:條邊,運用余弦定理可求cosNP片乙值.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為。,b 4由雙曲線的漸近線方程，可得一 = 7, a 3貝此=次"#+祚2=| 在耳八中，|%|=| 耳瑪 l=2c, PF2c + 2a9由余弦定理可得cos/出再(2c)2+(2c + 2a)2-(2c)22x2c(2c + 2)5Cl HCI4 + C 二 32c 10一a34 故答案為：- 【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是看到雙曲線的焦半徑，要馬上聯(lián)

51、想到雙曲線的定義解題.這是圓錐曲 線的一個解題技巧，要注意熟練運用.19. （2021上海青浦高三二模）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為直線y = x-l與其相交于M ,2N兩點，中點橫坐標為則此雙曲線的方程是.22【答案】-=12522r 2【分析】設(shè)雙曲線的標準方程為之-斗=1（。0力0）,利用點差法可求得勺的值，再結(jié)合焦點的坐標可 a1 bl/a求得/和的值，由此可得出雙曲線的標準方程.【詳解】設(shè)點M（X，y）、由題意可得 = 一|, .,.占+*2 =-g，% + %=（%+）-2 =一5,宜線MN的斜率為L =上工 =1,2KF,一%F- -2XI72紅 2a則-x2=12_ 2 2

52、_ 2，兩式相減得五三-“薩=0， .a o所以與=44a 玉一/(%-%)(% + %) 5 =(8-*2)(為+£)2由于雙曲線的一個焦點為尸（療,0）,則/+從=7，a2=2, b2=5, r2 v2因此，該雙曲線的標準方程為工-匕=1. 25故答案為：- = 1. 25【點睛】本題考查雙曲線標準方程的求解，涉及點差法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.20. （2021上海高三專題練習）設(shè)雙曲線r：0-V=i（。0）的左、右焦點分別為"，6，點M在r a的右支上，向量2（1,4）是直線4M的一個方向向量，若N耳“則r的焦距為.【答案】任【分析】由題意可得直線的斜率為a

53、 ,且a>0,設(shè)|人”|=，由雙曲線的定義可得IKM|=r + 2a,在三角形耳M鳥中，分別運用正弦定理、余弦定理，解方程可得。，進而得到焦距2c.【詳解】解：向量d = (La)是直線耳朋的個方向向量，可得直線耳M的斜率為“，且a >0，設(shè)由雙曲線的定義可得1月“1=，+ 2，t = 2ct_ 24l + a2在三角形耳M鳥中，由正弦定理uj得sinNM/M -京三，即二 五，4Vl + «2T解得r = 2&a，由余弦定理可得4c2 =t2+(t + 2“1-2t(t + 2a)史,2即為 4(1 + a，) = 8a2 + (2缶 + 2a)2-442a(2

54、a + 2缶)洛，1a解得。2=。2=1+。2=；,則焦距2c = 2(=4.故答案為：而.【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的正弦定理、余弦定理的運用，考查方程思想 和運算能力，屬于中檔題.21. (2018上海長島中學高三一模)在平面直角坐標系中，。為坐標原點，M、N是雙曲線蘭-二=1上24的兩個動點，動點尸滿足在=2兩-兩，直線?！芭c直線ON斜率之積為2,已知平面內(nèi)存在兩定點1、?2,使得|冏H P3為定值，則該定值為【答案】2瓦【詳解】設(shè) P (x, y) , M(X1, yi) , N (x2» ya),則由歷=2兩一兩，得(X，y) =2 (xi，yi)

55、 - (x2, y2)»即 x=2xi-xz» y=2yi-y2»團點M, N在雙曲線上-上=1上，所以K-g = i,注_其=1,242424故 2x2-y2= ( 8xi2+2x22-8xiX2 ) - (4yi2+y22-4yiy2) =20-4 (2xiX2-yiy2)»設(shè)koM, koN分別為宜線。M, ON的斜率，根據(jù)題意可知koMkoN=2,13yly2-2 xix2=o,E2x2-y2=20,所以P在雙曲線2x2,2=20匕設(shè)該雙曲線的左，右焦點為F】，F(xiàn)z，山雙曲線的定義可推斷出儼用一|尸磯為定值，該定值為2M點睛：本題主要考查了雙曲線

56、定義及簡單的幾何性質(zhì).充分考查了用代數(shù)的方法來處理平面幾何問題的手 段.22. (2019上海師大附中高三一模)對于曲線C所在平面上的定點織，若存在以點為頂點的角a ,使得 a承對于曲線C上的任意兩個不同的點A, 8恒成立，則稱角a為曲線C相對于點兄的“界角"，并稱 其中最小的"界角"為曲線C相對于點4的“確界角”.曲線C：y =相對于坐標原點。的“確界2 - - x? (x < 0)角"的大小是.【答案】當12【分析】畫出函數(shù)/(x)的圖象，過點。作出兩條直線與曲線無限接近，當X20時，曲線丫 =正與可匕線 y =艱無限接近，求出匕=1,當x<0時,曲線可化為x2+(y-2)2 = l(x<0),圓心到直線的距離為1,求得 為=-百，再由兩直線的夾角公式，即可求解.【詳解】由題意，畫出函數(shù)/(x)的圖象，過點。作出兩條直線與曲線無限接近， 設(shè)它們的方程方程為y = k、