波動理論基礎

1、低應變理論基礎低應變理論基礎 2014 2014年年1111月月1616日日一、波動與振動一、波動與振動v 彈性動力學主要目標是在給定擾動源信息及邊界條件、初始條件下求解彈性彈性動力學主要目標是在給定擾動源信息及邊界條件、初始條件下求解彈性物體的動力響應。解答的形式有兩種：一種是波動解，一種是振動解。前者描物體的動力響應。解答的形式有兩種：一種是波動解，一種是振動解。前者描述行波在彈性介質中的傳播過程，后者描述彈性體的振動。為了說明兩者的聯(lián)述行波在彈性介質中的傳播過程，后者描述彈性體的振動。為了說明兩者的聯(lián)系與差異，首先考察波動與振動兩個物理現(xiàn)象。系與差異，首先考察波動與振動兩個物理現(xiàn)象。v

2、一個原來處于靜止狀態(tài)的物體，當其局部受到突然的擾動，并不能立即引一個原來處于靜止狀態(tài)的物體，當其局部受到突然的擾動，并不能立即引起物體各部分的運動。如下圖所示的一根半無限長桿端部受到打擊時，遠離桿起物體各部分的運動。如下圖所示的一根半無限長桿端部受到打擊時，遠離桿端的區(qū)域并不能立即感受到端部的打擊信號，而要經(jīng)過一定的時間后才能接受端的區(qū)域并不能立即感受到端部的打擊信號，而要經(jīng)過一定的時間后才能接受到這個信號。這是動力問題和靜力問題最根本的區(qū)別。實際上由于連續(xù)介質中到這個信號。這是動力問題和靜力問題最根本的區(qū)別。實際上由于連續(xù)介質中的各個質點由某種約束力而彼此聯(lián)系起來，在末受到擾動之前，質點之間

3、的相的各個質點由某種約束力而彼此聯(lián)系起來，在末受到擾動之前，質點之間的相互作用力處于平衡狀態(tài)。當某一個質點受到擾動以后，它就要偏離互作用力處于平衡狀態(tài)。當某一個質點受到擾動以后，它就要偏離 v 原來的平衡位置而進入運動狀態(tài)。由于質點間相對位置的原來的平衡位置而進入運動狀態(tài)。由于質點間相對位置的變化，使得受擾動質點同其周圍質點之間增加了附加的彈變化，使得受擾動質點同其周圍質點之間增加了附加的彈性力，從而與受擾動質點相鄰的質點也必然受到影響而進性力，從而與受擾動質點相鄰的質點也必然受到影響而進入運動狀態(tài)。這種作用依次傳遞下去，便形成一個由擾動入運動狀態(tài)。這種作用依次傳遞下去，便形成一個由擾動源開始

4、的波動現(xiàn)象。這種擾動借質點間的彈性力而逐漸傳源開始的波動現(xiàn)象。這種擾動借質點間的彈性力而逐漸傳播的過程，稱為彈性波。如果介質是無限大的，擾動將會播的過程，稱為彈性波。如果介質是無限大的，擾動將會隨時間的發(fā)展一直傳播出去。然而一個實際的物體總是有隨時間的發(fā)展一直傳播出去。然而一個實際的物體總是有邊界的，當擾動到達邊界時，將要和邊界發(fā)生相互作用而邊界的，當擾動到達邊界時，將要和邊界發(fā)生相互作用而產(chǎn)生反射。對一個有界的物體，由于擾動在其邊界上來回產(chǎn)生反射。對一個有界的物體，由于擾動在其邊界上來回反射，從而使得整個物體就會呈現(xiàn)出在其平衡位置附近的反射，從而使得整個物體就會呈現(xiàn)出在其平衡位置附近的一種周

5、期性的振蕩現(xiàn)象，稱之為彈性體的振動。彈性波和一種周期性的振蕩現(xiàn)象，稱之為彈性體的振動。彈性波和彈性體的振動之間存在著本質的內在聯(lián)系。這兩種現(xiàn)象的彈性體的振動之間存在著本質的內在聯(lián)系。這兩種現(xiàn)象的形成有著相同的機制，它們都是由介質的彈性和形成有著相同的機制，它們都是由介質的彈性和v 慣性兩個基本性質所決定的。彈性性質有使發(fā)生了位移的慣性兩個基本性質所決定的。彈性性質有使發(fā)生了位移的質點回復到原來平衡位置的作用，而運動質點的慣性有使質點回復到原來平衡位置的作用，而運動質點的慣性有使當前的運動狀態(tài)持續(xù)下去的作用，或者說彈性是貯存勢能當前的運動狀態(tài)持續(xù)下去的作用，或者說彈性是貯存勢能的要素，慣性是維持

6、動能的表征。正是由于這兩種特性的的要素，慣性是維持動能的表征。正是由于這兩種特性的存在，系統(tǒng)的能量才能得以保持和傳遞，外部的擾動才能存在，系統(tǒng)的能量才能得以保持和傳遞，外部的擾動才能激發(fā)起彈性被和彈性體的振動。彈性波的傳播和彈性體的激發(fā)起彈性被和彈性體的振動。彈性波的傳播和彈性體的振動，實際上可以看作是同一物理問題的不同表現(xiàn)形式。振動，實際上可以看作是同一物理問題的不同表現(xiàn)形式。v擾動一開始總是以行波的方式將能量傳播出去，擾動一開始總是以行波的方式將能量傳播出去，而當物體有邊界時，由于行波的來回反射，最終而當物體有邊界時，由于行波的來回反射，最終使物體趨于定常的運動狀態(tài)，則表現(xiàn)為振動現(xiàn)象使物體

7、趨于定常的運動狀態(tài)，則表現(xiàn)為振動現(xiàn)象。彈性體的振動是被動過程的一種特殊表現(xiàn)形式。彈性體的振動是被動過程的一種特殊表現(xiàn)形式，并不意味著被動過程已經(jīng)消失，而是一種在有，并不意味著被動過程已經(jīng)消失，而是一種在有界物體中長時間范圍內的波動過程。在實際的彈界物體中長時間范圍內的波動過程。在實際的彈性動力學問題中，有時需要考察波動過程，有時性動力學問題中，有時需要考察波動過程，有時則對振動現(xiàn)象更感興趣。則對振動現(xiàn)象更感興趣。二、波動方程二、波動方程v 目前目前, ,低應變反射波法動力測樁是采用低能量低應變反射波法動力測樁是采用低能量的瞬態(tài)激振的瞬態(tài)激振, ,樁在彈性范圍內做低幅度振動樁在彈性范圍內做低幅度

8、振動, ,利用利用振動和波動理論判斷樁身缺陷。應力波反射法是振動和波動理論判斷樁身缺陷。應力波反射法是一種以彈性波一種以彈性波( (也稱應力波也稱應力波) )在樁身中的傳播反射在樁身中的傳播反射特征為理論基礎的方法。對于樁基來說特征為理論基礎的方法。對于樁基來說, ,樁長一般樁長一般遠大于直徑遠大于直徑, ,從而可將樁看成一維桿件。當在樁頂從而可將樁看成一維桿件。當在樁頂處施加一瞬態(tài)激振力處施加一瞬態(tài)激振力, ,將會產(chǎn)生彈性波將會產(chǎn)生彈性波, ,由于樁與由于樁與土之間的波阻抗差異較大土之間的波阻抗差異較大, ,所以大部分波能量將在所以大部分波能量將在樁身傳遞樁身傳遞, ,在樁身傳播的彈性波可以

9、用一維波動方在樁身傳播的彈性波可以用一維波動方程計算。程計算。建立波動方程需滿足下列基本假設條件建立波動方程需滿足下列基本假設條件1.彈性限度內的振動。振動時彈性限度內的振動。振動時,各質點的應力、應變和位移的關系均各質點的應力、應變和位移的關系均服從虎克定律。對于低應變反射波法動力測樁來說服從虎克定律。對于低應變反射波法動力測樁來說,由于錘擊力由于錘擊力很小且可以控制很小且可以控制,因此被振動可以滿足假設要求。因此被振動可以滿足假設要求。2.各向同性的均勻或分段均勾材料。混凝土樁的拉伸特性與壓縮特各向同性的均勻或分段均勾材料。混凝土樁的拉伸特性與壓縮特性存在明顯差異性存在明顯差異,而且是非均

10、勻性的而且是非均勻性的,不過在微米級彈性振動范圍不過在微米級彈性振動范圍內內,可以將其近似看成滿足這一假設要求可以將其近似看成滿足這一假設要求,可以忽略這種差異?？梢院雎赃@種差異。3.縱向振動時縱向振動時,橫截面應為平面橫截面應為平面,且截面上的軸向應力應力是均勻分布且截面上的軸向應力應力是均勻分布的的,其它應力分量均為零。其它應力分量均為零。4.由于縱波長度相比樁橫截面尺寸要大的多由于縱波長度相比樁橫截面尺寸要大的多,故不考慮橫向位移對縱故不考慮橫向位移對縱向運動的影響。向運動的影響。 假定振動在桿件內是沿軸向進行傳播的假定振動在桿件內是沿軸向進行傳播的, ,并且同一橫并且同一橫截面上的質點

11、振動狀態(tài)是相同的截面上的質點振動狀態(tài)是相同的, ,既振動時橫截面的平面既振動時橫截面的平面狀態(tài)保持不變?，F(xiàn)從桿件中取一長為狀態(tài)保持不變。現(xiàn)從桿件中取一長為x x的微元的微元, ,兩端截面兩端截面的坐標分別為的坐標分別為x x和和x+ x+ x,x,設設A A和和分別為桿件的橫截面面分別為桿件的橫截面面積和密度積和密度, ,則單元的質量為則單元的質量為A A x ,x ,令令u u為單元的位移為單元的位移, ,那那么根據(jù)牛頓第二定律有么根據(jù)牛頓第二定律有: :(1-1)用用u表示位移，應變?yōu)楸硎疚灰疲瑧優(yōu)橘|點運動速度為質點運動速度為tuv工程應力為工程應力為=F/A,=F/A,胡克定律表示為胡

12、克定律表示為=E=E。為微元的加速度為微元的加速度而而（x+x+x)x)和和(x)(x)分別為微元兩端截面上的正應力分別為微元兩端截面上的正應力，上上式兩邊除以式兩邊除以A x x后得后得:(1-2)令令x0時時,上式取極限可得上式取極限可得:(1-3)v 考慮到考慮到=E=E的關系的關系, ,以及以及則公式則公式(1-3)變?yōu)樽優(yōu)?（1-4）又若令又若令:（1-5）式中式中c是應力波傳播速度是應力波傳播速度,或稱為縱波波速。那么方程或稱為縱波波速。那么方程(1-4)又可以寫為又可以寫為:（1-6）v 根據(jù)行波理論根據(jù)行波理論, ,其波動解為二個反向行波的疊加其波動解為二個反向行波的疊加, ,

13、通解形式為通解形式為: :（1-7）f f和和g g分別代表了沿分別代表了沿x x軸正向傳播的下行波和沿軸正向傳播的下行波和沿x x軸負向軸負向傳播的上行波傳播的上行波, ,其傳播速度其傳播速度( (波速波速) )均為均為C,C,此通解也稱此通解也稱DAlembertDAlembert通解，高應變動力試樁和低應變反射波通解，高應變動力試樁和低應變反射波法即是對一維波動方程進行波動解。法即是對一維波動方程進行波動解。根據(jù)振動理論根據(jù)振動理論,采用分離變量法采用分離變量法,令令u(x,t)=X(x)U(t),則可解得則可解得:(1 -8 ) 式中式中為桿縱向振動的固有圓頻率為桿縱向振動的固有圓頻率

14、,常數(shù)常數(shù)c1,c2由初始條由初始條件決定件決定,c3,c4由邊界條件決定由邊界條件決定.下面研究兩種與實際基樁情下面研究兩種與實際基樁情形相近的邊界條件形相近的邊界條件(1)(1)兩端自由的桿兩端自由的桿此時桿的兩端受力為零此時桿的兩端受力為零, ,因而應變?yōu)榱阋蚨鴳優(yōu)榱? ,即：即：v 代入代入(1-8)(1-8)式得：式得：（1-9）（1-10）式中式中f f為相鄰兩階固有頻率之差為相鄰兩階固有頻率之差,且且f f =f1,即相鄰兩階固有即相鄰兩階固有頻率之差與一階固有頻率相等。頻率之差與一階固有頻率相等。(2)一端自由一端自由,一端固定的桿一端固定的桿代入式（代入式（1-8）有）有（

15、1-11）得到公式得到公式(1-8),(1-8),f f仍為相鄰兩階固有頻率之差仍為相鄰兩階固有頻率之差, ,但但ffff1 1。三、彈性波的反射與透射三、彈性波的反射與透射v 低應變反射波法以一維波動理論為基礎，把樁作為連低應變反射波法以一維波動理論為基礎，把樁作為連續(xù)均勻的彈性桿件，研究樁頂在動態(tài)力作用下彈性桿的縱續(xù)均勻的彈性桿件，研究樁頂在動態(tài)力作用下彈性桿的縱向波動及樁土體系的動態(tài)響應。向波動及樁土體系的動態(tài)響應。v 自然狀態(tài)下，樁頂受沖擊后，將產(chǎn)生向下傳播的應力自然狀態(tài)下，樁頂受沖擊后，將產(chǎn)生向下傳播的應力波波( (入射波入射波) )，在波阻抗差異界面處，在波阻抗差異界面處( (如縮

16、徑、夾異物、混如縮徑、夾異物、混凝土離析或擴徑等凝土離析或擴徑等) )，部分應力波產(chǎn)生反射向上傳播，部，部分應力波產(chǎn)生反射向上傳播，部分應力波產(chǎn)生透射繼續(xù)向下傳播至樁端，在樁端處又產(chǎn)生分應力波產(chǎn)生透射繼續(xù)向下傳播至樁端，在樁端處又產(chǎn)生反射向上傳播。反射向上傳播。v 由安裝在樁頂?shù)募铀俣然蛩俣葌鞲衅鹘邮粘跏既肷湫庞砂惭b在樁頂?shù)募铀俣然蛩俣葌鞲衅鹘邮粘跏既肷湫盘柤案鞣N反射信號號及各種反射信號( (動態(tài)響應信號動態(tài)響應信號) )，并經(jīng)基樁動測儀進行，并經(jīng)基樁動測儀進行信號放大等處理后得到速度時程曲線。由信號放大等處理后得到速度時程曲線。由(1-5)(1-5)式，桿中式，桿中質點位移由上下行波兩部分組

17、成，在頂端受瞬時沖擊后產(chǎn)質點位移由上下行波兩部分組成，在頂端受瞬時沖擊后產(chǎn)生的初始下行波中存在壓應力生的初始下行波中存在壓應力1 1，在在1 1 的作用下樁身的作用下樁身產(chǎn)生運動，其質點運動速度產(chǎn)生運動，其質點運動速度V VI I(m(m/S)/S)取決于應力大小和材取決于應力大小和材料特性。料特性。（1-12）式中式中:V V為樁身混凝土質點振動的速度，為樁身混凝土質點振動的速度，C為縱波在為縱波在樁身混凝土中的傳播速度樁身混凝土中的傳播速度,單位都是單位都是m/s，但意思不，但意思不一樣。一樣。圖1-4V=C*v 根據(jù)根據(jù)=F/A，F(xiàn)= A，根據(jù)胡克定律，根據(jù)胡克定律=E ，F(xiàn)= EA，v

18、 F=E*（V/C）*A，根據(jù)根據(jù)F=* *C C* *A A* *V V令令Z=CACA有：有：F=ZV （1-13）考慮方向，入射波為考慮方向，入射波為FI=ZV，反射波為，反射波為FR=-ZVv 在波阻抗差異界面處在波阻抗差異界面處( (圖圖2-2)2-2)，以，以Z1Z1，Z2Z2分別表示界分別表示界面上下的阻抗，腳碼面上下的阻抗，腳碼I I、R R、T T分別表示入射波、反射波和分別表示入射波、反射波和透射波，根據(jù)界面處連續(xù)條件，得到位移、速度和力的平透射波，根據(jù)界面處連續(xù)條件，得到位移、速度和力的平衡方程衡方程: :位移：位移：u1=u2,uu1=u2,ui i+u+ur r= =u ut t; ; （1-141-14）速度：速度：V1=V2V1=V2，Vi+VtVi+Vt= =VrVr; ; （1-151-15）力：力： F1=F2,Fi+Ft=Fr F1=F2,Fi+Ft=Fr （1-161-16）由一維波動方程的波動解由一維波動方程的波動解(1-4)式式,入射下行波為入射下行波為:（1-17）（1-18）同理同理,對于透射波對于透射波,有有:1-19（1-20）及（及（1-18）（）（1-20）式代入（）式代入（1-15）式，有：）式，有：（1-21）（1-22）再聯(lián)立再聯(lián)立(1-