概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第四版)-沈恒范1~3章習(xí)題答案

1、第一章隨機事件及其概率習(xí)題一解答1.1任意拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).設(shè)步件A表示“出現(xiàn)偶數(shù)點”,事件/上表示"出現(xiàn)的點數(shù)能被3整除”.(1)(2)(3)寫出試驗的樣本點及樣本空間:把事件.4及8分別表示為樣本點的集介:下列事件:分別表示什么事件？并把它們表示為樣本點的集合.解（1）任意拋擲一顆骰子可以看作是一次防機試驗，易知共仃6個不同的結(jié)果:“出現(xiàn)1點”上出現(xiàn)2點“，“出現(xiàn)6點”.設(shè)試驗的樣本點.=“出現(xiàn)i點”,i=l,2,3,4,5,6：則樣本空間12=必，仙，如9必，必，3,（2）因為事件.4表示“出現(xiàn)偶數(shù)點”,即“出現(xiàn)2點、4點或6點”，所以有.4=ga）,5:乂因為界件

2、4表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被3整除”，即“出現(xiàn)3點或6點”，所以有B=%，/）（3）因為事件I是A的對立事件，所以它表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”，即“出現(xiàn)1點、3點或5點”,于是有A=3,必，5:因為“件不是B的對迂事件，所以它表示“出現(xiàn)的點數(shù)不能被3整除”，即“出現(xiàn)1點、2點、4點或5點”，是有«=劭，口，”：因為獷件/1U4是事件4與B的井，所以它表示“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)或能被3整除”，即“出現(xiàn)的點數(shù)能被2或3整除”，是有.4UH=他，/，必，5：因為獷件.44是M件A與B的交,所以它表示“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)，且能被3整除”，即“出現(xiàn)的點數(shù)能被2和3整除，于是有.4"=5：W為獷件g是4U

3、B的對立強件，所以它表示“出現(xiàn)的點數(shù)不能被2或3整除"，于是有.4UH=，必1.2設(shè)A、8、C表示三個隨機事件，試將卜列里件用4、從C表示出來：(1)僅A發(fā)生：(2)4、4、C都發(fā)生：(3) A.B.C都不發(fā)生;(4) 4、8、C不都發(fā)生;(5) .4不發(fā)生，且8、C中至少有一事件發(fā)生;(6) A、B、C中至少有一事件發(fā)生；(7)、"、C中恰行一事件發(fā)生；(8) A、B、C中至少仃二事件發(fā)生;(9) A、B、C中最多有一事件發(fā)生.解(1)“僅A發(fā)生”就是發(fā)生，且8、。都不發(fā)生”，這是三事件A、反的交，所以應(yīng)記作A)乙(2)“A、E、C都發(fā)生”就是“A發(fā)生發(fā)生工發(fā)生”，這是三

4、事件.4、8、C的交，所以應(yīng)記作_?)"/I、"C都不唯'了是不發(fā)生、“不發(fā)生、C不發(fā)生”，這是三事件工、萬、H的交，所以應(yīng)記作彳后己_(4)"4、B、C不都發(fā)生”就是“4、8、C都發(fā)生”的對立事件，所以應(yīng)記作ABC：(5)“A不發(fā)生，且從C中至少有一事件發(fā)生”就是小件工與步件AUC的交,所以應(yīng)記作彳(AUC);(6)“/1、從。中至少仃獷件發(fā)生"就是三你4、4、。的并，所以應(yīng)記作/1UAUC;(7)“.4、“、。中恰行一事件發(fā)生”就是“僅.4發(fā)生、僅4發(fā)生或僅C發(fā)生”，這是三個互不相容事件力TicJ/icJUc的并，所以應(yīng)記作.4Hc+ahc+

5、aHc；(8)”.4、從C中至少有二事件發(fā)生”就是“AB、AC、BC中至少有一事件發(fā)生”，也就是AB.AC、BC的并，所以應(yīng)記作（9）“/1、從。中最多仃一界件發(fā)生”就是“，、從（；中至少有二“件發(fā)生”的對立事件，所以應(yīng)記作ABUACUBC；又這個事件也就是“4、8、C中至少有二事件不發(fā)生”，即為三事件彳反彳1而。的并，所以也可以記作aHjacjc.1.3袋中有10個球,分別寫有號碼110,其中1,2,3,4,5號球為紅球：6,7,8號球為白球：9"0號球為黑球.設(shè)試驗為：（I）從袋中任取一個球,觀察其顏色；（2）從袋中任取一個球,觀察其號碼.分別寫出試驗的基本事件及樣本空間,并指1

6、11樣本空間中的基本事件是否是等可能的.解（1）從袋中任取一個球，如果試驗是為了觀察取出的球的顏色，則因為袋中有3種不同顏色的球，所以試驗的基本事件共有3個，它們是：%="取出紅球”，叫=“取出白球”，M=“取出黑球”：于是有樣本空間/2）=3"，3，3y因為袋中紅球、白球、黑球的個數(shù)不相等，所以上述3個基本獷件不是等可能的.（2）從袋中任取一個球，如果試驗是為了觀察取出的球的號碼球I因為袋中有10個不同號碼的球，所以試驗的基本事件共有10個，它們是:切,=“取出i號球”（<=I»2»»10）：丁是有樣本空間Ct?|»Ct?2f

7、*>£O|（）因為袋中1,2,"。號的球各有一個，所以上述10個基本事件是等可能的.1.4電話號碼由7個數(shù)字組成,每個數(shù)字可以是0,1,2,，9中的任個數(shù)字（但笫個數(shù)字不能為0）,求電話號碼是由完全不相同的數(shù)字組成的概率.解由7個數(shù)字組成的電話號碼中，第一個數(shù)字不能為0,排列數(shù)為P；：其余6個數(shù)字都可以是0,1,2,9中的住個數(shù)字.排列數(shù)為10總的排列數(shù)就是P；106.所以，基本事件的總數(shù)N=P；*10'：設(shè)W牛.4表示電話號碼由完全不相同的數(shù)字織成，則第一個數(shù)字的排列數(shù)仍為P；,而其余6個數(shù)字的排列數(shù)為P：,這時的排歹J數(shù)就是P；P：.所以，事件,4包含的基

8、本事件數(shù)M=P；嗎.F,是,按公式（1.22）得所求概率（/1）P：P；9x8x7x6x5x4=0.0605.1.5 把10本書任意地放在書架上,求其中指定的3本書放在一起的概率.解把10本行任意地放在書架上，共仃1喟=10！種不同的排列法.所以,基本事件的總數(shù)N=10!.設(shè)小件4表示10本書中指定的3本"放在起，則可以把這3本/作為1個整體與其它7本書任意擺放，應(yīng)仃P(guān)：=8!種不同的排列法：放在起的這3木書又仃P(guān)；=3!種不同的排列法；從而共仃8!x3!種不同的排列法.所以,事件A包含的基本事件數(shù)M=8!x3!.F是,按公式（1.22）得所求概率P（A）=-釜=0.0667.1ID

9、1.6 為了減少比賽場次，把20個球隊任意分成兩組（每組10隊）進行比賽，求最強的兩隊被分在不同組內(nèi)的概率.解從20個球隊中任意選取10個隊分在第一組內(nèi)（其余10個隊分在第二組內(nèi)），共有C1種不同的分法.所以，基本事件的總數(shù)N=4設(shè)事件A表示最強的兩隊被分在不同組內(nèi)，則可以先從這2個最強的隊中仃意還取1個仄介入第力1個艮介入第1組）行（】巾代小夕分汝：可從K氽18個隊中任意選取9個隊分入第組（另9個隊分入第二組），有Cl種不同的分法：從而共有C；（比種不同的分法.所以，件件.4包含的基本步件數(shù)M=C；*.是，按公式（1.22）得所求概率p（A）=J士=疝0.5263.心191.7 在橋牌比賽中

10、，把52張牌任意地分發(fā)給東、南、西、北四家（每家13張牌），求北家的13張牌中：（1）恰仃5張黑桃、4張紅心、3張方塊J張草花的概率：（2）恰有大牌A、A、0J各1張，其余為小牌的微率.解法一一副橋牌共有52張牌，按花色區(qū)分，有黑桃、紅心、方塊、草花各13張牌；按大小區(qū)分，有大牌“、人、0與小牌10、9、3、2各4張牌.把52張牌任意地分發(fā)給東、南、西、北四家（每家13張牌），如果考慮發(fā)牌的順序，則52張牌的全排列共有52!種不同的排列法.所以，基本事件的總數(shù)這里及以后的公式編號都是概率論。數(shù)理統(tǒng)計教程（笫人版中的公式編號.N=52!.當(dāng)?shù)?張牌發(fā)給東家時，則北家得到的是第4、第8、第52張牌

11、.（I）設(shè)事件.4表示北家的13張牌中恰仃5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1張草花，則不妨設(shè)想先從13張黑桃中任選5張、從13張紅心中任選4張、從13張方塊中任選3張、從13張草花中任選1張，再把選出的這13張牌在上述13個位置進行全排列，有3c1-13!種不同的排列法;同時,還應(yīng)考慮分發(fā)給其他三家的39張牌在其余39個位置上的全排列，有39!種不同的排列法;從而共有C：3c：3C%C；313!39!種不同的排列法.所以，事件A包含的基本事件數(shù)二；3-13!39!.是,按公式（1.22）得所求概率（.4）=52!=0.00539.（2）設(shè)事件“表示北家的13張牌中恰有大牌A、£、QJ各

12、1張，其余為小彈，則不妨設(shè)想先從4張A、4張人、4張。、4張，中分別任選1張，從36張小牌中任選9張,再把選出的這13張牌在上述13個位置進行全排列，有（"（工13!種不同的排列法:同時，還應(yīng)考慮分發(fā)給其他三家的39張牌在其余39個位置上的全排列，行39!種不同的排列法；從而共有（C：）（凄13!39!種不同的排列法.所以，事件3包含的基本步件數(shù)W2=（C：）C113!39!.是,按公式（1.22）得所求概率（4）=（：）、13!52!39!=0.03795.解法二如果不考慮發(fā)牌的順序，則把52張牌任意地分發(fā)給東、南、西、北四家（每家13張牌），共有L3（，13（,13,，13種不同

13、的分法.所以，基本事件的總數(shù)八一52139V26乙13（I）設(shè)事件.4表示北家的13張牌中恰有5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1張草花，則不妨設(shè)想先從13張草桃中任選5張、從13張紅心中任選4張、從13張方塊中任選3張、從13張草花中任選1張（共13張牌）分給北家，有r，p.1I種不同的分法;再把其余39張牌分給東、南、西三家（每家13張牌），有r13rt3r13種不同的分法:從而共有z*>5z»4z»3/I.z1313/13L.L135333種不同的分法.所以，事件4包含的基本事件不if_543/I./13/>1313jMl=l'"L|3l&#

14、39;l3l'l31'為1'261,13（5ru-于是,按公式（1.22）得所求概率>4z-w3z>I.1313r13'79匕26。13（0=七二盧巴8as0Go539.C$2（2）設(shè)小件"表示北家的13張牌中恰仃大牌.l、A、Q、，各1張，其余為小牌，則不妨設(shè)想先從4張A、4張A、4張。、4張，中分別任選1張，從36張小牌中任選9張（共13張牌）分給北家，有種不同的分法;再把其余39張牌分給東、南、西三家（每家13張牌）,有pi3z>l3zU3種不同的分法:從而共有/pi4r9.種不同的分法.所以，事件H包含的基本事件數(shù)朋2=（0或

15、或明F是,按公式（1.22）得所求概率（B）=（c：）4c；c；cM；（,尸="（）.03795.解法三注意到解法二的（1）及（2）的計算過程中都是先把分母與分子的公約數(shù)（言（2仁約去，再進行計算，所以我們只需考慮從52張牌中任取13張分發(fā)給北家的情況，而不必再考慮其余39張牌分發(fā)給見他三家的情況.從52張牌中任取13張分發(fā)給北家，共仃C；：種不同的分法.所以，基本小件的總數(shù)N=C；：.（1）設(shè)事件/I表示北家的13張牌中恰仃5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1張草花，則有3。13J|3種不同的分法.所以，步件.4包含的基本M件數(shù)a=C?3C：3C：3C；3.是,按公式（1.22）得所求

16、概率（.4）=0.（X）539.（2）設(shè)加件"表示北家的13張牌中恰有大牌各1張，其余為小牌，則有（C）0種不同的分法.所以，事件A包含的基本事件數(shù)5L=（C：）4C1.是,按公式（1.22）得所求概率（c：）yP（8）=-=0.03795.的1.8 將3個球隨機地投入4個盒子中，求卜列事件的概率：（I）A任意3個盒子中各有1個球：（2）4任意1個盒子中有3個球；（3）C任意1個盒子中有2個球，其它任意1個盒子中有1個球.解將每一個球隨機地投入4個盒了中，各仃4種不同的投法:將3個球隨機地投入4個盒子中，則共有4,種不同的投法.所以，基本事件的總數(shù)N=4'=64.（1）我們可

17、以用兩種方法計算事件4包含的基本”件數(shù)：3）先從4個盒子中任意選定3個盒子，有C：種不同的選法;再將3個球分別投入這3個盒子中，有P；種不同的投法：從而共有C：-P；種不同的投法.所以，事件A包含的基本步件數(shù)M.=C：P；=24.（ii）第一個球可以投入4個盒子中的任1個盒子，有4種不同的投法：第二個球只能投入其余3個盒子中的任I個盒子，仃3種不同的投法:第三個球只能投入其余2個盒子中的住1個盒子，有2種不同的投法；從而共有4x3x2種不同的投法.所以，事件A包含的基本事件數(shù)M=4x3x2=24.是，按公式（1.22）得事件4的概率p（A）浣=0.375.（2）我們也可以用兩種方法計算事件一包

18、含的基本事件數(shù):（i）先從4個優(yōu)中任意選定1個念已，仃C：種不同的選法;再將3個球都投入這個盒子中，行廣種投法：從而共行C：x種不同的投法.所以，事件“包含的基本事件數(shù)M2=CiXll=4.（ii）第一個球可以投入4個盒子中的任l個盒子中，有4種不同的投法：第，第三個球只能都投入這個盒子中，仃/種投法：從而共仃4x/種不同的投法.所以，事件4包含的基本事件數(shù);1/2=4x1.是，按公式（1.22）得事件B的概率4（/?）=0.0625.（3）我們也可以用兩種方法計算事件。包含的基本事件數(shù)：（i）先從4個盒了,中任選1個念了，從3個球中任選2個球，再將這2個球都投入選定的這個盒子中，有（:富x/

19、種不同的投法;將最后1個球隨機地投入其余3個盒子中的什1個盒子中，力3種不同的投法：從而共有CCxl2x3種不同的投法.所以，事件C包含的基本事件數(shù)If.=c!dxl2x3=36.91J（ii）第一個球可以投入4個盒子中的任1個盒子中，仃4種不同的投法：第二個球可以與笫個球投入同1個盒孑中，也可以投入其余3個盒子中的任1個盒子中，如果是前一種情況，則第三個球應(yīng)投入其余3個盒子中的任1個盒子中，有1x3種不同的投法：如果是后一種情況，則第三個球應(yīng)投入已有球的2個氐r中的任1個盒子中,仃3x2種不同的投法：從而）匕有4(1x3+3x2)種不同的投法.所以，事件C包含的基本事件數(shù)M3=4（1x3+3

20、x2）=36.F是,按公式（L22）得事件C的概率1.9同時擲四個均勻的骰/，求卜.列事件的概率：30.30 .4四個骰子的點數(shù)各不相同；31.31 B恰有兩個骰子的點數(shù)相同；（3）（：四個骰子的點數(shù)兩兩相同,但兩對的點數(shù)不同:1 D蛤有三個骰子的點數(shù)相同；2 E四個骰子的點數(shù)都相同.解擲個骰子，出現(xiàn)的也數(shù)有6種不同的情形：同時擲四個骰子，出現(xiàn)的點數(shù)共有64種不同的情形.所以，基本事件的總數(shù)N=6=1296.（I）四個骰子的點數(shù)各不相同，有6x5x4x3種不同的情形.所以，事件.4包含的基本事件數(shù)%=6x5x4x3=36（）.了是,按公式（1.22）得所求概率（/1）=77=02778.129

21、6（2）為了使恰有兩個骰子的點數(shù)相同，不妨從四個骰子中任選兩個骰子配成一對，仃C：種不同的選法：這對骰子的點數(shù)相同,1目與其余兩個骰子的點數(shù)各不相同，有6x5x4種不同的情形；從而共有C：x6x5x4種不同的情形.所以，事件8包含的基本事件數(shù)x6x5x4=720.是,按公式（1.22）得所求概率720（4）5556.1296（3）為了使四個了尸的點數(shù)兩兩相同，不妨把四個骰子任意選配成兩對，有種不同的選法;每一對假了的點數(shù)相同，但兩對的點數(shù)不同，仃6x5種不同的情形：從而共仃x6x5種不同的情形.所以，步件C包含的基本小件數(shù)M二;C：C；x6x5=90.丁是,按公式（1.22）得所求概率（W）八

22、八國r°",（4）為了使恰有三個骰子的點數(shù)相同，不妨從四個骰子中任選三個骰子組成組，仃C：種不同的選法:這組骰子的點數(shù)相同，但與其余一個段子的點數(shù)不同，有6x5種不同的情形；從而共仃C：x6x5種不同的情形.所以，出件I）包含的基本事件數(shù)此=x6x5=120.于是,按公式（1.22）得所求概率120（）二音訪）,0926.（5）因為四個四子的點數(shù)都相同，只仃6種不同的情形，所以事件£包含的基本事件數(shù)l/s=6.于是,按公式（L22）得所求概率,1.10在半徑為的圓內(nèi)畫平行弦.如果這些弦與垂直于弦的直徑的交點在該立徑上的位置是等可能的，求任意畫的弦的長度大J-/?的

23、概率.解如圖1.1,設(shè)垂克J宜徑.44的弦CD與宜徑A3的交點的橫坐標(biāo)為工,則所有基本事件可以用區(qū)間（-R，K）內(nèi)的點表示出來，按題意它們是等可能的.圖1.1設(shè)件E表示弦CD的長度大A，則£包含的基本事件可以用那些橫坐標(biāo)工滿足卜面不等式的點表示出來：是,按公式（1.24）,所求概率就等卜區(qū)間（的長度/與區(qū)間（-七八）的長度L之比，即PCE）=4-=冬=£*0.866.L2R2,1.11把長度為的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成一個三角形的概率.解設(shè)長度為“的棒被折成三段后，其中兩段的長度分別為X及則第三段的長度為a-x-y.我們有0<x<a90<y<a

24、90<a-x-y<a；0<x<，0<y<a90<.r+y<a.把(,)看作平面上一點的白角坐標(biāo)，則所有的基本事件可以用圖1.2中大三角形區(qū)域內(nèi)的點表示出來.設(shè)事件.4表示被折成的二段可以構(gòu)成個二角形，則因為三角形的任意兩邊之和大于第三邊，所以應(yīng)有y+(-x-y)>x,x+(n-x-y)>y,x+y>a-x-：即aaax<y<x+y>-t-.222因此，獷件A包含的基本事件可以用圖1.2中陰影部分內(nèi)的點表示出來.F是，按公式(L24),所求概率就等于圖1.2中陰影部分的面積$與大三角形的面積S之比，即H.4)=5

25、=；=().25.S124T1-1.12甲乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們在件夜內(nèi)到達的時刻是等可能的.如果甲船的停泊時間是一小時，乙船的停泊時間是兩小時，求它們中的任何艘都不需等候碼頭空出的概率.解設(shè)甲乙兩艘輪船到達碼頭的時刻分別是X及y,則按題意有0WxW24,0WyW24.把(x,y)看作平面上一點的直角坐標(biāo),則所有基本事件可以用圖1.3中邊長為24的1E方形區(qū)域內(nèi)的點表示出來.設(shè)事件.4表示兩艘輪船中的任何一觸都不需等候碼頭空出,則行卜述兩種可能情形：(1)如果甲船先到達碼頭(即#vy),則應(yīng)有>一注1：（2）如果乙船先到達碼頭（即y<*）,則應(yīng)有x-

26、yN2.因此，事件4包含的基本事件可以用圖1.3中陰影部分內(nèi)的點表示出來.廣是，按公式（L24）,所求概率就等圖1.3中陰影部分的面枳s與正方形區(qū)域的面積§之比：P（“）=之IeTx23+T242x222=0.879.36 某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共100個，其中有5個次品.從這批產(chǎn)品中任取一半來檢查，求發(fā)現(xiàn)次品不多n個的概率.解從這批產(chǎn)品中任取一半（即5（）個產(chǎn)品）來檢直，基本“件的總數(shù)設(shè)M件.4表示檢庫時發(fā)現(xiàn)次品不多P1個，則I可以分解為兩個互不相容小件的并：4=+.41,大中獷件I。表示檢行時未發(fā)現(xiàn)次品，小件.丁表示檢衣時發(fā)現(xiàn)1個次品.易知少件磊,AI包含的基本事件數(shù)分別是峪=c；

27、c=按公式（1.22）得p（%）=7,5。"1(»0.0281,（/）=廿=01529.',IGOF是，按概率加法公式（1.25）得所求概率P（A）=P（.40+.4,）=P（.40）+P（.4,）*0.0281+0.1529=0.181.36 袋內(nèi)放仃2個伍分的錢幣，3個成分的錢幣，5個壹分的錢幣.任取其中5個，求總數(shù)超過一角的概率.解從袋內(nèi)的10個餞幣中任取5個，基本事件的總數(shù)N=C：0=252.設(shè)事件4表示任取5個錢幣的總數(shù)超過一角，則A可以分解為卜列三個互不相容事件的并：其中4取得2個伍分及其它任意3個錢幣,.4,取得1個伍分、3個貳分及1個壹分的錢幣，上取

28、得1個伍分、2個貳分及2個壹分的錢幣.易知M件4,4，包含的基本”件數(shù)分別是M.=C；（：2=56,必:C；C；C；=10,M=ClC；C；=60.】«9n是，按概率加法公式（1.25）得所求概率"（A）=P（4.+4+/13）=（4）+（4）+（4）561060126A.=252+252+252=252=0-5-36 在橋牌比賽中，定約人（南家）及其同伴（北家）共有9張黑桃，求其余4張黑桃在防守方（東、西兩家）手中各種分酣情況的概率：（1）“22”分配的概率；（2）“13”或“31”分配的概率：（3）“04”或“4-0”分配的概率.解定約人（南家）雖然已經(jīng)看到了南、北兩家

29、的26張牌，但是不知道其余26張牌在東、西兩家的分配情況.因此，討論其余4張黑桃在東、西兩家的分配時,還應(yīng)考慮其余22張其它花色的牌的分配.與習(xí)題1.7的解法三類似，我們只需討論東家從其余26張牌中分得13張牌的情況,所以基本事件的總數(shù)N=明（1）設(shè)事件4衣示其余4張黑桃在東、西兩家是“22”分配，即東家分得2張黑桃及11張其它花色的牌，則.4包含的基本事件數(shù)于是,按公式（1.22）得所求概率P（A）=4=0.407.（2）設(shè)事件4友小11余4張黑桃在東、西兩家是“13”或“31”分配，則3可以分解為兩個互不相容事件的并：B=E+B,共中事件治表示黑桃是“13”分配，即東家分得1張黑桃及12張

30、其它花色的牌:事件從表示黑桃是“31”分配,即東家分得3張黑桃及10張其它花色的一牌.易知事件"，魚包含的基本事件數(shù)分別是是，按概率加法公式（1.25）得所求概率PUf）=（E+從）=（/九）+（從）I“2"3"10=卡+產(chǎn)=。497.'J26G26（3）設(shè)事件C表示其余4張黑桃在東、西兩家是“0-4”或“4-0”分配,則C可以分解為兩個互不相容事件的并：C=a+C,共中步件。表示黑桃是“04”分配，即東家分得0張黑桃及13張It它花色的牌：小件G表示黑桃是“4-0”分配，即東家分得4張黑桃及9張其它花色的牌.易知事件a,G包含的基本事件數(shù)分別是F是，按概

31、率加法公式（1.25）得所求概率。（。）=。（a+G）=。（G）+尸（G）/»4z»9=#+號=036匕26L2636 一批產(chǎn)品共20件，其中一等品9件,二等品7件，三等品4件.從這批產(chǎn)品中任取3件，求:（1）取出的3件產(chǎn)品中恰有2件等級相同的概率：（2）取出的3件產(chǎn)品中至少勺2件等級相同的概率.解從這批產(chǎn)品（共20件）中任取3件產(chǎn)品，基本事件的總數(shù)N=Ci0=1140.（1）設(shè)事件.4表示取出的3件產(chǎn)品中恰仃2件等級相同，則A可以分解為三個互不相容事件的并：.4=.41+.4、+.43，其中事件/II,.42，4分別表示取111的3件產(chǎn)品中恰由2件一等品，恰有2件二等品，

32、恰仃2件三等品.易知事件4，&，4包含的基本事件數(shù)分別是Mx=CqCJi=396»1/,=C；C：?=273,M3=CjC；6=96.于是，按概率加法公式（1.25）得所求概率。（/1）=。（4+&+4）=P（.4,）+P（42）+P（A3）一匹衛(wèi)士金6711140114011401140（2）設(shè)事件B表示取出的3件產(chǎn)品中至少有2件等級相同，則我們可以用兩種方法計算事件"的概率：（i）把事件“分解為兩個互不相容事件的并：4=A+C,其中步件”就是上述（1）中的”件3#件C表示取出的3件產(chǎn)品的等級都相同.事件。又可以分解為三個互不相容事件的并：c=6+G+a，

33、其中界件G，G，c分別表示取出的3件產(chǎn)品都是一等品，都是二等品，都是三等品.易知事件G，G，g包含的基本事件數(shù)分別是M=（：；=84,AL=C；=35,J/）=C：=4.按概率加法公式（1.26）得（c）=（6+c2+c3）=（a）+（g）+（g）84354123nin0=1140+1140+1140=1140*'丁是，按概率加法公式（1.25）得所求概率（4）=P（.4+C）=P（A）+P（C）765123888八_n=F140+n40=n40=C（）-779-（ii）考慮事件"的對立獷件瓦即取出的3件產(chǎn)品的等級各不相嗎也就是取出的3件產(chǎn)品中恰仃1件一等品、1件二等品、1件

34、三等品.易知事件）包含的基本由件數(shù)M=C：C；C：=252,按公式（1.22）得（1$）=2521140=0.221.是,按公式（1.28）得所求概率P（B）=1-0（4）=1-0.221=0.779.36 設(shè)P（.4）>0,P（/?）>0,將卜列四個數(shù)：P（A）,P（i4fi）,P（AuB）,P（A）+（4）,按由小到大的順序排列，用符號w聯(lián)系它們，并指出在什么情況F可能有等式成立.解因為所以由概率的性質(zhì)知：（/14）W（A）又因為P（.44）NO,所以由公式（1.29）知：P（AUA）Wp（/1）+P（/）.是，我們仃(，出)W(，)W(.4uA)W(4)+(").如

35、果.4U4,則48=A,這時有。(48)=P(.4)：如果/，墨4,則.40=.1,這時行。(.1)=(.4UA)；如果.，1"=0,貝1”(.4«)=0,這時仃P(guān)(.，1U")=P(A)+(4).36 已知P(4)=0.5,P(8)=0.7,則(I)在怎樣的條件卜P(.I8)取得最大值？最大值是多少？(2)在怎樣的條件卜.，(.44)取得最小值？最小值是多少?解(1)因為/1AU.4,ABUB,所以由概率的性質(zhì)知：P(A4)WP(A),P(AB)WP(B).由此可知P(.48)不大:0(.4)與P(8)中的較小者.已知，(.4)=0.5,P(/D=0.7,所以應(yīng)

36、有P(A8)WP(A)=0.5.因為當(dāng)AUB時有43=4,從而P(.44)=P(.4),所以這時P(4B)取得最大值0.5.(2)按公式(1.29)得P(.4U«)=0.5+0.7-P(.4/?)=1.2-P(.4/y),即P(A8)=1.2-P(4U).因為P(4U8)W1,所以有(/2.由此可知：當(dāng)AUA=，即P(AUA)=1時，(AB)取得最小值0.2.36 在1100共一百個數(shù)中任取一個數(shù)，求這個數(shù)能被2或3或5整除的概率.解設(shè)出件.4表示任取的這個數(shù)能被2整除，步件8表示任取的這個數(shù)能被3整除，事件，:表示任取的這個數(shù)能被5盤除，則潛件.4U4U(：表示任取的這個數(shù)能被2或

37、3或5整除.易角I：小件/I4表示任取的這個數(shù)能被2和3整除，即被6整除;事件AC6整任取的這個數(shù)能被2和5整除，即被1()整除；事件/"：表示任取的這個數(shù)能被3和5擅除，即被15整除；小:件.4/"；表示任取的這個數(shù)能同時被2、3和5整除，即被30整除.因為在1100這100個數(shù)中，能被2整除的有50個，能被3整除的有33個，能被5整除的有20個，能被6整除的有16個，能被10整除的有10個，能被15夠除的有6個，能被30整除的有3個，所以有5()、33、20。;面二05P(4)=而=0.33,P")=而=0.2,(/1/6)=0.16,IKAC)=0.HP(H

38、C)=0.06,100100100P(AUC)=擊=0.03.是，按概率加法公式(1.31)，當(dāng)=3時，得所求概率P(.4U/UC)=P(A)+P(/?)+(；)-P(AR)-P(AC)-P(HO”(ARC)=0.5+033+0.2-0.16-().1-0.()6+0.03=0.74.36 在習(xí)題1.7中，求北家分到的13張牌中:(1)至少缺一種花色的概率：(2)四種花色都有的概率.解(1)設(shè)事件4,心，小,兒分別表示北家分到的13張牌中塊黑桃，缺紅心，缺方塊，缺草花，則事件A=.4.U.4.U.4.UA.表示北家分到的13張牌中至少缺一種花色.如果北家分到的13張牌中缺某種花色，則這13張牌

39、如能從其余三種花色的牌(共39張)中任意選取，所以有C”(兒)=T，i=l,2,3,4：U52如果北家分到的13張牌中缺某兩種花色，則這13張牌只能從其余兩種花色的牌(共26張)中任意選取,所以有c13，(44)二品,lwi<jw4；如果北家分到的13張牌中缺某三種花色，則這13張牌只能從第四種花色的牌(共13張)中取得，所以有C”。(14九)二T，1Wi<j<*W4；J又事件為心&&是不可能事件，所以有PCAA2A3A4)=0.廣忠按概率加法公式(1.31),當(dāng)=4時，得所求概率P(.4)=P(.4)U42U.43U.44)4=ZP(A,)_XP(4”i=l

40、I£+v(44L)_p(&&&.44)1金</<A乏4(“3pia=4XY-6xY+4xT1-0=0.0511./1313z>13I.”1-52Lg(2)設(shè)事件“表示在家g到的13張牌中四種花色都行，則H與上述(1)中的4是對立事件，即“=彳或萬=A.我們有pF)=p(a)«o.051i.丁是,按公式(1.28)得所求概率()=1-(/7)R1-0.()511=0.9489.36 袋中有“個白球與b個黑球.每次從袋中任取一個球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球與第一次取出的球顏色相同的概率.解設(shè)事件工友小第i次取出的球是門球(i

41、=1,2),則事件A,表小第，次取出的球是黑球3=1，2).乂設(shè)”件A表示第：次取出的球與笫次取出的球顏色相同，則有4=+4為因為第次取出的球不再放回去,所以有P(A.)=P(A,14.)=-71：a+bn+A-IP(.4,)=P(-4J.4.)=J丁1a+b-1a+/1-1按概率乘法公式(1.34)得a(一I)P(.4r42)=P(4)P(&H)aa-1a+b“+-1-1)'P(4.4,)=P(3)(.4JA)b6-16(/)-1)a+ba+b-I(+/)(-%-1)于是，按概率加法公式(1.25)得所求概率1A)=P(44+A&)=P(A.,)+P(兒兒)。-1)h

42、(b-I)(n+/)(n+/)-1)(a+/)(a+I)1)_(-1)+伙/)-1)(+/)(+/)-1)36 袋中有3個白球與7個黑球，甲乙二人輪流從袋中取球，第一次甲取，第二次乙取每次取1個球，取出的黑球不再放回去，直至取寓1個白球為止.求各人先取出白球的概率.解因為袋中只有7個黑球，取出的黑球不再放回去，所以最多取8次總能取出1個白球.設(shè)小件工表示笫i次取球時甲取出口球(i=l，3,5,7),獷件",表示第j次取球時乙取出白球(j=2,4,6,8),則在卜列事件中甲先取出白球：4第一次甲取出白球：.1,/M3一前兩次甲乙取出的都是黑球，笫三次甲取出白球；.4小月/.典5前四次甲

43、乙取出的都是黑球，第五次甲取出白球；一44兒線A7前六次甲乙取出的都是黑球，第七次甲取出白球.設(shè)事件A表示甲先取出白球，則有A=4+4L-47易知按概率乘法公式(1.35)得P(工月,4)=(兒)P(fij.4.)P(4J.4J/J7637-1()9840P(74-3%4$)=P(4)P(.閉)P(4J兒&4瓦4)765431一一“”=."109876-12P(4瓦人凡4見)=P(A,)P(B,I4,)-PM7IA1243/?4A556)7654323110987654-40-丁是，按概率加法公式(1.26)得甲先取出白球的概率P(A)=P(41)+P(4i/A.43)+。(

44、用力2乙也乙)+P(4員4自乙線公)=i0+40+12+40=120°-583-設(shè)事件“表示乙先取出白球，則事件.4與"是對立事件，按公式(1.28)仃P(guān)(.4)+P(4)=1.由此得乙先取出白球的概率P(/?)=1-P(4)«=l-0.583=0.417.23 獵人在距離100m處射擊一動物，擊中的概率為0.6：如果第一次未擊中，則進行第二次射擊，但由動物逃跑而使距離變?yōu)?50m：如果第二次又未擊中，則進行第三次射擊，這時距離變?yōu)?00m.假定擊中的概率與距離成反比，求獵人擊中動物的概率.解設(shè)貨件.4表示獵人擊中動物，乂設(shè)步件.4,表示第i次射擊時擊中(i=1,

45、2,3),則有.4=.41+.41.42+41.4=4:按胭意，笫i次山,中的概率上與距離4成反比，所以設(shè)P,=/=I*2»3：其中A為比例常數(shù).已知%=100時S=(4)=0.6,代入上式，得。小卷由此得L=60.所以有p,=竽,i=1,2.3.因為在第一次未擊中的條件"才進行第二次射擊，在第一次、第二次都未擊中的條件卜.才進行第三次射擊，所以上述概率%及外都是條件概率，即_、60P(.4,1.4,)=/>,=而=0.4，尸(人氏用)=入=黑二0.3丁是，按概率乘法公式(1.34)及(1.35)得“(./A,)=P(A)P(.4，H)=(1-0.6)x0.4=0.1

46、6,P(4,42.43)=P(.4,)P(42M,)P(.43M,.42)=(1-0.6)x(1-0.4)xO.3=0.072.最后，按概率加法公式(1.26)得所求概率P(.4)=(/1)+”(.4,4,)+P(4,i2/t3)=0.6+0.16+0.072=0.832.23 個人每人攜帶一件禮拈參加聯(lián)歡會.聯(lián)歡會開始后，先把所有的禮品編號，然后每人任抽一個號碼，按號甄惠禮品.求所有參加聯(lián)歡會的人都得到別人贈送的禮品的概率.解設(shè)獷件.4,表示第i個人得到自己帶來的禮品(i=1,2.，)，則事件U.4,表示參加聯(lián)歡會的人中至少有一個人得到自己帶來的禮品.M件UA,的4-I1-1對立小件就是所有

47、參加聯(lián)歡會的人都得到別人贈送的禮品，即Cja,=n，=|:=|按公式(1.22)及概率乘法公式(1.34)、(1.35)得(兒)=(i=1929/?),n(44)=(4)(“JL)111*=nn-1n(/i-1)P(AAAk)=P(4)P(AA9)P(AkAAt)1w,<j)，_11n一1-2zi(/?-I)(/»-2)P(4.4、尤)=P(A1)P(4J4,)-P(414.4.(.)11.1一一-I=-nn-1n!是，按概率加法公式(L31)得(UL)=L-c：iIt1I=+-2!3!TI)+C>(一1)(一2)+(-1)最后,按公式(L28)得所求概率P(n4)=i-

48、P(u4)i=lf=1I八11=>q+打-.111=I-+1!2!3由函數(shù)1的箱級數(shù)展開式可知,所以，當(dāng)充分大時，所求概率=葭|=0.368.23 兩臺年床加工同樣的零件，第臺出現(xiàn)廢品的概率是0.03,笫二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02.加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加匚的零件比第二臺加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格產(chǎn)概率.解設(shè)事件.4表示任意取出的零件是合格品，則力件I表示任意取出的零件是廢品：乂設(shè)事件從表示任意取出的零件是第i臺車床力111二的(i=1,2),則少件4可以分解如下:4=缶+.4/A.按題意，如果第二臺車床加的零件為個，則笫一臺車床加工的零件為2個，共計3個

49、零件放在一起，由此得(%)=京，P(82)=;.乂按題意知,（川/；,）=0.（）3，（AI/A）=0.02.因為條件概率具有概率的一切性質(zhì),用以有0（/119）=1-P（彳明）=1-0.03=0.97,（川/）=1-P（IlZ?2）=1-0.02=0.98.于是,按全概率公式（1.36）得所求概率21（.4）=十x0.97+十x0.98=（）.973.23 盒中放有12個乒乓球,其中有9個是新的.第一次比賽時從其中任取3個來用，比賽后仍放回盒中.第二次比賽時再從盒中任取3個，求第二次取出的球都是新球的概率.解設(shè)事件.4表示第二次比賽時取出的球都是新球，小件"表示第一次比賽時用了i個

50、新球（i=。，1，2,3）,則事件.4可以分解如卜.：3.4=EABt.I=0c;c(/<)(如果第次比賽時用ri個新球，則盒中還仃9-個新球，所以1“（41。）二i=0,123.是,按全概率公式（1.36）得所求概率3r3T3I3/>（4）=Vy/，33/32/"Sv-i/«O'12"'12<'"I2），=不匕（C溫端+C；C；C；+C；C；C：）=!?（1x1x84+9x3x56+36x3x35+84x1x20）（220）2'7056人=-（）.146.4840023 試卷中仃道選擇題，共有4個答案可

51、供選擇，其中只有1個答案是正確的.任一考生如果會解這道題，則一定能選出正確答案：如果他不會解這道題，則不妨任選一個答案.設(shè)考生會解這道題的概率是0.8,求：（1）考生選出正確答案的概率；（2）已知某考生所選答案是正確的,則他確實會竺這道題的概率.解（1）設(shè)事件8表示考生會解這道題，則事件萬表示考生不會解這道題.乂設(shè)事件.4表示考生選出正確答案，則4可以分解如卜.：按題意知:.1=.3+.4H.P(B)=0.8,。(4)=1-0.8=0.2：-1P(41/；)=1,P(.4I/y)=0.25.4于是,按全概率公式（1.36）得所求概率_P（.4）=P（B）P（*8）+P（萬）P（4I萬）=0.8

52、x1+0.2x（）.25=（）.85.（2）已知某考生所選答案是正確的，即已知事件4發(fā)生，則按貝葉斯公式（1.37）得所求概率（，）0.850.94L1.28在習(xí)題1.25中，如果任意取出的零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率.解由習(xí)題1.25的解可知，這里要求的是條件概率（從G.按貝葉斯公P(B2)P(AI生)P(/AI.4)=式（1.37）得(當(dāng))+(從從)yX0.02S:;=0.25.x0.03+x0.021.29發(fā)報臺分別以概率0.6及0.4發(fā)出仃弓“”及“-山通訊系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號“”時，收報臺以概率0.8及0.2收到信號“”及“又當(dāng)發(fā)出信號時，收報臺以概率0.9及0.1收到

53、信號“及“求：（I）當(dāng)收報臺收到信7“”時，發(fā)報臺確系發(fā)出信號“”的概率：（2）當(dāng)收報臺收到信號“時，發(fā)報臺確系發(fā)出信"'-”的概率.解設(shè)事件.4表示收報臺收到信號“”，則事件f表示收報臺收到信號-“：又設(shè)”件4表示發(fā)報臺發(fā)出信號“，則J件）表示發(fā)報臺發(fā)出信號.按題意知：P(/?)=0.6,P(B)=0.4：P(.4l/n=0.8,(彳14)=0.2：P(.4ll)=0.1,P(IlB)=Q9.(I)按貝葉斯公式(1.37)得所求概率P(/?L4)=p(/nr(11/?；（/+（a）（ai4）()6x0.809)a-0.6x().8+0.4x().1,(2)按貝葉斯公式(1.

54、37)得所求概率P(加4)=.彳"<p(/e)p(A"，)+，(“)(/I4)空o750.6x0.2+0.4x0.9-'證明：如果P(ll")=P(/lE),則事件I與B是獨立的.11E已知P(A14)=P(A店)，注意到(8)+-(彳)=1,則仃P(guān)(.4IM)=P(,4I4)P(4)+P(的=P(B)P(AIB)+P(萬)=P(O)P(Alfi)+P(5)P(A歷).按全概率公式(I.36),即得P(=P(A).所以事件.4與4是獨立的.一個工人看管三臺乍床，在一小時內(nèi)車床不需要工人照管的概率分別是:第一臺等丁。9,第二臺等于0.8,第三臺等于0.

55、7.求在一小時內(nèi)三臺車床中最多有一臺需要工人照管的概率.解設(shè)事件"表示在一小時內(nèi)第i臺車床需要工人照管，則事件"表示在小時內(nèi)第i臺車床不需要人照管(i=1,2,3).設(shè)事件4表示在小時內(nèi)三臺車床中最多有一臺需要工人照管，則A可以分解如卜.：.4=BBB+RIM.已知P(S()=0.9,P(B2)=0.8,P(&)=0.7：按公式(I.28)得(/%)=0.1,P(叢)=0.2,P(B,)=0.3.注意到事件",/，人是相互獨立的，按概率乘法公式(L42)得P(-一)=P(瓦)P(瓦)P(瓦)=0.9x0.8x().7=().504,=P(Bi)P(色)。(

56、華)=0.1x0.8x0.7=0,056,P(從叢華)=P(從)P(劣)(h3)=0.9x().2x0.7=0.126>P()=P(B1)P(4)P(.)=0.9x0.8x0.3=0.216.于是，按概率加法公式（1.26）得所求概率P（A）=P（"彷/力）+P（&8必）+P（"方從）+P（%BM）=0.504+0.056+0.126+0.216=0.902.電路山電池3兩個并聯(lián)的電池及c小聯(lián)而成.設(shè)電池,損壞的概率分別是0.3,0.2,0.2,求電路發(fā)生間斷的概率.解設(shè)事件.4、8、。分別表示電池損壞、電池b損壞、電池c損壞，事件。表示電路發(fā)生間斷，則按照意知,0可以分解如下，D=4U（BC）.已知P（4）=0.3,（）=0.2,P（C）=0.2,注意到事件4、從。是相互獨立的，是按概率加法公式（1.29）及概率乘法公式（1.40）