旋轉(zhuǎn)面、柱面和錐面)

1、上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 空間曲面和曲線的概念空間曲面和曲線的概念上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 旋轉(zhuǎn)面、柱面和錐面旋轉(zhuǎn)面、柱面和錐面 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面 柱面柱面 錐面錐面 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 本節(jié)討論本節(jié)討論幾種特殊曲面幾種特殊曲面的方程的方程. 這些曲面的參這些曲面的參 數(shù)方程容易得到數(shù)方程容易得到, 目的是建立它們的一般方程目的是建立它們的一般方程. 建立幾何圖形的一般方程建立幾何圖形的一般方程, 先要先要找出圖形上點(diǎn)找出圖形上點(diǎn) 的幾何特征的幾何特征, 然后然后把它轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)所要滿足的把它轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)所要滿足的條件條件即可即可. 討論中所采用的討論中所采用的坐標(biāo)系坐標(biāo)系視視是否涉

2、及度量是否涉及度量而定而定. 具體地講具體地講, 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面必須在必須在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系中討論中討論, 而而 柱面和錐面柱面和錐面可以在可以在仿射坐標(biāo)系仿射坐標(biāo)系中討論中討論.旋轉(zhuǎn)面、柱面和錐面旋轉(zhuǎn)面、柱面和錐面 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面 定義與幾何特征定義與幾何特征 定義定義 由空間的由空間的一條曲線一條曲線 繞某一直線繞某一直線 l 旋旋 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而得到的曲面稱為而得到的曲面稱為旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面. l 稱為它的稱為它的軸線軸線, 為它的為它的母線母線. 由由母線上的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得的圓母線上的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得的圓稱為稱為緯圓緯圓, 它它 是是以以 l 為軸的圓為軸的圓, 但如果此點(diǎn)是母線與

3、軸線的交但如果此點(diǎn)是母線與軸線的交 點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí), 就就退化退化為一點(diǎn)為一點(diǎn). 例如例如, 地球的表面地球的表面是一個(gè)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面, 連結(jié)南北極連結(jié)南北極 的直線的直線是是軸線軸線, 任何一條經(jīng)線任何一條經(jīng)線都可作為都可作為母線母線, 其其緯圓緯圓是是地理學(xué)中的緯線地理學(xué)中的緯線或退化為或退化為北極北極和和南極南極. 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 又如又如, 以以一個(gè)圓一個(gè)圓為為母線母線, 一條與它共面且相離的一條與它共面且相離的 直線直線為為軸線軸線的旋轉(zhuǎn)面是的旋轉(zhuǎn)面是環(huán)面環(huán)面. 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 球面球面是是旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面, 每條直徑每條直徑所在的直線都可作為所在的直線都可作為 軸線軸線.

4、 平面平面也可看作也可看作旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面, 它是它是一條直線繞與它垂一條直線繞與它垂 直的軸線旋轉(zhuǎn)直的軸線旋轉(zhuǎn)的結(jié)果的結(jié)果, 并且并且任何一條法線任何一條法線都可都可 作為作為軸線軸線. 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 注注: 除了除了球面和平面球面和平面等特殊情形等特殊情形, 一般的旋轉(zhuǎn)一般的旋轉(zhuǎn) 面的軸線是唯一的面的軸線是唯一的, 但是但是母線則很多母線則很多, 旋轉(zhuǎn)面上旋轉(zhuǎn)面上每一條和每個(gè)緯圓都相交的曲線每一條和每個(gè)緯圓都相交的曲線都可作為都可作為母線母線.特別地特別地, 以軸線為界的半平面與旋轉(zhuǎn)面的交線以軸線為界的半平面與旋轉(zhuǎn)面的交線是是母線母線, 把它們稱為旋轉(zhuǎn)面的把它們稱為旋轉(zhuǎn)面的經(jīng)線

5、經(jīng)線或或子午線子午線.下面建立下面建立以以 l 為軸為軸, 為母線為母線的的旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面 S 的方程的方程. 先分析先分析 S 上點(diǎn)的幾何特征上點(diǎn)的幾何特征. 設(shè)直線設(shè)直線 l 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M0, 平平 行于向量行于向量 u . 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 l 上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn)M , 使得它的使得它的 緯圓經(jīng)過(guò)緯圓經(jīng)過(guò) M, 即即S M M M0 MM 與與 l 垂直垂直 M 與與 M 到到 l 的距離相等的距離相等 點(diǎn)點(diǎn)M在在S上上 M 繞軸線旋轉(zhuǎn)而得繞軸線旋轉(zhuǎn)而得的圓和的圓和 有交點(diǎn)有交點(diǎn). M , M M u0 = 0, |M0M | = |M0M| . 而而 M 與與 M 到到 l

6、的距離相等的距離相等 |M0M | = |M0M| . 于是于是 M S 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 方程方程上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 求直線求直線 繞直線繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。 100zyx10102zyx例例上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 下面特殊下面特殊的旋轉(zhuǎn)曲的旋轉(zhuǎn)曲面面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 曲線曲線 C 00),(xzyfCy zo繞繞 z軸軸上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 曲線曲線 C 00),(xzyfxCy zo繞繞z軸軸.上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy

7、 |11y1zy zo繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0.y zo S上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設(shè)設(shè)1)1(zz （2）點(diǎn)）點(diǎn)M到到z軸的距離軸的距離|122yyxd 建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程：建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程：如圖如

8、圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 , 0,22 zyxf方程方程同同理理：yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 結(jié)論（規(guī)律）：結(jié)論（規(guī)律）： 當(dāng)坐標(biāo)面上的曲線當(dāng)坐標(biāo)面上的曲線繞此坐標(biāo)面上的一個(gè)坐繞此坐標(biāo)面上的一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，求此旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只需將標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，求此旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只需將在在 此坐標(biāo)面里的方程改變即得，改變的方法是：此坐標(biāo)面里的方程改變即得，改變的方法是：保留與旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以

9、其他兩個(gè)保留與旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其他兩個(gè)坐標(biāo)的平方和的平方根代替方程中的另一坐標(biāo)。坐標(biāo)的平方和的平方根代替方程中的另一坐標(biāo)。繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面xyzxyzx zbyax 雙曲線雙曲線0y2 2 繞繞 x 軸一周軸一周x zbyax 雙曲線雙曲線0zy繞繞 x 軸一周軸一周2 2 x0zy 得得雙雙葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面122222 bzyax. zbyax 雙曲線雙曲線2 2 .繞繞 x 軸一周軸一周axyo3 3 上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax axyoz上題雙曲

10、線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 3 3 a.xyoz 得得單單葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面122222 byazx.3 3 上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax4 4 旋轉(zhuǎn)錐面旋轉(zhuǎn)錐面兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yo 0 0 2222 =z=byax.兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yoz4 4 旋轉(zhuǎn)錐面旋轉(zhuǎn)錐面x yoz 0 0 2222 =z=byax.兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)錐面得旋轉(zhuǎn)錐面022222 bzyax.4 4 旋轉(zhuǎn)錐面

11、旋轉(zhuǎn)錐面yoz 02 xazy5 5 拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周yoxz 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周5 5 yayxz22 .oxz生活中見過(guò)這個(gè)曲面嗎？生活中見過(guò)這個(gè)曲面嗎？.5 5 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面得旋轉(zhuǎn)拋物面6yxorR)0()222 rRryRx（ 圓圓繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面5 5z繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圓圓5 5z繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面22222)(ryRzx 環(huán)面方程環(huán)面方程.生活中見過(guò)這個(gè)曲面嗎？生活中見過(guò)這個(gè)曲面嗎？y

12、xo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圓圓上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 以直線為母線的旋轉(zhuǎn)面以直線為母線的旋轉(zhuǎn)面 母線和軸線母線和軸線共面共面時(shí)時(shí) 圓柱面圓柱面 (母線和軸線母線和軸線平行平行) 圓錐面圓錐面 (母線和軸線母線和軸線相交相交 而不垂直而不垂直) 平面平面 (母線和軸線母線和軸線正交正交) 下面討論母線和軸線下面討論母線和軸線異面異面時(shí)的情形時(shí)的情形, 假定直母線假定直母線 與軸線與軸線不垂直不垂直. 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 取直角坐標(biāo)系取直角坐標(biāo)系, 使得使得 z 軸為軸線軸為軸線, 原點(diǎn)原點(diǎn)在在母線母線 l 與軸線的公垂線與軸線的

13、公垂線上上, x 軸軸就是就是公垂線公垂線, 并且并且 l 在其在其 正向正向. 此時(shí)此時(shí) l 在平面在平面 x = d 上上 (d 為為 l 與與 z 軸的距離軸的距離). 設(shè)其一般方程為設(shè)其一般方程為 kyzdx其中其中 k 0 (否則否則 l 與與 z 軸垂直軸垂直). l z O x y 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 求旋轉(zhuǎn)面求旋轉(zhuǎn)面的方程為的方程為: . , , zkzd于是旋轉(zhuǎn)面的方程為于是旋轉(zhuǎn)面的方程為 ,22222kzdyx 即即 . 12222222 kdzdydx這是一個(gè)這是一個(gè)以以 z 軸為軸線軸為軸線的的旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面. 的點(diǎn)的點(diǎn) M 的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為對(duì)任

14、意一點(diǎn)對(duì)任意一點(diǎn) M(x, y, z), l 上滿足上滿足M M 垂直于垂直于 z 軸軸 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 反過(guò)來(lái)反過(guò)來(lái), 一般的一個(gè)一般的一個(gè)旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面 . 1222222 bzayax是由直線是由直線 byazaxl :1或或 byazaxl :2繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)面軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)面. zxy注注: 旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面是是由許多直線構(gòu)成由許多直線構(gòu)成的的, 這種這種直線直線稱為它的稱為它的直母線直母線, 每一條直母線都是由每一條直母線都是由 l1 或或 l2 旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到的得到的, 因此有因此有兩組兩組直母線直母線.旋轉(zhuǎn)面旋

15、轉(zhuǎn)面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 由由直線直線繞與繞與它平行的軸線它平行的軸線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面 稱為稱為圓柱面圓柱面. 母線與軸線的距離母線與軸線的距離稱為它的稱為它的半徑半徑. 注注: (1) 圓柱面圓柱面由由軸線和半徑軸線和半徑所決定所決定, 是是到軸線的到軸線的 距離等于半徑的點(diǎn)的軌跡距離等于半徑的點(diǎn)的軌跡.(2) 這里這里定義的定義的圓柱面圓柱面是向兩側(cè)是向兩側(cè)無(wú)限伸展無(wú)限伸展的的, 不不 同于中學(xué)的同于中學(xué)的有限圓柱體的側(cè)面有限圓柱體的側(cè)面.圓柱面圓柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 如果如果軸線軸線經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) M0, 平行于向量平行于向量 u, 半徑半徑為為 r, 則則 點(diǎn)點(diǎn) M 在圓柱面

16、上在圓柱面上 ,0ruuMM 即即 |M0M u| = r|u|. (2.10) 上述稱為上述稱為圓柱面圓柱面的的向量式方程向量式方程. 如果已知如果已知軸線軸線過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M0, 平行于向量平行于向量 u, 并且并且 M1 在在 圓柱面上圓柱面上, 則則,10uuMMr (2.11) 代入代入(2.10), 得得 |M0M u| = |M0M1 u|. 圓柱面圓柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 例例 已知圓柱面的已知圓柱面的軸線軸線的方程的方程 ,032012zxyx點(diǎn)點(diǎn) M1(1, 2, 1) 在圓柱面上在圓柱面上, 求圓柱面方程求圓柱面方程. 解解: 平行于軸線的向量平行于軸線的向量 u = (2, 1

17、, 0) (2, 0, 1) = (1, 2, 2) . 軸線上一點(diǎn)軸線上一點(diǎn) M0 (0, 1, 3). 根據(jù)根據(jù)(2.11)得得 (2y + 2z + 4)2 + ( 2x z 3)2 + (2x + y 1)2 = 65.整理得整理得 8x2 + 5y2 + 5z2 4xy + 4xz + 8yz + 16x + 14y + 22z 39 = 0. 圓柱面圓柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 例例 經(jīng)過(guò)曲線經(jīng)過(guò)曲線 的圓柱面有幾個(gè)的圓柱面有幾個(gè)? 04422zyx寫出它們的寫出它們的方程方程. 解解: 易見易見圓柱面的軸線圓柱面的軸線過(guò)過(guò)橢圓中心橢圓中心M0 (0, 0, 0). 設(shè)其軸線平行于向量設(shè)

18、其軸線平行于向量 u = (l, m, n), 先確定先確定u的坐標(biāo)的坐標(biāo).M1 (0, 1, 0), M2 (2, 0, 0), 易求得橢圓上三點(diǎn)易求得橢圓上三點(diǎn)),(02313 M因此它們?cè)趫A柱面上因此它們?cè)趫A柱面上, 從而從而|M0M1 u| = |M0M2 u| = |M0M3 u|. 圓柱面圓柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 解得解得 代入坐標(biāo)得到代入坐標(biāo)得到,)()()()()()()( 222222222232322lmnnlnmnln. nlm30于是可取于是可取 或或 , ),(103 u ),(103 u 圓柱面圓柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 即即 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 根據(jù)根據(jù) (2.11) 得得

19、),(103 u ),(103 u 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 根據(jù)根據(jù) (2.11) 得得 ,)()()(433222 yzxy. 043234222 xzzyx即即 ,)()()(433222 yzxy. 043234222 xzzyx 圓柱面圓柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 練習(xí)練習(xí): 在空間直角坐標(biāo)系中在空間直角坐標(biāo)系中, 球面球面S 的的半徑為半徑為2, 球心球心坐標(biāo)為坐標(biāo)為(0, 1, 1). 求求S 的的平行于向量平行于向量u(1, 1, 1)的的外切圓柱面外切圓柱面的方程的方程.解解: 由題意知由題意知平行于軸線的向量平行于軸線的向量 u = (1, 1, 1). 軸線上一點(diǎn)軸線上一點(diǎn)可取為可取為球心

20、球心 (0, 1, 1). 圓柱面的半徑圓柱面的半徑即為球面半徑即為球面半徑 2. 于是根據(jù)于是根據(jù)(2.10)得得 (y z 2)2 + ( x + z + 1)2 + (x y + 1)2 = 12.整理得整理得 x2 + y2 + z2 xy xz yz 3y + 3z 3 = 0. 圓柱面圓柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 定義定義 由由一族互相平行的直線一族互相平行的直線構(gòu)成的曲面稱為構(gòu)成的曲面稱為 柱面柱面. 這些直線為它的這些直線為它的直母線直母線. 柱面上的柱面上的一條曲一條曲 線線如果如果和每一條直母線都相交和每一條直母線都相交, 就稱它為柱面的就稱它為柱面的 一條一條準(zhǔn)線準(zhǔn)線.例如例如

21、: 圓柱面圓柱面是柱面是柱面, 它的它的直母線平行于軸線直母線平行于軸線. 平面平面是柱面是柱面, 其上其上每條直線都是直母線每條直線都是直母線. 柱面柱面 定義與幾何特征定義與幾何特征 母線母線準(zhǔn)線準(zhǔn)線上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 注注: (1) 一般一般柱面的直母線方向確定柱面的直母線方向確定, 稱為稱為柱面的方柱面的方 向向, 可用可用非零向量非零向量 u 規(guī)定規(guī)定, 稱稱柱面平行于柱面平行于 u. (2) 柱面由柱面由柱面的方向柱面的方向和它的一條和它的一條準(zhǔn)線準(zhǔn)線確定確定. 既既 可以看成可以看成準(zhǔn)線沿著柱面的方向平行移動(dòng)的軌跡準(zhǔn)線沿著柱面的方向平行移動(dòng)的軌跡, 也可看成也可看成直母線沿著準(zhǔn)線平

22、行移動(dòng)的軌跡直母線沿著準(zhǔn)線平行移動(dòng)的軌跡.(3) 若柱面若柱面 S 平行于向量平行于向量 u, 有一條有一條準(zhǔn)線準(zhǔn)線 , 則則點(diǎn)點(diǎn)M 在在 S 上上 M 在某一條母線上在某一條母線上.柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 設(shè)在一個(gè)仿射坐標(biāo)系中設(shè)在一個(gè)仿射坐標(biāo)系中, 柱面方向?yàn)橹娣较驗(yàn)?u(k, m, n), 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 的方程為的方程為 ,),(),( 00zyxzyxGF則點(diǎn)則點(diǎn) M(x, y, z) S 存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù) t, 使得使得 ,),(,),(00tnztmytkxtnztmytkxGF從其中一式從其中一式解出解出 t 代入另一式代入另一式, 即得即得 S 一般方程一般方程. (2.14)

23、方程的建立方程的建立 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 常用的情形是常用的情形是 為平面曲線為平面曲線, 并設(shè)并設(shè)F(x, y, z) = 0 是平面的一般方程是平面的一般方程Ax + By + Cz + D = 0, 則由則由 A(x + tk) + B(y + tm) + C(z + tn) + D = 0, 解得解得 ,CnBmAkDCzByAxt 代入代入 G(x + tk, y + tm, z + tn) = 0, 得到得到 S 的一般的一般 方程方程 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 0 CnBmAkDCzByAxnzCnBmAkDCzByAxmyCnBmAkDCzByAxkx G,例例 在一個(gè)仿

24、射坐標(biāo)系中在一個(gè)仿射坐標(biāo)系中, 柱面平行于向量柱面平行于向量 u(1, 1, 1), 一條準(zhǔn)線方程為一條準(zhǔn)線方程為 ,zyxzyx60122求柱面的方程求柱面的方程. 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 解解: )()()()()()(tztytxtztytx60122從從 的第一式得的第一式得 ,31zyxt 代入第二式代入第二式: 2223163131 zyxzzyxyzyxx整理得柱面的方程為整理得柱面的方程為 5x2 + 5y2 + 2z2 8xy 2xz 2yz + 20 x + 20y 40z 16 = 0. 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 若給出準(zhǔn)線若給出準(zhǔn)線 的參數(shù)方程的參數(shù)方程: ,)()(

25、)(bazyx hgf同理可得出同理可得出柱面的參數(shù)方程柱面的參數(shù)方程: ,)()()( hgf tnztmytkxa b, t +. 例如以例如以z 軸為軸線軸為軸線, r為半徑為半徑的的圓柱面的參數(shù)方程圓柱面的參數(shù)方程: ,sincos tzryrx0 2, t +. 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 例例 在一個(gè)直角坐標(biāo)系中在一個(gè)直角坐標(biāo)系中, 柱面平行于向量柱面平行于向量 u( 1, 1, 1), 一條準(zhǔn)線方程為一條準(zhǔn)線方程為, 0422012222zyxzyx求柱面的參數(shù)方程求柱面的參數(shù)方程, 再化成一般方程再化成一般方程. 解解: 準(zhǔn)線方程可化為準(zhǔn)線方程可化為, 2122zyx這是平面這是

26、平面 z = 2 上的一個(gè)圓上的一個(gè)圓, 故有參數(shù)方程故有參數(shù)方程 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 ,sincos 2zryrx0 2 . 從而從而柱面的參數(shù)方程柱面的參數(shù)方程為為: ,sincos tztrytrx20 2, t +. 消去消去參數(shù)參數(shù), t 得得柱面的一般方程柱面的一般方程為為: (x + z 2) 2 + (y z + 2)2 = 1. 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 練習(xí)練習(xí): 已知柱面已知柱面準(zhǔn)線準(zhǔn)線 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為: , 32tztytx母線母線方向?yàn)榉较驗(yàn)?(1, 2, 1), 求柱面的參數(shù)方程求柱面的參數(shù)方程. 解解: 柱面的柱面的參數(shù)方程參數(shù)方程為為: . st

27、zstystx322 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 則則 ,nzt 柱面的方程為柱面的方程為 .,0 nmzynkzxf(1) 準(zhǔn)線在某個(gè)坐標(biāo)面上準(zhǔn)線在某個(gè)坐標(biāo)面上. 譬如柱面平行于譬如柱面平行于 u(k, m, n), 準(zhǔn)線在準(zhǔn)線在 xy 平面上平面上, 方程為方程為 00),(yxzf 特殊情形特殊情形 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 練習(xí)練習(xí): 在一個(gè)仿射坐標(biāo)系中在一個(gè)仿射坐標(biāo)系中, 柱面平行于向量柱面平行于向量 u(1, 1, 1), 一條準(zhǔn)線方程為一條準(zhǔn)線方程為,)( 041222zzyx求柱面的一般方程求柱面的一般方程. 解解: 準(zhǔn)線方程可化為準(zhǔn)線方程可化為, 0322zyx因此因此柱面的一

28、般方程柱面的一般方程為為: (x z)2 + (y + z)2 = 3. 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 (2) 如果如果柱面平行于某個(gè)坐標(biāo)軸柱面平行于某個(gè)坐標(biāo)軸, 譬如譬如 z 軸軸, 假設(shè)假設(shè) 柱面柱面和和 xy 面的交線面的交線為為 00),(yxzf則此時(shí)柱面的方程就是則此時(shí)柱面的方程就是 f (x, y) = 0. 事實(shí)上事實(shí)上, 有有定理定理: 若一個(gè)若一個(gè)柱面柱面的的母線平行于母線平行于z 軸軸 (或或 x 軸軸, 或或 y 軸軸), 則它的方程中則它的方程中不含不含 z (或或x, 或或y); 反之反之, 一個(gè)一個(gè) 三元方程若三元方程若不含不含z (或或x, 或或y), 則它一定表示

29、一個(gè)則它一定表示一個(gè)母線平行于母線平行于z 軸軸 (或或 x 軸軸, 或或 y 軸軸) 的的柱面柱面. 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 證明證明: () 設(shè)一個(gè)設(shè)一個(gè)柱面柱面的的母線平行于母線平行于z 軸軸, 則這個(gè)柱面的則這個(gè)柱面的每條母線必與每條母線必與xy 面相交面相交, 從而其從而其交線交線 可以作為可以作為準(zhǔn)線準(zhǔn)線, 設(shè)設(shè) 的方程的方程為為 00),(yxzf 點(diǎn)點(diǎn)M 在此柱面上在此柱面上 過(guò)過(guò) M 且平行于且平行于 u (0, 0, 1) 的直線與的直線與 相交相交. 因此因此, 有有 ,),(,0yxtzf柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 因?yàn)閰?shù)因?yàn)閰?shù)t 可以取任意實(shí)數(shù)值可以取任意實(shí)數(shù)值,

30、 于是得到這個(gè)于是得到這個(gè)柱面的方程為柱面的方程為 f (x, y) = 0.() 任給一個(gè)不含任給一個(gè)不含 z 的三元方程的三元方程 g (x, y) = 0.考慮以曲線考慮以曲線 : 00),(yxzg為為準(zhǔn)線準(zhǔn)線, 以以z 軸為方向軸為方向的柱面的柱面, 由上面的討論可知由上面的討論可知, 這個(gè)柱面的方程為這個(gè)柱面的方程為 g (x, y) = 0.因此因此 g (x, y) = 0 表示一個(gè)表示一個(gè)母線平行于母線平行于z 軸軸的的柱面柱面. 母線平行于母線平行于x 軸軸, y 軸軸的情形可類似討論的情形可類似討論. 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 例如例如, 方程方程 12222 byax表

31、示表示母線平行于母線平行于z 軸軸的的柱面柱面, 因它與因它與xy 面的交線面的交線 012222zbyax是一個(gè)橢圓是一個(gè)橢圓, 故這個(gè)柱面稱為故這個(gè)柱面稱為橢圓柱面橢圓柱面. 類似地類似地, 方程方程, 12222 byaxpyx22 分別表示分別表示母線平行于母線平行于z 軸軸的的雙曲柱面雙曲柱面和和拋物柱面拋物柱面. 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 橢圓柱面橢圓柱面12222 byaxxyzO雙曲柱面雙曲柱面12222 byaxxozy上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 xozyxozyyx22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面yx22 xy 拋物柱面拋物柱面方程：方程：平面方程：平面方程： ),(zyxM )

32、0 ,(1yxM上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 曲線的投影柱面曲線的投影柱面(在直角坐標(biāo)中在直角坐標(biāo)中) 定義定義: 以空間曲線以空間曲線 為準(zhǔn)線為準(zhǔn)線, 母線平行于母線平行于z 軸軸 (或或 x 軸軸, 或或y 軸軸) 的的柱面柱面稱為曲線稱為曲線 的對(duì)于坐標(biāo)面的對(duì)于坐標(biāo)面xOy (或或yOz , 或或xOz)的的投影柱面投影柱面. 設(shè)設(shè)準(zhǔn)線準(zhǔn)線 的方程為的方程為 ,),(),( 00zyxzyxGF消去消去z (或或x, y), 所得方程所得方程 H1(x, y) = 0 (或或H2(y, z) = 0, H3(x, z) = 0 ), 即為即為投影柱面投影柱面方程方程, 而而投影柱面與對(duì)應(yīng)坐標(biāo)面的投影

33、柱面與對(duì)應(yīng)坐標(biāo)面的 交線交線稱為稱為 在這坐標(biāo)面上的在這坐標(biāo)面上的投影投影. 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 例例2 求空間曲線求空間曲線 : 01022zxzyx對(duì)于三坐標(biāo)面的投影柱面和投影曲線方程對(duì)于三坐標(biāo)面的投影柱面和投影曲線方程. 解解: 把把 z = x + 1 代入第一個(gè)方程代入第一個(gè)方程, 整理得整理得 對(duì)于對(duì)于 xOy的的投影柱面投影柱面和和投影曲線方程投影曲線方程:投影柱面投影柱面: x2 + y2 x 1 = 0, 投影曲線投影曲線: ; 00122zxyx 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 對(duì)于對(duì)于xOz的的投影柱面投影柱面和和投影曲線方程投影曲線方程就是就是: 投影柱面投影柱面: x

34、 z +1 = 0, 投影曲線投影曲線: ; 001yzx把把 x = z 1 代入第一個(gè)方程代入第一個(gè)方程, 整理得整理得 對(duì)于對(duì)于 yOz的的投影柱面投影柱面和和投影曲線方程投影曲線方程:投影柱面投影柱面: y2 + z2 3z +1 = 0, 投影曲線投影曲線: . 001322xzzy 柱面柱面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 由由直線直線繞繞與它相交而不垂直的軸線與它相交而不垂直的軸線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)所得的 旋轉(zhuǎn)面稱為旋轉(zhuǎn)面稱為圓錐面圓錐面. 母線與軸線的交點(diǎn)母線與軸線的交點(diǎn)稱為稱為錐頂錐頂,夾角夾角稱為稱為半頂角半頂角. 注注: (1) 圓錐面由圓錐面由軸線、錐頂和半頂角軸線、錐頂和半頂角所決定所決

35、定. (2) 這里這里定義的定義的圓錐面圓錐面是是無(wú)限伸展無(wú)限伸展的的, 并且分成并且分成 連接在錐頂處的連接在錐頂處的兩支兩支, 不同于中學(xué)的不同于中學(xué)的有限圓錐體有限圓錐體 的側(cè)面的側(cè)面. 圓錐面圓錐面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 假設(shè)假設(shè)錐頂錐頂為為 M0, 半頂角半頂角為為 , 則圓錐面由則圓錐面由 M0 和所有使得和所有使得 M0M 與軸線的夾角等于與軸線的夾角等于 的點(diǎn)的點(diǎn) M 構(gòu)成構(gòu)成. 它的它的向量式方程向量式方程為為 |M0M u| = |M0M| |u| cos . (2.12) 若已知若已知圓錐面上一點(diǎn)圓錐面上一點(diǎn) M1, 則則 u MMuMM1010 cos代入代入(2.12),

36、得方程得方程 (2.13) |M0M u| |M0M1| = |M0M1 u| |M0M| . 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 例例 2.16 已知圓錐面已知圓錐面軸線在軸線在 I 和和 VII 卦限卦限中中, 并且并且 三條坐標(biāo)軸都在此圓錐面上三條坐標(biāo)軸都在此圓錐面上, 求圓錐面的方程求圓錐面的方程.解解: 顯然顯然錐頂錐頂是是原點(diǎn)原點(diǎn), 設(shè)向量設(shè)向量 u 平行于軸線平行于軸線, 并且并且 坐標(biāo)都是正數(shù)坐標(biāo)都是正數(shù), 則則 u e1 = u e2 = u e3 點(diǎn)點(diǎn)M1(0, 0, 1)在此圓錐面上在此圓錐面上, 由由(2.13)得得 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 即

37、即 xy + yz + zx = 0. 即即 u 的三個(gè)坐標(biāo)相等的三個(gè)坐標(biāo)相等, 不妨設(shè)為不妨設(shè)為 (1, 1, 1) . 旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 錐面錐面定義定義 由由一族過(guò)同一點(diǎn)一族過(guò)同一點(diǎn) M0 的直線的直線構(gòu)成的曲面構(gòu)成的曲面 稱為稱為錐面錐面. 這些直線稱為它的這些直線稱為它的直母線直母線. M0 稱為稱為錐錐 頂頂, 錐面上錐面上不過(guò)錐頂?shù)囊粭l曲線不過(guò)錐頂?shù)囊粭l曲線如果如果和每一條直和每一條直 母線都相交母線都相交, 就稱為它的一條就稱為它的一條準(zhǔn)線準(zhǔn)線. 例如例如: 圓錐面圓錐面是錐面是錐面. 平面平面是錐面是錐面, 其上其上每一點(diǎn)每一點(diǎn)都可作為都可作為錐頂錐頂. 共軸平面

38、系中的兩個(gè)或多個(gè)平面共軸平面系中的兩個(gè)或多個(gè)平面一起也一起也 構(gòu)成錐面構(gòu)成錐面, 軸上的軸上的每一點(diǎn)每一點(diǎn)都可看作都可看作錐頂錐頂. 定義與幾何特征定義與幾何特征 上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 注注: (1) 一般錐面的一般錐面的錐頂是確定的錐頂是確定的. (2) 錐面錐面由由錐頂錐頂和和準(zhǔn)線準(zhǔn)線確定確定. 如果如果一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)M不是不是錐頂錐頂, 則則M在錐面上在錐面上 M 和錐頂?shù)倪B線和準(zhǔn)線相交和錐頂?shù)倪B線和準(zhǔn)線相交. 錐面錐面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 則點(diǎn)則點(diǎn) M(x, y, z) 錐面錐面 存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù) t, 使得使得 ,)( ,)( ,)(,)( ,)( ,)(01110111000000tzztt

39、yyttxxttzzttyyttxxtGF從其中一式從其中一式解出解出 t 代入另一式代入另一式, 即得即得 S 的方程的方程. (2.15) 注注: 當(dāng)當(dāng)準(zhǔn)線是平面曲線準(zhǔn)線是平面曲線時(shí)時(shí), 計(jì)算比較簡(jiǎn)單計(jì)算比較簡(jiǎn)單 .設(shè)在一個(gè)仿射坐標(biāo)系中設(shè)在一個(gè)仿射坐標(biāo)系中, 錐面的錐頂錐面的錐頂M0(x0, y0, z0), 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 的方程的方程為為 ,),(,),(00zyxzyxGF 方程的建立方程的建立 錐面錐面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 例例 在一個(gè)仿射坐標(biāo)系中在一個(gè)仿射坐標(biāo)系中, 錐頂為錐頂為 (0, 2, 5) , 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 的方程為的方程為 ,0119422yxzx求錐面的方程求錐面的方程. 解解:

40、 根據(jù)根據(jù)(2.15), 有有 ,)(,)()(01221955422tyttxtzttx 錐面錐面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 根據(jù)第二式根據(jù)第二式, 得得 ,23 yxt代入第一式代入第一式, 得得 ,)()()(12953552492222 yxzyxyxx此方程的圖像為此方程的圖像為錐面去掉錐頂錐面去掉錐頂. 去分母去分母, 得得 81x2 + 4(5x 5y + 3z 5)2 = 36(x y + 2)2 錐面錐面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 整理后得整理后得 145x2 + 64y2 + 36z2 128xy + 120 xz 120yz 344x + 344y 120z 44 = 0. 而去分母增加方程

41、的解而去分母增加方程的解, 即為方程組即為方程組 02053550yxzyxx的解的解 (0, 2, 5) , 即即錐頂坐標(biāo)錐頂坐標(biāo). 因此因此, 上述方程就是錐面的方程上述方程就是錐面的方程. 錐面錐面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 注注: 實(shí)用上常取實(shí)用上常取坐標(biāo)原點(diǎn)為錐頂坐標(biāo)原點(diǎn)為錐頂, 此時(shí)此時(shí), 如果如果準(zhǔn)準(zhǔn) 線在平行于坐標(biāo)平面的一張平面線在平行于坐標(biāo)平面的一張平面上上, 譬如為譬如為,),( hzyxf0則用上述方法得到方程則用上述方法得到方程 ,0 zhyzhxf它是它是去掉錐頂?shù)腻F面去掉錐頂?shù)腻F面的方程的方程. 如果如果 f (x, y) 是是 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 則此方程可化為一個(gè)則此方程可化為一個(gè) n 次齊次方程次齊次方程 (即左邊多項(xiàng)式每一項(xiàng)都是即左邊多項(xiàng)式每一項(xiàng)都是 n 次項(xiàng)次項(xiàng)): ,0 zhyzhxfzn 錐面錐面上頁(yè) 下頁(yè) 結(jié)束 ,0 zhyzhxfzn的圖像的圖像多了錐頂多了錐頂. 也可能增加了一些別的點(diǎn)也可能增加了一些別的點(diǎn). 一般地一般地, 有有定理定理: x, y, z 的的 n 次齊次方程次齊次方程的圖像的圖像 (添上原點(diǎn)添上原點(diǎn))一定是一定是錐頂為原點(diǎn)的錐面錐頂為原點(diǎn)的錐面; 反之亦然反之亦然.證明證明: 設(shè)設(shè)F (x, y, z) = 0 是是 n 次齊次方程次齊次方程, 它表示它表示