理論力學(xué) 第九章

1、 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理(Theorem of Momentum Moment)第二篇第二篇 動動 力力 學(xué)學(xué)Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 返回總目錄制作與設(shè)計(jì)制作與設(shè)計(jì) 山東大學(xué)山東大學(xué) 工程力學(xué)系工程力學(xué)系 返回首頁Theoretical Mechanics 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理目目 錄錄9.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩9.2 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量9.3 動量矩定理動量矩定理9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程9.5 質(zhì)點(diǎn)系

2、相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理9.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程剛體的平面運(yùn)動微分方程 Theoretical Mechanics 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理 9.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩 返回首頁Theoretical Mechanics9.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩r)( vmmOvmF dAB)(FmO動量矩是矢量，稱為動量矩矢。動量矩是矢量，稱為動量矩矢。 方向垂直于矢徑r與動量mv所形成的平面，指向按右手法則確定，其大小為質(zhì)點(diǎn)動量矩 質(zhì)點(diǎn)M的動量對于O點(diǎn)的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)對于O點(diǎn)的動量矩，即vrvmmmO)(OABmvdmr

3、mvmO2),sin()(vrvm 面積在國際單位制中，動量矩的單位是kgm2s-1。 Theoretical Mechanics以矩心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系O xyz，由矢量積定義zyxOmvmvmvzyxmmkjivrvm)(kjivm)()()()(xyzxyzOymvxmvxmvzmvzmvymvmkjivmmvmmvmmvmmzyxO 質(zhì)點(diǎn)的動量對固定點(diǎn)的動量矩矢在通過該點(diǎn)的任一固定軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)的動量對該固定軸的動量矩xyzzxyyzxymvxmvmmxmvzmvmmzmvymvmmvvv動量矩的量綱是 TLFTLMmO12)( vm 返回首頁9.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩

4、質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩Theoretical MechanicsniniiiiiiOOmm11)(vrvML質(zhì)點(diǎn)系動量矩質(zhì)點(diǎn)系動量矩 質(zhì)點(diǎn)系中所有各質(zhì)點(diǎn)的動量對于固定點(diǎn)O的動量矩矢之和稱之為該質(zhì)點(diǎn)系對O點(diǎn)的動量矩，即vLvLvLmmLmmLmmLzzzOyyyOxxxO投影形式 質(zhì)點(diǎn)系對某固定點(diǎn)O的動量矩矢在通過該點(diǎn)的軸上的投影等于質(zhì)點(diǎn)系對該軸的動量矩。 對于平面問題，動量矩矢總是垂直于該平面，則可視為代數(shù)量，并規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎槙r(shí)針方向?yàn)樨?fù)。 返回首頁9.1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動量矩 Theoretical Mechanics 返回首頁 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理

5、9.2 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的 動量矩動量矩轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量9.1 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量一、定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩一、定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩22iiiiiiizrmrmvmrL2zi iiJmr繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積體對其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積zzLJ9.1 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量二、轉(zhuǎn)動慣量二、轉(zhuǎn)動慣量 如機(jī)器上的飛輪，邊緣比較厚實(shí)。目的就是增加其轉(zhuǎn)動慣如機(jī)器上的飛輪，邊緣比較

6、厚實(shí)。目的就是增加其轉(zhuǎn)動慣量，以使機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)。而儀表中的指針做的比較細(xì)，目量，以使機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)。而儀表中的指針做的比較細(xì)，目的是減少其轉(zhuǎn)動慣量，以使其轉(zhuǎn)動靈敏，提高儀表的精度。的是減少其轉(zhuǎn)動慣量，以使其轉(zhuǎn)動靈敏，提高儀表的精度。9.1 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量zzJm2zzJmCBAlxdxxz9.1 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量CBAlxdxxz222/2112lzlmJx dxmll回轉(zhuǎn)半徑為：回轉(zhuǎn)半徑為：0.2892 3zzJllmROz222zi iiJm rm RmR回轉(zhuǎn)半徑為：回轉(zhuǎn)半徑為：

7、zzJRm9.1 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量RO2220122RzmJdmRR 回轉(zhuǎn)半徑為：回轉(zhuǎn)半徑為：20.70712zzJRRm部分均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量及回轉(zhuǎn)半徑見附錄部分均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量及回轉(zhuǎn)半徑見附錄9.1 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量三、平行軸定理三、平行軸定理222()zCi iiiiJmrm xy22222222()() ()2ziiiiiiiiiiiJm rm xym xydm xydm ydm9.1 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量CBAzCzl221(

8、 )23zCzlJJmml例例9.122121122zJm Rm r21mR h 22mr h 44222211()()22()zJhRrRh Rrr空心圓柱體的質(zhì)量m221()2m Rr例例9.2均質(zhì)空心圓柱體均質(zhì)空心圓柱體2112CzJml9.1 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量例例9.3細(xì)桿細(xì)桿OA對對O軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量222221()()2OCJmRrmRl空心圓盤空心圓盤C對對O軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量21113OJm l整個(gè)鐘擺對整個(gè)鐘擺對O軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量222211211()()32OOOCJJJm lmRrRl Theor

9、etical Mechanics 9.3 動量矩定理動量矩定理 返回首頁 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理xxyyzzdBOATheoretical Mechanics9.3 動量矩定理動量矩定理質(zhì)點(diǎn)動量矩定理質(zhì)點(diǎn)動量矩定理)(FmO)( vmmOF rvmvrvrvrvmmtmtmtmtOdddddddd0ddvvvrmmt FFrvmOOmmtddFv mt ddvrvmmmO)( 質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對同一點(diǎn)的力矩。同一點(diǎn)的力矩。 返回首頁Theoretical Mechanicsn個(gè)方程的矢

10、量和質(zhì)系動量矩定理質(zhì)系動量矩定理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用在第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力有內(nèi)力 和外力 ， 按質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理，有 iiF eiF eiOiiOiiOmtFmFmvmdd i =1，2，n nininieiOiiOiiOmt111ddFmFmvm niiiO10Fm ninieiOiiOmt11ddFmvm nieiieOOt1ddFrML 質(zhì)點(diǎn)系動量矩定理: 質(zhì)點(diǎn)系對于某固定點(diǎn)O的動量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對同一點(diǎn)的主矩。 返回首頁9.3 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics 質(zhì)系對于 x ，y，z 軸的動量矩等于質(zhì)系中各質(zhì)點(diǎn)動量對于 x

11、，y，z 軸動量矩的代數(shù)和。動量矩定理的投影形式動量矩定理的投影形式 質(zhì)點(diǎn)系對某定軸的動量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力對該軸之矩的代數(shù)和。 eizezzeiyeyyeixexxmMLtmMLtmMLtFFFddddddvLvLvLmmLmmLmmLzzzOyyyOxxxO 返回首頁9.3 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics 內(nèi)力不能改變質(zhì)系的動量矩，只有作用于質(zhì)系的外力才能內(nèi)力不能改變質(zhì)系的動量矩，只有作用于質(zhì)系的外力才能使質(zhì)系的動量矩發(fā)生變化使質(zhì)系的動量矩發(fā)生變化。在特殊情況下外力系對O點(diǎn)的主矩為零，則質(zhì)系對O點(diǎn)的動量矩為一常矢量，即OeOLM,

12、0)(常矢量 外力系對某軸力矩的代數(shù)和為零，則質(zhì)系對該軸的動量矩為一常數(shù)。0)()(exMF= 常量xL動量矩守恒動量矩守恒9.3 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics例例 題題例例 水平桿AB長為2a，可繞鉛垂軸z 轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)重為W的小球C和D。起初兩小球用細(xì)線相連，使桿AC與BD 均為鉛垂，系統(tǒng)繞 z 軸的角速度為 。如某瞬時(shí)此細(xì)線拉斷后，桿AC與BD各與鉛垂線成 角 ，如圖所示。不計(jì)各桿重量，求這時(shí)系統(tǒng)的角速度。0 解：解：系統(tǒng)所受外力有小球的重力及軸承的約束力，這些力對z軸之矩都等于零。系統(tǒng)對z 軸的動量矩守恒。

13、9.3 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics開始時(shí)系統(tǒng)的動量矩為210022zWWLaaagg細(xì)線拉斷后的動量矩為 022)sin(laa222(sin)zWLalg21zzLL 22022(sin)WWaalgg 返回首頁例例 題題9.3 動量矩定理動量矩定理 Theoretical Mechanics 9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程 返回首頁 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程22iiiiiiizrmrmvmrL2zi iJm r 剛體對轉(zhuǎn)動

14、軸的動量矩等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。zzLJ應(yīng)用質(zhì)系對z軸的動量矩方程，得 ddezziJmFt zzJM 設(shè)剛體在外力作用下繞軸轉(zhuǎn)動，角速度，角加速度 。令 z 軸與轉(zhuǎn)軸重合，剛體對 z 軸的動量矩為 Theoretical Mechanics此式稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程由于約束力對由于約束力對z 軸的力矩為零，所以方程中只需考慮主動力的矩軸的力矩為零，所以方程中只需考慮主動力的矩22ddzzJMt ddezziJmFt （1）外力矩Mz越大，剛體轉(zhuǎn)動的角加速度也越大。當(dāng)Mz=0時(shí)，角加速度 = 0，剛體作勻速轉(zhuǎn)動或保持靜止。 （2）在同樣的外力矩作

15、用下，剛體的轉(zhuǎn)動慣量 Jz 越大，角加速度 越小。Jz反映了剛體保持其勻速轉(zhuǎn)動狀態(tài)能力的大小，轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時(shí)的慣性度量。 9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程Theoretical Mechanics例例 題題例 已知剛體的質(zhì)量為m，質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸O的距離OC=a，剛體繞水平軸O作微幅擺動的周期為T，求剛體相對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。 解：建立剛體的轉(zhuǎn)動微分方程式，以擺的平衡位置作為角的起點(diǎn)，逆時(shí)針方向?yàn)檎?，?2dsindOJmgat 作微幅擺動時(shí)， ，簡化為 sin微分方程的通解為0sinOmgatJ2OTJmga2214OJmgaT22d0dOmagtJ9.4 剛體繞定軸

16、的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程其中 及 由運(yùn)動的初始條件確定，而振動的周期為0Theoretical Mechanics 例 卷揚(yáng)機(jī)的傳動輪系如圖所示，設(shè)軸I 和 各自轉(zhuǎn)動部分對其軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1和J2，軸I的齒輪C上受主動力矩 M 的作用，卷筒提升的重力為mg。齒輪 A、B 的節(jié)圓半徑為r1、r2，兩輪角加速度之比r2/r1 =i12。卷筒半徑為 R ，不計(jì)軸承摩擦及繩的質(zhì)量。求重物的加速度 。例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程Theoretical Mechanics解：本題二根固定軸必須拆開，分別以兩軸及與其固連的齒輪為研究對象。軸 I 除受

17、主動力矩M 和重力、軸承約束力外，還受有齒輪力 Ft 及Fn，現(xiàn)假設(shè)1與M 的方向相同，如圖所示。為使方程正負(fù)號簡單，一般約定以軸I 的轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，于是軸 I 的轉(zhuǎn)動方程為 11 1JMF r 再以軸和重物W 為研究對象，畫出其受力圖。按運(yùn)動學(xué)關(guān)系畫出 2 ( 1 反向)，以2轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，?yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理22 2ddJmvRF rmgRt例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程Theoretical Mechanics11 1JMF r222 2JmRF rmgR式中有三個(gè)未知量1、2和Ft，還需建立補(bǔ)充方程。由運(yùn)動學(xué)121221rir重物上升的加速度122221

18、122MimgR RaRJ iJmR122221 122MimgRJ iJmR聯(lián)立解得例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程Theoretical Mechanics 例 均質(zhì)梁AB長l，重W，由鉸鏈A和繩所支持。若突然剪斷聯(lián)結(jié)B點(diǎn)的軟繩，求繩斷前后鉸鏈A的約束力的改變量。 解：以梁為研究對象，繩未斷以前是靜力學(xué)問題。由靜平衡方程可求出繩未斷時(shí)，鉸鏈A的約束力21WFAy 繩斷之后，梁AB將繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動。繩斷瞬時(shí)， = 0。2132WllWg應(yīng)用轉(zhuǎn)動方程32gl例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程Theoretical Mechanics

19、再應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理求約束力。圖示瞬時(shí)，質(zhì)心C的加速度0nCaxcxFMa于是，繩斷前后，鉸鏈A約束力的改變量為44221WWWFFFAyAyAy例例 題題02AxFycyFMaAyFWggW243WWWFAy41432324Clga9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程Theoretical Mechanics 例 阿特伍德機(jī)的滑輪質(zhì)量為M，且均勻分布，半徑為 r。兩重物系于繩的兩端，質(zhì)量分別為 m1和 m2。試求重物的加速度。 解：以整體為研究對象，畫受力圖。設(shè)滑輪有逆時(shí)針方向的轉(zhuǎn)動，角速度為，則滑輪對軸O的動量矩、兩重物對軸O的動量矩分別為 2112OOLJMr2112r

20、mvrmLO2223rmvrmLO系統(tǒng)對軸O的動量矩為上述三項(xiàng)動量矩之和，即22132121rMmmLLLLOOOO例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程Theoretical Mechanics應(yīng)用動量矩定理grmgrmrMmmt2122121dd2121212mmM rmmgr1212121221222mmgmmgmmMrmmMr重物的加速度1212222mmargmmM例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程Theoretical Mechanics例 圖中質(zhì)量m1 = 5 kg，半徑r=30cm的均質(zhì)圓盤，可繞鉛垂軸z 轉(zhuǎn)動，在圓盤

21、中心用鉸鏈 D 連接質(zhì)量m2 = 4 kg 的均質(zhì)細(xì)桿AB，AB桿長為2r，可繞D 轉(zhuǎn)動。當(dāng)AB桿在鉛垂位置時(shí)，圓盤的角速度為= 90 r/min ，試求桿轉(zhuǎn)到水平位置碰到銷釘C而相對靜止時(shí)，圓盤的角速度。 解：以圓盤、桿及軸為研究對象，畫出其受力圖。由受力分析看出，在AB桿由鉛垂位置轉(zhuǎn)至水平位置的整個(gè)過程中，作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對z軸之矩為零，即 。因此，質(zhì)點(diǎn)系對z軸的動量矩守恒。 0Fzm例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程Theoretical Mechanics20114zzLJm r桿在鉛垂位置時(shí)，只有圓盤對z軸的動量矩桿在水平位置時(shí)，設(shè)系統(tǒng)的角速度為

22、1，系統(tǒng)包含圓盤及桿對z軸的動量矩。12212112212113141212141rmrmrmrmLz系統(tǒng)動量矩守恒10zzLL12212121314141rmrmrm將有關(guān)數(shù)值代入 rad/s56. 411211413141mmm例例 題題9.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動微分方程參閱附錄C,3欄令l =0 Theoretical Mechanics 9.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心 的動量矩定理的動量矩定理 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics9.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)系對于固定點(diǎn)質(zhì)系對于

23、固定點(diǎn)O 的動量矩與相的動量矩與相對于質(zhì)心對于質(zhì)心C 的動量矩之間的關(guān)系的動量矩之間的關(guān)系 質(zhì)系對于固定點(diǎn)O的矩為iiiOm vrLiCirrr iiiiiCiiiCOmmmvrvrvrrLCiiMmvviiiCm vrL建立以質(zhì)心C為原點(diǎn)的平移坐標(biāo)系Cxyz，Theoretical Mechanics eiieiCCCCCCttMMtFrFrLvrvrdddddd eiiCCCCMtFrrLvr)()(dd代入質(zhì)點(diǎn)系對固定代入質(zhì)點(diǎn)系對固定點(diǎn)的動量矩定理得點(diǎn)的動量矩定理得 相對于質(zhì)心的動量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系相對于隨質(zhì)心平移坐標(biāo)系的相對動量矩對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于質(zhì)點(diǎn)系的外力對質(zhì)心之矩的矢量和。9.

24、5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理Theoretical Mechanics質(zhì)系在相對動坐標(biāo)系的運(yùn)動中質(zhì)系在相對動坐標(biāo)系的運(yùn)動中對質(zhì)心的動量矩與在絕對運(yùn)動對質(zhì)心的動量矩與在絕對運(yùn)動中對質(zhì)心的動量矩之間的關(guān)系中對質(zhì)心的動量矩之間的關(guān)系iCivvviiiCm vrL建立以質(zhì)心C為原點(diǎn)的平移坐標(biāo)系Cxyz，9.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理Theoretical Mechanics質(zhì)系相對質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)系相對質(zhì)心的動量矩定理：在相在相對隨質(zhì)心平動坐標(biāo)系的運(yùn)動中，質(zhì)對隨質(zhì)心平動坐標(biāo)系的運(yùn)動中，質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩對于時(shí)間的一階系對質(zhì)心的動量矩對

25、于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于外力系對質(zhì)心的主矩。導(dǎo)數(shù)，等于外力系對質(zhì)心的主矩。)(ddeCCtML9.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理Theoretical Mechanics如將質(zhì)系的運(yùn)動分解為跟隨質(zhì)心的平動和相對質(zhì)如將質(zhì)系的運(yùn)動分解為跟隨質(zhì)心的平動和相對質(zhì)心的運(yùn)動，則可分別用質(zhì)心運(yùn)動定理和相對質(zhì)心動心的運(yùn)動，則可分別用質(zhì)心運(yùn)動定理和相對質(zhì)心動量矩定理來建立這兩種運(yùn)動與外力系的關(guān)系。量矩定理來建立這兩種運(yùn)動與外力系的關(guān)系。質(zhì)系相對質(zhì)心的運(yùn)動只與外力系對質(zhì)心的主矩有質(zhì)系相對質(zhì)心的運(yùn)動只與外力系對質(zhì)心的主矩有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。當(dāng)外力系相對質(zhì)心的主矩為零時(shí)，

26、質(zhì)系相對質(zhì)心當(dāng)外力系相對質(zhì)心的主矩為零時(shí)，質(zhì)系相對質(zhì)心的動量矩守恒。的動量矩守恒。討 論9.5 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動量矩定理 Theoretical Mechanics 9.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程剛體的平面運(yùn)動微分方程 第九章第九章 動量矩定理動量矩定理Theoretical Mechanics9.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程剛體的平面運(yùn)動微分方程CCyCxCMtIFtymFtxm222222dddddd)(ddeCCtML剛體在相對運(yùn)動中對質(zhì)心的動量矩22ddCCJMt應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理和相對質(zhì)心動量矩定理得剛體平面運(yùn)動微分方程Theoretical Mechan

27、ics例例 題題例 圖中均質(zhì)輪的圓筒上纏一繩索，并作用一水平方向的力 200 N，輪和圓筒的總質(zhì)量為50 kg，對其質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為 70 mm。已知輪與水平面間的靜、動摩擦系數(shù)分別為f = 0.20和f = 0.15，求輪心O的加速度和輪的角加速度。 N fFF解：假設(shè)輪子作純滾動，有9.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程剛體的平面運(yùn)動微分方程Theoretical Mechanics例例 題題NfFF aR0.1a建立圓輪的平面運(yùn)動方程，得xCxFMaF 為靜滑動摩擦力由于滾動而不滑動，有Fa 20050yCyFMaCCJM80. 950050NF2500.070.12000.06F9.6 剛體的

28、平面運(yùn)動微分方程剛體的平面運(yùn)動微分方程輪心的加速度為 a ，角加速度為 。Theoretical Mechanics補(bǔ)充方程式為, 0.1CxaaRa解出N490NF210.74rad sN3 .146F輪子不可能只滾不滑。 maxN 0.2490N98NFf F超過了水平面能為園超過了水平面能為園輪提供的最大摩擦力輪提供的最大摩擦力 例例 題題9.6 剛體的平面運(yùn)動微分方程剛體的平面運(yùn)動微分方程Theoretical MechanicsNFfFFaFMaxCx20050,80. 950050,NFFMayCy2500.070.12000.06CCJMF例例 題題F考慮輪子又滾又滑的情形：考慮輪子又滾又滑的情形：動滑動摩擦力為列平面運(yùn)動方程為9.6 剛體的平面運(yùn)