第一講：極限、洛比塔法則

1、第一講：數(shù)列極限、函數(shù)的極限第一講：數(shù)列極限、函數(shù)的極限1 數(shù)列極限數(shù)列極限2 函數(shù)極限的概念與性質(zhì)函數(shù)極限的概念與性質(zhì)3函數(shù)極限的計算方法函數(shù)極限的計算方法4無窮小量階的比較無窮小量階的比較1、數(shù)列的定義、數(shù)列的定義定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數(shù)編號依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的列的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n問題問題: 當當 無限增大時無限

2、增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當nxnnn 問題問題: “無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學語言如何用數(shù)學語言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:定定義義 如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在正正數(shù)數(shù)N, ,使使得得對對于于Nn 時時的的一一切切nx, ,不不等等式式 axn都都成成立立, ,那那末末就就稱稱常常數(shù)數(shù)a是是數(shù)數(shù)列列

3、nx的的極極限限, ,或或者者稱稱數(shù)數(shù)列列nx收收斂斂于于a, ,記記為為 ,limaxnn 或或).( naxn如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的的無無限限接接近近與與刻刻劃劃了了不不等等式式axaxnn . 2有關有關與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) N2、數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性有界性定義定義: 對數(shù)列對數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱為無界稱為無界.例如例如,;1 nnxn數(shù)數(shù)列列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸

4、軸上上對對應應于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無界無界問題問題: :函數(shù)函數(shù))(xfy 在在 x的的過程中過程中, 對應對應函數(shù)值函數(shù)值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 0sin)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當xxxfx 問題問題: 如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.2.唯一性唯一性定理定理2 2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定

5、的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)X, ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式Xx 的一切的一切x, ,所對應的函數(shù)值所對應的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當當 x時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim xAxfAxfx當當或或:. 1 定義定義定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當 Axfx)(lim:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當:.20情情形形 xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時

6、使使當當Axfx )(lim2.另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限問題問題: :函數(shù)函數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過程中過程中,對應對應函數(shù)值函數(shù)值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過過程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多么小么小),),

7、總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx的一切的一切x, ,對應的函數(shù)值對應的函數(shù)值)(xf都都滿足不等式滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當當0 xx 時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當當或或:. 1 定義定義定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時時使當使當2.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時域時鄰鄰的去心的去心在在當當 A

8、yxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關關在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關關與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 例例4. 211lim21 xxx證證明明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時時當當 xx函數(shù)在點函數(shù)在點x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx3.單側極限單側極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設設兩兩種種情情況況分分別別討討論論和和分分00 xx,0

9、 xx從從左左側側無無限限趨趨近近; 00 xx記記作作,0 xx從從右右側側無無限限趨趨近近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在

10、但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性有界性定定理理 若若在在某某個個過過程程下下, ,)(xf有有極極限限, ,則則存存在在過過程程的的一一個個時時刻刻, ,在在此此時時刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設設3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性)

11、 ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設設).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時時當當則則或或且且若若定理定理( (保號性保號性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時時當當且且若若推論推論xy1sin 例例.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinli

12、m 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、小結四、小結函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表見下表)思考題思考題試問函數(shù)試問函數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的左、右極限是否存在？當?shù)淖蟆⒂覙O限是否存在？當0 x

13、時，時，)(xf的的極限是否存在？極限是否存在？思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.2函數(shù)極限運算方法函數(shù)極限運算方法極限運算法則極限運算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設設證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其中其中B

14、xgAxf由無窮小運算法則由無窮小運算法則,得得)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時時當當 xx,2B BBBB21 B21 推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 2,21)(2BBB ,2)

15、(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結小結: :則則有有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設設, 0)(,)()()(. 20

16、xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則則商商的的法法則則不不能能應應用用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先

17、約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)小結小結: :為非負整數(shù)時有為非負整數(shù)時有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnba

18、bxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是無窮小之和是無窮小之和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,為為無無窮窮小小時時當當xx .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 例例7 7).(lim

19、,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設設yox1xy 112 xy解解兩兩個個單單側側極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點點,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故兩邊夾定理，重要極限兩邊夾定理，重要極限1.夾逼準則夾逼準則準則準則 如果數(shù)列如果數(shù)列nnyx ,及及nz滿足下列條件滿足下列條件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末數(shù)列那末數(shù)列nx的極限存在的極限存在, , 且且axnn lim.

20、.上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限準準則則 如如果果當當)(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那那末末)(lim)(0 xfxxx 存存在在, , 且且等等于于A. .注意注意: :.,的的極極限限是是容容易易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構構造造出出利利用用夾夾逼逼準準則則求求極極限限關關nnnnzyzy準則準則 和和準則準則 稱為稱為夾逼準則夾逼準則.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,111122

21、22 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnAC二、兩個重要極限二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設設單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的的圓圓心心角角為為扇扇形形,BDOAB的的高高為為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式對于上式對于 x,20時時當當 xxxcos11cos0

22、 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(lim)71828. 2( e.)11(limexxx ,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim例例4 4.)11(limxxx 求求解解

23、xxx )11(1lim1)11(lim xxx原原式式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 三、小結三、小結1.兩個準則兩個準則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準則夾逼準則; 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則 .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某某過過程程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設設 思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e三、小結三、小結1.極限的四則運算法則及

24、其推論極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法極限求法;a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.思考題思考題 在某個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設假設 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運

25、算法則可知：由極限運算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設錯誤故假設錯誤4、無窮小、無窮小1.定義定義:極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時時的的無無窮窮小小是是當當函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時的無窮小時的無窮小是當是當函數(shù)函數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時時的的無無窮窮小小是是當當數(shù)數(shù)列列 nnn注意注意1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).3.無窮小的運算性質(zhì)

26、無窮小的運算性質(zhì):定理定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小仍是無窮小.注意注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是無窮小，是無窮小，時時例如例如nn1, .11不是無窮小不是無窮小之和為之和為個個但但nn定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也

27、是無窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時時當當例例如如都是無窮小都是無窮小二、無窮大二、無窮大定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù)M( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所對應的函數(shù)所對應的函數(shù)值值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Mxf )(, ,則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當當0 xx ( (或或 x) )時為無窮小時為無窮小, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或絕對值無限增大的變量稱為絕對

28、值無限增大的變量稱為無窮大無窮大.特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim. 20認為極限存在認為極限存在切勿將切勿將 xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但不是無窮大但不是無窮大是一個無界變量是一個無界變量時時當當例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.

29、)(,0Mxyk 充充分分大大時時當當), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取, kxk充充分分大大時時當當 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，2、無窮小與無窮大的關系、無窮小與無窮大的關系定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .意義意義 關于無窮大的討論關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小都可歸結為關于無窮小的討論的討論.四、小結四、小結1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個定義兩個定義;四個定理四個定理;三個推論三個推論.2、幾

30、點注意、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮小（無窮?。?大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2 2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小. .（3） 無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大.一、無窮小的比較一、無窮小的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當當xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨

31、向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在觀察各極限觀察各極限);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果定義定義: :. 0, 且且窮窮小小是是同同一一過過程程中中的的兩兩個個無無設設;),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(無無窮窮小小階階的的的的是是就就說說如如果果kkCCk 例例

32、1 1解解.tan4 ,0:3的的四四階階無無窮窮小小為為時時當當證證明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四階階無無窮窮小小為為時時故故當當xxxx 例例2 2.sintan,0的的階階數(shù)數(shù)關關于于求求時時當當xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的的三三階階無無窮窮小小為為xxx 常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當當 x用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有例如例如,),(s