第1章矢量分析_WYF

1、電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析第第1 1章章 矢量分析矢量分析一、矢量和標(biāo)量的定義一、矢量和標(biāo)量的定義二、矢量的運(yùn)算法則二、矢量的運(yùn)算法則三、矢量微分元：線元，面元，體元三、矢量微分元：線元，面元，體元四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度六、矢量場(chǎng)的旋度六、矢量場(chǎng)的旋度五、矢量場(chǎng)的散度五、矢量場(chǎng)的散度七、重要的場(chǎng)論公式七、重要的場(chǎng)論公式電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析一、矢量和標(biāo)量的定義一、矢量和標(biāo)量的定義1.標(biāo)量：標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：|AA a所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中： 為矢量的模，表示該矢量

2、的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。| A a2.矢量：矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、電場(chǎng) 等FEv如：溫度 T、長(zhǎng)度 L 等電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例1：在直角坐標(biāo)系中， x 方向的大小為 6 的矢量如何表示？6xa圖示法： 6xaGNFfFxy力的圖示法： FNfFFF電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析二、矢量的運(yùn)算法則1.加法加法: : 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：ABBAb.滿足結(jié)合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBD電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁

3、波第第1章章 矢量分析矢量分析zoyx三個(gè)方向的單位矢量用 表示。,xyzaaa根據(jù)矢量加法運(yùn)算：xyzAAAA,xxxyyyzzzAA aAA aAA a所以：xxyyzzAA aA aA a在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:AxAyAzA其中：電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析矢量：xxyyzzAA aA aA a模的計(jì)算：222|xyzAAAA單位矢量：|yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角與方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxcoscoscosxyzaaa在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算： ()()()xxxxyyyyzzzzABCABC aAB

4、C aABC azoyxAxAyAzA電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2.減法：換成加法運(yùn)算()DABAB ABCBAB逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算： ()()()xxxyyyzzzABAB aAB aAB a推論：任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3.3.乘法：乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：0|00kkAk A akk方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）：| |c

5、osA BABBA兩矢量的點(diǎn)積含義： 一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量。電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即0,0,01,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有兩矢量點(diǎn)積：() ()xxyyzzxxyyzzA BA aA aA aB aB aB a zzyyxxBABABA結(jié)論: 兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。A BB A()ABCA BA C電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析

6、矢量分析推論1：不服從交換律：,A BB AA BB A 推論2：服從分配律：()AB CA BA C推論3：不服從結(jié)合律：()()AB CA BC推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。b.矢量積（叉積）：| |sincABABa含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。BAca電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：xyzxyzxyzaaaABAAABBB() ()x xy yz zx xy yz zA BAaAaAaBaBaBa ()()()

7、yzzyxzxxzyxyyxzABAB aABAB aABAB a兩矢量的叉積又可表示為：xyzo電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析（3）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：()A B C矢量，標(biāo)量與矢量相乘。()ABC標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a. 標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。定義：|sincosA BCA B C()ABC含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 。ABChB C 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：()0ABC()xyzx

8、yzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aBBBCCCb.矢量三重積：()()()ABCB A CC A B ()()()VABCCABBCAABChB C電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例2：12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求：4123rarbrcr中的標(biāo)量 a、b、c。解：325(2)(32)( 23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22 )(3)(23 )xyzabc aabc aabc a 則：設(shè)213abc 223322

9、35abcabcabc電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例3： 已知263xyzAaaa43xyzBaaa求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。AB解：已知AB所得矢量垂直于 、 所在平面。ABnABaAB 263151030431xyzxyzaaaABaaa1(326)7nxyzaaaa 222|15( 10)3035AB 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析已知A點(diǎn)和B點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)的位置矢量為 和 ，求：通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程。例4： ab()cak ba其中：k 為任意實(shí)數(shù)。(1)ck akbxyzCcABab解：在通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程上，

10、 任取一點(diǎn)C，對(duì)于原點(diǎn)的位置 矢量為 ，則c電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析三、矢量微分元：線元、面元、體元例：d ,d ,dFlBSV其中： 和 稱為微分元。d ,dlSdV1. 直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：ddyylyaddddxyzlxayazadldSddxxlxaddzzlza面元：dd dxxSy za體元：dd d dVx y zdd dyySx zadd dzzSx ya電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2. 圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。( , , )

11、rz線元：ddddrzlrarazadd drrSrzadd dSr zadd dzzSrradd d dVr rz面元：體元：電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 球坐標(biāo)系在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元。( , , )R 2dsin d dRRSRa dsin d dSRRadd dSR Radddsin dRlRaRaRa 線元：面元：體元：2dsin d d dVRR 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析a. 在直角坐標(biāo)系中，x,y,z 均為長(zhǎng)度量，其拉梅系數(shù)均為1， 即：1321hhh1, 1321hrhhb. 在柱坐標(biāo)系中，

12、坐標(biāo)變量為 , 其中 為角度， 其對(duì)應(yīng)的線元 ，可見拉梅系數(shù)為：( , , )rzdrac. 在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，其中 均為 角度，其拉梅系數(shù)為：( , , )R , sin, 1321RhRhh注意：電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度1. 標(biāo)量場(chǎng)的等值面可以看出：標(biāo)量場(chǎng)的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的。以溫度場(chǎng)為例：熱源等溫面電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析PQll ()()u Qu Pullliml02.方向?qū)?shù)：設(shè)有標(biāo)量場(chǎng) ， 為場(chǎng)中任意一點(diǎn), 從uPP如圖， 為緊靠 點(diǎn)的另QPu向的方向?qū)?shù)定

13、義為P點(diǎn)向任意方向引射線ll一點(diǎn), 則 在 點(diǎn)沿 方電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 u 沿什么方向增加率最大？這個(gè)最大的增加率等于多少？ 設(shè) , 則 ， ， ，這說明2xu1yu0zu。0luul0lu沿 方向的增加率為 ，沿 方向的增加率為 , 沿表示標(biāo)量場(chǎng) 沿 方向的增加率（單位長(zhǎng)度的增量）當(dāng) 時(shí)，說明 沿 方向增加；當(dāng) 時(shí)，說ul0lu明 沿 方向減小；當(dāng) 時(shí)，說明 沿 方向不變。 ulyxu 2ulux2y1方向不變。z電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 在標(biāo)量場(chǎng) 中一定存在著這樣一個(gè)矢量，它的方向指向增加率最大的方向，其大小等于這個(gè)最大

14、的增加率，該矢量稱為標(biāo)量 的梯度 ，用 表示。 即uu梯度的概念u 2.方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的分量。即 說明: 1. 為哈密爾頓算符，即zyxezeyex電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析梯度在直角系中的表達(dá)式 例：設(shè) u = 2x+y , 求 u 的梯度，并計(jì)算它的大小和方向（其方向用單位矢量表示），并求該函數(shù) u 沿單位矢量 方向的方向?qū)?shù)。 5453yxleee51222u大小yxueee5152方向yxeeu12梯度解：方向?qū)?shù)2)5453()12(yxyxleeeeeulu電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析練習(xí)題：已知標(biāo)量函數(shù) ，求

15、在 點(diǎn) 處的梯度，并求該梯度沿指定方向的方向?qū)?shù)。電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：rzaaarrzsinRaaaRRR 在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：在直角坐標(biāo)系中：xyzaaaxyz電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析五、矢量場(chǎng)的散度五、矢量場(chǎng)的散度1. 1. 矢線（場(chǎng)線）：矢線（場(chǎng)線）： 在矢量場(chǎng)中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場(chǎng)矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線。2. 2. 通量：通量：定義：如果在該矢量場(chǎng)中取一曲面S， 通過該曲面的矢線量稱為通量。表達(dá)式：dSvS若曲面為閉合曲面：dSvS+- -電磁場(chǎng)與

16、電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析討論：討論：a. 如果閉合曲面上的總通量0 說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。b. 如果閉合曲面上的總通量0 說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。c. 如果閉合曲面上的總通量0說明穿入的通量等于穿出的通量。電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 3. 散度：散度：a.定義：矢量場(chǎng)中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。 b.表達(dá)式：0ddivlimSVFSFV c.散度的計(jì)算： 在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。矢

17、量場(chǎng) 表示為：FxxyyzzFF aF aF a1Szyx6S5S4S3S2S123123ddddSSSSFSFSFSFS456456dddSSSFSFSFS電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析111d( )()xxxSFSF x ay za zyxFx)(1222d()xxxSFSF x ay za 在 x方向上：計(jì)算穿過 和 面的通量為2S1S1()xF xxy z 11( )()()xxxF xF xxF xxx 因?yàn)椋?21( )d()xxSF xFSF xy zx y zx 則：在 x 方向上的總通量：1212ddxSSFFSFSx y zx 1S6S5S4S3S

18、2Szyx電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在 z 方向上,穿過 和 面的總通量：5S6S5656ddZSSFFSFSx y zz 整個(gè)封閉曲面的總通量：dyxzSFFFFSx y zxyz 3434ddySSFFSFSx y zy 同理：在 y方向上,穿過 和 面的總通量：3S4S電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析該閉合曲面所包圍的體積：zyxV0ddivlimSVFSFV zFyFxFzyx通常散度表示為：divFF4.4.散度定理：散度定理：ddSVFSF V物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第

19、1章章 矢量分析矢量分析柱坐標(biāo)系中：1 ()1rzFF rFFrrrz球坐標(biāo)系中：22(sin )()111sinsinRFFR FFRRRR直角坐標(biāo)系中：yxzFFFFxyz常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式 設(shè)有矢量 ，求矢量 在點(diǎn) zyxeeyexA4322A解：zAyAxAAzyx34x處的散度。P7)3,2, 1(PA)3 ,2, 1 (電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 矢量 在任意閉合曲面 上的面積分等于該矢量的散度定理AS散度在閉合面所限定的體積中的體積分，即電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與

20、電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析222oxyzye2xe6ye2 解： 2446)23(sdexesdAysxs24833VVdVdVA 設(shè)矢量 ， 為由 ； ； 所限定的平行六面體的表面積。求 和 。23yxexeAs2, 0 xx2, 0yy2, 0zzssdAVdVA電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 例：在半徑為 的球體區(qū)域中，設(shè) 。求： 在半徑為 的球面上的面積分； 的散度； 在半徑為 的球形區(qū)域中的體積分。rerFRF 解： srssdersdF3)(1)(13222rrrFrrrFr33434333RRVdVdVFVV3244RRRRsRRFF電磁場(chǎng)與電磁

21、波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析六、矢量場(chǎng)的旋度六、矢量場(chǎng)的旋度1. 1. 環(huán)量環(huán)量： 在矢量場(chǎng)中，任意取一閉合曲線 ，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量。dlCFl可見：環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。2. 2. 旋度旋度: :定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán) 的法線方向，那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場(chǎng)的旋度。表達(dá)式：max01rotlimd nlSFaFlS 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析旋度計(jì)算：以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為：()()()xxyyzzFFaFaFa 10d()limlxSxFlFS xxyyzzFF aF aF a場(chǎng)矢量：1

22、dddddabbccddaabbccddalllllFlFlFlFlFl其中： 為x 方向的環(huán)量密度。()xFxzy旋度可用符號(hào)表示：rotFF dcba電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析dd ()abzlza1dzylFlFzFy ()()yzzyFFFyzFzyyz ()yzxFFSyz其中：ddbcylyaddcdzlzadd ()daylya可得：()yzxFFFyz()xzyFFFzx()yxzFFFxy同理：xzydcba所以：10d()limlxSxFlFS yyxxzzxyzFFFFFFFaaayzzxxy旋度公式：電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章

23、矢量分析矢量分析為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式:xyzxyzaaaFxyzFFF 類似地，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算公式： 對(duì)于柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫出旋度的計(jì)算公式。1231231231 231231231uuuuuuhah ah aFhh huuuh Fh Fh F電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 3. 斯托克斯定理：斯托克斯定理：物理含義：物理含義： 一個(gè)矢量場(chǎng)旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲一個(gè)矢量場(chǎng)旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分。線積分。() ddSlFSFl電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第

24、第1章章 矢量分析矢量分析例：設(shè)有矢量 ，求矢量zyxexexyexyA42322A 在點(diǎn) 處的旋度。)3 , 2, 1 (PzyPeeA44)3,2, 1(解：zxyyzxxyzeyAxAexAzAezAyAA)()()(zxyyzeyAxAexA)(zyexyye)62(42電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 在矢量場(chǎng) 中，矢量 沿任一閉合曲線 l 的線積分， 等于矢量 的旋度在 l 所限面積上的面積分，即A斯托克斯定理AA 設(shè)矢量 ，求該矢量沿圖示閉合回路 的線積分 。xeyeAyx23ll dA 解： )23()()23(xdyydxdyedxexeyel dAlyxylxl4812462002dydx電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波第第1章章 矢量分析矢量分析22oxyl441)()(szzsldseesdAl dA 或 由于 zxyyzxxyzeyAxAexAzAezAyAA)()()( 則