第七章 FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計

1、宜春學(xué)院理工學(xué)院宜春學(xué)院理工學(xué)院內(nèi)容提要內(nèi)容提要n7.1 7.1 線性相移線性相移FIRFIR數(shù)字濾波器的特性數(shù)字濾波器的特性n7.2 7.2 窗口法窗口法n7.3 7.3 頻率取樣法頻率取樣法n7.4 FIR7.4 FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計n7.5 IIR7.5 IIR數(shù)字濾波器與數(shù)字濾波器與FIRFIR數(shù)字濾波器的比較數(shù)字濾波器的比較n習(xí)題及作業(yè)習(xí)題及作業(yè)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)n掌握線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)n掌握窗函數(shù)設(shè)計法n理解頻率抽樣設(shè)計法n了解設(shè)計FIR濾波器的最優(yōu)化方法n理解IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較7.1 FIR7.1 FIR數(shù)字濾波器的差分方程、沖激響

2、應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)及其數(shù)字濾波器的差分方程、沖激響應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn)零極點(diǎn) FIR數(shù)字濾波器是非遞歸的線性時不變因果系統(tǒng)，其差分方程為1 . 7)()(10Niiinxany系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 2 . 7) 1(1)()(11010NnananainanhNNii可見這個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是有限長度的，即有限沖激響應(yīng)（有限沖激響應(yīng)（FIR）濾波器）濾波器。3 . 7)()()(10Niinxihny) 1, 1 , 0()(Niihai將代人（7.1）式得上式兩邊進(jìn)行Z變換后，可得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 4 . 7)()(110NnnNiiznhzihzXzYzH 1211)-N(21)0(NNNzh

3、zNhzhzhzH可見，F(xiàn)IR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)都位于z=0處，為N-1階極點(diǎn)，與系數(shù)h(n)無關(guān)，因此FIR濾波器總是穩(wěn)定的；而N-1個零點(diǎn)由沖激響應(yīng)h(n)決定，可以位于有限z平面的任何位置。兩種濾波器的比較兩種濾波器的比較一、IIR DF的特點(diǎn) 1、DF的設(shè)計依托AF的設(shè)計，有圖表可查，方便簡單。 2、相位的非線性 H（Z）的頻響： 其中， 是幅度函數(shù)， 是相位函數(shù)。 通常， 與 不是呈線性的，這是IIR filter （無限長響應(yīng)濾波器）的一大缺點(diǎn)。因此限制了 它的應(yīng)用，如圖象處理，數(shù)據(jù)傳輸都要求信道 具有線性相位特性。 3、用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，可以得線性特性。,e)e (H)

4、Z(H)e (H)(jjeZjj)e (Hj)()(二、FIR DF的特點(diǎn) 1、單位抽樣響應(yīng)h（n）是有限長的，因此FIR DF一定 是穩(wěn)定的。 2、經(jīng)延時，h（n）總可變成因果序列，所以FIR DF總 可以由因果系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。 3、h（n）為有限長，可以用FFT實(shí)現(xiàn)FIRDF。 4、FIR的系統(tǒng)函數(shù)是Z-1的多項(xiàng)式，故IIR的方法不適用。 5、FIR的相位特性可以是線性的，因此，它有更廣泛的 應(yīng)用，非線性的FIR一般不作研究。 FIR與與IIR數(shù)字濾波器比較：數(shù)字濾波器比較： 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) ：（：（1）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號 產(chǎn)生相位產(chǎn)

5、生相位失真，這一特點(diǎn)在失真，這一特點(diǎn)在 寬頻帶信號處理、陣寬頻帶信號處理、陣 列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；非常重要；（2 ）可得到多帶幅頻特性；）可得到多帶幅頻特性；（3 ）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題；）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題；（4 ）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一 定的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚨ǖ难訒r，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，果序列?所以因果性總是滿足；所以因果性總是滿足；（5）無反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。）無反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。缺點(diǎn)缺點(diǎn)：（：（1）因?yàn)闊o極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需以較

6、）因?yàn)闊o極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需以較 高的階數(shù)高的階數(shù)為代價；為代價； （2）無法利用模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果，一般無解析設(shè)計）無法利用模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果，一般無解析設(shè)計 公式，公式，要借助計算機(jī)輔助設(shè)計程序完成。要借助計算機(jī)輔助設(shè)計程序完成。7.2.1 線性相移線性相移FIR數(shù)字濾波器條件數(shù)字濾波器條件 所謂線性相移濾波器，也就是指其相移特性或頻率響應(yīng)的幅角是頻率的線性函數(shù)，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)為 5 . 710jjNnjnjeeHenheH1. 恒時延濾波恒時延濾波相延時群延時所謂恒延時濾波就是要求相延時與群延時都是不隨頻率變化的常量。)(其中有 p ddg所謂時延是指信號通過所謂

7、時延是指信號通過傳輸通道所需要的傳輸傳輸通道所需要的傳輸時間時間它是濾波器平均延遲的它是濾波器平均延遲的一個度量一個度量它是濾波器某一頻率延它是濾波器某一頻率延遲的一個度量遲的一個度量7.2 線性相移FIR數(shù)字濾波器2.要求恒相延時與恒群延時同時成立要求恒相延時與恒群延時同時成立 O如圖7.1，()的圖像是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線 1010sincosNnNnjnjnjnnhenheH時的圖像圖)(1 . 7式中 H()是正或負(fù)的實(shí)函數(shù)。等式中間和等式右邊的實(shí)部與虛部應(yīng)當(dāng)各自相等，同樣實(shí)部與虛部的比值應(yīng)當(dāng)相等: 1010cossincossinNnNnnnhnnhtg 6 . 70sin10Nnnn

8、h由上式交叉相乘后利用三角函數(shù)恒等公式得滿足上式的條件是 8 . 710 ,121NnnNhnhN21Ngp上述條件下，就有)(即為一常數(shù)，恒相延時與恒群延時同時成立。 如上所述，沖激相應(yīng)h(n)關(guān)于中心點(diǎn)偶對稱，由圖7.2可見無論N是偶數(shù)還是奇數(shù)，對稱中心都位于(N-1)/2，只是當(dāng)N為偶數(shù)時， (N-1)/2不是整數(shù)。圖圖7.2 h(n)7.2 h(n)為偶對稱的情形為偶對稱的情形3 只要求恒群延時成立只要求恒群延時成立相移特性為一條不經(jīng)過原點(diǎn)的直線 10. 70 10100cossinsincosNnNnnnhnnhctgtg 0cos10nnhNn其充要條件為( )(1)01h nh

9、NnnN 12N0/2 220 圖7.3 相移特性曲線 如下圖可見沖激響應(yīng)關(guān)于中心點(diǎn)奇對稱，無論N為奇數(shù)還是偶數(shù)，對稱中心都位于（N-1）/2；當(dāng)N為奇數(shù)時有021Nh圖圖7.4 h(n)7.4 h(n)為奇對稱的情形為奇對稱的情形 總之，線性相移FIR濾波器的必要條件是其沖激響應(yīng)為偶對稱或奇對稱。7.1.2 線性相移線性相移FIR濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)1. 偶對稱的情形偶對稱的情形偶對稱時nNhnh1)(a. N為偶數(shù)時，利用對稱性可作如下化簡為偶數(shù)時，利用對稱性可作如下化簡 14. 71)()(120112011201212010NnnNnNnnNNnnNNnnNnnNnnzzn

10、hznNhznhznhznhznhzHb. N為奇數(shù)時，利用對稱性可作如下化簡為奇數(shù)時，利用對稱性可作如下化簡 15. 72112121)()(21121011210121121012121121010NNnnNnNnnNNNnnNNnnNNnnNnnzNhzznhznNhzNhznhznhzNhznhznhzH 可見，以其偶對稱性作這樣的簡化可以使可見，以其偶對稱性作這樣的簡化可以使FIR濾波器比一般的直接型結(jié)構(gòu)的濾波器比一般的直接型結(jié)構(gòu)的乘法器乘法器減少一半減少一半。2. 奇對稱的情形奇對稱的情形奇對稱時nNhnh1)( nNnNnzznhzH1120 nNnNnzznhzH11210a.

11、 當(dāng)當(dāng)N為偶數(shù)時為偶數(shù)時b. 當(dāng)當(dāng)N為奇數(shù)時為奇數(shù)時 可見，以其奇對稱性作這樣的簡化可以使可見，以其奇對稱性作這樣的簡化可以使FIR濾波器比一般的直接型結(jié)構(gòu)的濾波器比一般的直接型結(jié)構(gòu)的乘法器乘法器減少近一半減少近一半。7.2.3 線性相移線性相移FIR濾波器的頻率響應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng)1. 偶對稱，偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù) 121021212121121012121)(NnnNnNNNNnnNnNhzznhzzNhzznhzH則其頻率響應(yīng)為則其頻率響應(yīng)為 1210212121cos2)(NnNjjNhnNnheeH jeeee2sin;2cosjez ，且令nNn21 18. 7cos21cos2

12、21)(2102112121NnNjNnNjjnnaeNhnnNheeH0212021)(nnNhnNhna)()()(jjeHeH即的形式和幅度函數(shù)表示成相位函數(shù)將,)()()(HeHj)21()(N則：nnaHNn210cos)()(整體為實(shí)數(shù)整體為實(shí)數(shù)圖圖7.5 7.5 偶對稱，偶對稱，N N為奇數(shù)為奇數(shù) 該類濾波器適合于設(shè)計任何關(guān)于該類濾波器適合于設(shè)計任何關(guān)于 為偶對稱為偶對稱特性頻率的濾波器。特性頻率的濾波器。2, 0 ，特點(diǎn)特點(diǎn)： 對 皆為偶對稱，所以幅度函數(shù)對 也是偶對稱。2, 0，2,0，ncos)(HnnaHNn10cos)()( 1202121211201)()(NnnNn

13、NNNnnNnzznhzzznhzH2. 偶對稱，偶對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù)其頻率響應(yīng)為其頻率響應(yīng)為 1202121cos2)(NnNjjnNnheeH 則，且令,222nNhnbnNn 2121212121cos21cos22)(NnNjNnNjjnnbennNheeH2/1)21(cos)()(NnnnbH因此這種情況不適合做在 處不等于零的濾波器，如高通濾波器。特點(diǎn)特點(diǎn)：當(dāng) 時， ，故 ，即 在 z = -1 為零點(diǎn)，且由于 對 呈奇對稱，因而 對 也呈奇對稱。0)21(cosm)(H0)(H)(zH)21(cosm圖圖7.6 7.6 偶對稱，偶對稱，N N為偶數(shù)為偶數(shù)3. 奇對稱，奇對稱，

14、N為奇數(shù)為奇數(shù)推導(dǎo)方法與前面類似，可得：21, 2 , 1),21(2)( NnnNhnc 211212sinNnNjnnce2/ )1(1)sin()()(NnnncH其幅頻特性為211212sin212NnNjjnnNheeH圖圖7.7 7.7 奇對稱，奇對稱，N N為奇數(shù)為奇數(shù) 特點(diǎn)：特點(diǎn)：當(dāng) 時， ，相當(dāng)于 在 z =1和z = -1有兩個零點(diǎn)，并且由于 對 呈奇對稱，因而 對 也呈奇對稱。2 , 0)(H0)(H)(zH)sin(n2,02 , 0這種情況不適合做在 處為偶對稱的濾波器，如低通和高通濾波器。2 , 04. 奇對稱，奇對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù)推導(dǎo)方法與前面類似，可得：21,

15、 2 , 1),2(2)( NnnNhnd 2121221sinNnNjjnndeeH其幅頻特性為其幅頻特性為/211( )( )sin2NnHd nn圖圖7.8 7.8 奇對稱，奇對稱，N N為偶數(shù)為偶數(shù)這種情況不適合做在 處為偶對稱的濾波器，如低通濾波器。2 , 0 特點(diǎn)特點(diǎn)：當(dāng) 時， ，相當(dāng)于 在z=1處有一個零點(diǎn)；并且由于 對 呈奇對稱、對 呈偶對稱，因而 也對 呈奇對稱、對 呈偶對稱。2 , 0)(H0)(H)(zH)2/1sin(n2 , 02 , 0以上四種情況可以用統(tǒng)一的形式，即 HeeHjj其中 是H的實(shí)函數(shù)，相移由 決定，而 是的線性函數(shù)當(dāng)h(n)為偶對稱時， 21N；當(dāng)h

16、(n)為奇對稱時， 212N圖圖7.9 47.9 4種類型的線性相位濾波器的種類型的線性相位濾波器的相位響應(yīng)相位響應(yīng)、時域幅度響應(yīng)時域幅度響應(yīng)和和頻域幅度響應(yīng)頻域幅度響應(yīng)的示意圖。的示意圖。總結(jié) 第一種情況 ，偶、奇，四種濾波器都可設(shè)計。 第二種情況，偶、偶，可設(shè)計低、帶通濾波器，不能設(shè)計 高通和帶阻。 第三種情況，奇、奇，只能設(shè)計帶通濾波器，其它濾波器 都不能設(shè)計。 第四種情況，奇、偶，可設(shè)計高通、帶通濾波器，不能設(shè)計低通和帶阻 四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關(guān)。 幅度特性取決于h(n)。 設(shè)計FIR數(shù)字濾波器時，在保證h(n)對稱的條件下，只要完

17、成幅度特性的逼近即可。例例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函數(shù)H ()。解：解：a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H () = 2 - cos- cos2 = 2- (cos+cos2)nnaHNn210cos)()(分析：為奇數(shù)，并且h(n)滿足偶對稱關(guān)系7.2.4 線性相移線性相移FIR數(shù)字濾波器的零、極點(diǎn)分布數(shù)字濾波器的零、極點(diǎn)分布線性相移FIR濾波器有 10101NnnNnnznNhznhzH，則令nNm1 11101

18、101zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN zHzzHNz1即即)(zH則 也是 的零點(diǎn)。設(shè) 是 的零點(diǎn)，iz0)()(1)1(iNiizHzzH1iz)(zH當(dāng) 為實(shí)數(shù)時， 為實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式，此時 應(yīng)是共軛成對的，則 也是零點(diǎn)。iziz)(nh)(zH所以線性相位濾波器的零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的共軛對，這所以線性相位濾波器的零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的共軛對，這種共軛對共有四種種共軛對共有四種1）既不在單位圓上，也不在實(shí)軸上，有四個互為倒數(shù)的兩組共軛對，如圖 zi ， z*i ，1/zi ，1/z*i2）在單位圓上，但不在實(shí)軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對共軛零點(diǎn)， zi, z*i圖圖7.1

19、0(a) 7.10(a) 零點(diǎn)分布零點(diǎn)分布3）不在單位圓上，但在實(shí)軸上，是實(shí)數(shù),共軛就是自己，所以有一對互為倒數(shù)的零點(diǎn), zi, 1/zi4）既在單位圓上，又在實(shí)軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點(diǎn)，所以只有一個零點(diǎn)，只有兩種可能，zi=1或zi=-1 線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應(yīng)用最廣。實(shí)際使用時應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型，并在設(shè)計時遵循其約束條件。圖圖7.10(b) 7.10(b) 零點(diǎn)分布零點(diǎn)分布7.3 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計窗口法7.3.0 7.3.0 引言引言設(shè)計思路設(shè)計思路n(1)先給定所要求設(shè)計的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejw).n(2)設(shè)計一個可實(shí)現(xiàn)的FIR濾波器頻率響

20、應(yīng)H(ejw)。n(3)由于設(shè)計是在時域中進(jìn)行，使所設(shè)計濾波器的h(n)去逼近理想單位取樣響應(yīng)hd(n) 如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為 ，那么 FIR濾波器的設(shè)計就在于尋找一個傳遞函數(shù) 去逼近 ，逼近方法有三種： 窗口設(shè)計法窗口設(shè)計法（時域逼近） 頻率采樣法頻率采樣法（頻域逼近） 最優(yōu)化設(shè)計最優(yōu)化設(shè)計（等波紋逼近） 時間窗口設(shè)計法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。我們知道hd(n)可以從理想頻響通過付氏反變換獲得10)(NnjnjenheH)(jdeH221)(onjjdddeeHnh)(jdeH 但一般來說，理想頻響 是矩形頻率特性，所以，這樣

21、得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無限長序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限長的，問題是怎樣用一個有限長的序列去近似無限長的hd(n)。最簡單的辦法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。這種截取等效于在hd(n)上施加了一個長度為N的矩形窗，h(n)是通過一個“窗口”所看到的一段，因此 ，h(n)也可表達(dá)為h(n)和一個“窗函數(shù)”的乘積，即 h(n)=w(n) hd(n) 這一方法通常稱為窗口設(shè)計法。)(jdeH設(shè)計步驟：設(shè)計步驟：)()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj)()(nheHdjd設(shè)10)(NnjnjenheH1）由定義)()()2jeHn

22、hDFT3）卷積插值7.3.1 窗口法的基本思想1 1、設(shè)計思想、設(shè)計思想 在時域，設(shè)計在時域，設(shè)計 逼近理想逼近理想)(nhd)(nh顯然：顯然：要得到一個“因果的有限長的濾波器因果的有限長的濾波器 ” ”，最直接的方法是截斷 ，即用一個窗口函數(shù) 對 進(jìn)行加窗處理，也就是：)(nhd)(nhd)(nwR)(nh)()()(nwnhnhRd 選擇窗口函數(shù)的形狀和長度選擇窗口函數(shù)的形狀和長度是窗函數(shù)法的關(guān)鍵。設(shè)理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 ，則：deeHnhenheHjnjddjnndjd)(21)()()()(nhd若 給定，即可求得 。但所求得的 為無限長且非因果。)(nhd)(jdeH)(n

23、hd下面以理想低通濾波器為例說明其設(shè)計過程下面以理想低通濾波器為例說明其設(shè)計過程deenhccnjajd21)(0sin)()(sinannananananccc為一 “ 以 為對稱中心的、偶對稱的、無限長的、非因果序列 ” 。設(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng) 為：ccajjdeeH0)()(jdeH其中 為濾波器的截止頻率截止頻率； 為時時延常數(shù)延常數(shù) 單位脈沖響應(yīng)為：caa圖圖7.117.11理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗截取理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗截取2/)1()()()(NanRnhnhNd要得到有限長的 ，最簡單的方法是用一長為 的矩形窗 截斷 。)(nhN)(nwR)(

24、nhd)(nh2/)1( Na按照線性相位濾波器的要求， 必須偶對稱，如上圖。對稱中心必須等于濾波器的延時常數(shù))(nh其它0211)(NannwR FIR濾波器的沖擊響應(yīng)h(n)的頻響H(ejw)一定與理想的頻響Hd(ejw)存在差異。22ccjdeH圖圖7.12 7.12 理想低通濾波器的頻率響應(yīng)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)7.3.2 7.3.2 理論分析理論分析 ，則，而的頻響設(shè)沖激響應(yīng)nwnhnheHnhRdj32. 721jRjdjeWeHeH 33. 72sin2sin12/2/222221212121NeeeeeeeeeeeenweWnweWjjjNjNjjjjNjNjNNjnjnRj

25、RRjR的頻譜，有是矩形窗其中，可見，WR(ej)是的偶函數(shù)主瓣主瓣旁瓣旁瓣旁瓣旁瓣7.13 7.13 矩形窗的頻譜矩形窗的頻譜deWdeWeHeHccjRjRjdj21217.147.14矩形窗的卷積過程矩形窗的卷積過程Hd(ej)W(ej)H(ej)c-c00主瓣寬度: 4pi/N過渡帶寬-cc卷積最大旁瓣高度jeHNc4Nc2cNc2正肩峰正肩峰負(fù)肩峰負(fù)肩峰過渡帶過渡帶圖圖7.157.15 由由-c到到c區(qū)間曲線區(qū)間曲線WRej(-)下面積隨下面積隨取值變化演示取值變化演示圖圖7.167.16加矩形窗后的頻響與理想頻響的比較加矩形窗后的頻響與理想頻響的比較Nc2cNc2通帶波動通帶波動阻

26、阻帶帶波波動動對對 加矩形窗處理后其頻率響應(yīng)將產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響：加矩形窗處理后其頻率響應(yīng)將產(chǎn)生以下幾點(diǎn)影響：)(nhd(1)當(dāng)=0時，主瓣位于積分區(qū)間內(nèi)，隨著的移動不同大小的正、負(fù)旁瓣移出或移入積分區(qū)間，使得H(ej)的大小產(chǎn)生波動。012ccjjRH eWed)2(2)2sin()2sin()2sin()(NSaNNNRN主瓣附近窗的頻率響應(yīng)為：隨著N的加大，振蕩變密，主瓣變窄；主瓣與旁瓣的幅度亦有所加大，但主瓣與旁瓣的相對比例不變（吉布斯現(xiàn)象）。(4)當(dāng)2cN時，主瓣全部移出了積分區(qū)間，而面積最大的一個負(fù)值卻還在此區(qū)間內(nèi)，使得H(ej)取值最小值：-0.0895H(ej0)，稱為下臂峰下臂

27、峰。(5) =時， H(ej)隨著區(qū)間內(nèi)旁瓣的移動而在阻帶內(nèi)波動 另外，圖7.16表示了0到范圍內(nèi)Hej變化的情況，0到的圖形變化與此對稱（如圖7.17），且以2為周期。途中假定Hej01。在Nc2Nc2到為過渡帶。(3)當(dāng)= c時，即主瓣中心移到了c處，此時012cjjH eH e(2)當(dāng)2cN時，整個主瓣仍在積分區(qū)間內(nèi)，而面積最大且為負(fù)值的旁瓣有一個已完全移出區(qū)間，此時H(ej)取最大值： -0.0895H(ej0) ，稱為上臂峰上臂峰。繼續(xù)增大， 主瓣移出積分區(qū)間，H(ej)迅速減小，進(jìn)入過渡帶過渡帶。7.17由圖可見，加矩形框后得到的濾波器的頻響與理想頻響之間存在差異，表現(xiàn)出肩峰、過渡

28、帶及在通帶和阻帶內(nèi)的波動。只有肩峰和波動盡可能小，而且過渡帶盡可能窄，才能更接近理想特性。（1）過渡帶 過渡帶的寬度等于窗口函數(shù)頻譜的主瓣寬度。對于矩形窗口為4 /N,因此，過渡帶寬度與所選窗函數(shù)有關(guān)；而對于一定的窗函數(shù)，增加窗口長度N可以使過渡帶變陡。（2）肩峰及波動 肩峰和波動是由旁瓣旁瓣引起的，旁瓣越多，波動越快快；旁瓣相對相對值越大，波動就越厲害，肩峰也越強(qiáng)。不同窗函數(shù)旁瓣不同，所以肩峰及波動也與所選窗函數(shù)有關(guān)，而增加N只能改變坐標(biāo)的比例坐標(biāo)的比例及窗口頻譜函數(shù)的絕對大小絕對大小，不會改變其相對比例，因而不能改變肩峰和波動的相對大小。？ 綜上，窗口法設(shè)計FIR濾波器，h(n)長度N增大

29、可使過度帶變窄，而所選窗函數(shù)不僅影響過渡帶的寬度，還能影響肩峰和波動的大小。選擇窗函數(shù)的條件：選擇窗函數(shù)的條件：（1 1）主瓣寬度盡量小，以使過渡帶盡量陡；）主瓣寬度盡量小，以使過渡帶盡量陡；（2 2）旁瓣相對主瓣越小越好，以使肩峰和波動減??；）旁瓣相對主瓣越小越好，以使肩峰和波動減小；（3 3）以上兩者不可兼得，常常要根據(jù)需要進(jìn)行折衷選擇。）以上兩者不可兼得，常常要根據(jù)需要進(jìn)行折衷選擇。光束* *2.2.三角形窗三角形窗(Bartlett Window)(Bartlett Window)121,122210,12)(NnNNnNnNnnw)4/sin()4/sin(2)(NNNeWj其頻率響

30、應(yīng)為：主瓣寬度為：N/81.矩形窗矩形窗 othersNnnw, 010, 1othersNnNnnw,010)12cos(1 21)(，)12()12(25. 0)(5 . 0)()()12()12(25. 0)(5 . 0)()21(NWNWWWeWeNWNWWeWRRRajNjRRRj其頻率響應(yīng) 和幅度響應(yīng) 分別為：)(jeW)(W 是三項(xiàng)矩形窗的幅度響應(yīng) 的移位加權(quán)和，它使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣寬度比矩形窗的主瓣加寬了一倍，為。N/8)(W)(RW時當(dāng)1N )()12cos(46. 054. 0)(nRNnnwN其幅度響應(yīng)為：同漢寧窗的主瓣寬度 相同，但旁瓣幅度更小，旁

31、瓣峰值小于主瓣峰值的1%N/8)12()12(23. 0)(54. 0)(NWNWWWRRR3 3、哈明、哈明(Hamming)(Hamming)窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRNnNnnwN)14()14(04. 0)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWNWNWWWRRRRR其窗函數(shù)中包含有余弦的二次諧波分量，幅度響應(yīng)為：通過加入余弦的二次諧波分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但其主瓣寬度變?yōu)镹/124 4、布萊克曼、布萊克曼(Blankman)(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗窗，又稱二階升余弦窗下

32、圖為N=31時，矩形窗矩形窗、三角窗三角窗、漢寧窗漢寧窗、漢明窗漢明窗及布萊布萊克曼克曼這5種窗口函數(shù)的包絡(luò)曲線下圖為N=51時矩形窗矩形窗、漢寧窗漢寧窗、漢明窗漢明窗及布萊克曼布萊克曼4種窗口函數(shù)的幅度響應(yīng)下圖為N=5時用矩形窗矩形窗、漢寧窗漢寧窗、漢明窗漢明窗及布萊克曼布萊克曼設(shè)計的低通濾波器的幅度響應(yīng)5 5、凱塞、凱塞(Kaiser)(Kaiser)窗窗10 ,)()1/(21 1()(020NnINnInw是一個可選參數(shù)，用來是一個可選參數(shù)，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，一般說之間的交換關(guān)系，一般說來，來， 越大越大,過渡帶越寬，過渡帶越寬，阻帶越小衰

33、減也越大。阻帶越小衰減也越大。210)2(!11)(kkxkxII I0 0()()是第一類修正零是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)階貝塞爾函數(shù)一般取1525項(xiàng)就可滿足精度要求。若阻帶最小衰減表示為As=-20lgs，的確定可采用以下經(jīng)驗(yàn)公式：50)7 . 8(1102. 05021)21(07886. 0)21(5842. 02104 . 0ssssssAAAAAA凱澤窗凱澤窗各種窗函數(shù)的主要性能窗函數(shù)窗譜性能指標(biāo)加窗后濾波器性能指標(biāo)旁瓣峰值/dB主瓣寬度過渡帶寬阻帶最小衰減/dB矩形窗漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗-13-31-41-57-5724465.55-21-44-53-

34、74-807.3.4、窗函數(shù)法的設(shè)計 1、設(shè)計步驟（1）給定頻響函數(shù)（2）求出單位抽樣響應(yīng)（3）根據(jù)過渡帶寬度和阻帶最小衰減，借助窗函數(shù) 基本參數(shù)表（P202表3）確定窗的形式及N的大小（4）最后求 及 2、設(shè)計舉例)e (Hjd)e (HF)n(hjd1d)()()(nwnhnhd)e (Hj例：分別利用矩形窗與漢寧窗設(shè)計具有線性相位的 FIR 低通濾波器，具體要求：)e (Hjd, 0,ecj其他;rad1, s12c并畫出相應(yīng)的頻響特性解：（1）由于 是一理想LF，所以 可以得出 （2）確定N 由于相位函數(shù) ，所以 呈 偶對稱，其對稱中心為 ，因此 )e (Hjd)n(hd)n()n(s

35、in)n(hcccd)()n(hd2/ ) 1N(2512N)12n()12nsin(1)n(hd（3）加矩形窗)()()()()(25nRnhnwnhnhdd24, 2 , 1 , 0n),12n(/ )12nsin( 則有可以求出h（n）的數(shù)值，注意偶對稱，對稱中心122/ ) 1N(31831. 0)12(14472. 0)14()10(06022. 0)16()8(01482. 0)18()6(03936. 0)20()4(01931. 0)22()2(;01423. 012/12sin)24()0(hhhhhhhhhhhhh26785. 0)13(h)11(h01497. 0)15(

36、h)9(h06104. 0)17(h)7(h02987. 0)19(h)5(h01457. 0)21(h)3(h02893. 011/11sin)23(h) 1 (h)n(hn1224由于h（n）為偶對稱，N=25為奇數(shù)，所以)(H 121n2/ )1n(1n2/ )1N(0n)ncos()n12(h2)12(h)ncos()n21N(h2)21N(h)ncos()n(a例如 H（0）=0.94789，可以計算 的值， 畫如下圖)(H （4）加漢寧窗 由于 可以求出序列的各點(diǎn)值240),242cos(1 21)(nnnw1)12(9330. 0)14()10(75. 0)16()8(5 . 0

37、)18()6(25. 0)20()4(06698. 0)22()2(0)24()0(wwwwwwwwwwwww9829. 0)13()11(85355. 0)15()9(62940. 0)17()7(37059. 0)19()5(1464. 0)21() 3(01903. 0)23() 1 (wwwwwwwwwwww通過 可求出加窗后的h（n）)()()(nwnhnhd31831. 0)12()12()12(whhd13502. 0)14(h)10(h04516. 0)16(h)8(h00741. 0)18(h)6(h00984. 0)20(h)4(h00116. 0)22(h)2(h0)24

38、(h)0(h26326. 0)13(h)11(h1277. 0)15(h)9(h003841. 0)17(h)7(h01107. 0)19(h)5(h00213. 0)21(h)3(h00049. 0)23(h) 1 (h相應(yīng)幅度函數(shù)可用下式求得：121n)ncos()n12(h2)12(h)(H如H（0）=0.98460，圖如下/2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 250dB解：1）求數(shù)字頻率例：設(shè)計一個線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為 ，421.5 10 (/sec)srad 321.5 10 (/sec)prad 通帶截止頻率為 ，323 10 (/sec)s

39、trad 阻帶起始頻率為 ，阻帶衰減不小于-50dB，幅度特性如圖所示2）求hd(n)()0,jjccdcceHe ccsf()11( )22ccjj njndh needed1sin()()ccnnnn12N1/220.3psts 2( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN20.2stps 6.6330.2AN1162N4）確定N 值250dB3）選擇窗函數(shù)：由 確定海明窗（-53dB）6.6N海明窗帶寬：5）確定FIR濾波器的h(n)( )( ) ( )dh nh n w n33sin 0.3160.540.46cos( )1616nnRnn6）求 ，驗(yàn)證()jH e若不滿足，

40、則改變N或窗形狀重新設(shè)計5、線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計()()1( )2ccjnjndh neded1sinsin()1()ccnnnnn()=()cc高通濾波器全通濾波器低通濾波器其單位抽樣響應(yīng)：12N()0jjcdeHe其它理想高通的頻響：6、線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計1221()()1( )2jnjndh neded21211sinsin1nnnnn1221(,)=()() 帶通濾波器低通濾波器低通濾波器其單位抽樣響應(yīng)：120()0jjdeHe其它理想帶通的頻響：12N7、線性相位FIR帶阻濾波器的設(shè)計2112()()()1( )2jnjnjndh nededed12121sin

41、sinsin1nnnnnn1221()=()()帶阻濾波器，高通濾波器+低通濾波器其單位抽樣響應(yīng)：12N120,()0jjdeHe 其它理想帶阻的頻響：4.設(shè)計舉例設(shè)計舉例利用凱澤窗設(shè)計一利用凱澤窗設(shè)計一FIR低通低通filter，要求，要求解：解：2 . 04 . 06 . 0ps6010lg20lg203A65326. 5)7 . 860(1102. 050)7 . 8(1102. 05021)21(07886. 0)21(5842. 02104 . 0ssssssAAAAAA6 . 0,4 . 0,001. 0sp經(jīng)驗(yàn)公式：經(jīng)驗(yàn)公式：,22.3712 . 0285. 2/ )860(N取

42、取38將將N=38, =5.653代入代入 表達(dá)式，得表達(dá)式，得)(nWk)()()653. 5() )37(3065. 0()(0000IxIInnInWknx)(nWk)()(00IxI)(0 xI0 37 0.0 1.000 0.0204 0.021 36 1.8336 2.030 0.0415 0.042 35 2.5568 3.345 0.0704 0.078 29 4.6548 19.96 0.4082 0.413 34 3.086 5.251 0.1074 0.11 4 33 3.5111 7.441 0.1522 0.155 32 3.8656 10.11 0.2067 0.2

43、16 31 4.1678 13.10 0.2679 0.297 30 4.4286 16.44 0.3362 0.349 28 4.8512 23.83 0.4873 0.49)()(00IxI17 20 5.6350 48.03 0.9822 0.98nx)(nWk)(0 xI10 27 5.0215 27.73 0.5671 0.5711 26 5.1682 31.72 0.6489 0.6512 25 5.2931 35.33 0.7225 0.72 13 24 5.3980 39.01 0.7978 0.8014 23 5.4838 41.93 0.8575 0.8615 22 5.5

44、515 44.67 0.9135 0.9116 21 5.6017 46.74 0.9558 0.9618 19 5.6515 48.90 1.0 1.000481216181925293337215 . 02/ )4 . 06 . 0(2/ )(psc)(2sin)()()()(sin)(00nWyyIxInnnhkcyy2sinyy2sin)(nWkn012345637363534333231-0.01220.01290.0139-0.01458-0.015590.016940.018480.020.040.010.27-0.000240.0005160.00096

45、-0.0016-0.00230.00350.0049 yy2sin)(nh 78910111213143029282726252423-0.01965-0.021520.02379-0.02659-0.03013-0.034770.041090.050220.340.410.490.570.650.720.800.86-0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.0431516171822212019-0.06451-0.090400.15070.45200.910.960.981.00-0.059-0.0870.1480.45)(nh的圖形如右所示

46、的圖形如右所示7-4、頻率抽樣法、頻率抽樣法一、設(shè)計思想一、設(shè)計思想窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)，把理想的窗函數(shù)設(shè)計法是從時域出發(fā)，把理想的 用一定用一定形狀的窗函數(shù)截取成有限長的形狀的窗函數(shù)截取成有限長的 ，以，以 來近似來近似 )(nhd)(nhd)(nh)(nh)(jeH從而使頻響從而使頻響 近似理想頻響近似理想頻響 。頻率取樣法是從頻域出發(fā)，對頻率取樣法是從頻域出發(fā)，對理想的頻響理想的頻響 )(jdeH進(jìn)行等間隔取樣進(jìn)行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近似理想頻響，以有限個頻響采樣去近似理想頻響)(jdeH，即：，即：，)(jdeH)(jdeH)(nhd)(jdeH)(nh)(nh等間隔取樣

47、等間隔取樣并且并且二、利用二、利用N個頻域采樣值重構(gòu)個頻域采樣值重構(gòu)FIR的系統(tǒng)函數(shù)與頻響的系統(tǒng)函數(shù)與頻響1. 重構(gòu)重構(gòu)FIR的的單位抽樣響應(yīng)的的單位抽樣響應(yīng)h(n)根據(jù)頻域抽樣理論，由根據(jù)頻域抽樣理論，由N個頻域采樣點(diǎn)個頻域采樣點(diǎn)可以唯一確定可以唯一確定h(n) , 即對即對 H(k)進(jìn)行進(jìn)行IDFT1,.,1 , 0),()(NkkHkHd)()(2kHeHdkNjd2.重構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)重構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)H(Z)NjNeW/21101/21010/21010/2101011)(111)(1 )(1)(1)()(ZWZkHNZeZkHNZekHNZekHNZnhZHkNNNkNnkjNNknNnNnkjNknNkNnkjNnNnn1,.,1 , 0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj3.FIR的頻響的頻響將將 代入代入 表達(dá)式可得表達(dá)式可得其中其中,為大家所知的內(nèi)插函數(shù)為大家所知的內(nèi)插函數(shù).)()(2/ )/2sin()2/sin()(11)1)(1)(10)21(1010/2jkNkNkNjNkNkjNnkjNjjekHeNkNkHNeeekH