結(jié)構(gòu)力學-第四章-結(jié)構(gòu)位移計算-3

1、3 1結(jié)構(gòu)力學結(jié)構(gòu)力學周周 強強 土木工程學院風工程試驗研究中心土木工程學院風工程試驗研究中心 E-mail：第4章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計算 概論概論 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理 位移計算的一般公式位移計算的一般公式 單位荷載法單位荷載法 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算 圖乘法圖乘法 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理4-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算一、概述一、概述ABK1t2tds圖示簡支梁上、下邊緣溫度

2、分別升高t1和t2，求任一截面K 任意方向的位移。靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化、桿件制造誤差情況下不產(chǎn)生內(nèi)力，但材料熱脹冷縮及制造誤差引起的變形，可使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生符合約束條件的自由位移，這類位移仍可采用變形體系的虛功原理。二、計算公式二、計算公式1KtNttF duMd虛擬狀態(tài)的外力和內(nèi)力虛擬狀態(tài)的外力和內(nèi)力實際狀態(tài)的位移和變形實際狀態(tài)的位移和變形設溫度沿桿件截面高度線性分布，即在發(fā)生溫度變形后，截面仍保持為平面，剪切變形 。建立虛擬狀態(tài)，由變形體虛功原理：04-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算實際狀態(tài)微段上的變形 和 ：桿軸處的溫度：hhthtt12210微段ds軸向變形、兩端

3、面轉(zhuǎn)角dstdut021ttt dstdsdhh001KtNNttFt dsMdstF dsMdshhtdutd4-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算MdM sA單位力彎矩圖中該桿彎矩圖的面積。 NNdFsA單位力軸力圖中該桿軸力圖的面積。 0MNKttAt Ah 正負符號取決于正負符號取決于虛功是正功還是負功虛功是正功還是負功。 若桿的軸心處的溫度若桿的軸心處的溫度t0 是升高，而單位力軸力圖中是升高，而單位力軸力圖中該桿受拉力，則此桿的內(nèi)力虛功為正功，此項取正該桿受拉力，則此桿的內(nèi)力虛功為正功，此項取正號，反之取負號。號，反之取負號。 若溫度變化若溫度變化t使桿彎

4、曲而某側(cè)受拉，而單位力彎矩使桿彎曲而某側(cè)受拉，而單位力彎矩圖中該桿的彎矩也使該側(cè)受拉，則虛內(nèi)力做正功取圖中該桿的彎矩也使該側(cè)受拉，則虛內(nèi)力做正功取正號，反之為負號。正號，反之為負號。4-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算 例1: 圖示剛架，各桿均為矩形截面，截面高h=40cm，截面形心位于截面高度1/2處。l=4m設剛架內(nèi)部溫度上升10外部下降20。線膨脹系數(shù)=110-5，試求D點的豎向位移。2m2m2m2mABCD-20 Co 10 Coh 解 (1) 在D點作用一向上的單位力F=1，作彎矩圖 和軸力圖 MNF14m4mM 圖111FN圖2214124442144N

5、MAA4-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算(2)計算 D點的豎向位移。C52)C20(C104 . 02 . 0)C20(20C10000000.t兩側(cè)的溫度差為 CCC30)20(100012ttt2)C5(244 . 0C30C11100005)(m0179. 0101800105N0MUAtAhtD有桿軸線處的溫升值為4-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算 例2: 圖示桁架，受日照均勻溫升30。求C點豎向位移。 A2mCB30 解：在C點作單位力并求出各桿軸力 。 NFA00-1.732-1.7322.02.0CB1己知各桿 t0=

6、30,t = 0故 NCAt0V )(m103866. 0732. 12122)C11(C301040054-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算制造誤差引起的位移計算：制造誤差引起的位移計算：)(.)(mmA272348118每個上弦桿加長每個上弦桿加長8mm,8mm,求由此引起的求由此引起的A A點豎點豎向位移。向位移。118/mm4886m11A1118/118/118/4-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算一、計算公式一、計算公式靜定結(jié)構(gòu)僅考慮支座移動時不產(chǎn)生內(nèi)力和變形，屬剛體系位移計算問題，可沿待求位移位移方向虛擬廣義單位力建立虛擬狀

7、態(tài)，采用剛體虛功原理。ADBCBC實際狀態(tài)實際狀態(tài)4-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算0KmKPT設力狀態(tài)中支座反力為 ，支座實際位移為 ，由剛體系虛功方程：ADBC虛擬狀態(tài)1P)(45)45(1cccRiicyiRic01iiKccRTiiKccR 1符號規(guī)定： 、 方向一致，乘積為正，反之為負。iRic如 支座向下移動 ，欲求C點豎向位移，建立圖示虛擬狀態(tài)。Ba4-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算 例3: 三鉸剛架如圖所示，若支座A下沉C，求BD柱的轉(zhuǎn)角。 BCDaAcaaBD解：(1) 在BD柱上作用單位力矩M =1，求支座反力。

8、ADEBM=1a1a1a1a1(2) 代入公式計算得： acaccRBD)1( 結(jié)果得正值表示柱的轉(zhuǎn)角方向與所假定的單位力矩的方向相同。 4-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算 例4: 圖示剛架右邊支座的豎向位移By=0.06m(向下)，水平位移Bx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。試求由此引起的A端轉(zhuǎn)角A11()2ARyxF cBBlh 0.060.040.00752122 8yxBBradlh（順時針方向）Bx=4cm4-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算靜定結(jié)構(gòu)支座移動時的位移計算 1. 功的互等定理功的互等定理 F1作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形稱為第一狀

9、態(tài)，作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形稱為第一狀態(tài)，F(xiàn)2作用作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形稱為第二狀態(tài)。下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形稱為第二狀態(tài)。 先加先加F1然后加然后加F2的情況，整個加載過中系統(tǒng)做的的情況，整個加載過中系統(tǒng)做的總功為總功為 121211112221121122WF F F 表示由編號為表示由編號為j 的力引起的力引起i點的位移。點的位移。 ij先加先加F2后加后加F1，整個過程中系統(tǒng)做的總功為，整個過程中系統(tǒng)做的總功為 21112222211122WF F F 4-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 1212221112121222111121212121FFFWFFFW因為因為線彈性體系線

10、彈性體系做功與加荷的次序無關，有做功與加荷的次序無關，有 故得故得 212121FF 虛功互等定理：虛功互等定理：狀態(tài)狀態(tài)的力在狀態(tài)的力在狀態(tài)的位移的位移上做功等于狀態(tài)上做功等于狀態(tài)的力在狀態(tài)的力在狀態(tài)的位移上做功。的位移上做功。2112WW4-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 由功的互等定理由功的互等定理 可推出位移互等定理可推出位移互等定理2. 位移互等定理位移互等定理 令功的互等定理中的力令功的互等定理中的力F1=F2=1 , ,則則有有 2112112112 位移互等定理：位移互等定理：由單位荷載由單位荷載F1 引起的與荷載引起的與荷載F2相相應的位移應的位移21，在數(shù)值上

11、等于由單位荷載，在數(shù)值上等于由單位荷載F F2 2引起的與荷引起的與荷載載F F1 1相應的位移相應的位移1212。這里用小寫的字母。這里用小寫的字母表示單位力表示單位力引起的位移。引起的位移。 在一般情況下位移互等定理可寫成：在一般情況下位移互等定理可寫成： jiij 212121FF4-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 注意：注意：位移互等定理適用于廣義力及其對應的廣義位移。位移互等定理適用于廣義力及其對應的廣義位移。 上圖表示了兩個狀態(tài)的線位移上圖表示了兩個狀態(tài)的線位移12 與與21互等?；サ取?上圖表示了線位移上圖表示了線位移12數(shù)值上等于角位移數(shù)值上等于角位移21。F =

12、212狀態(tài) 121F =1121121狀態(tài)1 22F=1221=21狀態(tài) 11112 12狀態(tài) 22= M=2214-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 3. 反力互等定理反力互等定理 第第狀態(tài)，支座狀態(tài)，支座1產(chǎn)生單位位移產(chǎn)生單位位移 1V=1而引起支座而引起支座反力反力k11 和和 k21 。 第第狀態(tài)，支座狀態(tài)，支座2產(chǎn)生單位位移產(chǎn)生單位位移2V=1而引起支而引起支座反力座反力k12 和和 k22 k12n1k2221k111n1k2124-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 由功的互等定理，第由功的互等定理，第狀態(tài)的力在第狀態(tài)的力在第狀態(tài)的位移上狀態(tài)的位移上做虛功做

13、虛功 ，等于第，等于第狀態(tài)的力在狀態(tài)的力在第第狀態(tài)的位移上做虛狀態(tài)的位移上做虛功功 。故有。故有21W12W011022122111kkkk即即 1221kk一般情況下可寫成一般情況下可寫成 jiijkkk111n1k212k1212n1k224-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 支座支座i由于支座由于支座j發(fā)生單位位移所引起的支座反力發(fā)生單位位移所引起的支座反力kij，等于支座等于支座j由于支座由于支座i發(fā)生單位位移而引起的支座反力發(fā)生單位位移而引起的支座反力kji。注意：反力互等定理也適用于其他廣義力的互等。注意：反力互等定理也適用于其他廣義力的互等。 例：例： k12 是反力

14、矩，是反力矩， k21是反力，兩者互等只是數(shù)值上互等。是反力，兩者互等只是數(shù)值上互等。 121k1221k11 k214-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 4. 反力反力位移互等定理位移互等定理 2112 r4-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 小小 結(jié)結(jié) 本章討論了虛功原理以及應用虛功原理來求解結(jié)構(gòu)的位本章討論了虛功原理以及應用虛功原理來求解結(jié)構(gòu)的位移。虛功原理又分為虛位移原理和虛力原理，它們都是虛功移。虛功原理又分為虛位移原理和虛力原理，它們都是虛功原理的具體應用。前者用于求內(nèi)力和反力，后者用于求位移原理的具體應用。前者用于求內(nèi)力和反力，后者用于求位移。在應用虛功原

15、理時要涉及兩個量：。在應用虛功原理時要涉及兩個量：力系和位移力系和位移。這兩者是。這兩者是彼此無關的，但卻需滿足一定的條件。力系必須是平衡的；彼此無關的，但卻需滿足一定的條件。力系必須是平衡的；位移必須是符合約束條件的、無限小的連續(xù)位移。由于力與位移必須是符合約束條件的、無限小的連續(xù)位移。由于力與位移兩者彼此無關位移兩者彼此無關，因此可以虛設一組力系因此可以虛設一組力系( (虛力原理虛力原理) )，讓讓它在實際的結(jié)構(gòu)位移上做功它在實際的結(jié)構(gòu)位移上做功, , 列出虛功方程列出虛功方程，從中求出未知從中求出未知位移位移。 cRsMFFd)(SN 這就是虛力原理表達的虛功方程。也就是位移計算這就是虛

16、力原理表達的虛功方程。也就是位移計算的一般公式最基本的形式。的一般公式最基本的形式。小結(jié)小結(jié) 位移和變形位移和變形( )( )是結(jié)構(gòu)在給定條件下所具是結(jié)構(gòu)在給定條件下所具有的有的. . 是實際的位移狀態(tài)。力系是實際的位移狀態(tài)。力系( )( )則則是虛設的。是虛設的。 虛擬力系的設置應當根據(jù)所求位移來相應的虛擬力系的設置應當根據(jù)所求位移來相應的設置，并根據(jù)需要求出其相應的反力和內(nèi)力。設置，并根據(jù)需要求出其相應的反力和內(nèi)力。 c;,;RMFFF;,;1SN 變形變形( (, ) )是泛指的，若是荷載引起的則代入公式是泛指的，若是荷載引起的則代入公式(6.3.3) 即導出公式即導出公式(6.5.2）

17、。若是溫度引起的，則代入公。若是溫度引起的，則代入公式式(6.3.1a) 、(6.7.1a) 和和(6.7.2b)即導出溫度變化引起的位移即導出溫度變化引起的位移計算公式計算公式(6.7.3a)。 若計算支座移動引起的位移，則因靜若計算支座移動引起的位移，則因靜定結(jié)構(gòu)因支座位移不會引起結(jié)構(gòu)變形，只會引起結(jié)構(gòu)的剛定結(jié)構(gòu)因支座位移不會引起結(jié)構(gòu)變形，只會引起結(jié)構(gòu)的剛體位移體位移, , 這時這時=0 。公式等號右邊前一項為零，。公式等號右邊前一項為零，只剩后一項只剩后一項. . 這就是公式這就是公式(4.7.4)。小結(jié)小結(jié) 虛功原理本身適用于任何變形體，但在本章推虛功原理本身適用于任何變形體，但在本章推導位移計算公式時引