D9_4復(fù)合求導(dǎo)

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則xuuyxydddddd本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 第九章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(),(ttfz一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則定理定理. 若函數(shù),)(, )(可導(dǎo)在點ttvtu),(vufz 處偏導(dǎo)連續(xù), ),(vu在點在點 t 可導(dǎo), tvvztuuztzddddddz則復(fù)合函數(shù)證證: 設(shè) t 取增量t ,vvzu

2、uzz)()(22vu)(o則相應(yīng)中間變量且有鏈式法則vutt有增量u ,v ,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0t令,0,0vu則有to)( 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時,根式前加“”號)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若定理中 說明說明: ),(),(vuvuf在點例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但復(fù)合函數(shù)),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0

3、(vfvz偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu則定理結(jié)論不一定成立.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推廣推廣:1) 中間變量多于兩個的情形. , ),(wvufz 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu例如,例如,yx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 又如,),(, ),(yxvvxfz當(dāng)它們都具有可微

4、條件時, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里xzxfxz表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 對 x 求導(dǎo)xf表示f ( x, v )固定 v 對 x 求導(dǎo)口訣口訣 :xfxvvfyvvf與不同,v分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè)設(shè),sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.,sin

5、,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 設(shè) ,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全導(dǎo)數(shù),etu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗證解的問題中經(jīng)常遇到, 下列兩個例題有助

6、于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (當(dāng) 在二、三象限時, )xyarctan例例5. 設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求下列表達式在),(yxfu 222222)2

7、(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: 已知sin,cosryrxuryxyx極坐標系下的形式xrruxu(1), 則xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxyxu2ryururusincos目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu題目 ryru2rxuuryxyxruruxusincos目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururu

8、sincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用已有公式已有公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxu

9、vufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復(fù)合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達 形式都一樣, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 .,sineyxvyxuvzu.,yzxz求)cos()sin(e yxyxyx例例 6. 利用全微分形式不變性再解例1. 解解:) (dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyxyxyxzyx)

10、cos()sin(eyxyxxyzyx所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dyx)(dyx )cos()sin(eyxyxxyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則“分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性, ),(vufz 對不論 u , v 是自變量還是中間變量,vvufuvufzvud),(d),(d目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)解答提示解答

11、提示:P81 題7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)(11yx22yxxy22vuuP81 題7; 8(2); P130 題11vuyvuxyxz,arctanzyxvuvu目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P81 題8(2)xuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzyzyyxfu,fyx zy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1f xzye1f 2f yxz2ye 11fyx2eye13f yxe 21f23f 作業(yè)作業(yè) P81 2; 4; 6; 9; 10; *12(4); *13P130 題 11第五節(jié) yxuyxufze, ),(yxuyxzxz,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf兩邊對 x 求導(dǎo), 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xx