第1章 誤差分析

1、 第1章 誤差分析 絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字1. 來(lái)源與分類來(lái)源與分類 從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差模型誤差例例1:1:質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體，在重力作用下，自由下落，的物體，在重力作用下，自由下落， 其下落距離其下落距離s 與時(shí)間與時(shí)間t 的關(guān)系是：的關(guān)系是： mgdtsdm22（1.1）其中其中 g 為重力加速度。為重力加速度。 通過(guò)測(cè)量得到模型中參數(shù)的值通過(guò)測(cè)量得到模型中參數(shù)的值 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差 求近似解求近似解 方法誤差方法誤差 (截?cái)嗾`差）截?cái)嗾`差）機(jī)器字長(zhǎng)有限機(jī)器字長(zhǎng)有限 舍入誤差舍入誤差 用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器和筆算，都

2、只能用有限位小數(shù)用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器和筆算，都只能用有限位小數(shù)來(lái)代替無(wú)窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來(lái)代替位數(shù)較多來(lái)代替無(wú)窮小數(shù)或用位數(shù)較少的小數(shù)來(lái)代替位數(shù)較多的有限小數(shù)，如：的有限小數(shù)，如： = 3.1415926 3333. 031x = 8.12345四舍五入后四舍五入后0000074. 01416. 31000033. 0333. 0312000044. 01235. 83 x在數(shù)值計(jì)算方法中，主要研究在數(shù)值計(jì)算方法中，主要研究和和（包括初始數(shù)據(jù)的誤差）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響?。òǔ跏紨?shù)據(jù)的誤差）對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響！絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和有效數(shù)字1 1絕對(duì)誤差與絕對(duì)誤差限絕對(duì)

3、誤差與絕對(duì)誤差限定義定義1：設(shè)：設(shè)x是準(zhǔn)確值是準(zhǔn)確值，x*為為x的一個(gè)近似值的一個(gè)近似值，稱，稱 *)(xxxe是近似值是近似值x的的, ,簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為。 （1.5）例例 2: :若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長(zhǎng)，若用以厘米為最小刻度的尺去量桌子的長(zhǎng)， 大約為大約為1.45米，求米，求1.45米的絕對(duì)誤差。米的絕對(duì)誤差。1.45米的米的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差= =？不知道！不知道！但實(shí)際問(wèn)題往往可以估計(jì)出但實(shí)際問(wèn)題往往可以估計(jì)出 不超過(guò)某個(gè)正數(shù)不超過(guò)某個(gè)正數(shù) ，即，即， ，則稱，則稱 為絕對(duì)誤差限，有了絕對(duì)誤差限為絕對(duì)誤差限，有了絕對(duì)誤差限就可以知道就可以知道x范圍為范圍為)(xe*xx*xxx

4、*xx,*xx即即x落在落在 內(nèi)。在應(yīng)用上，常常采用下列內(nèi)。在應(yīng)用上，常常采用下列寫法來(lái)刻劃寫法來(lái)刻劃x*的精度。的精度。2相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限xxxxe*（1.6）定義定義2：設(shè)設(shè)x是準(zhǔn)確值，是準(zhǔn)確值，x*是近似值，稱是近似值，稱rxxx*滿足滿足為近似值為近似值x的的，相應(yīng)地，若正數(shù)，相應(yīng)地，若正數(shù) ，r 則稱則稱 為為x的的。r410211416. 35102114159. 3由上述定義由上述定義0015926. 014. 3有效數(shù)位為有效數(shù)位為3位位0000074. 01416. 3有效數(shù)位為有效數(shù)位為5位位0000926. 01415. 3有效數(shù)位為有效數(shù)位為4位

5、位01x(*)3有效數(shù)字有效數(shù)字定義定義3：如果如果 的近似數(shù)形如的近似數(shù)形如pnx10. 021*滿足滿足npxx1021*（1.7）則稱則稱x*有有n位位，其中，其中 ，并把有效，并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為數(shù)字的位數(shù)稱為。4三者關(guān)系三者關(guān)系推論推論1：如果形如（如果形如（*）的近似數(shù)）的近似數(shù)x*有有 n位有效數(shù)字，則位有效數(shù)字，則np1021*（1）推論推論2：如果形如（如果形如（*）的近似數(shù)）的近似數(shù)x*有有 n位有效數(shù)字，則位有效數(shù)字，則)1(1*1021nr（2）推論推論2：如果形如（如果形如（*）的近似數(shù)）的近似數(shù)，滿足，滿足則，則，x*至少至少有有 n位有效數(shù)字位有效數(shù)字)1(1*

6、10) 1(21nr（3） 1誤差分析的一般公式誤差分析的一般公式設(shè)對(duì)參數(shù)設(shè)對(duì)參數(shù)nxxx,21進(jìn)行某種運(yùn)算進(jìn)行某種運(yùn)算),(21nxxxfy其中其中nxxx,21帶有誤差帶有誤差nxxx,21則函數(shù)的誤差則函數(shù)的誤差, y則有則有),(2211nnxxxxxxfyynnnxxfxxfxxf111),(212221212nnxxfxxf)()()(xxfynnxxfxxfy11niiixxfy1*)()(niiriirxfxxfy1*)()(一個(gè)變量的公式一個(gè)變量的公式)()()(xfxfy2四則運(yùn)算的誤差估計(jì)四則運(yùn)算的誤差估計(jì)（1）加、減）加、減21xxy)()()(21xxy)()()(2

7、*2121*211*xxxxxxxxyrrr（2）乘、除）乘、除2121;xxyxxy)()()(2*1*xxyrrr)()()(2112xxxxy乘乘除除)()(1)(222112xxxxxy3條件數(shù)與病態(tài)問(wèn)題條件數(shù)與病態(tài)問(wèn)題條件數(shù)：條件數(shù)：iiixffxxf , ),(21nxxxfy為求的條件數(shù)的條件數(shù)病態(tài)問(wèn)題：病態(tài)問(wèn)題：iiixffxxf , 至少有一很大，則至少有一很大，則),(21nxxxfy求為病態(tài)問(wèn)題為病態(tài)問(wèn)題 1. .計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示與誤差計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示與誤差)(xfl計(jì)算機(jī)的精度。計(jì)算機(jī)的精度。nt10. 021)1 ()(,)(xxflxxxfl)(1021nt)1 (

8、)/()1 ()()1)()()1 ()(421321212212112121xxxflxxxxflxxxxflxxxxfl一、算法的概念一、算法的概念 描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常語(yǔ)言描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以敘述，也可以借助形式語(yǔ)言（算法語(yǔ)言）和數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以敘述，也可以借助形式語(yǔ)言（算法語(yǔ)言）給出精確的說(shuō)明，也可以用框圖直觀地顯示算法的全貌。給出精確的說(shuō)明，也可以用框圖直觀地顯示算法的全貌。 定義：由基本運(yùn)算及運(yùn)算順序的規(guī)定所構(gòu)成的完整的定義：由基本運(yùn)算及運(yùn)算順序的規(guī)定所構(gòu)成的完整的 解題步驟，稱為解題步驟，稱為。 例例1：一群小兔一群雞，兩

9、群合到一群里，要數(shù)腿共：一群小兔一群雞，兩群合到一群里，要數(shù)腿共48，要數(shù)腦袋整要數(shù)腦袋整17，多少小兔多少雞？，多少小兔多少雞？算術(shù)方法算術(shù)方法 ：若沒(méi)有小兔，則雞應(yīng)是若沒(méi)有小兔，則雞應(yīng)是17只只總腿數(shù)總腿數(shù) ：21734一只小兔增加一只小兔增加 2條腿，條腿，應(yīng)該有應(yīng)該有7221748只小兔只小兔1010只小雞只小雞代數(shù)方法代數(shù)方法 ：設(shè)有設(shè)有x只小雞，只小雞，y只小兔只小兔 ，(ii) 4842(i) 17 ) I (yxyx(-2)*(i) +(ii) , 得得217-48)24( 17 )II(yyx72421748y只小兔只小兔高斯消高斯消去法去法例：求解二元一次聯(lián)立方程組例：求解

10、二元一次聯(lián)立方程組22221211212111bxaxabxaxa用行列式解法：首先判別用行列式解法：首先判別12212211aaaaD （1）如果如果 ，則令計(jì)算機(jī)計(jì)算，則令計(jì)算機(jī)計(jì)算 0D , 1222211DababxDababx2111122輸出計(jì)算的結(jié)果輸出計(jì)算的結(jié)果x1，x2。（2）如果如果D D= = 0 0，則或是無(wú)解，或有無(wú)窮多組解。，則或是無(wú)解，或有無(wú)窮多組解。是否為零，存在兩種可能：是否為零，存在兩種可能：12212211Daaaa令令通過(guò)求解過(guò)程，可以總結(jié)出算法步驟如下：通過(guò)求解過(guò)程，可以總結(jié)出算法步驟如下：S2 計(jì)算計(jì)算12212211DaaaaS3 如果如果0D 則

11、輸出原方程無(wú)解或有無(wú)窮多組解的信息則輸出原方程無(wú)解或有無(wú)窮多組解的信息;否則否則0D D1212112babax D2121221babaxS1 輸入輸入2122211211,bbaaaaS4 輸出計(jì)算的結(jié)果輸出計(jì)算的結(jié)果21,xx輸入輸入2122211211,bbaaaa D=a11a22-a12a21D=0開(kāi)始開(kāi)始DababxDababx/ )(/ )(21111221222211輸出輸出 x1, x2 結(jié)結(jié) 束束 No輸出無(wú)解信息輸出無(wú)解信息Yes二、算法的優(yōu)劣二、算法的優(yōu)劣 計(jì)算量小計(jì)算量小 存貯量少存貯量少 邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單例：用行列式解法求解線性方程組例：用行列式解法求解線

12、性方程組: : n階方程組，要計(jì)算階方程組，要計(jì)算n + 1個(gè)個(gè)n n階行列式的值，階行列式的值， 總共需要做總共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法運(yùn)算。次乘法運(yùn)算。 n=20 需要運(yùn)需要運(yùn)算多少次？算多少次？n=100?1要使用數(shù)值穩(wěn)定的算法要使用數(shù)值穩(wěn)定的算法例例1：求：求 （n = 0, 1, 2, , 8）的值。的值。10dx5xxInn解：由于解：由于nxxxxIInnnnn1dxdn5551011011初值初值)2 . 1ln(5ln6lndx51100 xI三三 、舍入誤差的影響、舍入誤差的影響 遞推公式遞推公式)8, 2, 1(,51)2 . 1ln(10nIn

13、IInn（1.8）注意此公式注意此公式精確精確成成立立按按 (1.8) 式就可以逐步算出式就可以逐步算出09. 05101II05. 052112II083. 053123II165. 054134IIWhat happened?!025. 155145II952. 456156II不穩(wěn)定的算法不穩(wěn)定的算法 ！由遞推公式由遞推公式（1.8）可看出，可看出，In-1的誤差擴(kuò)大了的誤差擴(kuò)大了5倍后傳給倍后傳給In，因而初值因而初值I0的誤差對(duì)以后各步計(jì)算結(jié)果的影響，隨著的誤差對(duì)以后各步計(jì)算結(jié)果的影響，隨著n的增大的增大愈來(lái)愈嚴(yán)重。這就造成愈來(lái)愈嚴(yán)重。這就造成I4的計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重失真。的計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重失

14、真。改變公式：改變公式：nIInn151將公式將公式變?yōu)樽優(yōu)椴环猎O(shè)不妨設(shè)I9 I10，于是由于是由10951501II可求得可求得I9 0.017，按公式按公式（1.9）可逐次求得可逐次求得) 1 , 1,( 51511nnKIKIKk（1.9）I8 0.019 I7 0.021I6 0.024 I8 0.028I4 0.034 I3 0.043I2 0.058 I1 0.088I0 0.182 穩(wěn)定的算法穩(wěn)定的算法 ！ 在我們今后的討論中，在我們今后的討論中，誤差誤差將不可回避，將不可回避， 算法的算法的穩(wěn)定性穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。誤差的傳播與積累誤差的傳播與

15、積累例例2：蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng) 紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京就刮起臺(tái)風(fēng)來(lái)了？！京就刮起臺(tái)風(fēng)來(lái)了？！NYBJ以上是一個(gè)病態(tài)問(wèn)題以上是一個(gè)病態(tài)問(wèn)題 2要避免兩個(gè)相似數(shù)相減要避免兩個(gè)相似數(shù)相減在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近的數(shù)作減法時(shí)有效數(shù)字會(huì)損失。在數(shù)值計(jì)算中，兩個(gè)相近的數(shù)作減法時(shí)有效數(shù)字會(huì)損失。xxy1（1.10）的值。的值。當(dāng)當(dāng)x = 1000，y 的準(zhǔn)確值為的準(zhǔn)確值為0.01580 1、直接相減直接相減02. 062.3164.3110001001y2、將將（1.10）改寫為改寫為xxxxy111則則 y = 0.01581 例例3: 求求類似地類似地 y

16、xyxlnlnln2sin2cos2sin)sin(xxx2. 絕對(duì)值太小的數(shù)不宜作除數(shù)絕對(duì)值太小的數(shù)不宜作除數(shù)2 .2718001. 07182. 21 .24710011. 07182. 2例例3：如分母變?yōu)槿绶帜缸優(yōu)?.0011，也即分母只有，也即分母只有0.0001的變化時(shí)的變化時(shí)3. 避免大數(shù)避免大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù)例例7：用單精度計(jì)算：用單精度計(jì)算 的根。的根。010)110(992 xx精確解為精確解為110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式：利用求根公式aacbbx242在計(jì)算機(jī)內(nèi)，在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為存為0.1 1010，1存為存為0.1 101。做加法時(shí)，做加法時(shí)，

17、兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)榈闹笖?shù)部分須變?yōu)?010，則：，則：1 = 0.0000000001 1010，取，取單精度時(shí)就成為：?jiǎn)尉葧r(shí)就成為： 109+1=0.10000000 1010+0.00000000 1010=0.10000000 1010024,102422921aacbbxaacbbx算法算法2：先解出：先解出9211024)( aacbbsignbx11010991221 xacxacxx求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例例8：按從小到大、以及

18、從大到小的順序分別計(jì)算：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算4. 先化簡(jiǎn)再計(jì)算，減少步驟，避免誤差積累。先化簡(jiǎn)再計(jì)算，減少步驟，避免誤差積累。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為 exp ,1 + 2 + 3 + + 40 + 109再利用再利用5.算法的算法的遞推性遞推性 計(jì)算機(jī)上使用的算法常采用遞推化的形式，遞推計(jì)算機(jī)上使用的算法常采用遞推化的形式，遞推化的基本思想是把一個(gè)復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程歸結(jié)為簡(jiǎn)單過(guò)程化的基本思想是把一個(gè)復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程歸結(jié)為簡(jiǎn)單過(guò)程的多次重復(fù)。這種重復(fù)在程序上表現(xiàn)為循環(huán)。遞推化的的多次重復(fù)。這種重復(fù)在程序上表現(xiàn)為循環(huán)。遞推化的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)和節(jié)省計(jì)算量?jī)?yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)和節(jié)省計(jì)算量。多項(xiàng)式求值：多項(xiàng)式求值：給定的給定的x 求下列求下列n 次多項(xiàng)多的值次多項(xiàng)多的值。 nnxaxaxaaxP2210)(解：解：1. . 用一