6.5,平面向量應(yīng)用—正弦定理、余弦定理（解析版）

1、本文格式為word版，下載可任意編輯6.5,平面向量應(yīng)用正弦定理、余弦定理（解析版） 6.5 平面對(duì)量的應(yīng)用 正弦定理、余弦定理 1. 已知兩角和一邊解三角形；2. 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形；3. 運(yùn)用正弦定理求三角形的面積；4. 已知兩邊及一角解三角形；5. 已知三邊解三角形；6. 推斷三角形的外形；7. 綜合應(yīng)用正弦、余弦定理求邊和角 8.正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用；9. 正、余弦定理與三角恒等變換的綜合應(yīng)用；10. 求取值范圍問(wèn)題；11. 不易到達(dá)點(diǎn)測(cè)量距離問(wèn)題；12. 正、余弦定理在航海距離測(cè)量中的應(yīng)用；13.平面對(duì)量與正弦定理、余弦定理；14. 函數(shù)與方程思想在解三角形應(yīng)用舉例

2、中的應(yīng)用. 一、單選題 1（2021湖北荊門外語(yǔ)學(xué)校期中）在 abc 中，內(nèi)角 、 、 a b c 對(duì)應(yīng)的邊分別為 a b c 、 、 ，若120 , 2 a b = ° = ，1 c = ，則邊長(zhǎng) a 為（ ） a 7 b 5 c 3 d2 【答案】a 【解析】 在 abc 中， 120 , 2 a b = ° = ， 1 c = ， 所以2 2 212 cos 4 1 2 2 1 72a b c bc a = + - = + - ´ ´ ´ = ， 7 a = 故選：a. 2. （2021湖北黃岡期末）在abc中，內(nèi)角 a，b，c的對(duì)邊分別

3、為 a ，b，c，已知3cos5a= - ， 8 a= ，5 b= ，則 b = （ ） a4p b 6p c3p d56p 【答案】b 【解析】 由于3cos5a= - ，所以 a 為鈍角，4sin5a = ， b 為銳角 由sin sina ba b= 得45sin 15sin8 2b aba´= = =，所以6bp= 故選：b 3（2021上海市七寶中學(xué)期末）在 abc 中，" tan tan a b > '是" sin sin a b > '的（ ） a充分非必要條件 b必要非充分條件 c充要條件 d既不充分也不必要條件 【答案

4、】d 【解析】 在 abc 中，若6ap= ，23bp= ，則3tan3a = ， tan 3 b = - ，滿意 tan tan a b > ；三角形中大邊對(duì)大角，此時(shí) a b < ，所以 a b < ，依據(jù)正弦定理得到 sin sin a b < ， 所以由" tan tan a b > '不能推出" sin sin a b > '； 若 sin sin a b > ，依據(jù)正弦定理，得到 a b > ，依據(jù)三角形中大邊對(duì)大角得 a b > ，若 a 為鈍角，則 tan 0 a< ，不能推出 ta

5、n tan a b > ； 綜上，" tan tan a b > '是" sin sin a b > '的既不充分也不必要條件. 故選：d. 4（2021邯鄲市永年區(qū)第一中學(xué)期末）在 abc d 中，若2 2 2sin sin sin a b c + ，則 abc d 的外形是( ) a鈍角三角形 b直角三角形 c銳角三角形 d不能確定 【答案】a 【解析】 由于在 abc d 中，滿意2 2 2sin sin sin a b c + < ， 由正弦定理知 sin ,sin ,sin2 2 2a b ca b cr r r= = =

6、，代入上式得2 2 2a b c + < ， 又由余弦定理可得2 2 2cos 02a b ccab+ -= < ，由于 c是三角形的內(nèi)角，所以 ( , )2cpp Î ， 所以 abc d 為鈍角三角形，故選 a. 5.（2021黑龍江龍鳳大慶四中月考（文）在abc中，a、b、c 分別是角 a、b、c的對(duì)邊，假如 2b=a+c， b=30，abc的面積是 32 ，則 b=（ ） a1+ 3 b 132+ c223 + d2+ 3 【答案】a 【解析】 由已知1 1 1 3sin sin302 2 4 2s ac b ac ac = = °= = ， 6 ac=

7、 ， 所以2 2 2 2 22 cos30 ( ) 2 3 4 6(2 3) b a c ac a c ac ac b = + - ° = + - - = - + ，解得 3 1 b = + 故選：a 6（2021全國(guó)高三其他（理）設(shè) g 是 abc 的重心，且滿意等式7sin 3sin 3 7sin 0 a ga b gb c gc × + × + × = ，則 b Ð = （ ） a45 b60 c90 d120 【答案】b 【解析】 7sin 3sin 3 7sin 0 a ga b gb c gc × + × + &

8、#215; = ，又 g 是 abc 的重心 0 ga gb gc + + =，觀看類比得： 7sin 3sin 3 7sin 1 a b c = = = 由正弦定理知： 7 3 3 7 a b c = = ，則 3 a c = ， 7 = b c 即得2 2 2 2 2 22 210 7 3 1cos2 2 3 6 2a c b c c cbac c c+ - -= = = =× ×， 60 b= ° 故選：b 7（2021全國(guó)高三月考（文）在 oab d 中，已知 2 ob = ，1 ab = ， 45 aob Ð = ° ，點(diǎn) p 滿意(

9、 ) , op oa ob l m l m = + Îr ，其中 l ， m 滿意 23 l m + = ，則 op 的最小值為（ ） a3 55 b2 55 c63 d62 【答案】a 【解析】 在 oab d 中,已知 2 ob = , 1 ab =uuur, 45 aob Ð = ° 由正弦定理可得sin sinab obaob oab=Ð Ð 代入1 2sin 22oab=Ð,解得 sin 1 oab Ð = 即2oabpÐ = 所以 oab d 為等腰直角三角形 以 o 為原點(diǎn), ob 所在直線為 x 軸

10、,以 ob 的垂線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示: 則點(diǎn) a 坐標(biāo)為2 2,2 2æ öç ÷ç ÷è ø 所以2 2,2 2oaæ ö= ç÷ç ÷è ø, ( ) 2,0 ob = 由于 ( ) , op oa ob l m l m = + Îr 則 ( )2 2, 2,02 2op l mæ öç ÷= +ç ÷è ø2 22 ,2

11、2l m læ öç ÷ç ÷è ø= + 則2 22 222 2op l m læ ö= + +æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø 2 22 2 l lm m = + + 由于 2 3 l m + = ,則 3 2 m l = - 代入上式可得 ( ) ( )223 2 2 2 3 2 l l l l + - + - 218 5 18 l l

12、 - = + 29 955 5læ ö= - +ç ÷è ø 所以當(dāng)95l = 時(shí), min9 3 55 5op = = 故選:a 8（2021內(nèi)蒙古扎魯特旗扎魯特一中期末（理）在銳角三角形 abc 中，角 a ， b ， c 所對(duì)的邊分別為 a ，b ， c ，且2 2 222cos2a c bac bc+ -=-， 4 c= ， abc 面積的取值范圍是（ ） a ( ) 2 3,8 3 b ( ) 2,8 c ( 2 3,8 ùû d)2 3,8éë 【答案】a 【解析】 2 2 222c

13、os2a c bac bc+ -=-，由余弦定理得22 cos2cos2ac bac bc=-， cos cos 2 cos a b b a c a + = ，由正弦定理得 sin cos sin cos 2sin cos a b b a c a + = ， 即 sin( ) 2sin cos sin a b c a c + = = ，又 (0, ) c p Î ， sin 0 c ¹ ，1cos2a= ， (0, ) a p Î ，3ap= ， 三角形為銳角三角形，23 2b cp p= - < ，6cp> ，即 ,6 2cp p æ &#

14、246;Î ç÷è ø， 1sin 32abcs bc a b = =， 由正弦定理sin sinb cb c= 得24sin4sin 2 3cos 2sin 2 3 32sin sin sin tancb c cbc c c cp æ ö-ç ÷+è ø= = = = +， ,6 2cp p æ öÎ ç÷è ø，3tan3c > ， 2 8 b < < ， (2 3,8 3)abcs Î

15、; 故選：a 9（2021內(nèi)蒙古扎魯特旗扎魯特一中期末（文）在 abc 中，內(nèi)角 a 、 b 、 c 所對(duì)的邊分別是 a ， b ，c 且3 sin sin( )tan a b b b c c = + ，則 cosc = （ ） a12 b12- c32 d32- 【答案】a 【解析】 在 abc 中， sin( ) sin b c a + = 所以 sin( )tan sin tan b b c c b a c + = ， 所以 3 sin sin tan a b b a c = ， 由正弦定理可知， 3sin sin sin sin tan a b b a c = ， 又 ( ) , 0,

16、 a b p Î ， 所以 tan 3 c = ， 又 ( ) 0, c p Î ，所以3cp= ， 所以1cos2c = . 故選：a. 10（2021全國(guó)高一單元測(cè)試）在 abc 中，角 a b c ， ， 的對(duì)邊分別為 a b c ， ， ，已知 2 5 c = ，且2 sin cos sin sin a c b a a b b = - +5sin2b c ，點(diǎn) o 滿意 0 oa ob oc + + = ，3cos8cao Ð = ，則abc 的面積為（ ） a553 b 3 5 c 5 2 d55 【答案】d 【解析】 由52 sin cos sin s

17、in sin2a c b a a b b b c = - + ， 可得2 2 22 2522 2a c bac a b bcac+ -´ = - + ，即52c b = .又 2 5 c = ，所以 4 b = 由于0 oa ob oc + + =，所以點(diǎn) o 為 abc 的重心， 所以3 ab ac ao + =，所以3 ab ao ac = -， 兩邊平方得2 2| 9 | 6 cos ab ao ao ac cao = - Ð2| | ac + 由于3cos8cao Ð = ，所以2 2 23| 9 | 6 | |8ab ao ao ac ac = - &#

18、180; +， 于是29| | ao - 9 4 0 ao - = ，所以43ao = ， aoc 的面積為1 1 4sin 42 2 3ao ac cao ´ ´ ´ Ð = ´ ´ ´23 5518 3æ ö- =ç ÷è ø. 由于 abc 的面積是 aoc 面積的 3 倍.故 abc 的面積為 55 二、多選題 11（2021江蘇盱眙馬壩高中期中）（多選）在 abc 中，內(nèi)角 a ， b ， c 所對(duì)的邊分別為 a ， b ， c ，若 1 a = ， 3

19、b = ， 30 a= ° ，則 b = （ ） a 30 b 150° c 60° d 120° 【答案】cd 【解析】 由正弦定理sin sina ba b= ， 得13sin 32sin1 2b aba´= = =. 又 b a > ， 0 180 b °< < ° ， 所以 60 b= ° 或 120 b= ° ， 故選：cd. 12 （2021河北月考） a ， b ， c 分別為abc 內(nèi)角 a ， b ， c 的對(duì)邊.已知 ( )sin 3 sin b a b c b =

20、-，且1cos3a= ，則（ ） a 3 a c b + = b tan2 2 a= c abc 的周長(zhǎng)為 4c d abc 的面積為22 29c 【答案】abd 【解析】 ( )sin 3 sin b a b c b = -， ( )3 ab b c b = -， 3 a b c = - . 由余弦定理得 ( )22 23 2 cos b c b c bc a - = + - ， 整理得23b c = ，又1cos3a= ， 2 2sin3a= ， tan 2 2 a= . 周長(zhǎng)為 4 a b c b + + = . 故 abc 的面積為21 2 2sin2 9bc a c =. 故選：ab

21、d 13. （2021江蘇鎮(zhèn)江期末）在 abc 中，a，b，c 分別為角 a，b，c的對(duì)邊，已知coscos 2b bc a c=-，3 34abcs =，且 3 b = ，則（ ） a1cos2b = b3cos2b = c3 a c + = d ac 3 2 + = 【答案】ad 【解析】 cos sincos 2 2sin sinb b bc a c a c= =- -， 整理可得： sin cos 2sin cos sin cos b c a b c b = - ， 可得 ( ) sin cos sin cos sin sin 2sin cos b c c b b c a a b +

22、= + = = ， a為三角形內(nèi)角， sin 0 a¹ ， 1cos2b = ，故 a 正確，b錯(cuò)誤， ( ) 0, b p Î ， 3bp= ， 3 34abcs =，且 3 b= ， 3 3 1 1 3 3sin4 2 2 2 4ac b a c ac = = ´ ´ ´ =， 解得 3 ac= ， 由余弦定理得 ( ) ( )2 22 29 3 9 a c ac a c ac a c = + - = + - = + - ， 解得 ac 3 2 + =，故 c錯(cuò)誤，d 正確. 故選：ad. 14（2021山東濰坊高一期末）在 abc 中，

23、a ， b ， c 分別是內(nèi)角 a ， b ， c 所對(duì)的邊， 3 2 sin a c a = ，且 02c < <p， 4 b = ，則以下說(shuō)法正確的是（ ） a3cp= b若72c = ，則1cos7b = c若 sin 2cos sin a b c =，則 abc 是等邊三角形 d若 abc 的面積是 2 3 ，則該三角形外接圓半徑為 4 【答案】ac 【解析】 由正弦定理可將條件 3 2 sin a c a = 轉(zhuǎn)化為 3sin 2sin sin a c a = ， 由于 sin 0 a¹ ，故3sin2c = ， 由于 (0, )2cpÎ ，則3cp=

24、 ，故 a 正確； 若72c = ，則由正弦定理可知sin sinc bc b= ，則4 3 4 3sin sin72 72bb cc= = ´ =， 由于 (0, ) b p Î ，則248 1cos 1 149 7b sin b = ± - = ± - = ± ，故 b 錯(cuò)誤； 若 sin 2cos sin a b c = ，依據(jù)正弦定理可得 2 cos a c b = ， 又由于 3 2 sin a c a = ，即2 3sin3a c a = ，即有2 3sin 2 cos3c a c b = ，所以 sin 3cos a b = ，

25、由于23a b cpp + = - = ，則23a bp= - ，故2sin( ) 3cos3b bp- = ， 整理得3 1cos sin 3cos2 2b b b + = ，即1 3sin cos2 2b b = ， 解得 tan 3 b = ，故3bp= ，則3ap= ， 即3a b cp= = = ，所以 abc 是等邊三角形，故 c 正確； 若 abc 的面積是 2 3 ，即1sin 2 32ab c = ，解得 2 a = ， 由余弦定理可得2 2 212 cos 4 16 2 2 4 122c a b ab c = + - = + - ´ ´ ´ =

26、 ，即2 3 c = 設(shè)三角形的外接圓半徑是 r ， 由正弦定理可得2 32 4sin 32crc= = =，則該三角形外接圓半徑為 2，故 d錯(cuò)誤， 故選：ac 三、填空題 15（2021江蘇南通高三其他）在平面四邊形 abcd中，已知點(diǎn) e，f 分別在邊 ad，bc 上，3 ad ae =，3 bc bf =， 3 ab = ， 2 ef = ， 3 dc = ，則向量 ab 與 dc 的夾角的余弦值為_(kāi) 【答案】5 312 【解析】 如圖，連結(jié) ac，取點(diǎn) g，使得 ac=3ag，連結(jié) eg,fg， 則 egf Ð 為 ab 與 dc 所成交的補(bǔ)角， 在 egf 中，2 31,

27、 , 23= = = eg fg ef 由余弦定理可得 2 2 22 31 ( ) 25 33cos12 2 32 13+ -Ð = = -´ ´egf，所以 ab 與 dc 所成交角的余弦值為5 312 故答案為：5 312 16（2021湖北蔡甸漢陽(yáng)一中高一期中）已知 , , a b c 分別為 abc 的三個(gè)內(nèi)角, , a b c 的對(duì)邊，8 b= ，且2 23cos5ac b a b bc = - + ， o 為 abc 內(nèi)一點(diǎn)，且滿意0 oa ob oc + + =， 30 bao Ð = ° ，則 oa =_ 【答案】6415 【解

28、析】 abc d 中，2 23cos5ac b a b bc = - + ， 由余弦定理可得2 2 22 232 5a c bac a b bcac+ -= - + ， 2 2 265b c a bc + - = ， 2 2 2635cos2 2 5bcb c aabc bc+ - = = =， 4sin5a = ； 6 b = ， 30 bao Ð = ° ，且0 oa ob oc + + =， o 為 abc d 的重心，且13abo abcs sd d= ，如圖所示； 則1 1 1| | sin30 sin2 3 2c oa cb bac °= ´

29、 Ð ， 求得1 4 64| | 8 23 5 15oa = ´ ´ ´ = 故答案為：6415 17.（2021四川省武勝烈面中學(xué)校高一期中）在 abc 中，已知 ( ) 2 3 cos cos b b c c b = + ，點(diǎn) m，n在邊ac ， bc 上，滿意13am ac = ，12bn bc = ， bm 與 an 交于點(diǎn) p，則cpab的取值范圍是_. 【答案】1,25æ öç ÷è ø 【解析】 由 ( ) 2 3 cos cos b b c c b = + ，得 2sin 3(s

30、in cos sin cos ) 3sin( ) 3sin b b c c b b c a = + = + = ，所以 23 b a = ， 設(shè) cba =， ca b = ， 點(diǎn) m，n 在邊 ac ， bc 上，滿意13am ac = ，12bn bc = ， bm 與 an 交于點(diǎn) p， ( ) ( )1 1 112 2 2cp cn np cb na cb ca cn a b l l l l = + = + = + - = - + ， 又( ) ( )2 2 213 3 3cp cm mp b mb b cb cm a b m m m m = + = + = + - = + - ， 由

31、得1(1 )22(1 )3l ml mì- =ïïíï= -ï î，解得12l = ，14m = ， 1 14 2cp a b = + ，又 aba b = -，由 2 3 b a = ，可設(shè) 3 , 2 b k a k = = ， 22 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 1 1 9 3cos cos5 3cos16 4 4 4 4 22 cos 4 9 12 cos 26 24cosa b ab c k k k ccpca b ab c k k k c cab+ + + += = =+ - + - -1 78 8(13 12cos ) c= - +-， 依據(jù) 1 cos 1 c - < < 可得221425cpab< <， cpab的取值范圍是1,25æ öç ÷è ø. 故答案為：1,25æ öç ÷è ø. 四、雙空題 18（2021浙江高三月考）在銳角 abc 中，角 a ， b ， c 所對(duì)的邊分別是 a ， b ， c ，3ap= ，7 a = ，3 c= ，則 b= _， sin sin b