6.6,第六章,《平面向量》,綜合測(cè)試（解析版）

1、本文格式為word版，下載可任意編輯6.6,第六章,平面向量,綜合測(cè)試（解析版） 第六章 平面對(duì)量 綜合測(cè)試 一、單選題 1（2021甘肅會(huì)寧期末）設(shè) ( ) 2,3 ab = ， ( ) 1,4 bc = - ，則 ac 等于（ ） a ( ) 1, 7 - b ( ) 1,7 c ( ) 1, 7 - - d ( ) 1,7 - 【答案】b 【解析】 ( ) ( ) ( ) 2,3 1,4 1,7 ac ab bc = + = + - = 故選：b. 2 （2021河南新鄉(xiāng)縣一中期末（文）若四邊形 abcd中，滿意0, 0 ab cd ab bc + = = 則該四邊形是（ ） a菱形 b

2、直角三角形 c矩形 d正方形 【答案】c 【解析】 0 ab cd + =, / ab cd ，且 ab cd = ， 四邊形 abcd 是平行四邊形， 又0 ab bc = ab bc ， 四邊形 abcd 是矩形， 故選：c. 3（2021甘肅會(huì)寧期末）已知 ( ) 1,0 a = ， ( ) 2,1 b =r，向量 kab -與3 a b +平行，則實(shí)數(shù) k 的值為（ ） a117 b117- c13- d13 【答案】c 【解析】 ( ) ( ) ( ) 1,0 2,1 2, 1 ka b k k - = - = - - ，即 ( ) ( )2, 1 7,3 k l - - = ， 1

3、2 73,1 3 13kk lll= - = - = - . 故選：c. 4（2021臨猗縣臨晉中學(xué)高一月考）在abc 中，若 a2，b23 ，a30，則 b（ ） a60 b60或 120 c30 d30或 150 【答案】b 【解析】 由正弦定理可得 sinb bsin aa2 3 sin30232. 由于 0b180，所以 b60或 120， 故選：b 5（2021河南商丘期末）已知 ( ) 2,3 oa= ， ( ) 3, ob y = - ，若 oaob ，則 ab 等于（ ） a2 b26 c 5 2 d5 152 【答案】b 【解析】 oaob ， 6 3 0 oa ob y =

4、 - = + ， 2 y = ( ) ( ) ( ) 3,2 2,3 5, 1 ab ob oa = - = - - = - - ， ( ) ( )2 25 1 26 ab = - + - = 故選：b 6（2021湖北期末）已知非零向量 a ， b 滿意 | | a b |=| ，則 2 2 a b a b + = - 是 a b 的（ ） a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充要條件 d既不充分也不必要條件解: 【答案】c 【解析】 2 22 2 2 2| | | | 2 2 2 2 4 4 4 4 a b a b a b a b a a b b a a b b - + + - + +

5、- + = = = ， | | | | 0 a b = ，等價(jià)于 0 a b a b = ， 故選：c. 7（2021龍崗期末）已知非零向量 , m n 滿意 4 3 m n = ，1coslt; ,3m n = .若 ( ) n tm n + ，則實(shí)數(shù) t的值為（ ） a4 b4 c94 d94 【答案】b 【解析】 ( ) n tm n + ， ( ) 0 n tm n + = ， 20 tn m n ? =， 則2coslt; , 0 t n m m n n ? + = ， 4 3 m n = ，1coslt; ,3m n = ， 23 104 3t n n n 鬃 + = ，解得 4

6、t =- . 故選：b. 8（2021河南商丘期末）若兩個(gè)向量 a ， b 的夾角是23p， a 是單位向量， | | 2 b = ，2 c a b = +，則向量 c與 b 的夾角為 ( ) a6p b3p c23p d34p 【答案】b 【解析】 兩個(gè)向量 a ， b 的夾角是23p， a 是單位向量， | | 2 b = ， 21 2 cos 13a bp= = - 2 c a b = +，2 2 2| | (2 ) 4 4 4 4 4 2 c a b a a b b = + = + + = - + = 2(2 ) 2 2 4 2 c b a b b a b b = + = + = -

7、+ = 設(shè)向量 c 與 b 的夾角為 q ，0 q ， p ， 則2 1cos2 2 2 | | | |c bc bq = = =，3pq = ， 故選： b 9（2021黑龍江道里哈爾濱三中三模（文）已知 abc 中，長(zhǎng)為 2 的線段 aq 為 bc 邊上的高，滿意：sin sin ab b ac c aq + = ，且12ah ac = ，則 bh = （ ） a4 77 b 4 7 c4 33 d 2 7 【答案】d 【解析】 分別在 ab 、 ac 上取點(diǎn) e 、 f ，使得 2 ae af aq = = = ，連接 qe 、 qf 、 bf ，如圖所示： 線段 aq 為 bc 邊上的

8、高， sin ab b aq = ， sin ac c aq = ， sin ab b ae =，sin ac c af =， ae af aq + = ， 由平面對(duì)量加法的平行四邊形法則可得 / / ae qf ， / / af qe ， 四邊形 aeqf 為菱形， aq 平分角 bac ，baf 120 =， abac = ， q 為 bc 的中點(diǎn)， e 、 f 分別為 ab 、 ac 的中點(diǎn)， 2 2 4 ab af aq = = =， 又12ah ac = ， 點(diǎn) h 為 ac 的中點(diǎn)，即與點(diǎn) f 重合， 在 abf 中，2 2 2 22 cos 16 4 8 28 bh bf ab

9、af ab af baf = = + - = + + =, 2 7 bh =. 故選：d. 10（2021湖北東西湖華中師大一附中其他（文）在矩形 abcd 中， 3 ab= ， 4 = ad ，點(diǎn) p 是以點(diǎn) c 為圓心，2 為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè) apab ad l m = +uuur uuur uuur，則 l m + 的最小值為（ ） a1 b76 c2 d83 【答案】b 【解析】 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，故可得 ( ) 3,4 c ， ( ) ( ) ( ) 0,0 , 3,0 , 0,4 a b d ， 故點(diǎn) p 在圓 ( ) ( )2 2: 3 4 4 c x y - + -

10、 = 上， 設(shè) ( ) 2cos 3,2sin 4 p q q + + ， ( ) ( ) 3,0 , 0,4 ab ad = = ， 又 apab ad l m = +uuur uuur uuur，所以2cos 3 32sin 4 4q lq m+ = + =， 從而 ( )2 1 5 7cos sin 2 sin 23 2 6 6l m q q q j + = + + = + + ， 故選：b. 二、多選題 11（2021山東泰安期末）下列各式中，結(jié)果為零向量的是（ ） a abmb bo om + + + b abbc ca + + c oaoc bo co + + + d abac b

11、d cd - + - 【答案】bd 【解析】 對(duì)于選項(xiàng) a ： abmb bo om ab + + + =，選項(xiàng) a 不正確； 對(duì)于選項(xiàng) b ： 0 ab bc ca ac ca + + = + =，選項(xiàng) b 正確； 對(duì)于選項(xiàng) c ： oaoc bo co ba + + + =，選項(xiàng) c 不正確； 對(duì)于選項(xiàng) d ：( ) ( )0 ab ac bd cd ab bd ac cd ad ad - + - = + - + = - =uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r 選項(xiàng) d 正確. 故選：bd 12（2021山東泰安高三三模）已

12、知向量 ( ) ( ) ( ) 2, 1 , 3,2 , 1,1 a b c = - = - =r r r，則（ ） a/ / a b b ( ) a bc + c ab c + = d5 3 c a b = + 【答案】bd 【解析】 由題意 2 2 ( 3) ( 1) 0 - - - ，a錯(cuò)； ( ) ( ) ( ) 1,1 , 1 1 0 a b a b c a b c + = - + = - + = + ，故 .b 正確，c錯(cuò)誤； 5 3 a b +r r5(2, 1) 3( 3,2) (1,1) c = - + - = = ，d正確 故選：bd 13（2021山東濟(jì)南高一期末）已知

13、m 為 abc 的重心， d 為 bc 的中點(diǎn)，則下列等式成立的是（ ） a1 12 2ad ab ac = + b0 ma mb mc + + = c2 13 3bm ba bd = + d1 23 3cm ca cd = + 【答案】abd 【解析】 如圖，依據(jù)題意得 m 為 ad 三等分點(diǎn)靠近 d 點(diǎn)的點(diǎn). 對(duì)于 a選項(xiàng)，依據(jù)向量加法的平行四邊形法則易得1 12 2ad ab ac = + ，故 a正確； 對(duì)于 b 選項(xiàng)，2 mb mc md + =，由于 m 為 ad 三等分點(diǎn)靠近 d 點(diǎn)的點(diǎn)，2 ma md = -，所以0 ma mb mc + + =，故正確； 對(duì)于 c 選項(xiàng)，(

14、)2 2 1 2=3 3 3 3bm ba ad ba bd ba ba bd = + = + - + ，故 c 錯(cuò)誤； 對(duì)于 d選項(xiàng)，( )2 2 1 23 3 3 3cm ca ad ca cd ca ca cd = + = + - = + ，故 d正確. 故選：abd 14（2021山東臨沂高三一模）在 abc 中，角 a ， b ， c 的對(duì)邊分別為 a ， b ， c ，若 2 3 b = ， 3 c= ，3 a c p + = ，則下列結(jié)論正確的是（ ） a3cos3c = b2sin3b = c 3 a= d 2abcs = 【答案】ad 【解析】 3 a c p + = ，故

15、2 b c = ，依據(jù)正弦定理：sin sinb cb c= ，即 2 3sin3 2sin cos c c c = ， sin 0 c ，故3cos3c = ，6sin3c = ，2 2sin sin2 2sin cos3b c c c = = =. 2 2 22 cos c a b ab c = + - ，化簡(jiǎn)得到24 3 0 a a - + =，解得 3 a= 或 1 a = ， 若 3 a= ，故4a cp= = ，故2bp= ，不滿意，故 1 a = . 1 1 6sin 1 2 3 22 2 3abcs ab c = = =. 故選： ad . 三、填空題 15 （2021河南新鄉(xiāng)

16、縣一中期末）如圖，在abc 中， d 為 ab 的中點(diǎn)，2 de ec =，若 be xab yac = + ，則 xy - = _. 【答案】32- 【解析】 ( )1 2 1 2 5 22 3 2 3 6 3be bd de ab dc ab ac ad ab ac = + = - + = - + - = - + ， 所以5 2 36 3 2x y - = - - = - . 故答案為：32- . 16 （2021福建三模（文）設(shè) abc 內(nèi)角 a，b，c 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a，b，c.已知 (4)cos cos a c b b c - = ，則 cosb= _ 【答案】14 【解析】 由

17、 (4 )cos cos a c b b c - = 及正弦定理， 得 (4sin sin )cos sin cos a c b b c - = ， 即 4sin cos sin( ) sin a b b c a = + = ，由于 (0, ) a p ， sin 0 a ， 所以1cos4b = 故答案為：14 17（2021.二模（理）在 abc 中， 45 c = ， 4 ab= ，d為 bc 邊上的點(diǎn)，且 13 ad = ， 3 bd= ，則 ac = _. 【答案】 2 6 【解析】 如圖， 4 ab= ， 13 ad = ， 3 bd= ， 在 abd 中，余弦定理2 2 216

18、9 13 1cos2 2 4 3 2ab bd adbab bd+ - + -= = = ， 0 b 3sin2b = 由正弦定理：sin sinac abb c= ， 可得：34 2 2 62ac = =, 故答案為： 2 6 四、雙空題 18（2021浙江衢州高一期末）已知 ( 2,3) a = - ， ( 1,1) b k = - ，若/ / a b ，則 k = _；若 a b ，則 k = _. 【答案】13 52 【解析】 / / a b ， 2 3( 1) 0 k - - - =，解得13k = ； a b ， 2( 1) 3 0 a b k = - - + = ，解得52k =

19、 故答案為：13；52 19 （2021臺(tái)州市書(shū)生中學(xué)高二期末）在abc 中，6ap= ，a 的角平分線 ad交 bc 于點(diǎn) d，若2 ab =，6 ac = ，則， bc = _， ad= _ 【答案】2 3 【解析】 在 abc 中，由余弦定理， 2 2 232 cos 2 6 2 2 6 22bc ab ac ab ac a = + - = + - = ，所以 bc = 2 ； 所以 abc 為等腰三角形， 120 b = ， 30 a c = = ， 在 adc 中， 15 135 adc b = + = ， 由正弦定理，sin sinad acc adc=，即6sin30 sin13

20、5ad= ，解得 ad= 3 . 故答案為：2 ； 3 20（2021浙江金華高二期末）已知： | | 2 a = ， ( 1,1) b = - ， , 60 a b= ，則 | | a b - = _；若3a kb -與 b 垂直，則 k = _. 【答案】2 32 【解析】 由于 | | 2 a = ， ( 1,1) b = - ， , 60 a b= ，所以2 b = ，12 2 12a b = = 所以 ()22 22 2 2 2 2 a b b a a b = - + = - + - = ，所以 | | 2 a b - = 由于 3akb -與 b 垂直，所以 ( ) 3 0 a k

21、b b - = ，即23 0 a b kb - = 所以 3 2 0 k - = ，解得32k = 故答案為：2 ；32 21（2021浙江省寧海中學(xué)零模）如圖，在 abc 中，點(diǎn) d在線段 ab 上，若 2 2 ad dc db = = = ，則ac bc 的最大值是_；此時(shí) sin dac = _. 【答案】9 22 74 【解析】 設(shè) adc q = ，則 bdc p q = - ， 所以在 adc 中，2 2 22 cos 8 8cos ac ad cd ad cd q q = + - = - ， 在 bdc 中， ( )2 2 22 cos 5 4cos bc bd cd bd cd

22、 p q q = + - - = + ， 所以 ( )( )2 2 28 8cos 5 4cos 32cos 8cos 40 ac bc q q q q = - + = - - + 21 8132 cos8 2q = - + + ， 所以當(dāng)1cos8q = - 時(shí)，2 2ac bc 取最大值812， 所以 ac bc 的最大值是9 22； 此時(shí)28 8cos 9 ac q = - = 即 3 ac = ， 所以在 adc 中，2 2 29 4 4 3cos2 2 3 2 4ac ad cddacac ad+ - + - = = = ， 由 ( ) 0, dac p 可得27sin 1 cos4

23、dac dac = - =. 故答案為：9 22；74. 五、解答題 22（2021嘉祥縣第一中學(xué)高一月考） 已知 abc d 的角 a 、 b 、 c 所對(duì)的邊分別是 a 、 b 、 c ，設(shè)向量 ( , ) m a b = ， (sin , n b = sin ) a ， ( 2, 2) p b a = - - . （1）若 / m n ，求證： abc d 為等腰三角形； （2）若 m p ，邊長(zhǎng) 2 c= ，角3c = ，求 abc d 的面積. 【答案】（1）見(jiàn)解析（2） 3 【解析】 由于 ，所以 sin sin a a b b = ，即 2 2a ba br r= ,其中 r 是

24、 abc d 的外接圓半徑， 所以 a b = ，所以 abc d 為等腰三角形. 由于 m p ，所以 ( ) ( ) 2 2 0 a b b a - + - = . 由余弦定理可知， ( )22 24 3 a b ab a b ab = + - = + - ，即 ( )23 4 0 ab ab - - = 解方程得： 4 ab= （ 1 ab=- 舍去） 所以1 1sin 4 sin 32 2 3s ab cp= = = . 23（2021煙臺(tái)市訓(xùn)練科學(xué)討論院期末）已知點(diǎn) ( ),2 a m， ( ) 1,1 b ， ( ) 2,4 c . （1）若 | | ca cb + 最小，求實(shí)數(shù)

25、m 的值： （2）若 ca 與 cb 夾角的余弦值為55，求實(shí)數(shù) m 的值. 【答案】（1） 3 m= ；（2） 4 m= 或 12 =- m . 【解析】 （1）由題意， ( 2, 2) ca m = - - ， ( 1, 3) cb = - - 于是 ( 3, 5) ca cb m + = - - ， 所以2| | ( 3) 25 5 ca cb m + = - + ， 所以 | | ca cb + 的最小值為 5， 此時(shí) 3 m= ； （2）由28cos ,| | | |( 2) 4 10ca cb mca cbca cbm - += =- + ， 得28 55( 2) 4 10mm-

26、+=- + ， 化簡(jiǎn)得28 48 0 m m + - =，解得 4 m= 或 12 =- m . 24（2021山東省臨沂第一中學(xué)月考） 的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 , , a b c ，已知2sin( ) 8sin2ba c + = （1）求 cosb ； （2）若 6 a c + = ， abc d 面積為 2，求 b 【答案】（1）1517；（2）2 【解析】 （1） ( )2sin 8sin2ba c + = ， ( ) sin 4 1 cos b b = - ，2 2sin cos 1 b b + = ， ( )2216 1 cos cos 1 b b - + = ， ( )( ) 17c

27、os 15 cos 1 0 b b - - = ，15cos17b = ； （2）由（1）可知8sin17b = ， 1sin 22abcs ac b = = ，172ac = ， ( )22 2 2 2 2 2 217 152 cos 2 15 2 15 36 17 15 42 17b a c ac b a c a c a c ac = + - = + - = + - = + - - = - - = ， 2 b = 25（2021山東高三月考）在 3 sin cos a c a a c = - ， ( ) ( ) 2 sin 2 sin 2 sin a b a b a b c c - + -

28、 = 這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答 已知 abc 的角 a ， b ， c 對(duì)邊分別為 , , a b c ， 3 c = ，而且_ （1）求 c ； （2）求 abc 周長(zhǎng)的最大值 【答案】（1）3cp= ；（2） 3 3 【解析】 (1)選: 由于 3 sin cos a c a a c = - , 所以 sin 3sin sin sin cos a c a a c = - , 由于 sin 0 a ,所以 3sin cos 1 c c - = ,即1sin6 2cp - = , 由于 0 c p ,所以56 6 6cp p p- - ,所以6 6cp p- = ,即3cp= ; 選: 由于 ( ) ( ) 2 sin 2 sin 2 sin a b a b a b c c - + - = , 所以 ( ) ( )22 2 2 a b a b a b c - + - = ,即2 2 2a b c ab + - =, 所以2 2 2cos12 2a b ccab+ -= = , 由于