第7章矢量代數(shù)與空間解析幾何

1、第七章 空間解析幾何(一)、基本內(nèi)容一) 空間直角坐標(biāo)系兩點間距離公式二) 空間向量 1向量的概念(1) 向量(2) 向量的模(3) 零向量(4) 單位向量(5) 反向量(6) 向量相等 2向量的運算(1) 向量的加法(2) 向量的減法(3) 向量的數(shù)乘(4) 向量的數(shù)量積(點積)(5) 向量的向量積(叉積)三) 向量的坐標(biāo) 1向量的坐標(biāo)表達(dá)式 2向量運算及性質(zhì)的坐標(biāo)表示 3向量的方向余弦四) 空間平面及方程 1平面的方程(1) 點法式方程(2) 一般方程(3) 截距式方程 2有關(guān)平面的幾個問題(1) 點到平面的距離(2) 兩平面間的夾角余弦(3) 兩平面間位置關(guān)系(五) 空間直線及程1. 空

2、間直線的方程(1) 對稱式方程(2) 參數(shù)方程(3) 一方程 L, 看成兩平面的交線2. 平面束方程(六) 空間曲面及方程1 球面方程2 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程3 旋轉(zhuǎn)曲面方程4 橢球面方程5. 橢圓拋物面方程6. 雙面拋物面方程(又稱鞍形曲面)7. 雙曲面方程(七) 空間曲線及方程1. 空間曲線的方程(1) 一般方程(2) 參數(shù)方程2 .空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影練習(xí)題答案1.已知a 4 , b2 , a b2 J7，求a與b的夾角2 2 2 o解：由 a b a ba2 *b2 (a2 2a2b2 b2)2ab可得 a b4 16 28故 cos(a,A b)a b(a, Ab) 12

3、02.求以a2,1, 1 和 b1,2,1為鄰邊的平行四邊形對角線間夾角的正弦解：a b3,3,0,a b 1, 1, 2cos(a b) (ab)a b a b證:只需證CO AB.ADBCBECAAOBO b , CO c，則有(bc)b (c a) 0從而 a b a c be于是e (ab) 0即 CO AB.,得證4.試證sin Asin Bbsi nC證明：如圖ABC，令 BCa,AC b, AB同理1 BA BC2l；CA CBIAb AC si nA2l1 BA |BCsinBsi nCsin Asin Bsi nCbc|ac|ab|故得證5.設(shè)向量a與三個基本單位向量成相等的

4、銳角，且2 3，求解：因eos eos eos ，且 eos2eos2eos2故eoseoseos6.已知三角形的頂點 A (3, 1,5), B(4,2, 5)與 C(4,0,3)，求從頂點A做出的中Aeos ,eos , eos2,2,2線的長度解：如圖_ 1 -AD (AB AC) 3,2,6 2AD J32 22_6 7(1) 過點 P(2,3,4)及 z 軸;(2) 過點M (1,1,1)平行于平面 :2x y z 0 ；(3)過點M1(1,2,0)和M2(2,1,1)且垂直于平面:yx1 0 ；(4)過z軸且與平面2xy 、5z0的夾角為；3(5)由點M (3,1,3)及直線:x

5、4y 3 z決定;52由兩條相父直線 Jx 2z12x2z(6)和l2決定；y 3z2 23yz6x 5y z00成45角(7)經(jīng)過直線且與平面 x 4y8z2x z 40解：設(shè)：Ax By 0點P(2,3,4)代入上式得A: B 3: 2故：3x 2y 0設(shè)：2x y z D0將M (1,1,1)代入上式得D 2故：2x y z 20取n MM2n01, 1,11,1,01, 1,0y 30由點法式萬程得 ：x設(shè)：Ax By 0 , n代B,0no2,1,52A B1cos(n,A n。)rv'A2b2V?1 5cos-32得3A B或A3B故：x 3y 0或3xy 0直線過點M&#

6、176;(4,3,0),MM01,4,3取n MM 0 v1, 4, 35,2,12 1, 8,11得：x 8y 11z D 0將(3,1,3)代入得D28故： x 8y 11z 280設(shè)Li,L2的方向向量為Vi,v2則 Vi1,0, 20,1, 32,3,1V22,0, 10,3, 13,2,6取nv1v216, 15,13 , 過點(1,2,0)故：16x15y 13z 140設(shè)平面：x 5y z (x z 4)0整理(1 )x 5y (1 )z 40則 n (1,5,1) n。(1, 4, 8)n no927nn°J(1)252(1 鬥14282cos452故：x 20y 7

7、z 1208. 求由平面1 : x 3y 2z 50與2 : 3x 2y z 3 0所成二面角的平面方程解：設(shè)點P(x,y,z)為角平分面上任一點，則P到卩2的距離相等，即x 3y 2z 5 3x 2y z 3 d一 12 ( 3)2 2232 ( 2)2 ( 1)2得： 2x y 3z 8 0或 4x 5y z 2 03x 4y 2z 5 09. 求過直線，且在z軸上截距為 3的平面方程x 2y z 70解：設(shè)：3x 4y 2z 5 (x 2y z 7)0整理(3 )x (42 )y ( 2 )z (5 7 )057在z軸上的截距匕丄 32117x 38y 19z57010.求過直線2x y

8、 04x 2y 3z 6，且切于球面Z2 4的平面方程整理(4 2 )x (2)y3z6 0球心到的距離為62(42 )2 (2 )29解得2故：z 211.寫出下列直線方程：(1)過點M (2,0, 3)且平行于直線3xxy 2z 703y 2z 3 0解：設(shè)：4x 2y 3z 6(2x y) 0過點M(2,0, 3)且平行于直線x2 t, y 2t,z過點M且平行于z軸;過點P(1, 1,1)且與直線L:y -2相交，又平行于平面1 1:3x 2y z 50解：設(shè)直線的方向向量均為vv3, 1,21,3, 22 2, 4, 5l : x 2yz 3245V1論21-2,4, 12l : x

9、 2yz 3241V0,0,1l: x2y z001L : xyz 1011過P垂直于L的平面為 ：0(x1)1( y 1)1(z 1)0即y z 01 1L與 的交點為M(0,-)2 21 1故 v MP 1, -2 2從而1 : U山.1 1 12 2過點P(2, 1,3)垂直于n 3, 2,1的平面“為1 : 3x 2y z 11 過點P與L1垂直的平面 2 :壓 PB v 1, 1,5 2, 1,14,9,12：4x 9y z 2故所求直線l為3x-2y z 114x 9y z 212.若M1, M2兩點關(guān)于直線L:x y2x z13對稱，且M1的坐標(biāo)為（2,1,3），求點 M2x y

10、 2z 90的坐標(biāo)。解：L :x y 1 z 31 1 2過M1做垂直于L的平面，則85 7L 與交點M0（3 5嚴(yán)為MM中點7 53313.已知直線L: 3x 2y 4z2x y 3z11 0，求在 xoz面及平面:x y z 0上的投影1 0方程。解：L在xoz面上的投影（消y）:x 10z 90y 0因：x y z 0與 2x y 3z 10 垂直故L在上投影為x y z 02x y 3z 1014.求兩不平行直線 L,:- -三和L2 :- 匚2 三之間的距離。3 22261解：求過點(1, 2,1)平行于L1, L2W平面因n 3,2,2 1, 6, 422,7, 10故：2x 7y

11、 10z 220點（1,2, 1）到 的距離即為所求距離2 14 10 22|16,22 72 102-1715.求兩直線亠丄二 -,x234 求公垂線長先求過且平行于|2的平面y z,的公垂線方程，且求公垂線的長。n 2,3,4 1,1,1 1,2, 1故： x 2y z 30:$ 6 點（0,0,0）到的距離即為所求d 2 求公垂線方程公垂線在過垂直于的平面1上，又在過12垂直于的平面2上取n n V1 1,2, 1 2,3,4 11,2, 7取 n2n v2 1,2, 1 1,1,131,0,1從而公垂線為11x2yx7z 150z 016.在平面z 0上求一直線，使之與兩直線L12x

12、yL2 :7x0都相交0解：由已知得xL1 : 1z2L2 :分別求L1, L2與平面的交點,設(shè)為R,P2x1y117.直線解:直線I0繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為y1 1 1 1 得p1(1,2, 2 _22 3z繞z周旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)曲線的方程 ),p2(0, 2,2)故所求直線為過P1, P2直線1 1y z218 .兩球面x么曲線,寫出它的方程解：交線在xoy面上的投影為x22(y是橢圓xoy平面上的投影是什2 2 2 2z 1和x (y 1) (z 1)1的交線在19.求過兩圓周z225 和y 2解：設(shè)球心為(0,b,0),(球心在y軸上)球心到兩圓周上的點距離相等，故2 2 2 2(3

13、 b) 4(2 b) 5故球面方程為(y2)1 2z2412x20 已知曲面篤a2y1，從原點o沿方向余弦為 cos , cos , cos的方向作射線交曲面于p，證明:op2 cos2 a2 cos2 cos2 c證明：設(shè)點P坐標(biāo)(x, y, z)OPcosOPcosOPcos則P(x,y,z)滿足曲面方程2 2xy2,2ab將代入即證測試題(七-1)答案解：a b,a b, a b, 12. 解：已知向量a11,2,0 , a2 3,1,1 , a3 2,0,1與 a 3 2a?色。3計算:(1) a與a0(2)a的坐標(biāo)(3) cos(a“j)(4)解：a112丄,0.5,5a 罟,0,3

14、5 cos(ai,A j)2.53.設(shè) A(2,1,3),B(1,1, 2),C(6,6, 1), 求解：三內(nèi)角分別為arccos),arccos(,arccos(19_211 AB AC214.問在直線方程A1x B1 yA2x B2 yC1zC2zD1D20中各系數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足哪些條件才會使0(1)直線與x軸平行;(2)直線與y軸相交;(3) 直線與z軸重合;(4)直線過坐標(biāo)原點;(1) ABC三內(nèi)角(3) ABC上C點向AB引的高h(yuǎn) SabcAB h h B1D2B2 D1解：A1 AB2 a2b1,且C1C2D1 D20 D1 D20解：過點Q垂直于直線丨：x y z的平面為直線l與的交點

15、為R(-,-,-),則R為PQ的中點3 3 3故點P坐標(biāo)為(10, 5丄)3 3 36. 直線通過點B(1,2,3)而且與c 6,6,7平行，求點A(3,4,2)到該直線的距離d -BA cbAsin冋2042117 .設(shè)直線l1：x1y 1z和 L2：2解：如圖x 2亍1 z，則L2與匚關(guān)系如何？若平行，則 求兩直線之間的距離L1,L2決定的平面方程解：平行。兩直線hh之間距離即為h上點(1, 1,0)到I 2的距離相等d 2 n AB v,其中A為h上點(1, 1,0), B為l2上點(2, 1,1) v 1,2, 1故 n (1, 1, 1)于是l1, l2決定的平面為：x y z 2

16、08 .在直線L ： 2x y z 0上找與點P(1,0,1)的距離為.17的點 2x z 20解：設(shè)點M (x0,2x04,2x02)是直線L上任一點則MP(X01)2(2X04)2(2x。3)2 丙得X。3或 -3故點為(3,2,4)或(-,104)3339.求曲線L:2z xz 22y22 x關(guān)于xoy平面的投影曲線方程。i不適單位向量;(3) 2i j解：解：I關(guān)于xoy面的投影為0y2 110.指出下列方程表示什么曲面, 么軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的。若是旋轉(zhuǎn)曲面,指出它們是什么曲線繞什(1)x2z2 2z 2x2x2x24zz21(5)x24z(6)zy2 2解：球面,是曲線(zx 01)2

17、22,3繞z軸旋轉(zhuǎn)而成 兩個平面 拋物柱面橢球面，1繞z軸旋轉(zhuǎn)而成雙曲拋物面拋物面,2繞z軸旋轉(zhuǎn)而成測驗題(七-2 )答案1.下列說法是正確的，為什么?(1)ij k是單位向量。不正確，此向量模為,3 ；不正確，i為單位矢量不正確，矢量不能比較大小K, L ,且 AK k, AL l，求 BC 和 CD解：令A(yù)DBCa,ABDC b則lADDLab2kABBKba24l2k ,4k2l故 a,b334l2k2l 4k故 BC,CD332.已知平行四邊形ABCD,邊BC和CD的中點為3.設(shè) aa1a2，而 a1 a2,a2b，求證a2 abb2證明(a b) (a b) 2(a b)，并說明此恒

18、等式的幾 何意義證明：令a2b,貝U佝 a2) b a" a2 ba2 b故 a2 欝bb(a b) (a b) a a b a a b b b 2(a b)幾何意義：平行四邊形面積的兩倍等于以它的對角線為邊的平行四邊形的面積。4.寫出垂直與平面5x y 3z 20，且與它的交線在 xoy平面上的平面方程。解：所求平面通過平面1:5x y 3z 2 0與xoy面的交線故可設(shè)：x y 3z 2 z 0n 5, 1,3又 i 的 ni5, 1,3由1,垂直，得n n1 25 1 3(3173故：15x 3y 26z 605.平面過z軸，且與平面 2xy - 5z0的夾角一，求此平面方程3

19、解：設(shè)平面：x Ay 0n 1,A,0, n22,1, .54 2 A1COS L cos 厲|卜2|A2 J4 1 5321得 A 3或 -3故：x 3y 0或 3x y 0x 2 y 2 z 16.設(shè)直線L:-和平面：2x 3y 3z 80試判斷它們的位置關(guān)系,3 12若相交，則求交點。解：v 3, 1,2, n 2,3,3v n 6 3 690故直線l與平面相交x3t21:yt2代入：2x3y 3z 80z2t1得t1故交點為(1,1,1)7.已知平面:xy z 10和直線L：i1 y z 1,L,試求出直線0 2L在平面上的投影方程解：首先求過L且與垂直的平面，設(shè)為1,因Lj 2z 2

20、設(shè):y 2z 2(x 1)0則n ,1, 2因與1垂直，故與門1,1, 1垂直于是mn 120 得 3故1：3x y 2z 10于是直線L在平面上的投影為3x y 2z 10x y z 108.設(shè)12x 2y z 8 0l1： x 2y 2z 2104x y 3z 21 0 及L2：2x 2y 3z 15 0求過點M0( 1,2,1)且與L|和L2都相交的直線方程解：所求直線既在過M。與L1的平面1上，又在過點M 0與L2的平面 2上下面求 1設(shè) 1： 2x 2y z 81(x 2y 2z 1) 01將M°( 1,2,1)代入上式得11故 1： X 2y 50下面求2設(shè) 2： 4x

21、y 3z 212(2x 2y 3z 15)0將M 0代入上式得10故 2： 16x 9y 3z 10所求直線為 X 2y16x 9y3z(1). z2X ,y0繞X軸旋轉(zhuǎn)(2). zX2 e,y0繞z軸旋轉(zhuǎn)(3).z42,y0堯z軸旋轉(zhuǎn)X解:4 X2 z2yze(x2y2)z4229.求下列曲線形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程xy210.求球面X2z2a2與錐面X20的交線分別在三個坐標(biāo)平面上的投影。解：在xoy面，yoz面,zox面投影分別為z 0222 ax y 7x 02az2y 02 a z2第八章 多元函數(shù)微分法一、基本內(nèi)容（一）元函數(shù)的基本概念1. 基本概念（3）邊界點（4）開集（5）區(qū)域（1）

22、鄰域（2）內(nèi)點2 .二元函數(shù)的極限與連續(xù)（二）偏導(dǎo)數(shù)和全微分1. 偏導(dǎo)數(shù)fx(x°, y°)xZlimX 0 xlim f(x°x, y。)f(X0,y。)x 0fy(X0,y°)yzlim血山y(tǒng)) f(x°,y°)y2. 全微分3. 全微分在近似計算中的應(yīng)用（三）復(fù)合函數(shù)的微分法1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2. 一階微分形式不變性（四）隱函數(shù)的微分法1 . 一個方程的情形2 ，方程組情形（五）微分法在幾何上的應(yīng)用1.空間曲線的切線與法平面2 .曲面的切平面與法線3 .微分的幾何意義（六）方向?qū)?shù)和梯度1 .方向?qū)?shù)2 .梯度（七）多元函數(shù)

23、的極值1. 多元函數(shù)的極值2. 條件極值2 2x y(1) z ln( xy)(2)uarcs inz f(r,)r. sin(4) f(x, y,z)2 2In(z x y )解答：xy 0得xy 08.1.確定下列函數(shù)的定義域練習(xí)題122（2） 1坐_ 1 , z 0時有定義.即z 0時 z寂y2 zzz 0時z v x2 y2z 包含錐面在內(nèi)的圓錐（3）sin 0得0,即上半平面（4） z x2 y2 0得z x2 y2旋轉(zhuǎn)拋物面的內(nèi)部（不含表面）Z82設(shè)函數(shù)f(x, y)2 2J-,求xy1 1f(-,-)x y解答：f(l,l)x y(-)2(-)2x_y_1y2 2y xxy8.3

24、.設(shè) f (x, y)xy3 x2x3y,(x, y) y,(x,y)(0,0)求 fx(0,0),fy(0,0)(0,0)解答：fx(0,0)f(0, x) f(0,0)limx 03x2xx3yfy(0,0)f(0, y) f (0,0)2 yy8.4.設(shè) f (x, y)(x2y2) ln(x y) arctan(yex y )，求 fx (1,0)x解答：f(x,0)x2 ln xfx(x,0)2xl nx xfx(1,0)18.5.設(shè) f (x, y)1xy1 . / 2 22 sin(xx y2 x 2 2 y ),x y002 2,x y0試討論f(x,y)在點(0,0)的連續(xù)性

25、，可微性。1-2-Xo o2(x2X/(. sioo2XHx y叫2Xsin2X6 a /V fz dzzlim0o imyoyx, ysin( x2y2),dzlimosin( x22 x綜上(1),(2)f(x, y)在點(0,0)連續(xù)，但不可微8.6.求下列二重極限(1) lim0y 0xy_3 xy 9(x,yin?0,0)(1x21y2廠(3) xmy2x0 x20 2 y 2 y lim Sin(xy)xyxy解答:(1)xylim0 3, xy.xy(3 xy 9) limx 0y 0(2)lim(1x2 y2)x2x,y0,0(3)limx 02x2 x2 y2 y令y kxy

26、 0112y令x22y ulim(1 u)u eu 02.2 2“ .2lim 20x2y kx 0 uk x1 kl 22k x1 k2xy此極限隨K改變而改變，因此極限不存在(4) limxysin(xy)xy(|sin(xy) 1,1xy0)8.7求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分(1)zeuvsinv， uxy，v x y解答:zz uzvu ve sin vuy ev(s inv cosv)xu xvxexyx y y sin(xy)sin( x y)cos(xy)dzdxx(2) u f(x,y,z)解答：上xz v xyev yz g(x, y)fzgx,dzuxdxUydy8.8求

27、下列方程所確定函數(shù)的全微分siny 0x(1)exz(2) f(xy,y z,zx)y xsin(x y) sin(xfzgyy)cos(x y)dz解答：令f(x,y,z)xz e則Fxxzzesi nxy ycos丄,Fyxx2FzxzxedzFzZxdx令 f(x,y,z)8.9函數(shù)zxzzeyy2 cos-XXxzxeFz1ycos-xxxzxeZydy則Fxf1f3Fyf1f2Fzf2f3zf1f3zf1f2xf2f3yf2f3dzZxdxZydyf(xx)0y,y乙zz(x, y)由方程exy3所確定，求2zT。x解答：方程e z xy 3兩端同時對x求偏導(dǎo)，得ez y 0x x則

28、芒-x 12z2x1Z 2(1 e )(ez)，x2 zy e(1 e )8.10設(shè)x f(x,y,z), z(x,y)求 dy odxy(x)z(x)解答：由* zy(zF2 x FJ x(xF| yF2) f(x,y,z)確定了兩個函數(shù) z (x,y)方程組*對x求導(dǎo)得ff dyf dzxy dxz dxdzdydxxy dxi解得dy 2dx8.11設(shè)函數(shù)z(x, y)由方程F(x , y -)0確定y x證明 x y z xy。x y方程f (x , yy-)o兩側(cè)分別同時對xx，y求偏導(dǎo)F1(1-)xzx zF2()0xzy zh(丄l)yF2(1z-)0x2zx(zF1y F2)y

29、y(xF1 yF2)解答:dz dz由Gramer法則dxdy2x2yzdzdzdxdy10dxz 2ydy2xzdz2x 2y，dz2x2y2學(xué)xd2x dz2y z 2ydx dy dz dz_ 2x zx y 2 2x 2yz 2y z 2y 2x z2x 2yx z y z z(xFj yF2) xy(xFj yF?)x 7 yxF1z xyyF2故得證8.12 設(shè)u f (-,-) xy具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求u。x yx解答：u12f112f2xxx y2u111 11 12f12 (2 )2 2 f2f22( 2 )x yxxyx yyxy11f 1 f32f122 2f23 3

30、f22x3yx yx y2 2 1 2 , 2x y -zd x8.13 設(shè)2求 2 。2dz 1 確定二個函數(shù)X x(z), y y(z)2上二等式兩端同時對z求導(dǎo)2 x y2x8.14方程組7x24x23z22y2 3z2確定了隱函數(shù)y y(x), z z(x)2時，求dy dz d2 y d 2z22- ?dx dx dx dx解答：方程組對x求導(dǎo)得14x 2yy 6zz 0 8x 4yy 6zz 03 5將x 1, y 2, z 2代入上式得yz 32dy 3xd y 3y 3x 3，y2dx ydx y8518dz 10x10 z xzdx 云，z 3 z22 2 28.15求曲面2

31、x 3y z 9上平行于平面2x 3y 2z 10的切平面方程。解答：設(shè)滿足條件所求切平面與曲面的切點為x0, y0, z0則 2x。2 3y。2%29又nFx x°, y°,z° , Fy x°, y°,z。, FzX0,y°,z°4x0,6y°,2z0則 4x° ：6y° ： 2z°2:3 :2由解得X。1,y°1,Z°2故所求切平面方程為：2 x 13 y12 z20或2x 13 y12 z 20化簡 2x 3y2x98.16證明曲面x 2yIn z 40和x

32、2xy 8x z50在點P(2, 3,1)處相切。(即有公共切面)O解答：x 2y lnz 40在點 2, 3,1 的切平面的法向量1NFx 2, 3,1, Fy 2, 3,1 , Fz 2, 3,11,2，丄1,2, 1Z (2, 3,1)8.17設(shè)F (x, y.z)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且對任意實數(shù)t有F(tx,ty,tz) tkF(x,y,z)(k是自然數(shù))，試證：曲面F(x,y,z)0上任意一點的切平面相交于一定點。(設(shè)在任意點處F：F；F；0 )。證明：由 F tx,ty,tztkF(x, y,z),令 u tx,v ty,w tz兩邊同時對 t求導(dǎo) xF u yF v zF w kt

33、k 1F(x, y,z)xtF u ytF v ztF w ktk F (x, y, z)xFx yFyzFz ktkF(x, y,z)令X0,y°,Z0為曲面上任一點，貝UF(X0,y°,z。) 0且 x°FxX0,y0,z。y°FyX0,y0,z。 z°FzX0,y0,Z0= ktkFX0,y°,z00曲面在點x0, y0, z0的切平面為x X° Fx X0,y°,Z0y y。Fy X0,y°,Z0z° Fz x°, y°,Z00整理得 xFx yFy zFz x

34、76;Fxy°Fyz°Fz 0即 xFx yFy zFz 0此平面必過原點(0, 0,0)故得證。8.18求空間曲線x2 y2z23x 0, 2x 3y 5z0在點(1,1,1)處的切線和法平面方程。解答：設(shè) F(x,y,z) x22z 3x，G(x,y,z)2x3y 5z 4于是，F(xiàn)x 2x 3Fy2yFz 2z Gx 2Gy 3 Gz 5它們在點P)(1,1,1)的值為由f,gFxFy1210x, yGxGy23得曲線在(11,1)的切線方程。x1y1z1即x 1 y 1 z 12221121691355 223曲線在(1，1，1)的法平面方程為16x 19(y1)(z

35、 1)0 即16x9y z 24Fx12235GyFzGxGzFy 28.19求函數(shù)xyyzxz在點(1,1,1)沿方向k的方向?qū)?shù)。解答：丄xu u cosx8.20求函數(shù)2 x 2 a(1,1,1)(1,1,1)cos2 y b22,2,cos cos-cos z2、3(1,1,1)cos2,解答：x2xcosx22 z ""2 cb2,在點M (x, y, z)沿此點向徑方向的方向?qū)?shù)。2z2 ccosx2cosuuuucos cos cos lxyz2a2 y_ b28.21求函數(shù)z 3x4xy y3在M(1,2)處與ox軸的正向成135°角的方向的方向?qū)?/p>

36、數(shù)。解答：zx 12x3 y, zy x 3y2,在 M(1,2)處的值ZX (1,2)14Zy (1,2)13coscos13522coscos 45.22z2 “ 2zxcoszycos14132 228.22求函數(shù)z32x 3xy15x12y的極值。解答：fx(x,y) 3x2 3y2150fy(x, y) 6xy 24y0求得穩(wěn)定點1,2 2,11, 22, 1A 1xx6xBf xy6yCfyy6x在點(1,2)處ACB26 6 1221080,A60不是極值點在點(2,1)處ACB212 12621080.A120極小值108 0不是極值點在點(-1,-2)處 AC B2在點(-2

37、,-1)處 AC B2(12)( 12) ( 6)2 1080,A12 0是極大值點z 極小(2,1)=-28,z 極大(-2,-1)=2811x0,xy)11J/xy120x120y20Fx解答：令F(x,y8.23求函數(shù)zFy(x y 2)得x y 1y 0在x y 2的條件下的極值。8.24因為z x, yz1,1x y 2xy0 所以z極值1,1g(x, y,z)解答：設(shè)FxFyFz2 則xf (x,y,z)xy yz xzx2z20(x0,yo,z0）下的極值。x, y, zxyyzzxx2z21解得r1因f(x,y,z) f .3,.3, ,3xyyzzx 1x2z2xy yzzx

38、y2 (y z)2 z且等號只在y z1 1時才成立，故f.3, 331是極大值.、求下列函數(shù)的定義域(1) u=arcsin解：（1）1 x2' 12y(x,y,z)x2 xcos2y 0，D ( x, y) xk4、求下列二重極限0,k測驗題（八一1）(2)z= . xcos2yzx2y0, cos2y0, cos2y341 k0,即k0,2 2,x0,1,2,0x0,(1)limyxyeab解:(1)!(a0,b0)(2) llm (x2xyy2)sln 2 1 2|i exy 1 linx ay b2 lim (x2xyy2 )sinlimxysin 二x三、證明2Xx2證明：

39、令點p沿y kx趨近于(0,0),2kxmoH X2yx2Xoimokx此極限值隨k的改變而不同，故得證四、求下列函數(shù)的指定的偏導(dǎo)數(shù)或全微分1、 設(shè)u= x g(y)，其中 具有=階偏導(dǎo)數(shù)，g為可導(dǎo)函數(shù)。求ux, uy和uxy解：ux X g(y)uyx g(y)g (y)uxyx g(y)g (y)2、設(shè)方程xyz x y z確定了隱函數(shù) z z(x, y)求Zx,解：等式兩端同時對x求偏導(dǎo)y(z xzx) 1 Zx則zxyz 11 xyzxx2y(yz 1)(1 xy)23、設(shè) z f (x, y)而y(x)由方程組sin u xy 0 亠 ey x2 3u 0確定求解：方程組確定了一組函

40、數(shù)y(x)u(x)2xxdy o dx c du -30dxdu cosu 方程組對x求導(dǎo) dxdy 3y 2xcosuy3x e cos uy dy e dxdzf f魚xy dxfx f3y2xcosudxy 3xye cosu4、設(shè)u(x)(y)，(x) 0,均為可導(dǎo))，求du解:u (y)x(x) (y)1(x)uy(x) (y) ln(x)(x)則dxdu dx dy x y五、求函數(shù)z 0其它點在(00)點是否可微？為什么?z( x,0)z(0,0).0 0-解：zx(0,0) limlim0x 0xx 0 xzy(0,0) lim z(0, y)0y 0y若函數(shù)在(0,0)處可微

41、，則dz0,但lim z dzx 0 ( x)2( y)2lim0 ：x：2 Y( y)2limx 0y 01六、求 z aI 2b2 b2x2 a2y2在點 P沿曲線2 2xy2 ab1在該點法線（指向原點）方向的方向?qū)?shù)。P2b2 x解：Zx、 2ab2 , Zy2a22a 2bP曲線在點,b2）切線斜率為法線斜率為K -b由法線指向原點方向得cosb.a2 b2cosa.a2 b2ab . 2(a.xoyo b2)七、證明錐面z,x2 y23的所有切平面都通過錐面的頂點解：設(shè)（Xo, yo,Zo）為錐面上任意一點，則 錐面在點（Xo,y°,Zo）的法向量為xoN , 2° 2xo yof2*2 ".xo yo錐面在（xo, yo, Zo）點的切平面為xoyo22(X xo)(y y。) Z Zooyo, xoyo又因為（Xo, yo，Z0）滿足Zo； xo2yo23,故切平面為XoX2 2.xo yoyo此平面恒過點（0,0,3）.八、求 f (x, y)x2y2 xy 3y在閉域 o4 x,o x 4上的最大值與最小值。解：首先考慮函數(shù)在區(qū)域o y 4 x,o x 4上的穩(wěn)定點再考慮