抽象代數(shù)復(fù)習(xí)題及答案

1、抽象代數(shù)試題及答案 本科、單項(xiàng)選擇題(在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確答案，并將正確答案的序號(hào)填在題干的括號(hào)內(nèi)。每小題3分)1.設(shè) Q 是有理數(shù)集，規(guī)定2f(x)=x+2； g(x)=x2+1,則( fg )(x)等于2.2A.x22x 12B.x23C.x24xD.x3設(shè)f是A到B的單射,g是B到C的單射，則gf是A到 C3. 設(shè) S3= (1),(1 2),(1 3),(2 3),( 1 2 3),( 1 3 2) ,則 S3中與兀素1 32)不能交換的元的個(gè)數(shù)是A. 1B. 2C. 3D.44.在整數(shù)環(huán) Z 中,可逆元的個(gè)數(shù)是 ( B) 。A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 4個(gè)D.無(wú)限

2、個(gè)5.剩余類(lèi)環(huán)乙0的子環(huán)有(B) 。A. 3 個(gè)B. 4 個(gè)C.5個(gè)D.6 個(gè)6.設(shè) G 是有限群，a G,且 a的階 |a|=12,則 G 中兀素a8的階為(B)A 2B. 3C. 6D. 9A. 單射B. 滿(mǎn)射C. 雙射以下結(jié)論正確的是7設(shè) G 是有限群，對(duì)任意G，a,b( A )D. 可逆映射( C )。A.11(ab)1b1B. b的階不一定整除G 的階C. G的單位元不唯一8.設(shè) G 是循環(huán)群，則以下結(jié)論不正確D. G的是(中消去律不成立A. G的商群不是循環(huán)群C. G是交換群D. G9. 設(shè)集合 A=a,b,c,的任何子群都是正規(guī)子群的任何子群都是循環(huán)群 以下 A A 的子集為等價(jià)

3、關(guān)系的是(C )B. GA.R1=(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)B.R2= (a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)C.R3= (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)D.R4= (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)10.設(shè)f是A到B的滿(mǎn)射，g是B到C的滿(mǎn)射，貝U gf是A到 C 的(B )A. 1B. 2C. 3D. 412. 在剩余類(lèi)環(huán)Z8中，其可逆兀的個(gè)數(shù)是(D )。A. 1個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D. 4 個(gè)13. 設(shè)(R, +,是環(huán)，則下面結(jié)論不正確的有(C )。A.R的零兀惟一B.若xa 0,

4、則xaC.對(duì)aR,a的負(fù)元不惟一 D.右a ba c,則bcA. 單射B. 滿(mǎn)射C. 雙射D. 可逆映射11. 設(shè) S3= (1),( 1 2), (1 3), (2 3) , (1 2 3), (1 3 2) ，則 $ 中與元素(1 2)能交換的元的個(gè)數(shù)是(B )14.設(shè) G 是群，a G,且 a 的階|a|=12, 則 G 中元素a32的階為(B )A.215 設(shè) G 是有限群,B. 3 C. 6 D. 9對(duì)任意 a,bG,以下結(jié)論正確的是（A ）A.|a| |G|B. |b| =g C. G的單位元不唯一D.方程ax b在 G 中無(wú)解16.設(shè) G 是交換群,則以下結(jié)論正確的是（B ）A.

5、 G 的商群不是交換群B. G的任何子群都是正規(guī)子群C. G是循環(huán)群D. G的任何子群都是循環(huán)群17.設(shè) A=1，-1, i，-i，B = 1, -1,a A是從 A 到 B 的（A ）A.滿(mǎn)射而非單射B.單射而非滿(mǎn)射C.映射D.既非單射也非滿(mǎn)射18.設(shè) A=R （實(shí)數(shù)域），B=R（正實(shí)數(shù)集） ，a:aT10, A,則是從 A 到 B 的（C ）。A.滿(mǎn)射而非單射 B.19.設(shè) A=所有實(shí)數(shù) x,T10 xT2x單射而非滿(mǎn)射C.映射A 的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，則以下映射作成D.既非單射也非滿(mǎn)射A 到 A 的一個(gè)子集的同態(tài)滿(mǎn)射的是（C ）T兇20.數(shù)域 P 上的 n 階可逆上三角矩陣的集合關(guān)于矩陣

6、的乘法 A.構(gòu)成一個(gè)交換群21.在高斯整數(shù)環(huán)A. 1 個(gè)22 .剩余類(lèi)加群A. 3 個(gè)23.下列含有零因子的環(huán)是B.Zi中，可逆元的個(gè)數(shù)為（B. 2 個(gè) Z8的子群有（BB. 4 個(gè)（B構(gòu)成一個(gè)循環(huán)群DC. 3 個(gè)C.)（C ）構(gòu)成一個(gè)群D. 4 個(gè)D.構(gòu)成一個(gè)交換環(huán)OC. 5D. 6 個(gè)A.高斯整數(shù)環(huán) ZiB.數(shù)域 P 上的 n 階全矩陣環(huán)C. 偶數(shù)環(huán) 2ZD.剩余類(lèi)環(huán)Z524設(shè)（R,+, ）是一個(gè)環(huán)，則下列結(jié)論正確的是（DA. R 中的每個(gè)元素都可逆B. R 的子環(huán)一定是理想25設(shè)群 G 是 6 階循環(huán)群，則群 G 的子群個(gè)數(shù)為（A.26.)C. R定含有單位元D. R的理想一定是子環(huán)27

7、.4 個(gè) B. 5設(shè) A = a, b, cA. 1設(shè)集合A= a, b, c,個(gè) C. 6B = 1,2,3,B. 2 C.則以下集合是集合AD. 7則從集合 A 到集合 B 的滿(mǎn)射的個(gè)數(shù)為（D ）3A的分類(lèi)的是（C ）28.D.A.C.A.29.30.C.設(shè) S3= ( 1),A. 1在高斯整數(shù)環(huán)A. 031.P= a, b,a, c B.P2= a,b, c,b,aP3= a,b,cD.P= a,b,b,c,ca,b Z，那么R關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，則這個(gè)矩陣環(huán)是有單位元的交換環(huán) 無(wú)單位元的非交換環(huán)（1 2 ）, （1 3 ）, （ 2 3 ）,（ 1B. 2Zi中，單位元是（B

8、）B. 1無(wú)單位元的交換環(huán)D.有單位元的非交換環(huán)2 3 ）, （ 1 3 2 ） ，貝US3的子群的個(gè)數(shù)是（C. 3D. 6B.設(shè)G是運(yùn)算寫(xiě)作乘法的群， 則下列關(guān)于群 A.任意兩個(gè)子群的乘積還是子群 是子群D.32. 7 階循環(huán)群的生成元個(gè)數(shù)是A. 1B. 233.設(shè) A=a,b,c, B=1,2,3,OC.iD.iG的子群的結(jié)論正確的是（B ）B.任意兩個(gè)子群的交還是子群C.定是正規(guī)子群任意子群，（C ）C. 6 D. 7則 從 集 合 A 到 集 合 B 的 映 射 有（D ）任意兩個(gè)子群的并還元e和元x的逆元分別是（D ）38.設(shè) G 是有限群，則以下結(jié)論正確.的是（A ）A. G的子群

9、的階整除 G 的階B. G 的任何子群都是正規(guī)子群C. G是交換群D. G的任何子群都是循環(huán)群39設(shè)f：G1G2是一個(gè)群同態(tài)映射，那么下列錯(cuò)誤的命題是（ D ）A.f的同態(tài)核是G1的正規(guī)子群；B.G2的正規(guī)子群的原象是G1的正規(guī)子群;40.關(guān)于半群，下列說(shuō)法正確的是：（A ）A.半群可以有無(wú)窮多個(gè)右單位元B.C.半群如果有右單位元?jiǎng)t一定有左單位元D.二、填空題（每空3分）2. n 次對(duì)稱(chēng)群Sn的階是（n!）.3. 一個(gè)有限非交換群至少含有（6）個(gè)元素.4. 設(shè) G 是 p 階群，（p 是素?cái)?shù)），貝 U G 的生成元有（p 1）個(gè).5.除環(huán)的理想共有（2 ）個(gè).6.剩余類(lèi)環(huán)Z6的子環(huán) S= :0

10、 , : 2 , : 4 ，貝 U S的單位元是（4）7. 在 i+3,2, e-3 中，(i 3)是有理數(shù)域 Q 上的代數(shù)元.8.、2在有理數(shù)域 Q 上的極小多項(xiàng)式是(x22).9. 設(shè)集合A =a,b , B=1,2,3，則 A B= ( a,1),(b,1),(a,2),(b,2), (a,3), (b,3).)10.設(shè) R 是交換環(huán)，則主理想（a）= （Ra ra11.設(shè)（5431）,則1（1345 ）.12 . 設(shè) F 是 9 階有限域，貝UF 的特征是（313設(shè)1（351）,2（2154）是兩個(gè)循環(huán)置換，則14 . 設(shè)F是 125 階有限整環(huán)，則F的特征是（5）.A. 1B. 6

11、C. 18D. 2734.設(shè)G,為群，其中G是實(shí)數(shù)集，而乘法:a b a b k，這里k為G中固定的常數(shù)。那么群G,中的單位C.G1的子群的象是G2的子群;D.G1的正規(guī)子群的象是G2的正規(guī)子群。1.設(shè) A 是 m 元集B 是 n 兀集，那么A 到 B 的映射共有)個(gè).和 0； C.k和x 2k； D.k和(x 2k)35.設(shè)a, b, c和x都是群G中的元素，且x2abxc1, acxxac，那么x1 1 1 1A.be a； B.c aC.a1be1,1D.b ea。36.下列正確的命題是（A ）A.歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；B.C.唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；D.主理想環(huán)必是歐氏環(huán)；唯一分解環(huán)

12、必是歐氏環(huán)。37 設(shè)H是群G的子群，且G有左陪集分類(lèi)H,aH,bH ,eH。如果|H |6,那么G的階G半群一定有一個(gè)右單位元 半群一定至少有一個(gè)左單位元ma |r R, m Z.) ).2 1(1342)15.設(shè)集合A含有 3 個(gè)元素，則A A的元素共有（9 ）個(gè).16.設(shè)群 G 的階是 2n,子群 H 是 G 的正規(guī)子群，其階是n,則 G 關(guān)于 H 的商群所含元素的個(gè)數(shù)是（17.設(shè) a、b 是群 G 的兩個(gè)元，則(ab)1= (b1a1).18.環(huán)Z10的可逆元是(1,3, 7, 9).19.歐式環(huán)與主理想環(huán)的關(guān)系是(主理想環(huán)不一定是歐式環(huán)，但歐式環(huán)一定是主理想環(huán)).20.如果f是A與A間

13、的- 映射，a是A的一個(gè)元，貝Uf1f a (a)。21.設(shè)群G中元素a的階為m，如果ane，那么m與n存在整除關(guān)系為(m 整除 n)。22設(shè)(31425)是一個(gè) 5-循環(huán)置換，那么1(52413).。23有限群G的階是素?cái)?shù)p,貝 UG(循環(huán))群。24.若I是有單位元的環(huán)R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表達(dá)為(有限和xiayi|xi,yiR)。i25 .群(乙2,)的子群有(6)個(gè)。26.由凱萊定理，任一個(gè)抽象群G都同一個(gè)( 群G的變換群 )同構(gòu)。27.設(shè)A、B分別是m n個(gè)元組成的集合，則|A B |= (mn)。28設(shè)A=a,b,c，則可定義A的(5)個(gè)不同的等價(jià)關(guān)系。A的分類(lèi)M=

14、a,c,b確定的等價(jià)關(guān)系是R( a,a),(b,b), (c,c), (a,c), (c,a)。29.設(shè) G 是 6 階循環(huán)群，則 G 的生成元有(2)個(gè)。30.非零復(fù)數(shù)乘群 C*中由-i 生成的子群是(i, i,1, 1)。31.剩余類(lèi)環(huán) Z7的零因子個(gè)數(shù)等于(0)。32.素?cái)?shù)階有限群 G 的子群個(gè)數(shù)等于(2)。33.剩余類(lèi)環(huán) Z6的子環(huán) S= : 0: , : 3 ,則 S 的單位元是(3)。34.群：,e是G的單位元，貝 U(e)是(G的單位元)。35.復(fù)數(shù)域的特征是(0).36.在剩余類(lèi)環(huán)(Z12, ,?)中，6?7=(6).37.在 3-次對(duì)稱(chēng)群S3中，元素(123)的階為：(3).

15、38.設(shè)Z和Zm分別表示整數(shù)環(huán)和模m剩余類(lèi)環(huán)， 則環(huán)同態(tài)f :Z Zm,n n的同態(tài)核為(mZ mr | r Z)39.32在有理數(shù)域上的極小多項(xiàng)式為(X32)40.無(wú)限循環(huán)群一定和(整數(shù)加群(Z,)同構(gòu).三、判斷題(判斷下列說(shuō)法是否正確，正確的請(qǐng)打“”1. 設(shè) G 是群，則群 G 的任意兩個(gè)子群的并仍是群 G 的子群。(2.群的有限子集(非空)構(gòu)成子群，當(dāng)且僅當(dāng)該非空子集的任何兩個(gè)元素在6.設(shè) G 是 n 階有限循環(huán)群，則 G 同構(gòu)于模 n 剩余類(lèi)加群Zn。 (V)，錯(cuò)誤的請(qǐng)打“ ”，每小題3分)G 的運(yùn)算之下，仍在該非空子集之中。3.設(shè)G是非零實(shí)數(shù)在數(shù)的乘法運(yùn)算之下構(gòu)成的群。 的同態(tài)映射。

16、()4.一個(gè)環(huán)如果有單位元，則它的子環(huán)也一定有單位元。5.設(shè) G 是群，則群 G 的任意兩個(gè)正規(guī)子群的交仍是群f: GTG 是一個(gè)映射，且 f(x) =7x, x G.則 f 是 G 到 G( )G 的正規(guī)子群。(V)7. 設(shè):G G是群同態(tài)，則 將 G 的單位元不一定映射為G的單位元。8. 設(shè)R是環(huán)，A, B是R的任意兩個(gè)理想，則A B也是環(huán)R的理想。（V）9.域的特征可以為任何自然數(shù) .（）11.4 次交錯(cuò)群A4在 4 次對(duì)稱(chēng)群S4中的指數(shù)為12.復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的單代數(shù)擴(kuò)張。13.除環(huán)一定是域.次對(duì)稱(chēng)群S3的中心是（1）.15.整數(shù)環(huán)的商域是有理數(shù)域.16.無(wú)限循環(huán)群和整數(shù)加群同構(gòu).17.

17、多項(xiàng)式X23在有理數(shù)域上可約。18.在特征為p的域F中始終有（a b）pap19.高斯整數(shù)環(huán)Zi是唯一分解環(huán).20.有限集合到有限集合的單射不一定是滿(mǎn)射。21.有限群的任何子群的階一定整除這個(gè)群的階。22.設(shè):G1G2是群G“到群 G2的同態(tài)，23.素?cái)?shù)階群不一定是循環(huán)群。24.設(shè)（Z, ,?）為整數(shù)環(huán)，p為素?cái)?shù)， 則（pZ, ,?）是（Z, ,?）的極大理想。（V）四、證明題1.設(shè)Q為有理數(shù)域，設(shè)T a b. 2 | a,b Q,則T按數(shù)的乘法和加法構(gòu)成一個(gè)域.（6 分）證明：T非空，且 T 是實(shí)數(shù)域的一個(gè)子集。T 關(guān)于數(shù)的加法、乘法封閉是顯然的，而且0 a b、2 T,（a b - 2）1

18、T,這樣我們就得T關(guān)于加法、乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域的一個(gè)子域.，因此T按數(shù)的乘法和加法構(gòu)成一個(gè)域.。2.設(shè)E是F的擴(kuò)域，且（E: F） =1,則E=F. （6 分）證明：用反證法：若E F,貝 U 存在x E, x F,這樣（E : F ） 2,矛盾!3.證明：交換群的商群是交換群 .（8 分）證明：設(shè) G 為交換群， 且H G，則GG關(guān)于正規(guī)子群 H 的商群，且對(duì)任意aH ,bHGH,有,10.群的任何兩個(gè)正規(guī)子群的乘積仍然是正規(guī)子群4.( )(V)( )(V)(V)(V )()bp, a,b F.(V)(V)()(V )則同態(tài)核Ker（ ）是G1的正規(guī)子群.(V)( )(aH)(bH) (ab)H

19、 (ba)H (bH)(aH)故G H是交換群.行列式的乘積，由此A,B G,A1G,AB G,故 G 關(guān)于矩陣的乘法成群4.設(shè)A 1, 1,i, i, B 1, 1, “ ”是數(shù)的乘法，證明：（A,（B,-）o（這里“”表示（A, 與（B, 是 滿(mǎn)同態(tài)）（8 分）證明:構(gòu)造映射：f : AB,11, 11,i1, i1，則容易驗(yàn)證f是（A,）到（B,）的同態(tài)映射.5.證明：wa 0設(shè) G=0 0|aR則G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成(R ,）的子半群.（6 分）證明：對(duì)任意的a0b0aG,0 b0abG,故由子半群的判定知，G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)0 0，0000 0000成（R2 2,）的子半群， 得證6.設(shè)

20、 a 是群 G 的任一元素，若a的階|a|=2，求證：a a1. （ 6 分）證明： 由題設(shè)我們知道：a2e,對(duì)這個(gè)式子的兩邊冋時(shí)乘以a1得1 2 1 / 1、1a a a e, (a a)a a利用群 G 中逆元和單位元的性質(zhì)，即得，1a a.7.設(shè)& =-i，即1=1, G=1,.22,，證明：有如下的群同構(gòu)：（Z3,）也（G ，這里0 ） =1,1)=2:,b(2) = o ( 8 分)證明：容易驗(yàn)證下述映射Z3G, 01,1，是雙射，且保持運(yùn)算， 即:(ij)(i) (j), i,j Z38.設(shè) G 是RT2中所有可逆矩陣組成的集合,（i ） 證明 G 關(guān)于矩陣的乘法成群。（6

21、 分）(ii).01的階是多少？ （ 4 分）-101 1(iii)的階是多少？ （ 4 分）01(iv). 證明G 不是交換群.（6 分）解: （i）注意到由線性代數(shù)知識(shí)有：方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式不為零，而且兩個(gè)方陣的乘積的行列式等于它們由同構(gòu)映射的定義，即得（Z3,）旦（G 34(ii).注意到此時(shí)群G的單位元是：10，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，我們可知01的階是 3.0 1 -101 1（iii）.的階是0 1解答題:解:運(yùn)算表如下:解:映射.對(duì)任意xQ,定義fx：QQ, aax,對(duì)2 .設(shè)G=A1, A?,A8,其1 0i 0i 0i 0A4=-,A，人 cA7 :=0 -10 i0 -i0

22、-i1.設(shè)Q是有理數(shù)集,+”是數(shù)的加法，找(列出 G 的乘法(矩陣乘法)運(yùn)算表。a Q,貝燦合fx|x Q,但 x0為(Q,)的所有自同構(gòu)1 01 0 1 0中A1=c彳，A2,A30 10 -1 0 1i 0A0 i（8 分）(iv). 通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，得0 11110 0 11101，故 G 是非交換群。0 1 1 0Q, +)的所有不同的自同構(gòu)映射。(2)求出S3中所有元素的階；(6 分)(3)求出S3中所有元素的逆元.(6 分)A1A1AA2AA3A3AAA5A5A6A6A7A7A8A83. (1)寫(xiě)出 3 次對(duì)稱(chēng)群S3的所有元素;A2A3A4A5A6A7A8A2A3AA5A6A7A8A1AA3A6A5A8A7AA2A8A7A6A6A5A3A2AA7A8A5A6A6A8A7A2A1A3A4A5A7A8A1A2A4A3A8A6A5A3AA2A1A7A5A6AA3A1A2（4分）34解:(1)S3的全部元素為:(2)各元素的階為:(3)2I4 找出乙2中的所有零因子.解:(6分)2,|3II 3,|0|1.5的逆元分別為:為所有的零因子.5.在有理數(shù)域的擴(kuò)域 Q (32)中，求 1 +32的逆。(10分)解：由于32在 Q 上的最小多項(xiàng)式是 p(x)=X3-2，因此由定理 433