第十章 第三節(jié) 格林公式

1、第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的 等價(jià)條件等價(jià)條件機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 格林公式及其應(yīng)用 第十章 LD區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無(wú)“洞”區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),LDyxyQxPyxQPdddd或一、一、 格林公式格林公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明:1)

2、若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21則yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD定理1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 即yxxQDddLyyxQd),(同理可證yxyPDddLxyxPd),(、兩式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd定理1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxoL2) 若D不滿足以上條件, 則可通過(guò)加輔助線將其分割1DnD2DnkDyxy

3、PxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖)(的正向邊界表示kkDD證畢定理1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推論推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢圓20,sincos:byaxL所圍面積LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab定理1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxL證證: 令,22xQyxP則yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyx

4、dd00機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 計(jì)算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 . 解解: 令, 則2, 0yexQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 計(jì)算,dd22Lyxxyyx其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時(shí)則當(dāng) yx22222)(yxxyxQ設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,)0 , 0(時(shí)當(dāng)D由格林公式知0dd2

5、2Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 dsincos2022222rrr2,)0 , 0(時(shí)當(dāng)D在D 內(nèi)作圓周,:222ryxl取逆時(shí)針?lè)较?1D, 對(duì)區(qū)域1D應(yīng)用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)榱止?, 得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

6、(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有.xQyPLyQxPdd與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí), 曲線積分可記為 證明證明 (1) (2)設(shè)21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光

7、滑曲線, 則(根據(jù)條件(1)BAyQxPddAByQxPdd定理2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明 (2) (3)在D內(nèi)取定點(diǎn)),(00yxA因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux則),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可證yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無(wú)關(guān),),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù) 定理2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x ,

8、y ) 使得yQxPuddd則),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu22所以從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyPxyuxQyxuyP22,定理2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證明證明 (4) (1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區(qū)域?yàn)樽C畢定理2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yx說(shuō)明說(shuō)明: 根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),xQyP則2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù)

9、:Dyx),(00及動(dòng)點(diǎn),),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;定理2 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yA xoL例例4. 計(jì)算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd

10、4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx3648 圓周區(qū)域?yàn)镈 , 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 驗(yàn)證yyxxyxdd22是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證證: 設(shè),22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 驗(yàn)證22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它. 證證: 令2222

11、,yxxQyxyP則)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)作用下沿曲線 L :xycos

12、2由)2, 0(A移動(dòng)到, )0,2(B求力場(chǎng)所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP則有)0()(22422yxryxkyPxQ可見(jiàn), 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān). )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 :AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 積分路徑是否可以取?OBAO取圓弧LBAyox為什么？注意, 本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān) !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式LyQxPdd2

13、. 等價(jià)條件在 D 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).yPxQ在 D 內(nèi)有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè),4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 問(wèn)下列計(jì)算是否正確 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:時(shí)022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(機(jī)動(dòng) 目錄 上

14、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè), )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC作業(yè)作業(yè)P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 CCCDyxoaaC 備用題備用題 1. 設(shè) C 為沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx從點(diǎn)), 0(a依逆時(shí)針), 0(a的半圓, 計(jì)算解解: 添加輔助線如圖 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 D2. 質(zhì)點(diǎn)M