結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法分解

1、15.1 非線性問題分類及求解非線性問題分類及求解 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 5.2 非線性問題求解方法非線性問題求解方法 5.3 材料非線性材料非線性 5.4 幾何非線性幾何非線性 5.5 邊界非線性邊界非線性 5.6 非線性彈性穩(wěn)定性問題非線性彈性穩(wěn)定性問題 5.7非線性分析特點(diǎn)非線性分析特點(diǎn)5.8 ANSYS非線性結(jié)構(gòu)計算示例非線性結(jié)構(gòu)計算示例 5.9ANSYS穩(wěn)定性計算示例穩(wěn)定性計算示例 25.1 非線性問題分類及求解非線性問題分類及求解 當(dāng)材料是線彈性體，結(jié)構(gòu)受到載荷作用時，其產(chǎn)生的位移和變形是微小的，不足以影響載荷的作用方向和受力特

2、點(diǎn)。靜力平衡方程表示為： PK其基本方程的特點(diǎn)如下： a材料的應(yīng)力與應(yīng)變，即本構(gòu)方程為線性關(guān)系。 b結(jié)構(gòu)應(yīng)變與位移微小、即幾何方程保持線性關(guān)系。 c結(jié)構(gòu)的平衡方程屬于線性關(guān)系，且平衡方程建立于結(jié)構(gòu)變形前，即結(jié)構(gòu)原始狀態(tài)的基礎(chǔ)之上。 d 結(jié)構(gòu)的邊界（約束）條件為線性關(guān)系。不同時滿足上述條件的工程問題稱為非線性問題。5.1.1 非線性問題分類非線性問題分類第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 3 習(xí)慣上將不滿足條件a的稱為材料非線性；不能夠滿足條件b、c的稱為幾何非線性；不滿足條件d的稱為邊界非線性 。對于兼有材料非線性和幾何非線性的問題稱為混合非線性問題 。

3、 對于上述非線性問題總可歸結(jié)為兩大類，即材料非線性和幾何非線性。 非線性問題用有限單元法求解的步驟和線性問題基本相同，不過求解時需要多次反復(fù)迭代，基本三大步驟如下： (1) 單元分析 非線性問題與線性問題的單元剛度矩陣不同，僅為材料非線性時， 使用材料的非線性物理（本構(gòu)）關(guān)系。 僅為幾何非線性時， 在計算應(yīng)變位移轉(zhuǎn)換矩陣B時， 應(yīng)該考慮位移的高階微分的影響。 同時， 具有材料和幾何非線性的問題，受到兩種非線性特性的藕合作用。 5.1.2 非線性問題求解非線性問題求解第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 4 (2) 整體剛度矩陣集成 整體剛度矩陣集成、平衡方

4、程的建立以及約束處理，與線性問題求解相似 。(3) 非線性平衡方程求解 對于幾何非線性問題，平衡方程必須建立在變形后的位置，嚴(yán)格來講是建立在結(jié)構(gòu)的幾何位置及變形狀態(tài)上，簡稱為位形狀態(tài)。因而，非線性問題的平衡方程表為 PKT 求解時，一般是將非線性問題轉(zhuǎn)化成一系列線性化逼近的方法求之。即 0PKT 求解的方法按照載荷的處理方式可分為全量法和增量法兩大類。 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 5圖10-1 位形描述示意圖 5.2.1 直接迭代法直接迭代法將平衡方程寫成如下迭代格式 01PKnnT具體迭代過程簡述如下取初始值 05.2 非線性問題求解方法非線性

5、問題求解方法返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 6則得到 00TTKK 得到改進(jìn)解 PKT101重復(fù)上述過程，總結(jié)得出近似遞推公式 PKKKnTnnTnT11 以一維非線性問題為例，直接迭代法的幾何意義見圖10-2。圖10-2 直接迭代法的幾何意義 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 75.2.2 牛頓牛頓拉裴遜（拉裴遜（NewtonRaphson）法）法 0 n非線性方程組在附近的近似0nnF一般情況下，0F故可得其解為 1111nnnnnnF 圖10-3 NR迭代法的幾何意義 圖10-4

6、 修正牛頓法迭代幾何意義 線性方程組為第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 85.2.3 載荷增量法載荷增量法 0,PKT為載荷因子，用來描述載荷變化的參數(shù)， 對應(yīng)于 ，對應(yīng)于 ，則 0,上式的泰勒展開式為 ,令,TTKK得 P則有 0PKT第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 9或?yàn)?PKT1假設(shè)將載荷因子分為m個增量，并設(shè)10210mnn1有 11nmn相應(yīng)載荷為 PPnn PPPPnnnn1則方程組的迭代公式為 nnnnnTnPK11當(dāng)滿足收斂準(zhǔn)則時，迭代終止。第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線

7、性分析的有限單元法簡介 10圖10-5 載荷增量法的幾何意義 5.3 材料非線性材料非線性5.3.1 材料非線性特征材料非線性特征材料非線性問題材料非線性問題可劃分為以下三種類型。 （1）非線性彈性問題 （2）彈塑性問題有限單元法求解方程的形式相同，即表現(xiàn)為 DD dVBDBKT PK返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 11(a) 非線性彈性問題 (b) 彈塑性問題 (c) 理想塑性問題 (d) 強(qiáng)化塑性問題 圖10-6 材料非線性問題第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 12 （3）蠕變與應(yīng)

8、力松弛問題 在一定溫度范圍內(nèi)，材料在固定溫度和不變載荷作用下，其變形隨時間緩慢而增加的現(xiàn)象稱之為蠕變。在不增加應(yīng)變情況下，在常值位移作用下應(yīng)力隨時間緩慢減小的現(xiàn)象稱之為應(yīng)力松馳。 考慮蠕變問題，就是要考慮在材料的本構(gòu)關(guān)系中其粘性的影響程度。具有粘性的材料又可分為線性粘性材料和非線性粘性材料。 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 135.3.2 材料非線性模型材料非線性模型應(yīng)力僅為應(yīng)變的函數(shù)，加卸載規(guī)律相同。材料模型示意圖特 點(diǎn)示 例彈性元件：線性非線性對于線彈性材料D是常數(shù)，非線彈性材料D是位移向量 的函數(shù)。 在應(yīng)力充分小的情況下幾乎包括所有材料例如，金

9、屬、巖石、玻璃、木材。 D 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 14dtd應(yīng)變隨時間變化，應(yīng)力與系數(shù)有關(guān)。粘性元件高溫環(huán)境下的金屬材料、地殼巖石等。t式中 粘性系數(shù)時間 ) 0( s)0()0(HsssH理想塑性 強(qiáng)化塑性 式中 屈服應(yīng)力， 塑性元件 巖石在承受的荷載超過一定值時，如較高的圍巖壓力時表現(xiàn)出理想塑性特性。塑性強(qiáng)化模量。 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 15peep彈塑性變形時總應(yīng)變包括兩部分。式中 彈性應(yīng)變，彈塑性元件 塑性應(yīng)變。加載時使用增量理論。應(yīng)力足夠大時的金屬、巖石、土壤。第五章第五章 結(jié)

10、構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 16Eve21v 粘彈性元件串聯(lián)麥克斯韋爾(Maxwll)模型，一般描述材料的松弛特性。其特點(diǎn) 式中 粘性系數(shù)，粘彈性元件金屬、聚合物。蠕變應(yīng)變。 Eve21 粘彈性元件并聯(lián)開爾文(Voigt Kelvin)模型，一般描述材料的蠕變特性。其特點(diǎn)第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 17sssvp當(dāng)當(dāng)021 粘性和塑性元件并聯(lián)賓漢（Binhan）模型實(shí)際可視為剛性塑性模型，僅當(dāng)材料的應(yīng)力達(dá)到其屈服應(yīng)力時，才能夠產(chǎn)生塑性流動，流動的速度與粘性系數(shù)及載荷值有關(guān)。粘塑性元件 vp21時的瞬時應(yīng)變當(dāng)當(dāng)當(dāng)sv

11、ssp0粘性和塑性元件串聯(lián)擬粘性流體模型。特點(diǎn)式中 高應(yīng)變率的金屬、聚合物高溫下的金屬，油漆等粘稠膠狀物。 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 185.3.3 彈塑性問題有限元分析彈塑性問題有限元分析(1) 單元剛度矩陣 單元剛度矩陣可分成三種情況來考慮，即彈性階段、過渡階段和彈塑性階段。對于應(yīng)力處于彈性階段的單元，單元剛度矩陣 ek按彈性問題處理 dVBDBkVeT對于應(yīng)力已超過屈服應(yīng)力的單元，單元剛度矩陣 Pk按彈塑性 剛度矩陣計算。 dVBDBkPVPT一般過渡單元剛度矩陣為 dVBDBktVtT返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析

12、的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 19式中 tD 為過渡單元的彈塑性矩陣，取為彈性和塑性矩陣的加權(quán)平均值。 101mDmDmDPt 其中，m為加權(quán)因子當(dāng)m1時為完全彈性；m0為完全塑性。m值的物理意義見圖10-7。 圖10-7 m值的物理意義 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 20(2) 彈塑性有限元解法彈塑性有限元解法 彈塑性問題求解常用切線剛度法、初應(yīng)力法或切線剛度法等增量法。 同樣，彈塑性問題的平衡方程可以表示為 PKT按照增量法增量法求解時，步驟如下。 P e 首先求出全部載荷向量作用之下的彈性解 ee 計算由于彈性解 產(chǎn)生的相應(yīng)

13、等效應(yīng)力 Pe 施加載荷增量 ，計算各單元由此產(chǎn)生的應(yīng)變增量 根據(jù)每個單元的變形狀態(tài)（彈性、塑性或彈塑過渡區(qū)），計算其單元剛度矩陣，集成形成總體剛度矩陣。第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 21 重新計算位移增量，進(jìn)而計算單元應(yīng)變增量和等效應(yīng)變增量，依次修改相應(yīng)的m值。重復(fù)以上步驟計算過程，一般修改m值23次即可 計算位移和應(yīng)力增量，并將位移、應(yīng)變、應(yīng)力增量迭加到增量作用前的水平上。 重復(fù)步驟計算過程，直至完成所有的增量步。 作卸載計算，求出殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變。 輸出計算結(jié)果。第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 2

14、25.4 幾何非線性幾何非線性5.4.1 幾何非線性特征幾何非線性特征 幾何非線性問題又可分為兩大類，即大位移、小應(yīng)變問題和大位移、大應(yīng)變問題。(a) 大位移、小應(yīng)變問題 (b) 大位移、大應(yīng)變問題 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄圖10-8 幾何非線性問題第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 23 幾何非線性問題幾何非線性問題比線性問題復(fù)雜得多，非線性問題與非線性問題與線性問題主要不同之處線性問題主要不同之處如下。 a對于大位移、小應(yīng)變問題，雖然應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性關(guān)系，但計算應(yīng)變位移關(guān)系時,位移的高階導(dǎo)數(shù)項的影響不能夠忽略，因而應(yīng)變與位移呈現(xiàn)非線性關(guān)系。 b對于

15、有限變形問題，即大位移、大應(yīng)變的情況，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也是非線性的。 c幾何非線性問題的平衡方程組，建立在結(jié)構(gòu)變形后的位形狀態(tài)上，而這個位形狀態(tài)在求解過程中總是變動的。 d隨著有限位形的變化，材料的本構(gòu)方程亦發(fā)生變化。采用不同的參考位形將得出不同的本構(gòu)方程式。第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 245.4.2 幾何非線性有限元分析幾何非線性有限元分析由虛功原理虛功原理 vxvxeedVdxdydzFT*T*T*則有 vxeedVFT*T*因?yàn)?PFeeT*T*故有 PdVvxT*T*虛應(yīng)變與虛位移的關(guān)系式為*Bx 由于虛位移的任意性，由此可得出非線性問題的一

16、非線性問題的一般平衡方程式般平衡方程式返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 25 dKKKdKdKdKdVdBBDBBdKdVdBDBdVBddVdBdVBddNLSNLSVNLTNLSVTVNVVTTTTT式中 dVBddKVNST dVBDBKNTVNST VLTLLdVBDBKT VLTNNTNNTLNdVBDBBDBBDBKTTT第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 26由此，平衡方程式的增量形式可簡記之 dKdT SNLTKKKK5.4.3 桿單元剛度桿單元剛度圖示桿單元的長度為l，截

17、面積為A，彈性模量為E。圖10-9 桿單元位移示意圖 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 27設(shè)單元形函數(shù) lxNlxN21,1單元內(nèi)任意點(diǎn)位移列向量軸向應(yīng)變?yōu)?eeNNNNNvu21210000dxdvdxdux21 2210102101011eexll則有 eNeLeeexdBdBdldld101010101010112第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 28式中01011lBL 10101010101012ldlBeeN22220000lEAKN0000010100000101lEAK

18、L可得 注意到第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 29xFSK 假設(shè)單元的軸向力為，則可以得到幾何剛度矩陣101000001010000lFKxS最后可以得到桿單元的切線剛度矩陣為222200001010000010100000000010100000101lEAlFlEAKxT第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 305.5 邊界非線性邊界非線性5.5.1 邊界非線性（接觸）問題概述邊界非線性（接觸）問題概述 在工程結(jié)構(gòu)中，經(jīng)常會遇到大量的接觸邊界問題。如齒輪的嚙合、壓力容器的法蘭聯(lián)接、電機(jī)組合轉(zhuǎn)子的組裝、機(jī)器軸承

19、接觸、碰撞等。在分析和設(shè)計中，常常需要確定兩個或多個相互接觸物體的位移、接觸區(qū)域的大小、相互接觸面上的應(yīng)力分布情況等。 接觸問題求解復(fù)雜，解析法很難求解。 有限單元法的增量解法是解決復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)接觸問題的行之有效的方法 在接觸問題中，接觸體的變形和接觸邊界的磨擦作用，使得部分邊界條件伴隨加載過程而發(fā)生不可恢復(fù)的非線性變化。這主要是由邊界條件的非線性性質(zhì)引起的。 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 315.5.2 接觸問題求解接觸問題求解 在用有限單元法求解接觸問題時，結(jié)構(gòu)離散化原則上與線性結(jié)構(gòu)相同，但應(yīng)該把加載前分別位于結(jié)構(gòu)A、B

20、上（圖10-10）的已經(jīng)接觸的、結(jié)點(diǎn)位置相同的結(jié)點(diǎn)，或者加載后可能接觸的相應(yīng)結(jié)點(diǎn)均視為接觸邊界， 這種接觸邊界上成對的結(jié)點(diǎn)稱為接觸對。接觸對根據(jù)結(jié)構(gòu)A、B接觸邊界不同可分為點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、線面、面面等接觸條件 (a) 三維視圖 (b) 二維視圖 圖10-10 幾何非線性接觸問題示意圖 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 32接觸問題有限單元法平衡方程為接觸問題有限單元法平衡方程為BBBBAAAARPKRPK可寫成 BABABABARRPPKK00簡記為 RPK其中 BAKKK00 BABABARRRPPP,第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線

21、性分析的有限單元法簡介 335.5.3 接觸對坐標(biāo)系及接觸條件接觸對坐標(biāo)系及接觸條件 （1）接觸對坐標(biāo)系 接觸問題中，最重要的區(qū)域是接觸部分最重要的區(qū)域是接觸部分。把在兩個或多個結(jié)構(gòu)相連的區(qū)域，受到的某些表面的位移和力的限制，叫做接觸條件。通過接觸條件，可判斷出兩個或多個結(jié)構(gòu)之間是以什么接觸狀態(tài)相聯(lián)系的。一般，將接觸狀態(tài)分成三類，即分離（自由）接觸分離（自由）接觸、粘結(jié)接觸粘結(jié)接觸和滑動接觸滑動接觸。接觸條件在接觸面的局部座標(biāo)下表示比較方便。 （2）接觸條件 分離（自由）接觸 粘結(jié)接觸 滑動接觸 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 34狀態(tài)狀態(tài)判判 斷斷

22、 條條 件件分分離離分離分離接觸接觸粘粘結(jié)結(jié)粘結(jié)粘結(jié)分離分離滑動滑動滑滑動動粘結(jié)粘結(jié)分離分離滑動滑動nt1nt0zh0zhsin,cos, 0zyzxzRRRRR0zRsin,cos, 0zyzxzRRRRR0, 0, 0yyxxzhRhRR0zR0, 0, 0yyxxzhRhRR接觸狀態(tài)判斷條件 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 355.6 非線性彈性穩(wěn)定性問題非線性彈性穩(wěn)定性問題5.6.1 穩(wěn)定問題分類穩(wěn)定問題分類 隨著荷載的逐漸增大，結(jié)構(gòu)的原始平衡狀態(tài)可能由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。這時原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性，簡稱為失穩(wěn)失穩(wěn)。 (a)

23、焊接梁整體失穩(wěn) (b) 焊接梁受壓翼緣板和腹板局部失穩(wěn) (c) 格構(gòu)式柱受壓失穩(wěn) 圖10-11 常見的工程失穩(wěn)形態(tài)返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 36 結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)有兩種基本形式。分支點(diǎn)失穩(wěn)和極值點(diǎn)失穩(wěn)。（1）分支點(diǎn)失穩(wěn) 圖10-12(a)所示為中心受壓簡支壓桿，圖10-12(b)為壓力載荷P與中點(diǎn)撓度f的關(guān)系曲線稱為Pf曲線或不平衡路徑。(a) 中心受壓桿 (b) Pf曲線 圖10-12 分支點(diǎn)失穩(wěn) 第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 37當(dāng)荷載值 22lEIPPcr時，壓桿只是單純受壓

24、，不發(fā)生彎曲變形，壓桿處于直線形式的平衡狀態(tài)（稱為原始平衡狀態(tài)）。Pf 曲線中OAB，稱為原始平衡路徑（路徑）。如果壓桿受到輕微干擾而發(fā)生彎曲偏離原始平衡狀態(tài)。當(dāng)干擾消失后壓桿仍又回到原始平衡狀態(tài)。在原始平衡路徑1上只有唯一的平衡形式，點(diǎn)A所對應(yīng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。 當(dāng)荷載crPP 時，原始平衡形式不再是唯一的，壓桿既可處于直線形式的平衡狀態(tài)，還可處于彎曲形式的平衡狀態(tài)。 圖10-12(b)中有兩條不同的Pf曲線。原始平衡路徑 （直線BC）和第二條平衡路徑。這時原始平衡狀態(tài)（C點(diǎn)）是不穩(wěn)定的。如果壓桿受到干擾而彎曲，則當(dāng)干擾消失后，壓桿并不能回到C點(diǎn)對應(yīng)的原始平衡狀態(tài)，而是繼續(xù)彎曲直到圖中D點(diǎn)對應(yīng)的彎曲形式的平衡狀態(tài)。第五章第五章 結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線性分析的有限單元法簡介 38 兩條平衡路徑和的交點(diǎn)B稱為分支點(diǎn)。 具有這種特征的失穩(wěn)形式稱為分支點(diǎn)失穩(wěn)形式分支點(diǎn)對應(yīng)的荷載稱為臨界荷載對應(yīng)的平衡狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。分支點(diǎn)失穩(wěn)又稱為第一類失穩(wěn)。 （2）極值點(diǎn)失穩(wěn) 具有初始曲率的壓桿和承受偏心載荷的壓桿，見圖10-13(a) ，稱為壓桿的非完善體系。 它們從一開始加載就處于彎曲平衡狀態(tài)。 按照小撓度理論，曲線OA為其Pf 曲線，見圖10-13(b)。初始階段撓度增加較慢，以后逐漸變快，當(dāng)P接近中