大學(xué)物理第11章2

1、2022-5-181復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)1 1、機(jī)械波產(chǎn)生的條件、機(jī)械波產(chǎn)生的條件波源、彈性介質(zhì)波源、彈性介質(zhì)2 2、機(jī)械波的兩種類型：、機(jī)械波的兩種類型：橫波、縱波橫波、縱波3 3、描述簡(jiǎn)諧波的相關(guān)物理量、描述簡(jiǎn)諧波的相關(guān)物理量波長(zhǎng)（波長(zhǎng)（）、周期（）、周期（T T）、頻率（）、頻率（v）、波速（）、波速（u）uT2022-5-1824 4、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)正向傳播（右行波）：正向傳播（右行波）：0( , )cos()xy x tAtu負(fù)向傳播（左行波）：負(fù)向傳播（左行波）：0( , )cos()xy x tAtu其它形式：其它形式：0cos 2()txyAT0cos 2()xy

2、At0cos(),yAtkx02cos()xyAt2022-5-1835 5、波動(dòng)方程的物理意義、波動(dòng)方程的物理意義（1 1）x確定時(shí)，表示該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，對(duì)應(yīng)振動(dòng)曲線。確定時(shí)，表示該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，對(duì)應(yīng)振動(dòng)曲線。x 確定時(shí)確定時(shí)tyotp（2 2）t確定時(shí)，表示該時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)位移分布，對(duì)應(yīng)波形圖。確定時(shí)，表示該時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)位移分布，對(duì)應(yīng)波形圖。xxuyopt 確定時(shí)確定時(shí)2022-5-1841 1、波動(dòng)傳播的是、波動(dòng)傳播的是_A A、介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)；、介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)；B B、波源的振動(dòng)狀態(tài)及能量、波源的振動(dòng)狀態(tài)及能量2 2、沿波的傳播方向上的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次、沿波的傳播方向上的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次

3、_A A、超前；、超前；B B、滯后、滯后3 3、描述波的特征物理量中，僅取決于波源的量有、描述波的特征物理量中，僅取決于波源的量有_, _, 和彈性媒質(zhì)相關(guān)的量有和彈性媒質(zhì)相關(guān)的量有_。A A、波長(zhǎng)；、波長(zhǎng)；B B、周期；、周期；C C、頻率；、頻率；D D、波速、波速4、一條波線上空間距離為、一條波線上空間距離為x的兩點(diǎn)間的相位差為的兩點(diǎn)間的相位差為（ ）。）。2xB、CA、D5 5、一平面簡(jiǎn)諧波沿、一平面簡(jiǎn)諧波沿 x 軸負(fù)方向傳播。已知軸負(fù)方向傳播。已知 x = x0 處質(zhì)點(diǎn)的處質(zhì)點(diǎn)的 振動(dòng)方程為振動(dòng)方程為 。若波速為。若波速為u, ,則此波的則此波的 波動(dòng)方程為：波動(dòng)方程為：)cos(

4、0tAy00000000/)(cos)/)(cos)/)(cos)/)(cos)uxxtAyDuxxtAyCuxxtAyBuxxtAyA A ox0 xx)(cos),(0uxtAtxy例例11-2 11-2 頻率為頻率為12.5kHz的平面余弦波沿細(xì)長(zhǎng)的的平面余弦波沿細(xì)長(zhǎng)的金屬棒傳播，波速為金屬棒傳播，波速為35.0 10 m/s。如以棒上某點(diǎn)取為如以棒上某點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為0.1mmA，試求試求：（：（1 1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2 2）波函數(shù)；）波函數(shù)；（3 3）離原點(diǎn)）離原點(diǎn)10cm10cm處質(zhì)

5、點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（4 4）離原點(diǎn)）離原點(diǎn)20cm20cm和和30cm30cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差；處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差；（5 5）在原點(diǎn)振動(dòng)）在原點(diǎn)振動(dòng)0.0021s0.0021s時(shí)的波形。時(shí)的波形。解：解：0.40mu波長(zhǎng)波長(zhǎng)周期周期518 10sT （1 1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式330cos0.1 10cos(25 10 )myAtt（2 2）波函數(shù)）波函數(shù)cos()xyAtu3330.1 10cos 25 10 () m5 10 xt注意注意物理量單位！物理量單位！12.5kHz35.0 10 m/s0.1mmA（3）原點(diǎn)）原點(diǎn)10cm處質(zhì)點(diǎn)的振

6、動(dòng)表達(dá)式處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式33410.1 10cos 25 10 ()5 10yt330.1 10cos 25 10 m2t（4 4）兩點(diǎn)間距離）兩點(diǎn)間距離10cm0.10m4x 相位差相位差2（5 5）時(shí)的波形時(shí)的波形0.0021st 3330.1 10cos 25 10 (0.0021)5 10 xy30.1 10sin5 mxxyO30.1 100.4 例例11一平面簡(jiǎn)諧波沿一平面簡(jiǎn)諧波沿OX 軸的負(fù)向傳播，波長(zhǎng)為軸的負(fù)向傳播，波長(zhǎng)為 ，P 處處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律如圖。質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律如圖。 求：求： 1 1）P 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。2 2）該波的波動(dòng)方程。）該波的波動(dòng)方程。3

7、 3）若圖中）若圖中 ，求坐標(biāo)原點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)O 處處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。2dA)(myp)(sto1oPBdxA)(myp)(sto1解：解：1）設(shè)設(shè)P點(diǎn)的振動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程為：)cos(0tAyp由旋轉(zhuǎn)矢量法知：由旋轉(zhuǎn)矢量法知：0oAysT422T)2cos(tAyp2）設(shè)設(shè)B點(diǎn)距點(diǎn)距O點(diǎn)為點(diǎn)為x，則波動(dòng)方程為：則波動(dòng)方程為：oPBdx)(22cosdxtAy3）20dxtAy2cos 例例22一平面簡(jiǎn)諧波在一平面簡(jiǎn)諧波在t = 0 時(shí)刻的波形圖，時(shí)刻的波形圖， 求：求：1 1）該波的波動(dòng)方程；）該波的波動(dòng)方程； 2 2）P 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。)(mxo

8、04.0P)(mysmu/08. 02 .0)(mxo04.0P)(mysmu/08. 02 .0解解：1）由題意知：由題意知：m4 . 0mA04. 0suT552設(shè)波動(dòng)方程為：設(shè)波動(dòng)方程為：)(cos0uxtAy由旋轉(zhuǎn)矢量法知：由旋轉(zhuǎn)矢量法知：20o2Ay2)08.0(52cos04.0 xty2）將將x = 0.2 代入方程：代入方程：2352cos04.0ty解解: 1) 若以若以A為原點(diǎn)，則有為原點(diǎn)，則有:ty 4cos30 x 處處 t 時(shí)刻的振動(dòng)時(shí)刻的振動(dòng) , 與與 A 處處 t + x / u 時(shí)刻的振動(dòng)相同時(shí)刻的振動(dòng)相同, 因而因而 x 處的振動(dòng)為處的振動(dòng)為:)(4cos3u

9、xty )()20(4cos3SIxt px例例3如圖如圖,一平面波在介質(zhì)中以速度一平面波在介質(zhì)中以速度u = 20 m / s 沿沿x 軸負(fù)軸負(fù)方向傳播方向傳播,已知已知A 點(diǎn)振動(dòng)方程為點(diǎn)振動(dòng)方程為: y = 3 cos 4t ( SI ) 1)以以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫(xiě)出波動(dòng)方程點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫(xiě)出波動(dòng)方程( 波函數(shù)波函數(shù))。 2)以距以距A點(diǎn)點(diǎn)5m 處的處的B 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) , 寫(xiě)出波動(dòng)方程。寫(xiě)出波動(dòng)方程。uAxB解解: 1) 若以若以A為原點(diǎn)，則有為原點(diǎn)，則有:ty 4cos30 x 處處 t 時(shí)刻的振動(dòng)時(shí)刻的振動(dòng) , 與與 A 處處 t + x / u 時(shí)刻的振動(dòng)相同時(shí)刻的振動(dòng)相同

10、, 因而因而 x 處的振動(dòng)為處的振動(dòng)為:)(4cos3uxty )()20(4cos3SIxt pxuAxBy = 3 cos 4t u = 20 m / s 2) 以以B 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)設(shè) A 處坐標(biāo)為處坐標(biāo)為 xA , t 時(shí)刻時(shí)刻A點(diǎn)振點(diǎn)振動(dòng)方程為動(dòng)方程為tyA 4cos3 P 處質(zhì)元的振動(dòng)與處質(zhì)元的振動(dòng)與A 處處uxxtA時(shí)刻的振動(dòng)相同，故時(shí)刻的振動(dòng)相同，故:)(4cos3uxxtyA )20520(4cos3 xt )()20(4cos3SIxt 解題要點(diǎn)解題要點(diǎn) : 沿波的傳播方向上各點(diǎn)的相位依次落后！沿波的傳播方向上各點(diǎn)的相位依次落后！pxBuAx例例4 一平面余弦

11、波一平面余弦波, 波線上各質(zhì)元的振幅和角頻率分別波線上各質(zhì)元的振幅和角頻率分別為為A和和, 波沿波沿x軸正向傳播軸正向傳播, 波速為波速為u，設(shè)某一瞬時(shí)的波設(shè)某一瞬時(shí)的波形如圖所示形如圖所示, 并取圖示瞬時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。并取圖示瞬時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。1) 分別以分別以O(shè)和和P為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 寫(xiě)出該波的波函數(shù)寫(xiě)出該波的波函數(shù)。2) 確定在確定在t = 0 時(shí)刻，距點(diǎn)時(shí)刻，距點(diǎn)O 分別為分別為x =/8 和和 3/8 兩處兩處質(zhì)元質(zhì)元振動(dòng)速度的大小和方向振動(dòng)速度的大小和方向。xyu yOP時(shí)時(shí)的的波波形形0t解解: 1) 取取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)O點(diǎn)振動(dòng)方程為點(diǎn)振動(dòng)方程為:)cos(

12、0 tAyo其中其中: ,A為已知為已知,現(xiàn)求現(xiàn)求0,由圖知由圖知, t = 0 時(shí)時(shí),)2cos( tAyo0cos00 Ay0sin00 Av2/0由矢量法可得：由矢量法可得：2波函數(shù)為波函數(shù)為:2)(cos uxtAyxyuO時(shí)時(shí)的的波波形形0t若取若取P 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為:) cos( tAyp由波形圖可知，由波形圖可知，t = 0 時(shí)刻時(shí)刻:AAyp cos 0sin Avp因此因此則有則有:)cos(tAyp波函數(shù)為波函數(shù)為:)(cos uxtAy原點(diǎn)的選取決定了波函數(shù)的初相，應(yīng)明確原點(diǎn)的位置。原點(diǎn)的選取決定了波函數(shù)的

13、初相，應(yīng)明確原點(diǎn)的位置。xyu yOP時(shí)時(shí)的的波波形形0t2)求質(zhì)元的振動(dòng)速度求質(zhì)元的振動(dòng)速度在在 x 處處:2)(sin uxtAtyv22sin xtA:,/,得得代代入入以以8x0t Av22沿沿y軸負(fù)向軸負(fù)向:,8/3,得得代代入入以以 x0tAv22沿沿y軸正向軸正向2)(cos uxtAyl彈性波傳播到介質(zhì)某處，該處將具有動(dòng)能（振動(dòng)）彈性波傳播到介質(zhì)某處，該處將具有動(dòng)能（振動(dòng)）和勢(shì)能（形變）。在波的傳播過(guò)程中，能量從波源向和勢(shì)能（形變）。在波的傳播過(guò)程中，能量從波源向外傳播。外傳播。2022-5-1823 m( m= V )。 考慮介質(zhì)中的體積考慮介質(zhì)中的體積 V，其質(zhì)量為其質(zhì)量為

14、Ep pEk k當(dāng)當(dāng)波動(dòng)傳播到該體積元時(shí)，將具有動(dòng)能波動(dòng)傳播到該體積元時(shí)，將具有動(dòng)能 和彈性勢(shì)能和彈性勢(shì)能平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波 )(cos),(0uxtAtxy可以證明有如下關(guān)系可以證明有如下關(guān)系: : 22201()sin2xEEAVtu kpkp說(shuō)明：說(shuō)明：在波的傳播過(guò)程中，任一體積元都在不斷地接收和在波的傳播過(guò)程中，任一體積元都在不斷地接收和放出能量，其值是時(shí)間的函數(shù)。與振動(dòng)情形相比，放出能量，其值是時(shí)間的函數(shù)。與振動(dòng)情形相比，波動(dòng)傳波動(dòng)傳播能量，振動(dòng)系統(tǒng)并不傳播能量播能量，振動(dòng)系統(tǒng)并不傳播能量。體積元的總機(jī)械能體積元的總機(jī)械能E222()sinxEEEAVtu kp0kp02022-5

15、-1824波的波的能量密度能量密度 : : w222sinExwAtVu能量密度的平均值能量密度的平均值: : 21)(sin1)(sin10202dtuxtTdtuxtTTT222Aw能流能流:在介質(zhì)中垂直于波速方向取一面積在介質(zhì)中垂直于波速方向取一面積S，在單位時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)間內(nèi)通過(guò)S 的能量。的能量。(與電流類比與電流類比)uSuwSuttwSutWPdddd)(sin222uxtAuS平均能流平均能流：2221AuSSuwP2022-5-1825平均能流密度平均能流密度( (波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度):): 通過(guò)與波傳播方向垂直通過(guò)與波傳播方向垂直的單位面積的平均能流，用的單位面積的平均

16、能流，用I I 來(lái)表示來(lái)表示: :222222uAZAIwu I的單位的單位：W/m2 (瓦特/米2) 按照麥克斯韋電磁場(chǎng)理論按照麥克斯韋電磁場(chǎng)理論, ,變化的電場(chǎng)在其周?chē)鷷?huì)激變化的電場(chǎng)在其周?chē)鷷?huì)激發(fā)渦旋磁場(chǎng)發(fā)渦旋磁場(chǎng), , 變化的磁場(chǎng)在其周?chē)鷷?huì)激發(fā)渦旋電場(chǎng)變化的磁場(chǎng)在其周?chē)鷷?huì)激發(fā)渦旋電場(chǎng), , 這這樣變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)相互連續(xù)激發(fā)，在空間交替樣變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)相互連續(xù)激發(fā)，在空間交替擴(kuò)散，就形成由近及遠(yuǎn)傳播的擴(kuò)散，就形成由近及遠(yuǎn)傳播的電磁波電磁波。下圖畫(huà)出了一條。下圖畫(huà)出了一條直線方向上傳播的電磁波。直線方向上傳播的電磁波。磁電場(chǎng)電場(chǎng)磁波源磁電場(chǎng)磁電場(chǎng) 18651865年，麥克斯韋

17、預(yù)言了電磁波的存在；年，麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在； 1886 1886年，赫茲從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了電磁波的存在。年，赫茲從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)了電磁波的存在。 LCLC振蕩電路振蕩電路可作為電磁波的波源可作為電磁波的波源: :LC21振蕩頻率：振蕩頻率：CLi有效發(fā)射電磁波的必要條件：有效發(fā)射電磁波的必要條件：1)1)電路的振蕩頻率必須足夠高。電路的振蕩頻率必須足夠高。2)2)LC電路必須開(kāi)放。電路必須開(kāi)放。)(itE)(itE)(itE)(tB)(tB電磁波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)方向相互垂直電磁波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)方向相互垂直2022-5-1828)(cos4sin2002crtrcpEE)(cos4sin02crtcr

18、pHH球面波球面波2022-5-1829 振蕩偶極子的電磁場(chǎng)在理論上可由麥克斯韋方程組嚴(yán)格地振蕩偶極子的電磁場(chǎng)在理論上可由麥克斯韋方程組嚴(yán)格地求出。求出。遠(yuǎn)離偶極子的遠(yuǎn)離偶極子的P點(diǎn)處點(diǎn)處,振蕩偶極子發(fā)射的電磁波在時(shí)刻振蕩偶極子發(fā)射的電磁波在時(shí)刻 t 的的E、H 的量值的量值(真空中真空中)：)(2cos)(cos00 xTtEcxtEE)(2cos)(cos00 xTtHcxtHH 在遠(yuǎn)離偶極子的一小區(qū)域內(nèi)，可用平面波函數(shù)近似：在遠(yuǎn)離偶極子的一小區(qū)域內(nèi)，可用平面波函數(shù)近似：設(shè)電磁波在無(wú)限大均設(shè)電磁波在無(wú)限大均勻介質(zhì)中傳播，介質(zhì)勻介質(zhì)中傳播，介質(zhì)中中00, j0 = 0 則有，則有，）（）（）（）（430210tDHBtBED由方程（由方程（2）兩邊取旋度得，）兩邊取旋度得，HtE)(將方程（將方程（4）代入上式得，）代入上式得，22)(tEE由矢量運(yùn)算法則，由矢量運(yùn)算法則，EEE2)()(可得到電場(chǎng)和磁場(chǎng)滿足的方程：可得到電場(chǎng)和磁場(chǎng)滿足的方程：222tEE222tHH同理，可得到磁場(chǎng)滿足的方程：同理，可得到磁場(chǎng)滿足的方程：1u在直角坐標(biāo)系中，上述方程可寫(xiě)為：在直角坐標(biāo)系中，上述方程可寫(xiě)為：2222222221tEuzEyExE2222222221tHuzHyHxH對(duì)真空，對(duì)真空， smcu/