Exp姜啟源數(shù)學建模珍藏實用教案

1、計算機會“算”嗎？靠得住嗎？例：把4開n次方，再平方n次，結果是4？存在(cnzi)誤差？英國著名(zhmng)(zhmng)數(shù)值分析學家 Higham (1998): Higham (1998): Can you count on computers?Can you count on computers?精確計算：解析(ji x)結果 (Analytical)近似計算：數(shù)值結果(Numerical)?422n=55左右：結果變成1計算功效=計算工具*計算方法(算法)浮點運算：舍入誤差第1頁/共42頁第一頁，共43頁。實驗3的基本(jbn)內(nèi)容3.3.數(shù)值積分的梯形(txng)(txng)公式

2、、辛普森公式和高斯公式。1.1.插值的基本原理； 三種插值方法(fngf)(fngf)：拉格朗日插 值，分段線性 插值，三次樣條插值。2.2.插值的 MATLAB 實現(xiàn)及插值的應用。4.4.數(shù)值積分的 MATLAB 實現(xiàn)及數(shù)值積分的應用。第2頁/共42頁第二頁，共43頁。什么是插值(Interpolation)？從查函數(shù)(hnsh)表說起查查 函函 數(shù)數(shù) 表表xtdtex2221)(x0121.0 0.8413 0.8438 0.84611.1 0.8643 0.8665 0.86861.2 0.8849 0.8869 0.8888標準(biozhn)正態(tài)分布函數(shù)表求 (1.114) (1.1

3、14)=0.8665 (0.8686 0.8665) 0.4=0.8673插值插值插值在圖像處理插值在圖像處理/數(shù)控加工數(shù)控加工/外觀設計等領域有重要外觀設計等領域有重要(zhngyo)應用應用第3頁/共42頁第三頁，共43頁。插值的基本原理插值的基本原理插值問題插值問題(wnt)(wnt)的提法的提法已知 n+1n+1個節(jié)點, 1 , 0(),(njyxjj其中jx互不相同，不妨設),10bxxxan求任一插值點)(*jxx 處的插值.*y0 x1xnx0y1y節(jié)點可視為由節(jié)點可視為由)(xgy 產(chǎn)生產(chǎn)生,g表達式復雜表達式復雜(fz),甚至無表甚至無表達式達式*x*y第4頁/共42頁第四頁

4、，共43頁。0 x1xnx0y1y求解求解(qi ji)插值問題的基本思插值問題的基本思路路構造一個( (相對簡單的) )函數(shù)),(xfy 通過全部節(jié)點, ,即), 1 ,0()(njyxfjj再用)(xf計算插值，即).(*xfy *x*y插值的插值的基本原理基本原理第5頁/共42頁第五頁，共43頁。1.1.拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)多項式插值1.0 1.0 插值多項式) 1 ()(0111axaxaxaxLnnnnnnnnnnnnnyyYaaAxxxxX001100,11在什么條件下）(0)det(X), 1 , 0()(njyxLjjn)2(YXA 求ia三種三種(

5、sn (sn zhn)zhn)插值插值方法方法有唯一解)2(第6頁/共42頁第六頁，共43頁。1.1 1.1 拉格朗日插值多項式nixxxxxxxxxxxxxxxxxlniiiiiiniii1 , 0,)()()()()()()(110110)3()()(0 xlyxLiniinjjnjiyxLjijixl)(,0, 1)(則若又（又（2 2）有唯一）有唯一(wi y)(wi y)解，故（解，故（3 3）與（）與（1 1）相同。相同。 基函數(shù)( )ilx) 1 ()(0111axaxaxaxLnnnnn) 2(YXA三種三種(sn (sn zhn)zhn)插值插值方法方法第7頁/共42頁第七頁

6、，共43頁。),(),()!1()()()()(0)1(baxxngxLxgxRnjjnnn1)1()(nnMg減?。ù致缘乜矗┤绾问拐`差)(xRn平緩gjxx 接近njjnnxxnMxR01)!1()(三種三種(sn (sn zhn)zhn)插插值方法值方法1.2 1.2 誤差估計增加n第8頁/共42頁第八頁，共43頁。1.3 1.3 拉格朗日插值多項式的振蕩(zhndng)(zhndng)?)(?)(xRxLnnn55,11)(2xxxg63. 363. 3),()(limxxgxLnnRunge現(xiàn)象現(xiàn)象(xinxing)取n=2,4,6,8,10,計算(j sun)Ln(x), 畫出圖形

7、-505-1.5-1-0.500.511.52y=1/(1+x2)n=2n=4n=6n=8n=10三種插值方三種插值方法法Runge.m第9頁/共42頁第九頁，共43頁。2.2.分段分段(fn dun)(fn dun)線性插值線性插值xjxj-1xj+1x0 xn其它,0,)()()(1111110jjjjjjjjjjjnjjjnxxxxxxxxxxxxxxxlxlyxI計算量與n n無關(wgun);(wgun);n n越大，誤差越小. .nnnxxxxgxI0),()(lim三種三種(sn (sn zhn)zhn)插值方插值方法法第10頁/共42頁第十頁，共43頁。機翼下輪廓線3. 3.

8、三次三次(sn c)(sn c)樣條插值樣條插值樣條函數(shù)樣條函數(shù)(hnsh)的由來的由來飛機、船體、汽車外形飛機、船體、汽車外形(wi xn)(wi xn)等的放樣等的放樣（設計）（設計）細木條：樣條細木條：樣條第11頁/共42頁第十一頁，共43頁。3. 3. 三次三次(sn c)(sn c)樣條插值樣條插值, 1,),()(1nixxxxsxSiii,)()3), 1 ,0()()2), 1()()10223niiiiiiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs數(shù)學數(shù)學(shxu)樣條（樣條（spline）iiiidcban,4 個待定系數(shù)3）) 1, 1()()()()(),()(11

9、1 nixsxsxsxsxsxsiiiiiiiiiiii3）2），3）共 4n-2個方程(fngchng)三種插值方法三種插值方法第12頁/共42頁第十二頁，共43頁。自然邊界條件）(0)()()40 nxSxS)(,)4)3)2xSdcbaiiii三次三次(sn c)(sn c)樣條插值確定樣條插值確定4n4n個系數(shù)需增加個系數(shù)需增加 2 2個條件個條件思考(sko)1）自然(zrn)邊界條件的幾何意義是什么？2）樣條插值為什么普遍用3次多項式，而不是2或4次？三次樣條插值三次樣條插值).()(limxgxSn第13頁/共42頁第十三頁，共43頁。三種插值方法三種插值方法(fngf)小結小結

10、 拉格朗日插值（高次多項式插值）：拉格朗日插值（高次多項式插值）：曲線曲線(qxin)光滑；誤差估計有表達式；收斂性不能保證。光滑；誤差估計有表達式；收斂性不能保證。用于理論分析，實際意義不大。用于理論分析，實際意義不大。 分段線性和三次樣條插值（低次多項式插值）：分段線性和三次樣條插值（低次多項式插值）：曲線不光滑（三次樣條插值已大有改進）；誤差估曲線不光滑（三次樣條插值已大有改進）；誤差估計較難（對三次樣條插值）；收斂性有保證計較難（對三次樣條插值）；收斂性有保證(bozhng)。簡單實用，應用廣泛。簡單實用，應用廣泛。 其他：其他：Hermite插值、分段三次插值、二維插值等插值、分段三

11、次插值、二維插值等根據(jù)需要，各取所需根據(jù)需要，各取所需。第14頁/共42頁第十四頁，共43頁。1. 1. 拉格朗日插值拉格朗日插值: :自編程序自編程序, ,如名為如名為 lagr.m lagr.m 的的M M文件，文件， 第一行為第一行為 function y=lagr(x0,y0,x) function y=lagr(x0,y0,x) 輸入輸入: :節(jié)點節(jié)點x0,y0, x0,y0, 插值點插值點x (x (均為數(shù)組，長度自定義均為數(shù)組，長度自定義) )）；）； 輸出輸出: :插值插值y (y (與與x x同長度數(shù)組同長度數(shù)組) )）。）。 應用應用(yngyng)(yngyng)時輸入時

12、輸入x0,y0,xx0,y0,x后后, ,運行運行 y=lagr(x0,y0,x) y=lagr(x0,y0,x)2. 2. 分段分段(fn dun)(fn dun)線性插值線性插值: :已有程序已有程序 y=interp1(x0,y0,x) y=interp1(x0,y0,x) y=interp1(x0,y0,x,linear) y=interp1(x0,y0,x,linear)3. 3. 三次三次(sn c)(sn c)樣條插值樣條插值: :已有程序已有程序 y=interp1(x0,y0,x,spline) y=interp1(x0,y0,x,spline) 或或 y=spline(x0

13、,y0,x) y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值計算注：注：MATLAB有樣條工具箱（Spline Toolbox）第15頁/共42頁第十五頁，共43頁。用MATLAB作插值計算(j sun)55,11)(2xxxg為例，作三種插值的比較為例，作三種插值的比較以以 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.8000 0.8434 0.7500 0.8205 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 1.5000 0.3077 0.2353 0.3500 0.2973 2.0000 0.2000 0.2000 0

14、.2000 0.2000 2.5000 0.1379 0.2538 0.1500 0.1401 3.0000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 3.5000 0.0755 -0.2262 0.0794 0.0745 4.0000 0.0588 0.0588 0.0588 0.0588 4.5000 0.0471 1.5787 0.0486 0.0484 5.0000 0.0385 0.0385 0.0385 0.0385 x y y1 y2 y3 用n=11個節(jié)點，m=21個插值點，三種(sn zhn)方法作插值，畫圖。chazhi1第16頁/共42頁第十六頁，共43頁。

15、插值的應用(yngyng)加工時需要加工時需要(xyo)x(xyo)x每改每改變變0.050.05時的時的y y值值chazhi2圖1 零件的輪廓線 （x間隔0.2）表1 x間隔0.2的加工(ji gng)坐標x,y（圖1右半部的數(shù)據(jù)）數(shù)控機床加工零件 0.0,5.00 0.2,4.710.4,4.310.6,3.680.8,3.051.0,2.50 1.2,2.051.4,1.691.6,1.401.8,1.182.0,1.00 2.2,0.862.4,0.742.6,0.64模型 將圖1逆時針方向轉90度，輪廓線上下對稱，只需對上半部計算一個函數(shù)在插值點的值。 圖2 逆時針方向轉90度的結

16、果-5-4-3-2-101234500.511.522.533.544.55uv令v=x, u= -y 第17頁/共42頁第十七頁，共43頁。為什么要作數(shù)值積分為什么要作數(shù)值積分 許多函數(shù)許多函數(shù)“積不出來積不出來”, ,只能用數(shù)值方法，如只能用數(shù)值方法，如dxxxdxebabaxsin,22 積分是重要積分是重要(zhngyo)的數(shù)學工具，是微分方程、概率的數(shù)學工具，是微分方程、概率論等的基礎；在實際問題中有直接應用。論等的基礎；在實際問題中有直接應用。 對于用離散數(shù)據(jù)或者圖形表示的函數(shù)，(可以先做插值然后(rnhu)積分；或者直接利用點做數(shù)值積分)計算計算(j sun)積分只有求助于數(shù)值方

17、法。積分只有求助于數(shù)值方法。數(shù)值積分第18頁/共42頁第十八頁，共43頁。nabfIIdxxfInkknnnba)(,lim)(1數(shù)數(shù) 值值 積積 分分 的的 基基 本本 思思 路路回回 憶憶 定定 積積 分分 的的 定定 義義各種數(shù)值積分方法各種數(shù)值積分方法(fngf)研究的是研究的是k),(ba如何取值，區(qū)間如何取值，區(qū)間如何劃分，如何劃分，使得既能保證一定精度使得既能保證一定精度(jn d)，計算量又小。，計算量又小。n n充分充分(chngfn)(chngfn)大時大時InIn就是就是I I的的數(shù)值積分數(shù)值積分（計算功效：算得準，算得快）（計算功效：算得準，算得快）第19頁/共42頁第

18、十九頁，共43頁。1.1.從矩形公式從矩形公式(gngsh)(gngsh)到梯形公式到梯形公式(gngsh)(gngsh)數(shù)值積分數(shù)值積分yy=f(x)xbao)1(10nkknfhL)(,10kknkxffnabhbxxxxa)2(1nkknfhRnnRL,平均，得到梯形公式) 3()(2011nnkknffhfhTxk+1xkxk-1fk第20頁/共42頁第二十頁，共43頁。2.2.辛普森辛普森(Simpson)(Simpson)公式公式(gngsh)(gngsh)（拋物線公式（拋物線公式(gngsh)(gngsh)） 梯形公式相當于用分段線性插值函數(shù)代替)(xf每段要用相鄰兩小區(qū)間(q

19、jin)端點的三個函數(shù)值拋物線公式提高提高(t go)精度精度分段二次插值函數(shù)2221212222(,),(,),(,)0,1, ,1kkkkkkxfxfxfkm數(shù)值積分數(shù)值積分yy=f(x)xbaox2kf2kx2k+1x2k+2f2k+1f2k+2區(qū)間數(shù)必須為偶數(shù)區(qū)間數(shù)必須為偶數(shù)mn2第21頁/共42頁第二十一頁，共43頁。) 4(2),24(3112101220mabhffffhSmkkmkkmm 對k k求和( (共m m段) )，得（復合(fh)(fh)）辛普森公式：)4(3)(22122222kkkxxkfffhdxxskk二次插值函數(shù)sk(x)構造用),(),(),(222212

20、1222kkkkkkfxfxfx2.2.辛普森辛普森(Simpson)(Simpson)公式公式(gngsh)(gngsh)（拋物線公式（拋物線公式(gngsh)(gngsh)）第22頁/共42頁第二十二頁，共43頁。bannnTdxxfTITfR)(),(梯形公式(gngsh)(gngsh)在每小段上是用線性插值函數(shù)T(x)T(x)代替 f(x) f(x)11()( )( )()(),(,)2kkkkkkff xT xxxxxxx x （拉格朗日插值余項）梯形公式梯形公式(gngsh)(gngsh)的誤差估計的誤差估計)(2011nnkknffhfhTbadxxf)()(12)(2)()()

21、(3111kxxkkkxxfhdxxxxxfdxxTxfkkkk 因為(yn wi)(yn wi)：(x-xk)(x-xk+1)(x-xk)(x-xk+1)在(xk,xk+1)(xk,xk+1)不變號，所以：第23頁/共42頁第二十三頁，共43頁。)5()(12|),(|22abMhTfRn梯形梯形(txng)(txng)公式公式TnTn的的誤差是誤差是h2h2階的階的),(, )(max2baxxfM 估計估計habn因為 103)(12|),(|nkknfhTfR 梯形梯形(txng)(txng)公公式的誤差式的誤差)( )( (121)(121 2afbfdxxfhTIban 103)(

22、12)(nkkbannfhTdxxfTI) 5()()(122afbfhTIn第24頁/共42頁第二十四頁，共43頁。同理可得：同理可得：) 6()(180| ),(|44abMhSfRn其中其中),(,)(max)4(4baxxfM辛普森公式辛普森公式(gngsh)Sn(gngsh)Sn的誤差是的誤差是h4h4階的。階的。辛普森公式的誤差辛普森公式的誤差(wch)(wch)估計估計第25頁/共42頁第二十五頁，共43頁。梯形(txng)公式和辛普森公式的收斂性若對若對I某個數(shù)值積分某個數(shù)值積分In有有chIIpnnlim（非零常數(shù)）（非零常數(shù)）則稱則稱 In是是 p 階收斂階收斂(shuli

23、n)的。的。梯形公式梯形公式 2 2 階收斂，辛普森公式階收斂，辛普森公式 4 4 階收斂。階收斂。c=0: 至少(zhsho)p階收斂（超p階收斂）第26頁/共42頁第二十六頁，共43頁。積分積分(jfn)(jfn)步長的步長的自動選取自動選取選定選定(xun dn)數(shù)值積分公式后，如何確定步長數(shù)值積分公式后，如何確定步長h以滿足給定的誤差以滿足給定的誤差)()(122afbfhTIn梯形公式)(412nnTITInnTT2用二分法只要用二分法只要其中其中fk+1/2是原分點是原分點xk,xk+1的中點的中點(zhn din)（記（記xk+1/2）的函數(shù)值）的函數(shù)值1021222nkknnf

24、hTT且且T T2n2n可在可在T Tn n基礎上計算基礎上計算)(3122nnnTTTInTI2)2(2nnhh第27頁/共42頁第二十七頁，共43頁。高斯高斯(o s)(Gauss)(o s)(Gauss)求積公式求積公式矩形矩形(jxng)公式公式(1)、(2)梯形梯形(txng)公式公式(3)辛普森公式辛普森公式(4)A Ak k是與是與f f無關的常數(shù)無關的常數(shù)代數(shù)代數(shù)精度精度設設,)(kxxf用用(7)計算計算,)(badxxfI若對于若對于mk,1 ,0都有都有, IIn而當而當, 1IImkn則則稱稱In的代數(shù)精度為的代數(shù)精度為m.)7()(1nkkknxfAINewton-C

25、otes方法第28頁/共42頁第二十八頁，共43頁。梯形公式梯形公式(gngsh)的代數(shù)精度（考察的代數(shù)精度（考察T1）k=1f(x)=x222abxdxIba2)()()(21baabbfafhT3332abdxxIba2)(221baabTk=2f(x)=x2IT1IT 1梯形公式梯形公式(gngsh)的代數(shù)精度為的代數(shù)精度為1辛普森公式辛普森公式(gngsh)的代數(shù)精度為的代數(shù)精度為3第29頁/共42頁第二十九頁，共43頁。高斯高斯(o s)公式的思路公式的思路取消對節(jié)點取消對節(jié)點(ji din)的限制，按照代數(shù)精度最大的限制，按照代數(shù)精度最大的原則，同時確定節(jié)點的原則，同時確定節(jié)點(j

26、i din)xk和系數(shù)和系數(shù)Ak構造(guzo)求積公式)()(22112xfAxfAG對于11)(dxxfI使G G2 2的代數(shù)精度為3 332, 1)(xxxxf)()()(221111xfAxfAdxxf確定2121,AAxx第30頁/共42頁第三十頁，共43頁。03/202322311222211221121xAxAxAxAxAxAAA將f(x)f(x)代入計算(j sun)(j sun)得1,3/1,3/12121AAxx)3/1 ()3/1(2ffG用用n個節(jié)點，個節(jié)點，Gn的代數(shù)精度的代數(shù)精度(jn d)可達可達2n-1, 但是需解但是需解復雜的非線性方程組，實用價值不大。復雜的

27、非線性方程組，實用價值不大。第31頁/共42頁第三十一頁，共43頁。常 用 的 高 斯 公 式將(a,b)(a,b)分小，把小區(qū)間(q jin)(q jin)變換為(-1(-1，1), 1), 再用G2G2mkkkbazfzfhdxxf1)2()1 ()()(2)(1)(2)11,222 32 3kkkkkkxxxxhhzz伸縮變換公式mkkhaxmabhk, 1, 0,/ )(代數(shù)(dish)精度為3節(jié)點加密時，原計算(j sun)信息無法利用第32頁/共42頁第三十二頁，共43頁。思路：將積分區(qū)間分小，在小區(qū)間上用思路：將積分區(qū)間分小，在小區(qū)間上用n不太不太 大大的的 。而在節(jié)點加密一倍時

28、能夠利用原節(jié)點的函。而在節(jié)點加密一倍時能夠利用原節(jié)點的函數(shù)值，可以把區(qū)間的端點數(shù)值，可以把區(qū)間的端點(dun din)作為固定節(jié)作為固定節(jié)點。點。改進(gijn)的高斯公式nG)()()(121bfAxfAafAGnnkkknGauss-Lobatto求積公式(gngsh) 其中a, b為小區(qū)間的端點，nnAAxx,112為2n-2個參數(shù)，代數(shù)精度可達到2n-3注意：實際計算中一般采用自適應方法確定步長第33頁/共42頁第三十三頁，共43頁。用用MATLAB 作數(shù)值積分作數(shù)值積分10nkknfhLnkknfhR1矩形(jxng)公式Sum(x)輸入(shr)數(shù)組x(即fk),輸出x的和(數(shù))c

29、umsum(x) 輸入數(shù)組x,輸出(shch)x的依次累加和(數(shù)組)梯形公式)(2011nnkknffhfhTTrapezoidal (梯形)trapz(x)輸入數(shù)組x,輸出按梯形公式x的積分(單位步長)trapz(x,y)輸入同長度數(shù)組 x,y,輸出按梯形公式y(tǒng)對x的積分(步長不一定相等)第34頁/共42頁第三十四頁，共43頁。用用MATLAB 作數(shù)值積分作數(shù)值積分mabhffffhSmkkmkkmn2),24(3112101220辛普森公式(gngsh)(quadrature: 求積) quad(fun,a,b,tol,trace)I,fn=quad()用自適應(shyng)辛普森公式計算

30、tol為絕對誤差，缺省時為10-6Gauss-Lobatto公式(gngsh)()()(121bfAxfAafAGnnkkknquadl(fun,a,b,tol,trace)I,fn=quadl()用自適應Gauss-Lobatto公式計算 tol為絕對誤差，缺省時為10-6注意：fun.m中應以自變量為矩陣的形式輸入(點運算)第35頁/共42頁第三十五頁，共43頁。矩形域上計算(j sun)二重積分的命令：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)廣義積分(jfn)、二重和三重積分(jfn)長方體上計算三重積分(jfn)的命令：triplequad(fun,xm

31、in,xmax,ymin,ymax, zmin,zmax,tol)注：fun是被積函數(shù)，本身可以有自己的參數(shù)廣義積分：通過分析和控制誤差，轉換成普通積分quadv(fun,a,b,tol,trace)向量值積分：第36頁/共42頁第三十六頁，共43頁。用用MATLAB 作數(shù)值積分作數(shù)值積分例. 計算4011s i nd xx1 1）矩形公式）矩形公式(gngsh)(gngsh)和梯形公式和梯形公式(gngsh)(gngsh)將(0, (0, /4)100 /4)100等分2 2）辛普森公式）辛普森公式(gngsh)(gngsh)和和Gauss-LobattoGauss-Lobatto公式公式(gngsh)(gngsh)精確(jngqu)、方便無法計算用數(shù)值給出的函數(shù)的積分Jifen1a.mJifen1a.mJifen1b.mJifen1b.m精確值為2第37頁/共42頁第三十七頁，共43頁。數(shù)值積分的應用數(shù)值積分的應用(yngyng)(yngyng)實例人造衛(wèi)星(rnzowixng)軌道長度)20(sin,costtbytax決定由短半軸長半軸rssba,21dttbtadtyxL202222202