講座4能量泄漏以及窗函數(shù)

1、頻率混淆（復習）在對連續(xù)信號進行離散采樣時，若采樣頻率選得不合適，則進行傅立葉變換可看出，計算所得的低頻分量中含有高頻成分。具體來說：若信號中的最高頻率為fc，而采樣時間間隔為t1/(2 fc)，將發(fā)生信號中高頻成分(f 1/(2 t) )被折迭到低頻成分(f 1/(2 t) )中去，這種現(xiàn)象為頻率混淆。 下面舉例說明，將很清晰。假設(shè)某連續(xù)信號中含有頻率為900、400、100Hz的諧波成分。先采樣時間間隔為0.002s，即采樣頻率為500Hz。我們把三種頻率成分分開單獨處理，以“”為采樣點，之后把采樣點構(gòu)成的諧波曲線進行連接?？梢钥闯?00Hz波形與采樣點正弦曲線吻合，而另外兩個頻率的曲線誤

2、差較大，而真正采樣后的曲線是三個虛線的疊加，于是高頻信號的采樣值就構(gòu)成虛假的低頻信號附加到原低頻的采樣值上，從而產(chǎn)生頻率混淆現(xiàn)象。 為避免混疊，就要將連續(xù)信號 的頻譜 進行截斷，設(shè)其截斷頻率為 。即使 )(tx)( fXcf， cff |所選截斷頻率應(yīng)是欲分析的最高頻率fmax。 當然其頻譜圖中頻率的最大值應(yīng)大于fc0)(fXcft21cft21即這樣進行采樣就無頻率混疊（淆），這就是所謂的采樣定理（Shannon定理）。即要達到頻率不混疊，只需采樣頻率大于等于2倍的最高頻率，也即只需一個周期中采兩個或兩個以上的點即可沒有頻率混疊，從而得到準確的頻譜。max2ffst采樣時間間隔；fs采樣頻率

3、(fs=1/ t)；N總的采樣點數(shù)；T總采樣時間，TN t；Fmax信號中的最高頻率。有以下關(guān)系因此基于采樣定理，有該式建立起了最短采樣時間、最大采樣間隔、采樣點數(shù)及分析頻率之間的關(guān)系。先有儀器，往往N固定為1024.max2ffstfs1Tf1max2fNT sfNtNTmax21ft 譜窗、泄漏以及平滑一、有限數(shù)據(jù)的傅立葉變換 在工程實際中，實際獲得的信號長度是有限的，該有限長度的信號可被認為是無限長信號乘以單位矩形函數(shù)獲得的：根據(jù)傅立葉變換的卷積定理（兩函數(shù)乘積的傅立葉變換等于其傅里葉變換的卷積）：)()()(txtbtxdfXBfXfBfX)()()()()(設(shè)某信號為一無限長余弦信號

4、，以此為例進行泄漏分析。其傅立葉變換為單位矩形函數(shù)矩形窗函數(shù)b(t)的表達式為 其傅立葉變換為tfAtx02cos)()()(2)(00ffffAfXtttb01)(fffB22sin2)(這樣我們?nèi)?，+ 內(nèi)的有限長余弦信號就相當于使用上述的矩形窗函數(shù)與無限長余弦函數(shù)相乘，于是該有限長余弦信號的傅里葉變換為：得到的圖形見右。dfXBfXfBfX)()()()()(可見，其頻譜不是兩條譜線了，而是發(fā)生了畸變，原來集中在f0處的能量被分散到較寬的頻帶上了，這種現(xiàn)象叫做泄漏。若僅僅從頻譜上分析信號的頻率組成，必然導致誤差。出現(xiàn)泄漏的原因出現(xiàn)泄漏的原因是，窗函數(shù)的頻譜是連續(xù)譜，且包含一個主瓣和無數(shù)旁

5、瓣，這樣進行卷積時導致主瓣的能量被轉(zhuǎn)移到旁瓣中去了。二、譜窗以及泄漏譜窗譜窗 從有限長度樣本得到的譜密度原始估計值 (區(qū)別于后述的經(jīng)平滑處理的估計值)用下式計算式中 相關(guān)函數(shù)的最大時移。上式是用有限區(qū)間的積分來估計由式所定義的真實譜密度?？梢园芽闯墒窃? ， 區(qū)間截斷的結(jié)果。這種截斷必然導致誤差的產(chǎn)生，是譜處理時必須考慮的一個問題。)(fSxd)()(2 fjxxeRfSmmmmmU()為矩形函數(shù)當然其傅立葉變換為根據(jù)傅氏變換的卷積定理，有 d)()(2 fjxxeRfSmmd)()()(2 fjxxeRufS可寫成mm|0|1)(當當u)0(2)0(22sin2)(fffffUmmmm)(2

6、)(2sin)(2)()()(f dfffffSf dffUfSfSmm-xm-xx)(2)(2sin)(2)(f dfffffSfSmm-xmx把矩形函數(shù)稱為窗函數(shù)，它在時域上的稱為矩形時移窗（時域窗）。在頻域上稱為矩形譜窗。時移窗和譜窗互為傅氏變換。 泄漏的概念泄漏的概念譜密度處理時，矩形窗函數(shù)的存在，使相對于產(chǎn)生畸變。例如，設(shè)正弦函數(shù) 的自相關(guān)函數(shù)為)2sin()(00tfAtx)2cos(2)(020fARx則功率譜密度函數(shù)為：即頻率是f0的正弦波的雙邊功率譜是在頻率處f0的兩個脈沖函數(shù)。如果以單邊功率譜表示，有)2cos(2)(020fARx)()(4)2cos(2)(0020202

7、0ffffAdefAfSfjx0)(2)(020fffAfGx再看經(jīng)過截斷后有限數(shù)據(jù)的功率譜密度函數(shù))(2)(2sin)(2)(2sin2)(2)(2sin)(2)()()(000020mmmmmmm-xm-xxffffffffAf dfffffSf dffUfSfS一般f0m1，因此)(2)(2sin2)(0020mmmxffffAfS相應(yīng)的單邊譜為)(2)(2sin)(0020mmmxffffAfGff0時有其最大值，為它們的圖形為可以看出原采集中于一個頻率的功率，由于副瓣的存在，能量被分散到一個較寬的頻率范圍上，這種功率分散的效應(yīng)稱為泄漏。泄漏效應(yīng)的產(chǎn)生，降低了譜估計的精度。mmmxff

8、ffAfG)(2)(2sin)(0020mxAfG20)( 上述特例可以推廣至任意類型的函數(shù)。圖是某一任意函數(shù)譜估計時泄漏效應(yīng)的影響示意圖。 由圖看到，原來比較光滑的功率譜密度函數(shù)曲線，經(jīng)用譜窗卷積之后，得到的是一條具有“皺波”的非光滑曲線。皺波或者偏離的形成，完全是因為譜窗函數(shù)在主瓣兩側(cè)出現(xiàn)正負相間的副瓣所致。因此為了減小統(tǒng)計誤差，必須抑制泄漏。同時可以看出，泄漏的程度取決于副瓣或者旁瓣的大小。三、抑制泄漏的措施 泄漏的程度取決于譜窗副瓣的大小。較小的副瓣，得到的曲線具有較小的皺波。因此，為了抑制泄漏，應(yīng)選擇副瓣較小的譜窗函數(shù)。工程上，提出了多種形式的譜窗，常用的有哈寧(Hanning)窗和

9、海明(Hamming)窗。1、哈寧窗 哈寧時移窗的函數(shù)式為 其譜窗為：mmmd|0|cos1 21)()21(41)21(41)(21)(mmfUfUfUfD)21(41)21(41)(21)(mmfUfUfUfD)0(2)0(22sin2)(fffffUmmmm從上式可看到，哈寧譜窗是由一個壓低1/2的矩形譜窗和兩個各左右位移1/(2m)、峰高為1/4的矩形譜窗譜窗迭加而成,見圖，圖中虛線是三個變異矩形譜窗。 分析可知，矩形譜窗的主瓣高為2m ，寬為1/m，第一副瓣的約為主瓣高的20；而D(f)譜窗的主瓣高為m，寬為2/m ，第一副瓣高約為主瓣高的2.4。哈寧窗副瓣有明顯的降低，達到了抑制泄

10、漏的目的。但是它的主瓣寬卻加大了一倍。即，減少泄漏是以展寬主瓣為代價。主瓣的展寬意味著帶寬擴展，從而使功率譜圖形的分辨能力降低。因此，功率譜處理時，往往需要在提高分辨力和減往往需要在提高分辨力和減少泄漏兩者之間作折衷考慮少泄漏兩者之間作折衷考慮。2. 海明窗海明時移窗的函數(shù)式為相應(yīng)的海明譜窗為可見Hanning、Hamming譜窗結(jié)構(gòu)一樣，只是系數(shù)作了調(diào)整，以進一步抑制泄漏，壓低副瓣高。其 ，但主瓣高約為1.08m，第一副瓣高接近于零。因此，減少泄漏的效果更好一些。mmmtw|0|cos46. 054. 0)()21(23. 0)21(23. 0)(54. 0)(mmfUfUfUfW)21(4

11、1)21(41)(21)(mmfUfUfUfD必須指出，盡管泄漏效應(yīng)使得功率譜密度函數(shù)不準確，但沒有使隨機過程的總功率有任何損失。例如前述的正弦函數(shù)：無泄漏時，功率為：有泄漏時，功率為：可見，隨機過程的功率并無損失。2d )(202AffSxx)()(4)(0020ffffAfSx2)(2)(2sin)(2)(2sin2)(200000202Af dffffffffAf dfSmmxx)(2)(2sin)(2)(2sin2)(000020mmmmmxffffffffAfS3、平滑處理 前述抑制泄漏的措施，是通過對原始數(shù)據(jù)選用適當?shù)拇昂瘮?shù)達到，反映在頻域上的效果是使功率譜密度函數(shù)的皺波減小。實際

12、上這一效果也可以從另一角度達到：用矩形時移窗得到功率譜密度函數(shù)，然后對其進行光滑，稱之為平滑處理。平滑的結(jié)果得到一條較為光滑的曲線，從而減少了譜處理的統(tǒng)計誤差。右圖是平滑處理示意圖，圖中實線是 ，虛線是 。平滑處理時，對于第k點的值 ，參考前后兩點，即第k1點和第k1點的值 、 ，以圓滑過渡為目標進行修正，稱修正后的估計值為平滑估計值，記為 ，以區(qū)別于未經(jīng)平滑的原始估計值。 平滑處理時， 用下式計算（設(shè)k的最小、大值為0、m）)(fGk)( fGk)(1fGk)(1fGk)(fGkkGkG1, 2 , 1412141)(21)(21211111mkGGGGGGGGkkkkkkkk利用矩形窗得到

13、的功率譜密度在k0、m處，取 上式是平滑處理中常用公式，但不是唯一的。 可以證明，利用上述的平滑處理抑制泄漏與與采用Hanning窗的效果完全相同。 數(shù)據(jù)處理時，是對原始數(shù)據(jù)進行抑制泄漏處理，還是在頻域上作平滑處理，可視數(shù)據(jù)處理的方便性進行決定。21211100mmmGGGGGG功率譜密度函數(shù)的計算1、信號傅里葉變換及余弦坡度窗函數(shù) 設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機過程x(t)的一個樣本，則式中：x(t)假想的平穩(wěn)隨機過程x(t)的一個無限長 樣本，在-T/2， T/2內(nèi)與x(t)相同； X(f)x(t)的傅立葉變換； u(t)矩形時移窗； U(f)u(t)的傅立葉變換。)()()()()()(2222f

14、UfXt detutxt detxfXftjftjTT實際處理中為抑制泄漏，采用Hanning/Hamming窗函數(shù)，這需要對信號的每一點進行改造，但若信號很長，則費時間。因而有時使用1/10余弦坡化數(shù)字窗代之：采用此窗只需對20的原始數(shù)據(jù)進行處理。TtTtTtTTttc21|104|0121|1045cos)(2、比例因子的概念及確定 在利用信號的傅里葉變換計算功率譜密度時，由于窗函數(shù)的引入，使得信號的形狀發(fā)生改變，矩形窗除外。如圖所示。這樣就導致加窗前后的信號總功率發(fā)生改變。因此若要保持原信號的總功率不變，必須對加窗后信號的計算結(jié)果進行修正乘以一個因子。 若原始數(shù)據(jù)的總功率為 信號乘以窗函數(shù)后的總功率為2222)(1TTxdttxT2222)()(1TTxdttVtxT這兩個值是不等的，要使兩者相等，引入?yún)?shù)K，于是：2222)(1TTxdttxT222222)()()(TTTTdttVtxKdttx2222)()(1TTxdttVtxTK值為比例因子，