初二三角形壓軸題分類(lèi)解析

1、濟(jì)南初中數(shù)學(xué)壓軸姜姜老師雙等邊三角形模型北師大版七年級(jí)下三角形綜合題歸類(lèi)1.(1)如圖7,點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連結(jié)AC和BD,相交于點(diǎn)E,連結(jié)BC.求/AEB的大小;(2)如圖8,AOAB固定不動(dòng)，保持AOCD的形狀和大小不變，將AOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)(AOAB和AOCD不能重疊)，求/AEB的大小.C,連接AF和BE.同類(lèi)變式：如圖a,ABC和4CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)將圖a中的4CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖b,(1)中的結(jié)論還成立嗎

2、？作出判斷并說(shuō)明理由;(3)若將圖a中的ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)變換后的圖形c(草圖即可)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？作出判斷不必'說(shuō)明理由.3.如圖9,若ABC和ADE為等邊三角形，M,N分別為EB,CD的中點(diǎn)，易證:CDBE,AMN是等邊三角形.(1)當(dāng)把ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時(shí)，CDBE是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時(shí)，AMN是否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)給出證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖9圖10圖11同類(lèi)變式：已知，如圖所示，在4ABC和4ADE中，ABAC,ADAE,BAC在一條直線上，連接BE,C

3、D,M,N分別為BE,CD的中點(diǎn).DAE,且點(diǎn)B,A,D(1)求證：BECD;AMAN.(2)在圖的基礎(chǔ)上，將ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180,接寫(xiě)出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立.Cb/AdA圖4.如圖，四邊形ABC/口四邊形AEF的為止方形，連接BG與DE相交(1)證明：ABG0AADE;(2)試猜想BHD勺度數(shù)，并說(shuō)明理由；將圖中止方形ABCD§點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°vBAE<180為S,4ADG勺面積為S2,判斷S與S2的大小關(guān)系，并給予證明.其他條件不變，得到圖所示的圖形.請(qǐng)直C,孤,"h'e二。，設(shè)ABE的面積B5.已知：如圖，4ABC是

4、等邊三角形，過(guò)AB邊上的點(diǎn)點(diǎn)E,使DEDB,連接AE,CD.(1)求證：AGEzXDAC；(2)過(guò)點(diǎn)E作EF/DC,交BC于點(diǎn)F,請(qǐng)你連接D作DG/BC,交AC于點(diǎn)G,在GD的延長(zhǎng)線上取AF,并判斷4AEF是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論.ABFC二、垂直模型(該模型在基礎(chǔ)題和綜合題中均為重點(diǎn)考察內(nèi)容)考點(diǎn)1:利用垂直證明角相等1.如圖，4ABC中，/ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線，過(guò)C作CF_交CF的延長(zhǎng)線于D.LAE,垂足為F,過(guò)B作BDLBC求證：(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的長(zhǎng).2 .(西安中考)如圖(1),已知ABC中,/BAC=90,A

5、B=AC,AE是過(guò)A的一條直線，且B、C在AE的異側(cè),BDLAE于D,CELAE于E。圖(1)圖(2)圖(3)(1)試說(shuō)明：BD=DE+CE.(2)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(2)位置時(shí)(BD<CE),其余條件不變，問(wèn)BD與DECE的關(guān)系如何？寫(xiě)結(jié)論，并說(shuō)明理由。(3)若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(3)位置時(shí)(BD>CE),其余條彳不變，問(wèn)BD與DECE的關(guān)系如何？寫(xiě)出結(jié)論，可不說(shuō)明理由。3 .直線CD經(jīng)過(guò)BCA的頂點(diǎn)C,CA=CBBF分別是直線CD上兩點(diǎn)，且BECCFA.(1)若直線CD經(jīng)過(guò)BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：如圖1,若BCA90：90，則EFBEA

6、F(填“”或“”號(hào))；與BCA應(yīng)滿足的關(guān)系是如圖2,若0'BCA180,若使中的結(jié)論仍然成立，則BCA，請(qǐng)?zhí)骄縀R與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給(2)如圖3,若直線CD經(jīng)過(guò)BCA的外部,予證明.考點(diǎn)2:利用角相等證明垂直1.已知BECF是ABC的高，且BP=ACCQ=AB試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系2 .如圖，在等腰R4ABC中，ZACE=90,D為BC的中點(diǎn)，DaAR垂足為E,過(guò)點(diǎn)B作BF/ACDE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF(1)求證：CD=BF(2)求證：AD±CF;連接AF,試判斷ACFm形狀.拓展鞏固：如圖9所示，ABC是等腰直角三角形，/ACB=90&#

7、176;,AD是BC邊上的中線，過(guò)C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,求證：/ADC=/BDE.圖93 .如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE,GC.(1)試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;(2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使E點(diǎn)落在BC邊上，如圖2,連接AE和GC.你認(rèn)為(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（Eli）4.如圖1,ABC的邊BC在直線上，ACBC,且ACBC,EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EFFP(1) 在圖1中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫(xiě)出AB與AP所滿足的

8、數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2) 將EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q,連接AP,BQ.猜想并寫(xiě)出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；(3)將EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連ZAP,BQ，你認(rèn)為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(2)三、等腰三角形（中考重難點(diǎn)之一）考點(diǎn)1:等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用1 .如圖，ABC中，ABAC,BAC90,口是BC中點(diǎn)，EDFD,ED與AB交于E,FD與AC交于F.求證：BEAF,AECF.2 .兩個(gè)全等的含30”,60角

9、的三角板ADE和三角板ABC,如圖所示放置，E,AC三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BD,取BD的中點(diǎn)M,連結(jié)ME,MC.試判斷EMC的形狀，并說(shuō)明理由.壓軸題拓展：（三線合一性質(zhì)的應(yīng)用）已知RtABC中，ACBC,C90,D為AB邊的中點(diǎn)，EDF90,EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F.當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時(shí)（如圖1）,易證SDEFSCEF-SABC.2EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至ijDE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，SDEF,SCEF,SABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.3 .已知：如圖

10、，ABC中，/ABC=45°,CD±AB于D,BE平分/ABC,且BEXAC于E,與CD相交于點(diǎn)F,H1是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)Go（1）BF=AC（2）CE=-2考點(diǎn)2:等腰直角三角形（45度的聯(lián)想）1.如圖1,四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不的平分線BF相交十點(diǎn)F.如圖14-1,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)：通過(guò)測(cè)量DE,EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N,猜想NE與請(qǐng)證明你的上述兩猜想.如圖142,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N,使得門(mén)彳

11、NE=BF,進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)時(shí)、量關(guān)系并證明A4點(diǎn)A,B重合），另一條直角邊與/CBM滿足的數(shù)量關(guān)系是;3F滿足的數(shù)量關(guān)系是;圖H14-22.在RtAABC中，AC=BC,ZACB=90°,（1）如圖1,E為線段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，DG,AC交AB于點(diǎn)G.F在線段DG上，且DE=DF連結(jié)EF與CF,過(guò)點(diǎn)F作FH，F(xiàn)C,交直線AB于點(diǎn)H.求證：DG=DC判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明.（2）若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn),占八、F在射線DG上，（1）中的其他條件不變，借助圖2畫(huà)出圖形。在你所畫(huà)圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在（1）中得出的結(jié)論是否

12、發(fā)生改變.（本小題直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）HGDE同類(lèi)變式：（期末考試原題哦）已知：ABC為等邊三角形,M是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且60o角的頂點(diǎn)E在BC上滑動(dòng)，（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、（1）如圖（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊得中點(diǎn)位置時(shí)C重合），斜邊與/ACM的平分線CF交于點(diǎn)F1）猜想AE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是(2連結(jié)點(diǎn)E與AB邊得中點(diǎn)N,猜想BE和CF滿足的數(shù)量關(guān)系是請(qǐng)證明你的上述猜想；(2)如圖(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊得任意位置時(shí)，AE和EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由？BECM圖（2）四、角平分線問(wèn)題1.如圖：E在線段CD上，EAEB分別平分/DAB和/CBA,/AEB=9

13、0,設(shè)AD=X,BC=y,且x,y滿足x2y26x8y250(1)求AD和BC的長(zhǎng)；(2)你認(rèn)為AD和BC還有什么關(guān)系？并驗(yàn)證你的結(jié)論;(3)你能求出AB的長(zhǎng)度嗎？若能，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由2.如圖，OP是/MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：(1)如圖，在ABC中，/ACB是直角，/B=60°,的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出OP所在直線為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;AD>CE分另1J是/BAG/BCA(2)如圖，在ABC中，如果/ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你3

14、.(北京市中考模擬題)如圖,在四邊形ABCD中，AC平分BAD,過(guò)C作CEAB于E,并且AE1一（AB2AD）,則ABCADC等于多少?4 .如圖，ABC中，A葉分/BACDGLBC且平分BC,DEIAB于E,DF±AC于F.(1)說(shuō)明BE=CF勺理由；(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的長(zhǎng).五、中點(diǎn)問(wèn)題1 .在4ABC中，D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線GF交AC于F,交AC的平行線BG于點(diǎn)GoDEGF,并交AB于點(diǎn)E.連結(jié)EG.(1)求證：BGCF;(2)請(qǐng)猜想BECF與EF的大小關(guān)系，并加以證明2 .如右下圖，在ABC中，若B2C,ADBC,E為BC邊的中點(diǎn).求證：AB2DE.3 .已知ABC中，ABAC,BD為AB的延長(zhǎng)線，且BDAB,CE為ABC的AB邊上的中線.求證CD2CE(提示：倍長(zhǎng)中線試試)附加思考題：以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90連接DE,M、N分別是BC