大學(xué)物理 振動與波動.

1、(ppt)振動與波動振動與波動 目錄目錄 第一章第一章 振動振動 第二章第二章 波動波動 第一章第一章 振振 動動 (Vibration)振動有各種不同的形式振動有各種不同的形式機械振動機械振動 電磁振動電磁振動 廣義振動：任一物理量廣義振動：任一物理量(如位移、電如位移、電 流等流等) 振動分類振動分類受迫振動受迫振動自由振動自由振動阻尼自由振動阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由非諧振動( (簡諧振動簡諧振動) )無阻尼自由無阻尼自由諧振動諧振動在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。 1 1 簡諧振動簡諧振動一一. 簡諧振動簡諧振動 表達式表達式

2、x(t)=Acos( t+ ) 特點特點 (1)等幅振動等幅振動 (2)周期振動周期振動 x(t)=x(t+T )( (運動學(xué)部分運動學(xué)部分) )二二. 描述描述簡諧振動簡諧振動的特征量的特征量 1. 振幅振幅 A2. 周期周期T 和頻率和頻率 v = 1/T (Hz)3. 相位相位(1) ( t + + )是是 t 時刻的相位時刻的相位 (2) 是是t =0時刻的相位時刻的相位 初相初相三三. 簡諧振動簡諧振動的描述方法的描述方法1. 解析法解析法由由 x=Acos( t+ )已知表達式已知表達式 A、T、 已知已知A、T、 表達式表達式2. 曲線法曲線法oxmx0 = 0oA-Atx =

3、/2T 已知曲線已知曲線 A、T、 已知已知 A、T、 曲線曲線3. 3. 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法 t+ oxxt = tt = 0 x = A cos( t + ) 四四. 相位差相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)對兩對兩同頻率同頻率的諧振動的諧振動 = 2- 1初相差初相差 同相和反相同相和反相當(dāng)當(dāng) = 2k , ( k =0,1,2,), 兩振動步調(diào)相同兩振動步調(diào)相同, ,稱稱同相同相AA當(dāng)當(dāng) = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 兩振動步調(diào)相反兩振動步調(diào)相反 , 稱稱反相反相 。x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相txoA1-A1A2- A2x1x2T

4、同相同相 超 前 和 落超 前 和 落后后若若 = 2- 10, 則則 x2比比x1較早達到正最大較早達到正最大, 稱稱x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。領(lǐng)先、落后以領(lǐng)先、落后以 0 0 0a 0 0 0減速減速加速加速減速減速加速加速 AA-A- A- 2A a2. 加速度加速度)cos(222 tAtdxda)cos()(aatAta 也是簡諧振動也是簡諧振動 簡諧振動簡諧振動( (動力學(xué)部分動力學(xué)部分) )一一. . 簡諧振動的動力學(xué)方程簡諧振動的動力學(xué)方程1. 受力特點受力特點: : 線性恢復(fù)力線性恢復(fù)力 (F= -kx)2. 動力學(xué)方程動力學(xué)方程 (以水平彈簧振子為

5、例以水平彈簧振子為例)3. 固有固有( (圓圓) )頻率頻率彈簧振子彈簧振子:mk 有有及及由由kxFtdxdmmaF 220222 xtdxd 固有頻率決定于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)固有頻率決定于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì)lg 單單 擺擺 :4. 由初始條件求振幅和相位由初始條件求振幅和相位 22020 xA)(tg001x 二二. .簡諧振動的能量簡諧振動的能量(以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例)1.1.簡諧振動系統(tǒng)的能量特點簡諧振動系統(tǒng)的能量特點(1) 動能動能221 mEk )(sin2122 tkA0,21min2max kkEkAE2411kAdtETETttkk (2) 勢能勢能221kxEp )(c

6、os2122 tkA情況同動能。情況同動能。pppEEE,minmax(3) 機械能機械能221kAEEEpk 簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒xtTEEpEk(1/2)kA22. 由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 三三. .簡諧振動的動力學(xué)解法簡諧振動的動力學(xué)解法1.1.由分析受力出發(fā)由分析受力出發(fā)(由牛頓定律列方程由牛頓定律列方程)2. 由分析能量出發(fā)由分析能量出發(fā)(將將能量能量守恒式對守恒式對t求導(dǎo)求導(dǎo))okpEE 3 阻尼振動（自學(xué)）阻尼振動（自學(xué)）一一. 阻尼阻尼二二. 阻尼振動的特點阻尼振動的特點四四. 過阻尼、欠阻尼和臨界阻尼過阻尼、欠阻尼和臨界阻尼三

7、三. 阻尼振動的振動方程、表達式和振動曲線阻尼振動的振動方程、表達式和振動曲線 4 受迫振動與共振受迫振動與共振一一. 受迫振動受迫振動 在外來策動力作用下的振動在外來策動力作用下的振動1. 系統(tǒng)受力系統(tǒng)受力 彈性力彈性力 -kx2. 振動方程振動方程阻尼力阻尼力 tddx 周期性策動力周期性策動力 f =F0cos tftddxkxtdxdm 22thxtddxtdxd cos22022 其中其中mFhmmk00,2, 3. 穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解 x=Acos( t+ )4. 特點特點穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動簡諧振動的規(guī)律變化的規(guī)律變化(1)頻率頻率: 等于策動力的頻率等于策動力

8、的頻率 (2)振幅振幅:2/12222204)( hA(3)初相初相:2202tg 二二. .共振共振在一定條件下在一定條件下, 振幅出現(xiàn)振幅出現(xiàn) 極大值極大值, 振動振動劇烈的現(xiàn)象。劇烈的現(xiàn)象。(1)共振頻率共振頻率 :2202 r(2)共振振幅共振振幅 :2202 hAr若若 則則 r 0 Ar h/(2 ) 稱尖銳共振稱尖銳共振1. 位移共振位移共振 2.速度共振速度共振一定條件下一定條件下, 速度幅速度幅 A極大的現(xiàn)象。極大的現(xiàn)象。 r= 0 m r=h/2 v r=0速度共振時，速度與策動力同相，一周期內(nèi)策速度共振時，速度與策動力同相，一周期內(nèi)策動力總作正功，此時向系統(tǒng)輸入的動力總作

9、正功，此時向系統(tǒng)輸入的能量最大。能量最大。 5 簡諧振動的合成簡諧振動的合成一一. 同方向同頻率的簡諧振動的合成同方向同頻率的簡諧振動的合成1.分振動分振動 :x1=A1cos( t+ 1)x2=A2cos( t+ 2) 2.合振動合振動 : x = x1+ x2 x =A cos( t+ )合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動, 其頻率仍為其頻率仍為 )cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA 3.兩種特殊情況兩種特殊情況 (1)若兩分振動同相若兩分振動同相 2 1= 2k (k=0,1,2,) (2)若兩分振動反相若兩分振動反相 2 1= (

10、2k+1) (k=0,1,2,)如如 A1=A2 , 則則 A=0則則A=A1+A2 , 兩分振動相互加強兩分振動相互加強則則A=|A1-A2|, 兩分振動相互減弱兩分振動相互減弱二二. 同方向不同頻率的簡諧振動的合成同方向不同頻率的簡諧振動的合成1. 分振動分振動 x1=Acos 1 t x2=Acos 2t 2. 合振動合振動ttAx)2cos()2cos(21212 合振動不是簡諧振動合振動不是簡諧振動當(dāng)當(dāng) 2 1時時 2- 1 2+ 1其其中中tAtA)2cos(2)(12 )2cos(cos12tt 隨緩變隨緩變隨快變隨快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動合振動可看作振幅緩變的簡諧振動

11、x = x1+ x2ttAx cos)( 3. 拍拍拍頻拍頻 : 單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù) =| 2- 1| xtx2tx1t合振動忽強忽弱的現(xiàn)象合振動忽強忽弱的現(xiàn)象三三. .垂直方向同頻率簡諧振動的合成垂直方向同頻率簡諧振動的合成1.1.分振動分振動x=A1cos( t+ 1)y=A2cos( t+ 2)2. 合運動合運動)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx(1) 合運動一般是在合運動一般是在 2A1 ( x向向 )、2A2 ( y向向 ) 范圍內(nèi)的一個橢圓范圍內(nèi)的一個橢圓 (2) 橢圓的性質(zhì)橢圓的性質(zhì) (方位、長短軸、左右旋方位、長短軸

12、、左右旋 ) 在在 A1 、A2確定之后確定之后, 主要決定于主要決定于 = 2- 1 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .四四. .垂直方向不同頻率簡諧振動的合成垂直方向不同頻率簡諧振動的合成 兩分振動頻率相差很小兩分振動頻率相差很小 = ( 2- 1) t + ( 2- 1)可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 2- 1隨隨緩慢變化緩慢變化 合運動軌跡將按上頁圖合運動軌跡將按上頁圖依次緩慢變化依次緩慢變化 軌跡稱為李薩如圖形軌跡稱為李薩如圖形 x y=3 2 2=0, 1= /4yxA1A2o-A2- A1 兩振動的頻率成兩振動的頻

13、率成整數(shù)比整數(shù)比6 諧振分析諧振分析一一. 一個周期性振動可分解為一系列一個周期性振動可分解為一系列 頻率分立的簡諧振動頻率分立的簡諧振動若周期振動的頻率為若周期振動的頻率為 : 0則各分振動的頻率為則各分振動的頻率為: 0, 2 0, 3 0, (基頻基頻 , 二次諧頻二次諧頻 , 三次諧頻三次諧頻 , ) xot鋸齒波鋸齒波A 03 05 0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x00tx0二二. .一個非周期性振動可分解為無限一個非周期性振動可分解為無限xot阻尼振動曲線阻尼振動曲線阻尼振動頻譜圖阻尼振動頻譜圖o A ( (

14、 第一章結(jié)束第一章結(jié)束 ) )本章編者：本章編者： 李桂琴李桂琴 鄧新元鄧新元多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動 振動在空間的傳播過程叫做波動常見的波有: 機械波 , 電磁波 , 第二章 波動 (Wave) 1 機械波的產(chǎn)生和傳播一. 機械波的產(chǎn)生1. 產(chǎn)生條件: 波源 媒質(zhì)2. 彈性波: 機械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播 橫波 縱波3. 簡諧波: 波源作簡諧振動, 在波傳到的區(qū)域, 媒質(zhì)中的質(zhì)元均作簡諧振動 。t = 00481620 12 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T 結(jié)論：(1) 質(zhì)元并未“隨波逐流” 波的傳播不是媒 質(zhì)質(zhì)元的傳播(2) “上游

15、”的質(zhì)元依次帶動“下游”的質(zhì)元振動(3) 某時刻某質(zhì)元的振動狀態(tài)將在較晚時刻 于“下游”某處出現(xiàn)-波是振動狀態(tài)的傳播 (4) 同相點-質(zhì)元的振動狀態(tài)相同波長相位差2相鄰二. 波是相位的傳播沿波的傳播方向,各質(zhì)元的相位依次落后。 ab xxu傳播方向圖中b點比a點的相位落后x 2三. 波形曲線(波形圖)oxut 不同時刻對應(yīng)有不同的波形曲線 波形曲線能反映橫波、縱波的位移情況四. 波的特征量1.波長 : 兩相鄰?fù)帱c間的距離2. 波的頻率 : 媒質(zhì)質(zhì)點(元)的振動頻率 即單位時間傳過媒質(zhì)中某點的波的個數(shù) 3. 波速u : 單位時間波所傳過的距離 Tu 波速又稱相速度(相位傳播速度)2 一維簡諧波

16、的表達式一. 一維簡諧波的表達式(波函數(shù))討論: 沿+方向傳播的一維簡諧波(u , )假設(shè): 媒質(zhì)無吸收(質(zhì)元振幅均為A) xdxo任一點參考點波速已知: 參考點a 的振動表達式為 a(t)=Acos( ta)振動表達式p: A, 均與a 點的相同, 但相位落后 一維簡諧波的波的表達式)(2dx )(2cos),(dxtAtxa 選: 原點為參考點 初相 a為零 則)2cos(),(xtAtx 或)cos(),(kxtAtx uk 2稱作角波數(shù)二. 一維簡諧波表達式的物理意義由(x,t) cos( t-kx)從幾方面討論1. 固定 x, (x= x0)2. 固定 t, (t = t0 )cos

17、(),(00kxtAtx )cos(),(00kxtAtx 3. 如 看定某一相位 , 即令 ( t-kx)=常數(shù)相速度為ukdtdx 4. 表達式也反映了波是振動狀態(tài)的傳播(x+ x, t+ t) = (x,t) 其中 x=u t5. 表達式還反映了波的時間、空間雙重周期性 T 時間周期性 空間周期性kTu 三. 平面波和球面波1. 波的幾何描述波線波面波前(波陣面)平面波球面波球面波平面波波線 波面2. 平面簡諧波的表達式沿+x 向傳播 3. 球面簡諧波的表達式 點波源 各向同性介質(zhì))cos(),(kxtAtx )cos(),(1krtrAtr 四. 簡諧波的復(fù)數(shù)表示 復(fù)振幅1. 簡諧波的

18、復(fù)數(shù)表示沿+x方向傳播的平面簡諧波)Re()cos(),()(kxtiAekxtAtx 簡諧波的復(fù)數(shù)表示式2.復(fù)振幅波場中各點諧振動的頻率相同,它們有相同的時間因子。因此,相位主要由空間因子決定。U(x)=A e ikx振幅的平方( 代表波的強度 )A2= U(x)U*(x) tiikxkxtieAeAetx )(),(3 波動方程和波速一. 平面波波動方程22222uxt 一維簡諧波的表達式就是此波動方程的解為波速 具體問題(1) 彈性繩上的橫波 Tu T-繩的初始張力, -繩的線密度0llYSFY-楊氏彈性模量 -體密度 Yu (2) 固體棒中的縱波(3) 固體中的橫波 Gu G - 切變

19、模量G Y, 固體中 橫波縱波F切切變l0l0 + l FF長變*震中(4) 流體中的聲波0 ku k-體積模量, 0-無聲波時的流體密度 = Cp/Cv , 摩爾質(zhì)量 RTu 容變ppppV0+ V0VVkp 理想氣體:二. 固體棒中縱波的波動方程1. 某截面處的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系oxx + xxx自由狀態(tài)t 時刻(x,t)(x+x, t)x截面x+x截面x段的平均應(yīng)變:(x+ x,t) - (x,t) / xx處截面 t 時刻 : 應(yīng)變?yōu)?/x 應(yīng)力為 F(x,t)/S 應(yīng)力 、應(yīng)變關(guān)系xYSF 2. 波動方程x x ox1x 2x(x,t)F1F2x1截面x2截面截面S,)(1222FFtx

20、S xSFSFt 1222 將應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系代入xxxYt 1222)/()/( x02222xYt 4 波的能量一. 彈性波的能量 能量密度 振動動能 形變勢能 += 波的能量1 彈性波的能量密度(以細長棒為例)動能222121 txSmVWk 動能密度221 txSWwkk 勢能密度llSFSllFwp 2121棒中有縱波時221 xYwp 能量密度222121 xYtwwwpk 能能2 平面簡諧波的能量密度(x,t)=Acos( t-kx) 能量密度)(sin21222kxtAwk )(sin21222kxtAwp )(sin222kxtAwwwpk 能能2221Aw 能能wk、w p均

21、隨 t 周期性變化(1) 固定x 物理意義 w k = w p (2) 固定twk、w p隨x周期分布=0w k w p最大 最大 wk w p為 0oxwkwpt = t0u(1/4) 2A2oTtwkwpx = x0(1/4) 2A2二. 能流(能通量)、波的強度1. 能流(能通量)uSux能流 :w 能uS能流密度 : w能u平面簡諧波w 能u=u 2A2sin2( t-kx)2. 波的強度能流密度的時間平均值平面簡諧波2221AuuwI 能能2221AZI 特性阻抗: Z = u 四.聲強級1. 正常人聽聲范圍20 20000 Hz. I下 I Z2, 或Z2 Z1 則 R1 , T0

22、 如Z1 Z2, 則R 0 (無反射) T 1221221212111)()(ZZZZAAIIR 反射系數(shù)4. 反射系數(shù)與透射系數(shù)(2) 若Z1 Z2 則 A1和 A1同號1. 反射波(二)相位關(guān)系 空氣-水 T=0.1 空氣-鋼 T=0.004 % 水 -鋼 T=12 %3. 形象說明媒質(zhì)2 (Z2大, Z2 = 2Z1)A1A1A2入射波反射波透射波媒質(zhì)1 (Z1小)界面A1 = -(1/3)A1, R = 1/9A2 = (2/3)A1 T = 8/9入射波反射波透射波媒質(zhì)1 (Z1大,Z1= 2Z2)媒質(zhì)2 (Z2小)界面A1A1A2A1 = (1/3)A1, R = 1/9A2 =

23、(4/3)A1 T = 8/96 多普勒效應(yīng) 當(dāng)波源S和接收器R有相對運動時, 接收器所測得的頻率 R不等于波源振動頻率 S的現(xiàn)象一. 機械波的多普勒效應(yīng) 參考系 : 媒質(zhì) 符號規(guī)定 : S和R相互靠近時Vs , VR 為正RVRSVs S:波源振動頻率 , :波的頻率 , R:接收頻率1. 波源和接收器都靜止 (VS=0,VR=0) R = = S = S, 但 R 2. 波源靜止,接收器運動 (VS =0,設(shè) VR0) uVuuVuVuvRRRR /SRRuVuv 3. 接收器靜止,波源運動 (VR=0,設(shè)VS0) R = , 但 S實vSS R實0SvSuTSvSTSS運動的前方波長縮短

24、SvS = 0RvRu 實 = uTS VSTSSSSSSVuuTVuTuu 實實SSRVuu 4. 接收器、波源都運動(設(shè) VS 、VR均0)S RSSRRVuVu 若S和R的運動不在二者連線上 RSSRVSVRSSSRRRVuVu coscos 有縱向多普勒效應(yīng)無橫向多普勒效應(yīng) 若波源速度超過波速(VSu)sVu sin 超音速飛機會在空氣 中激起沖擊波飛行速度與聲速的比值VS/u(稱馬赫數(shù))決定 角 切侖柯夫輻射SuvS沖擊波帶SRcVcV cos1122 R SR參照系VV : 、相對速度的絕對值1. 縱向效應(yīng)二. 光波的多普勒效應(yīng)SRVcVc 22 2. 橫向效應(yīng)SRcVc 22 橫

25、向效應(yīng)頻移(=R-S) 縱向效應(yīng)的頻移三. 多普勒效應(yīng)的應(yīng)用7 波的疊加 一. 波傳播的獨立性媒質(zhì)中同時有幾列波時 , 每列波都將保持自己原有的特性(傳播方向、振動方向、頻率等), 不受其它波的影響 。 二. 波的疊加原理1. 疊加原理:在幾列波相遇而互相交疊的區(qū)域中，某點的振動是各列波單獨傳播 時在該點引起的振動的合成。 波的強度過大非線性波 2. 波動方程的線性決定了波服從疊加原理電磁波疊加原理不成立 光波在媒質(zhì)中傳播時弱光 媒質(zhì)可看作線性媒質(zhì)強光 媒質(zhì)非線性,波的疊加原理不成立 麥克斯韋方程組的四個方程都是線性的 , 如果 也是線性關(guān)系 - 解滿足疊加原理。HBED 和和8 波的干涉一.

26、 干涉現(xiàn)象和相干條件1. 干涉現(xiàn)象 波疊加時在空間出現(xiàn)穩(wěn)定的振動加強和減弱的分布2. 相干條件(1) 頻率相同(2) 有恒定的相位差 (3) 振動方向相同 S2S1r1r2 p S1 10 = A10cos( t+ 10) S2 20 = A20cos( t+ 20) p點兩分振動 1 = A1cos( t+ 10-kr1) 2 = A2cos( t+ 20-kr2)二. 波場的強度分布1 波場中任一點的合振動設(shè)振動方向屏面相位差: = ( 20- 10) - k(r2-r1) 2 k強度合振幅 A = (A12+A22 +2A1A2cos )1/22 加強、減弱條件 加強條件 ( 相長干涉 ) = ( 20- 10) - k(r2-r1) = 2m(m=0,1,2,) p點合振動)cos(21 tA cos22121IIIII2121max2IIIII 若 A1 = A2 ,則 Imax = 4 I1 減弱條件 = ( 20- 10) - k(r2-r1) = (2m+1)(m=0,1,2,) 若 A1=A2 ,則 Imin= 02121min2IIIII 特例： 20= 10 加強條件 減弱條件 (相