第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用

1、第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用 一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 三、二元函數(shù)的全微分求積 四、小結(jié) 練習題一、格林公式 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域為平面區(qū)域, , 如果如果D內(nèi)任一閉曲線所內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于圍成的部分都屬于D, , 則稱則稱D為平面單連通區(qū)為平面單連通區(qū)域域, , 否則稱為復連通區(qū)域否則稱為復連通區(qū)域. .復連通區(qū)域復連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD1 1、區(qū)域連通性的分類、區(qū)域連通性的分類 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍圍成成, ,函數(shù)函數(shù)),(),(yxQyxP及及在在D上具有一階連上具有一階連續(xù)偏導數(shù)續(xù)偏導數(shù), , 則有則有 LDQd

2、yPdxdxdyyPxQ)( (1) (1)其中其中L是是D的取正向的邊界曲線的取正向的邊界曲線, ,公式公式(1)(1)叫做叫做格林公式格林公式. .定理定理1 12 2、格林公式、格林公式連成連成與與由由21LLL組成組成與與由由21LLL邊界曲線邊界曲線L L的正向的正向: 當觀察者沿邊界行走時當觀察者沿邊界行走時,區(qū)區(qū)域域D總在他的左邊總在他的左邊.2LD1L2L1LD),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明(1)(1)若區(qū)域若區(qū)域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐標軸的直線和坐標軸的直線和L至至多交于兩點多交于兩點.),()(),(21dycyxyyxD

3、yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 若若區(qū)區(qū)域域D由由按按段段光光滑滑的的閉閉曲曲線線圍圍成成. .如如圖圖, ,證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(將將D分成三個既是分成三個既是 X型又是型又是

4、 Y型的區(qū)域型的區(qū)域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx),(32, 1來說為正方向來說為正方向?qū)LLLL1L2L3LD1D2D3DGD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3) 若區(qū)域不止由一條閉曲若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成線所圍成. .添加直線段添加直線段ABAB, ,CECE. .則則D的邊界曲線由的邊界曲線由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECE

5、C及及CGACGA構(gòu)成構(gòu)成. .由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1來說為正方向來說為正方向?qū)LLL便便于于記記憶憶形形式式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的實實質(zhì)質(zhì): : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系.xyoL例例 1 1 計算計算 ABxdy,其中曲其中曲線線AB是半徑為是半徑為r的圓在的圓在第一象限部分第一象限部分.解解 引引入入輔輔助助曲曲線線L,(1). (1). 簡化曲線積分簡化曲線積

6、分ABDBOABOAL 應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有3 3、簡單應(yīng)用、簡單應(yīng)用 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 例例 2 2 計計算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO為為頂頂點點的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域.解解 令令2, 0yxeQP ,(2). (2). 簡化二重積分簡化二重積分xyoAB11D則則 2yeyPxQ ,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxex

7、OAy).1(211 e例例3 3 計算計算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L為一條無重點為一條無重點, ,分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線, ,L的方的方向為逆時針方向向為逆時針方向. .則則當當022 yx時時, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.記記L所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域為為D,解解令令2222,yxxQyxyP ,L( (1 1) ) 當當D )0, 0(時時, ,(2) 當當D )0 , 0(時時,1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D內(nèi)內(nèi)圓圓周周 222:ryxl ,記記1D由由L和和

8、l所所圍圍成成,應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式,得得yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l(wèi)的的 方方 向向取取逆逆時時針針方方向向).2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20格林公式格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA（3 3）計算平面面積）計算平面面積曲線曲線AMO由函數(shù)由函數(shù), 0,

9、axxaxy 表示表示,例例 4 4 計計算算拋拋物物線線)0()(2 aaxyx與與x軸軸所所圍圍成成的的面面積積. .解解ONA為為直直線線0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANMGyxo 1LQdyPdx則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān), ,二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). . 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G是一

10、個單連通域是一個單連通域, , 函數(shù)函數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù), ,則曲線積分則曲線積分 LQdyPdx在在G內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān) （或沿（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充要條件是要條件是xQyP 在在G內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. . 定理定理2 2(1) 開開區(qū)區(qū)域域G是是一一個個單單連連通通域域.(2) 函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù).兩條件缺一不可兩條件缺一不可有關(guān)定理的說明：有關(guān)定理的說明：三、二元函數(shù)的全微分求積三、二元函數(shù)的全微分求積 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G

11、是一個單連通域是一個單連通域, , 函數(shù)函數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)數(shù), , 則則dyyxQdxyxP),(),( 在在G內(nèi)為某一內(nèi)為某一函數(shù)函數(shù)),(yxu的全微分的充要條件是等式的全微分的充要條件是等式xQyP 在在G內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. .定理定理3 3xQyP 若若 ),(),(1100yxByxAQdyPdx則則dyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC ),(11yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或例例 5 5 計計算算 Ldyyxdxxyx)()2(422.

12、 其其中中 L 為為由由點點)0, 0(O到到點點)1, 1(B的的曲曲線線弧弧2sinxy . xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原積分與路徑無關(guān)原積分與路徑無關(guān).1523 101042)1(dyydxx 故原式故原式例例 6 6 設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分 Ldyxydxxy)(2與路徑無與路徑無關(guān)關(guān), 其中其中 具有連續(xù)的導數(shù)具有連續(xù)的導數(shù), 且且0)0( , 計算計算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy. 積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ

13、由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 四、小結(jié)1.1.連通區(qū)域的概念連通區(qū)域的概念; ;2.2.二重積分與曲線積分的關(guān)系二重積分與曲線積分的關(guān)系3. 3. 格林公式的應(yīng)用格林公式的應(yīng)用. .格林公式格林公式; ; LDQdyPdxdxdyyPxQ)(與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導導數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與與路路徑

14、徑無無關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)內(nèi)存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價價命命題題 若區(qū)域若區(qū)域 如圖為如圖為復連通域，試描述格復連通域，試描述格林公式中曲線積分中林公式中曲線積分中L的方向。的方向。 LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考題思考題思考題解答思考題解答由兩部分組成由兩部分組成L外外邊界：邊界：內(nèi)內(nèi)邊界：邊界：BCDABEGFEoxyABCDEFG一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)閉區(qū)域設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成圍成, , 函數(shù)函數(shù)),(,),(y

15、xQyxP及在及在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)上具有一階連續(xù)偏導數(shù), ,則則有有 DdxdyyPxQ)(_；2 2、 設(shè)設(shè)D為 平 面 上 的 一 個 單 連 通 域為 平 面 上 的 一 個 單 連 通 域 , , 函 數(shù)函 數(shù)),(,),(yxQyxP在在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù), ,則則 LQdyPdx在在D內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是內(nèi)與路徑無關(guān)的充要條件是_在在D內(nèi)處處成立；內(nèi)處處成立；3 3、 設(shè)設(shè)D為由分段光滑的曲線為由分段光滑的曲線L所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,其面其面積為積為 5,5,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一階連續(xù)偏上有一階連續(xù)偏導數(shù)導數(shù), ,且

16、且1 xQ, ,1 yP, ,則則 LQdyPdx_. .練練 習習 題題二、二、計算計算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由拋物線是由拋物線2xy 和和xy 2所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線, ,并并驗證格林公式的正確性驗證格林公式的正確性 . . 三、三、利用曲線積分利用曲線積分, ,求星形線求星形線taytax33sin,cos 所所圍成的圖形的面積圍成的圖形的面積 . . 四、證明曲線積分四、證明曲線積分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整個在整個xoy面面 內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān), ,并計算積分值并計算積分值

17、. . 五、利用格林公式五、利用格林公式, ,計算下列曲線積分計算下列曲線積分: : 1 1、 Ldyyxdxyx)sin()(22其中其中L是在圓周是在圓周 22xxy 上由點上由點(0,0)(0,0)到點到點(1,1)(1,1)的一段??；的一段??； 2 2、求曲線積分、求曲線積分 AMBdyyxdxyxI221)()(和和 ANBdyyxdxyxI222)()(的差的差. .其中其中AMB是過原點和是過原點和)1,1(A, ,)6,2(B且其對稱軸垂直于且其對稱軸垂直于x軸的拋物線上的弧段軸的拋物線上的弧段, , AMB是連接是連接BA ,的線段的線段 . .六、計算六、計算 Lyxydx

18、xdy22, ,其中其中L為不經(jīng)過原點的光滑閉曲為不經(jīng)過原點的光滑閉曲 線線 .( .(取逆時針方向取逆時針方向) )七、驗證七、驗證yxxdxxyyx23228()83( dyyey)12 在整在整個個xoy平面內(nèi)是某一函數(shù)平面內(nèi)是某一函數(shù)),(yxu的全微分的全微分, ,并求這并求這樣一個樣一個),(yxu. .八、試確定八、試確定 , ,使得使得dyryxdxryx 22 是某個函數(shù)是某個函數(shù)),(yxu的全微分的全微分, ,其中其中22yxr , ,并求并求),(yxu. .九、設(shè)在半平面九、設(shè)在半平面0 x內(nèi)有力內(nèi)有力)(3jyixrkF 構(gòu)成力構(gòu)成力場場, ,其中其中k為常數(shù)為常數(shù), , 22yxr . .證明在此力場中證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān)場力所作的功與所取的路徑無關(guān) . .練習題答案練習題答案一、一、1 1、 LdyQPdx； 2 2