第十二章 彎曲變形2-2

1、1BEIJING FORESTRY UNIVERSITY第十二章第十二章 彎曲變形彎曲變形 (2)2BEIJING FORESTRY UNIVERSITY主要內(nèi)容主要內(nèi)容 計(jì)算梁位移的疊加法計(jì)算梁位移的疊加法 簡單靜不定梁簡單靜不定梁 梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)3BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 疊加原理成立的前提疊加原理成立的前提:M(x)為載荷為載荷(P, q, Me)的線性齊次函數(shù)的線性齊次函數(shù)2、梁的變形很小；、梁的變形很??；(不影響其它載荷的作用效果不影響其它載荷的作用效果)1、應(yīng)力不超過比例極限；、應(yīng)力不超過比例極限；(線彈性線彈性)

2、梁的變形與載荷成線性關(guān)系梁的變形與載荷成線性關(guān)系 EIxMw 積分后，積分后，w和和w仍然是仍然是載荷載荷(P, q, Me)的線性齊次函數(shù)的線性齊次函數(shù)+ +4BEIJING FORESTRY UNIVERSITY兩類情況：兩類情況： 疊加法的應(yīng)用疊加法的應(yīng)用(1) 分解載荷，將各個(gè)載荷引起的位移疊加；分解載荷，將各個(gè)載荷引起的位移疊加；P350：附錄附錄D 梁的撓度與轉(zhuǎn)角梁的撓度與轉(zhuǎn)角ABFleMa=+236FFxwxlEI xABFlxABleMaxe2ee0222MM xxaEIwM aaxaxlEIeMFwww5BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 疊加法的應(yīng)用疊加

3、法的應(yīng)用(2) 分解變形，將各段變形疊加。分解變形，將各段變形疊加。 逐段剛化求和法逐段剛化求和法P350：附錄附錄D 梁的撓度與轉(zhuǎn)角梁的撓度與轉(zhuǎn)角ABqa212qaABqCla已知：已知：EI，q，l，a。求。求wC。 12Cwww1w2wqCB=+B 231236Bqalqa lwaaEIEI 428qawEI 6BEIJING FORESTRY UNIVERSITY試用疊加法計(jì)算橫截面試用疊加法計(jì)算橫截面C的撓度。設(shè)彎曲剛度的撓度。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)為常數(shù) 。 ABqFl/2l/2C7BEIJING FORESTRY UNIVERSITYABqFl/2l/2C（1）均布載荷）均布載荷q

4、 單獨(dú)作用時(shí)：單獨(dú)作用時(shí)：查表：查表：P350：附錄附錄D 4,5384C qqlwEI ABql/2l/2CFABl/2l/2C（2）集中力）集中力F 單獨(dú)作用時(shí)：單獨(dú)作用時(shí)：查表：查表：P350：附錄附錄D 3,48C FFlwEI ,43538448CC qC FwwwqlFlEIEI 8BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 圖示懸臂梁，同時(shí)承受集中力圖示懸臂梁，同時(shí)承受集中力F1和和F2作用。作用。 試求橫截面試求橫截面C的撓度。設(shè)彎曲剛度的撓度。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)為常數(shù) 。例例12-6AC2Fa1FaB9BEIJING FORESTRY UNIVERSITYAC2

5、Fa1FaB1FACaaBAC2FaaB（1）集中力）集中力F 1單獨(dú)作用時(shí)：單獨(dú)作用時(shí)：查表：查表：P350：附錄附錄D 131,56C FFawEI（2）集中力）集中力F 2單獨(dú)作用時(shí)：單獨(dú)作用時(shí)：查表：查表：P350：附錄附錄D 232,83C FF awEI 12,33125863CC FC FwwwFaF aEIEI10BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 圖示懸臂梁，同時(shí)承受集中力圖示懸臂梁，同時(shí)承受集中力F1和和F2作用。作用。 設(shè)彎曲剛度設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)為常數(shù) 。例例12-6AC2Fa1FaB請(qǐng)同學(xué)們思考：請(qǐng)同學(xué)們思考： (1) 如何用逐段剛化法求解如何用

6、逐段剛化法求解wC? (2) 如何求橫截面如何求橫截面B的轉(zhuǎn)角？的轉(zhuǎn)角？11BEIJING FORESTRY UNIVERSITY一、基本概念：一、基本概念：靜定梁：靜定梁：靜力平衡方程數(shù)靜力平衡方程數(shù)= =全部未知力全部未知力靜不定梁靜不定梁(超靜定梁超靜定梁)： 靜力平衡方程數(shù)靜力平衡方程數(shù) 全部未知力全部未知力多余約束：多余約束：多余維持平衡所必須的約束多余維持平衡所必須的約束ABCFqACFqACFq多余支反力多余支反力12BEIJING FORESTRY UNIVERSITY相當(dāng)系統(tǒng)：相當(dāng)系統(tǒng)：作用有原靜不定梁載荷與多余約束反力的基本系統(tǒng)。作用有原靜不定梁載荷與多余約束反力的基本系統(tǒng)

7、。 二、靜不定問題的分析方法：二、靜不定問題的分析方法：ABCFqFAFBFC 平面問題有三個(gè)平衡方程；平面問題有三個(gè)平衡方程； 水平方向不受力，則有水平方向不受力，則有 兩個(gè)有效平衡方程；兩個(gè)有效平衡方程； 有三個(gè)未知力。有三個(gè)未知力。多余約束的作用：多余約束的作用：提供支反力，提供支反力，限定位移。限定位移。在加入該支反力之后，該約束點(diǎn)在加入該支反力之后，該約束點(diǎn)的位移必須滿足一定的條件。的位移必須滿足一定的條件。wB = 0ABCFqFB基本系統(tǒng)基本系統(tǒng)(靜定基靜定基):一個(gè)靜不定系統(tǒng)解除多余約束后所得的靜定系統(tǒng)。一個(gè)靜不定系統(tǒng)解除多余約束后所得的靜定系統(tǒng)。 13BEIJING FORE

8、STRY UNIVERSITY總結(jié)：分析方法與分析步驟總結(jié)：分析方法與分析步驟步驟步驟： 1、 判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）； 2 、解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)；、解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)； 3 、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件(位移邊界條件位移邊界條件)； 4、結(jié)合平衡方程，求多余支反力。、結(jié)合平衡方程，求多余支反力。 方法：方法：解除多余約束，代之以支反力；解除多余約束，代之以支反力； 分析相當(dāng)系統(tǒng)，建立多余約束點(diǎn)處的位移邊界條件。分析相當(dāng)系統(tǒng)，建立多余約束點(diǎn)處的位移邊界條件。 靜定基相當(dāng)系統(tǒng)不唯一，一般選擇求解起來最簡單的一

9、種靜定基相當(dāng)系統(tǒng)不唯一，一般選擇求解起來最簡單的一種14BEIJING FORESTRY UNIVERSITYqABAB靜定基靜定基: :相當(dāng)系統(tǒng)：相當(dāng)系統(tǒng)：AB 靜定基與相當(dāng)系統(tǒng)的選?。红o定基與相當(dāng)系統(tǒng)的選?。簈ABBFABAMqwB = 0 A = 015BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 圖示圓形截面梁，承受集中載荷圖示圓形截面梁，承受集中載荷F作用。作用。 試求校核梁的強(qiáng)度。已知：試求校核梁的強(qiáng)度。已知：F=20kN，跨度，跨度a=500mm，截面直徑截面直徑d=60mm，許用應(yīng)力，許用應(yīng)力=100MPa。例例12-7FaABCa/2a/216BEIJING FOR

10、ESTRY UNIVERSITY（1）求解靜不定梁的支反力。）求解靜不定梁的支反力。解：解：AyFByFCyF 一度靜不定梁一度靜不定梁FaACa/2a/2B ,0*ByB FB Fww0Bw 變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件： 2322,11226 2296B FaFaaFawaaa EIEI 疊加法：疊加法：（查表：（查表：P350：附錄附錄D） 33,2486ByByByB FFaF awEIEI代入（代入（*）式解得：）式解得：4111.375 10 N16ByFF17BEIJING FORESTRY UNIVERSITY解：解：AyFByFCyFFaACa/2a/2B41.375 10 N

11、ByF由平衡方程解得：由平衡方程解得：310,3232AyCyFFFF ACBxM 0.94kN m2.03kN m（2）強(qiáng)度校核。）強(qiáng)度校核。maxmax395.7MPa/32Md 故梁的強(qiáng)度符合要求。故梁的強(qiáng)度符合要求。18BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 圖示兩端固定梁，承受集中載荷圖示兩端固定梁，承受集中載荷F 作用。作用。 試計(jì)算梁的支反力。設(shè)彎曲剛度試計(jì)算梁的支反力。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)。例例12-8FaABbl19BEIJING FORESTRY UNIVERSITYFaABbl解：解：AyFAMAxFBxFByFBM三度靜不定梁三度靜不定梁二度靜不

12、定梁二度靜不定梁忽略橫向變形忽略橫向變形AyFByFFAMBM00AB變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：疊加法：疊加法： 查表：查表：P350：附錄附錄D,366ABABAA MA FA MFab lbM lM lEIEIlEI,663ABABBB MB FB MFab laM lM lEIEIlEI 20BEIJING FORESTRY UNIVERSITYFaABbl解：解：AyFAMAxFBxFByFBMAyFByFFAMBM代入變形協(xié)調(diào)方程，代入變形協(xié)調(diào)方程，0366ABFab lbM lM lEIEIlEI0663ABFab laM lM lEIEIlEI列寫平衡方程，列寫平衡方程，0,0

13、yAyByFFFF0,0AAByBMMFaF lM解得：解得：2222223322,ABAyByFblaFalbFabFa bMMFFllll21BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 圖示懸臂梁，承受集中載荷圖示懸臂梁，承受集中載荷F 作作用，因其剛度不夠，用桿用，因其剛度不夠，用桿CB加固。加固。 試計(jì)算梁試計(jì)算梁AB的最大撓度減少量。的最大撓度減少量。設(shè)梁與桿的長度均為設(shè)梁與桿的長度均為l，梁的彎曲剛，梁的彎曲剛度與桿的拉壓剛度均為常數(shù)，分別為度與桿的拉壓剛度均為常數(shù)，分別為EI 與與EA，且，且A=3I/l 2 。例例12-9FABllC22BEIJING FOREST

14、RY UNIVERSITYFABllC解：解：一度靜不定梁一度靜不定梁FABllBCBCFBCF,B CBB ABww變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：3,3BCBCB CBCBF lF lwlEAEI 3,3BCB ABFFlwEI 查表：查表：P350：附錄附錄D得補(bǔ)充方程：得補(bǔ)充方程：2BCFF（1）解未知力）解未知力23BEIJING FORESTRY UNIVERSITYFABl解：解：未加固時(shí)：未加固時(shí)：FABlBCF33FlwEI（2）剛度比較）剛度比較加固時(shí)：加固時(shí)：3336CBFFlFlwEIEI 2w可見加固后梁可見加固后梁AB的最大撓度顯著減小。的最大撓度顯著減小。24BEIJ

15、ING FORESTRY UNIVERSITY一、梁的剛度條件：一、梁的剛度條件： maxw max ,許用撓度；許用撓度； ,許用轉(zhuǎn)角。許用轉(zhuǎn)角。 750500ll橋式起重機(jī)梁：橋式起重機(jī)梁：一般用途的軸：一般用途的軸： 351000010000ll安裝齒輪或滑動(dòng)軸承的軸：安裝齒輪或滑動(dòng)軸承的軸： 0.001rad25BEIJING FORESTRY UNIVERSITY二、梁的合理剛度設(shè)計(jì)二、梁的合理剛度設(shè)計(jì)1、合理選擇截面形狀。、合理選擇截面形狀。2、合理選用材料。、合理選用材料。 彈性模量彈性模量E3、合理地對(duì)梁進(jìn)行加強(qiáng)。、合理地對(duì)梁進(jìn)行加強(qiáng)。4、適當(dāng)?shù)倪x取梁的跨度。、適當(dāng)?shù)倪x取梁的跨

16、度。5、合理安排梁的約束與加載方式。、合理安排梁的約束與加載方式。ABql(b)ABql/4l/2l/4(c)( )max( )max62.5%cbwwBAl/2(a)l/2Fql( )max( )max8.75%baww26BEIJING FORESTRY UNIVERSITY 一簡支梁，跨度中點(diǎn)承受集中載荷一簡支梁，跨度中點(diǎn)承受集中載荷F 作用。已知：作用。已知：F=35kN，跨度，跨度l=4m，許用應(yīng)力，許用應(yīng)力=160MPa，許用撓度，許用撓度=l/500，彈性模量，彈性模量E=200GPa。 試選擇工字鋼型號(hào)。試選擇工字鋼型號(hào)。例例12-10FABCl/2ll/227BEIJING FORESTRY UNIVERSITY解：