第6章(形函數(shù))教材

1、公式號(hào) 6.1圖6-1第六章 單元形函數(shù)的討論在有限單元法的基本理論中，形函數(shù)是一個(gè)十分重要的概念，它不僅可以用作單元的內(nèi)插函數(shù)，把單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移用結(jié)點(diǎn)位移表示，而且可作為加權(quán)余量法中的加權(quán)函數(shù)，可以處理外載荷，將分布力等效為結(jié)點(diǎn)上的集中力和力矩，此外，它可用于后續(xù)的等參數(shù)單元的坐標(biāo)變換等。根據(jù)形函數(shù)的思想，首先將單元的位移場(chǎng)函數(shù)表示為多項(xiàng)式的形式，然后利用結(jié)點(diǎn)條件將多項(xiàng)式中的待定參數(shù)表示成場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值和單元幾何參數(shù)的函數(shù)，從而將場(chǎng)函數(shù)表示成結(jié)點(diǎn)值插值形式的表達(dá)式。在本節(jié)中，重點(diǎn)討論幾種典型單元的形函數(shù)插值函數(shù)的構(gòu)造方式，它們具有一定的規(guī)律。然后以平面三角形單元為例，討論了形函數(shù)的性質(zhì)，

2、在此基礎(chǔ)上分析了有限元的收斂準(zhǔn)則。6.1形函數(shù)構(gòu)造的一般原理單元的類(lèi)型和形狀決定于結(jié)構(gòu)總體求解域的幾何特點(diǎn)、問(wèn)題類(lèi)型和求解精度。根據(jù)單元形狀,可分為一維、二維、三維單元。單元插值形函數(shù)主要取決于單元的形狀、結(jié)點(diǎn)類(lèi)型和單元的結(jié)點(diǎn)數(shù)目。結(jié)點(diǎn)的類(lèi)型可以是只包含場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值，也可能還包含場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)點(diǎn)值。是否需要場(chǎng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)點(diǎn)值作為結(jié)點(diǎn)變量一般取決于單元邊界上的連續(xù)性要求，如果邊界上只要求函數(shù)值保持連續(xù)，稱(chēng)為C0型單元，若要求函數(shù)值及其一階導(dǎo)數(shù)值都保持連續(xù)，則是C1型單元。在有限元中，單元插值形函數(shù)均采用不同階次的冪函數(shù)多項(xiàng)式形式。對(duì)于C0型單元，單元內(nèi)的未知場(chǎng)函數(shù)的線(xiàn)性變化僅用角（端）結(jié)點(diǎn)的參

3、數(shù)來(lái)表示。結(jié)點(diǎn)參數(shù)只包含場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值。而對(duì)于C1型單元，結(jié)點(diǎn)參數(shù)中包含場(chǎng)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的結(jié)點(diǎn)值。與此相對(duì)應(yīng)，形函數(shù)可分為L(zhǎng)agrange型（不需要函數(shù)在結(jié)點(diǎn)上的斜率或曲率）和Hermite型（需要形函數(shù)在結(jié)點(diǎn)上的斜率或曲率）兩大類(lèi)，而形函數(shù)的冪次則是指所采用的多項(xiàng)式的冪次，可能具有一次、二次、三次、或更高次等。另外，有限元形函數(shù)N是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)，而結(jié)點(diǎn)位移不是x、y、z的函數(shù)，因此靜力學(xué)中的位移對(duì)坐標(biāo)微分時(shí)，只對(duì)形函數(shù)N作用，而在動(dòng)力學(xué)中位移對(duì)時(shí)間t微分時(shí)，只對(duì)結(jié)點(diǎn)位移向量作用。 （1）一維一次兩結(jié)點(diǎn)單元 圖6.8 一維一次兩結(jié)點(diǎn)單元模型設(shè)位移函數(shù)u(x)沿x軸呈線(xiàn)性變化,即 (6

4、.90)寫(xiě)成向量形式為 (6.91)設(shè)兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為；兩結(jié)點(diǎn)的位移分別為，可以代入上式并解出，得 (6.92)位移函數(shù)u(x)記作形函數(shù)與結(jié)點(diǎn)參數(shù)乘積的形式 (6.93)得到形函數(shù)為 (6.94)在自然坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行定義，則可得到形函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化形式 (6.95)其中，自然坐標(biāo)的變換公式為。圖6.9一維一次兩結(jié)點(diǎn)單元的局部坐標(biāo)表達(dá)（2）二維一次三結(jié)點(diǎn)單元（平面三角形單元）在總體坐標(biāo)系統(tǒng)下，任一點(diǎn)的某一方向的位移是 (6.96)設(shè)三個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)是，為三個(gè)結(jié)點(diǎn)在某方向上的位移，具有如下關(guān)系 (6.97)得到形函數(shù)矩陣如下式 (6.98)上述推導(dǎo)可用如下MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)：clearv=sym(&#

5、39;1, x,y')m=sym('1,x1,y1;1,x2,y2;1,x3,y3')mm=inv(m)N=v*mmsimplify(factor(N)（3）三維一次四結(jié)點(diǎn)單元（三維四面體單元）在總體坐標(biāo)系統(tǒng)下，任一點(diǎn)的某一方向的位移是 (6.99)按相似的方法可以得到 (6.100)形函數(shù)矩陣如下式 (6.101)（4）一維二次三結(jié)點(diǎn)單元（高次單元）圖6.10一維二次三結(jié)點(diǎn)單元模型設(shè)位移函數(shù)為 (6.102)用結(jié)點(diǎn)位移代入并求解, (6.103)得到 (6.104)上式等號(hào)右端第一項(xiàng)矩陣即為形函數(shù)。（5）一維三次四結(jié)點(diǎn)單元（Lagrange型） 圖6.11 一維三次四

6、結(jié)點(diǎn)單元模型位移函數(shù)為三次方程 (6.105)需要四個(gè)結(jié)點(diǎn)參數(shù)才能唯一地確定其中的常系數(shù)。這四個(gè)結(jié)點(diǎn)可以分別取兩個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)三分點(diǎn)。類(lèi)似地，可以得到如下形函數(shù)方程 (6.106)其中形函數(shù)中的各元素為，. (6.107)（6）一維三次二結(jié)點(diǎn)單元（Hermite型）（平面梁?jiǎn)卧﹫D6.12 一維三次二結(jié)點(diǎn)單元這類(lèi)單元的位移函數(shù)為 (6.108)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角方程為 (6.109)用結(jié)點(diǎn)參數(shù)代入求解，即 (6.110)得到 (6.111)其中形函數(shù)矩陣中各元素為， (6.112)上述結(jié)果可用MATLAB程序進(jìn)行驗(yàn)證：clearx=sym('x');j=0:3;v=x.j % v=1 x

7、 x2 x3;m=sym('1,x1,x12,x13;1,x2,x22,x23;0,1,2*x1,3*x12;0,1,2*x2,3*x22')mm=inv(m)N=v*mm;simplify(factor(N)（7）二維一次四結(jié)點(diǎn)單元（平面四邊形單元或矩形單元）用形函數(shù)表達(dá)的位移方程如下 (6.113)其中形函數(shù)矩陣的元素為，i=1,2,3,4 (6.114)對(duì)于平面四邊形單元和矩形單元,可用局部坐標(biāo)系統(tǒng)很好地加以解釋。局部坐標(biāo)的范圍定義為-1+1,四個(gè)結(jié)點(diǎn)的值固定。局部坐標(biāo)系下的形函數(shù)為 (6.115) 圖6.13 二維一次四結(jié)點(diǎn)單元（8）三維一次八結(jié)點(diǎn)單元（Brick單元）

8、在三維一次單元形函數(shù)中，函數(shù)值沿三坐標(biāo)軸（x、y、z軸）呈線(xiàn)性變化。假設(shè)位移函數(shù)沿各坐標(biāo)軸的線(xiàn)性變化可寫(xiě)成 (6.116)假設(shè)在i結(jié)點(diǎn)的位移值為ui，并將數(shù)值代入上式，其他各結(jié)點(diǎn)(j,k,l,m,n,p,q)亦類(lèi)推，共有8個(gè)式子，其中第1式如下 (6.117)可是以求得系數(shù)解 (6.118)則有 (6.119)最后得到形函數(shù)的表達(dá)式為 (6.120)（9）帕斯卡三角形上述各種位移函數(shù)的構(gòu)造有一定的規(guī)律，可以根據(jù)所謂的帕斯卡三角形加以確定，同時(shí)，這樣制定的位移模式，還能夠滿(mǎn)足有限元的收斂性要求。以下是幾種典型情況。一維兩結(jié)點(diǎn)單元的情況：圖6.14 一維兩結(jié)點(diǎn)單元的變量組成一維三結(jié)點(diǎn)單元的情況：圖

9、6.15 一維三結(jié)點(diǎn)單元的變量組成二維高階單元的情況：常數(shù)項(xiàng)線(xiàn)性項(xiàng)二次項(xiàng)三次項(xiàng)四次項(xiàng)五次項(xiàng)圖6.16 二維高階單元的變量組成三維四結(jié)點(diǎn)單元的情況：圖6.17 三維四結(jié)點(diǎn)單元的變量組成6.2形函數(shù)的性質(zhì)下面以平面三角形單元為例討論形函數(shù)的一些性質(zhì)。平面三角形單元的形函數(shù)為， （i =1, 2 , 3） (a)其中，為三角形單元的面積，為與結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的系數(shù)，它們分別等于公式中的行列式的有關(guān)代數(shù)余子式，即a1 、b1 、c1 ，a2 、b2 、c2 和a3 、b3 、c3 分別是行列式中的第一行、第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式。對(duì)于任意一個(gè)行列式, 其任一行（或列）的元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘

10、積之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素與其他行（或列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零。因此有：第一，形函數(shù)在各單元結(jié)點(diǎn)上的值，具有“本點(diǎn)是1、它點(diǎn)為零”的性質(zhì)，即在單元結(jié)點(diǎn)1上，滿(mǎn)足 (b)在結(jié)點(diǎn)2、3上，有 (c) (d)類(lèi)似地有 (e)第二，在單元的任一結(jié)點(diǎn)上，三個(gè)形函數(shù)之和等于1，即 (f)簡(jiǎn)記為 (g)這說(shuō)明，三個(gè)形函數(shù)中只有二個(gè)是獨(dú)立的。第三，三角形單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)、而與其它結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)關(guān)。例如，在23 邊上有 (h)這一點(diǎn)利用單元坐標(biāo)幾何關(guān)系很容易證明。根據(jù)形函數(shù)的這一性質(zhì)可以證明，相鄰單元的位移分別進(jìn)行線(xiàn)性插值之后，在其公共邊上將是連續(xù)的

11、。例如，單元123和124具有公共邊12。由上式可知，在12邊上兩個(gè)單元的第三個(gè)形函數(shù)都等于0，即 (i)不論按哪個(gè)單元來(lái)計(jì)算，公共邊12上的位移均由下式表示 (j)可見(jiàn)，在公共邊上的位移u、v 將完全由公共邊上的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)1、2的位移所確定，因而相鄰單元的位移是保持連續(xù)的。6.3用面積坐標(biāo)表達(dá)的形函數(shù)為了能夠更好地理解形函數(shù)的概念，這里引入面積坐標(biāo)。在如圖6.18所示的三角形單元ijm中，任意一點(diǎn)P(x , y)的位置可以用以下三個(gè)比值來(lái)確定圖6.18 平面三角形單元的面積坐標(biāo) (6.121)式中，D三角形單元ijm的面積，Di 、Dj 、Dm 三角形Pjm、Pmi、Pij的面積。Li ，Lj

12、 ，Lm叫做P點(diǎn)的面積坐標(biāo)。顯然，這三個(gè)面積坐標(biāo)不是完全獨(dú)立的，這是由于Di +Dj +Dm =D (6.122)所以有Li +Lj +Lm =1 (6.123)對(duì)于三角形Pjm，其面積為 (6.124)故有 (6.125)類(lèi)似地有 (6.126) (6.127)可見(jiàn)，前面講述的平面三角形單元的形函數(shù)Ni 、Nj 、Nm 等于面積坐標(biāo)Li 、Lj 、Lm 。容易看出，單元三個(gè)結(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)分別為結(jié)點(diǎn) i： Li =1 Lj =0 Lm =0結(jié)點(diǎn) j： Li =0 Lj =1 Lm =0 結(jié)點(diǎn)m： Li =0 Lj =0 Lm =1根據(jù)面積坐標(biāo)的定義，平行于jm邊的某一直線(xiàn)上的所有各點(diǎn)都有相同的

13、坐標(biāo)Li，并且等于該直線(xiàn)至jm邊的距離與結(jié)點(diǎn)i至jm邊的距離之比，圖6.18中給出了Li的一些等值線(xiàn)。平行于其它邊的直線(xiàn)也有類(lèi)似的情況。不難驗(yàn)證，面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間還存在以下變換關(guān)系： (6.128)當(dāng)面積坐標(biāo)的函數(shù)對(duì)直角坐標(biāo)求導(dǎo)時(shí)，有下列公式： (6.129)求面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在三角形單元上的積分時(shí)，有 (6.130)式中, a、b、g 為整常數(shù)。求面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在三角形某一邊上的積分值時(shí)，有 (6.131)式中, l為該邊的長(zhǎng)度。6.4有限元的收斂準(zhǔn)則對(duì)于一個(gè)數(shù)值計(jì)算方法，一般總希望隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)分所得到的解答能夠收斂于問(wèn)題的精確解。根據(jù)前面的分析，在有限元中，一旦確定了單元的形狀

14、，位移模式的選擇將是非常關(guān)鍵的。由于載荷的移置、應(yīng)力矩陣和剛度矩陣的建立都依賴(lài)于單元的位移模式，所以，如果所選擇的位移模式與真實(shí)的位移分布有很大的差別，會(huì)將很難獲得良好的數(shù)值解?？梢宰C明，對(duì)于一個(gè)給定的位移模式，其剛度系數(shù)的數(shù)值比精確值要大。所以，在給定的載荷之下，有限元計(jì)算模型的變形將比實(shí)際結(jié)構(gòu)的變形小。因此細(xì)分單元網(wǎng)格，位移近似解將由下方收斂于精確解，即得到真實(shí)解的下界。為了保證解答的收斂性，位移模式要滿(mǎn)足以下三個(gè)條件，即 位移模式必須包含單元的剛體位移。也就是，當(dāng)結(jié)點(diǎn)位移由某個(gè)剛體位移引起時(shí)，彈性體內(nèi)將不會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變。所以，位移模式不但要具有描述單元本身形變的能力，而且還要具有描述由于其它

15、單元形變而通過(guò)結(jié)點(diǎn)位移引起單元?jiǎng)傮w位移的能力。例如，平面三角形單元位移模式的常數(shù)項(xiàng)a1、a4 就是用于提供剛體位移的。 位移模式必須能包含單元的常應(yīng)變。每個(gè)單元的應(yīng)變一般包含兩個(gè)部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的坐標(biāo)位置有關(guān)的應(yīng)變，另一部分是與位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)的應(yīng)變（即所謂的常應(yīng)變）。從物理意義上看，當(dāng)單元尺寸無(wú)限縮小時(shí)，每個(gè)單元中的應(yīng)變應(yīng)趨于常量。因此，在位移模式中必須包含有這些常應(yīng)變，否則就不可能使數(shù)值解收斂于正確解。很顯然，在平面三角形單元的位移模式中，與a2、a3、a5、a6 有關(guān)的線(xiàn)性項(xiàng)就是提供單元中的常應(yīng)變的。 位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、且在相鄰單元之間的位移必須協(xié)調(diào)。當(dāng)選擇多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)成位移

16、模式時(shí)，單元內(nèi)的連續(xù)性要求總是得到滿(mǎn)足的，單元間的位移協(xié)調(diào)性，就是要求單元之間既不會(huì)出現(xiàn)開(kāi)裂也不會(huì)出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象。通常，當(dāng)單元交界面上的位移取決于該交界面上結(jié)點(diǎn)的位移時(shí)，就可以保證位移的協(xié)調(diào)性。在有限單元法中，把能夠滿(mǎn)足條件1和2的單元，稱(chēng)為完備單元；滿(mǎn)足條件3的單元，叫做協(xié)調(diào)單元或保續(xù)單元。前面討論過(guò)的三角形單元和矩形單元，均能同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)條件，因此都屬于完備的協(xié)調(diào)單元。在某些梁、板及殼體分析中，要使單元滿(mǎn)足條件3會(huì)比較困難，實(shí)踐中有時(shí)也出現(xiàn)一些只滿(mǎn)足條件1和2的單元，其收斂性往往也能夠令人滿(mǎn)意。放松條件3的單元，即完備而不協(xié)調(diào)的單元，已獲得了很多成功的應(yīng)用。不協(xié)調(diào)單元的缺點(diǎn)主要是不能事

17、先確定其剛度與真實(shí)剛度之間的大小關(guān)系。但不協(xié)調(diào)單元一般不象協(xié)調(diào)單元那樣剛硬（即比較柔軟），因此有可能會(huì)比協(xié)調(diào)單元收斂得快。在選擇多項(xiàng)式作為單元的位移模式時(shí)，其階次的確定要考慮解答的收斂性，即單元的完備性和協(xié)調(diào)性要求。實(shí)踐證明，雖然這兩項(xiàng)確實(shí)是所要考慮的重要因素，但并不是唯一的因素。選擇多項(xiàng)式位移模式階次時(shí)，需要考慮的另一個(gè)因素是，所選的模式應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的方位無(wú)關(guān)，這一性質(zhì)稱(chēng)為幾何各向同性。對(duì)于線(xiàn)性多項(xiàng)式，各向同性的要求通常就等價(jià)于位移模式必須包含常應(yīng)變狀態(tài)。對(duì)于高次位移模式，就是不應(yīng)該有一個(gè)偏移的坐標(biāo)方向，也就是位移形式不應(yīng)該隨局部坐標(biāo)的更換而改變。經(jīng)驗(yàn)證明，實(shí)現(xiàn)幾何各向同性的一種有效方法

18、是，可以根據(jù)巴斯卡三角形來(lái)選擇二維多項(xiàng)式的各項(xiàng)。在二維多項(xiàng)式中，如果包含有對(duì)稱(chēng)軸一邊的某一項(xiàng)，就必須同時(shí)包含有另一邊的對(duì)稱(chēng)項(xiàng)。選擇多項(xiàng)式位移模式時(shí)，還應(yīng)考慮多項(xiàng)式中的項(xiàng)數(shù)必須等于或稍大于單元邊界上的外結(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)。通常取項(xiàng)數(shù)與單元的外結(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)相等，取過(guò)多的項(xiàng)數(shù)是不恰當(dāng)?shù)摹?.5 等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣在結(jié)構(gòu)有限元整體分析時(shí)，結(jié)構(gòu)的載荷列陣R是由結(jié)構(gòu)的全部單元的等效結(jié)點(diǎn)力集合而成，而其中單元的等效結(jié)點(diǎn)力Re 則是由作用在單元上的集中力、表面力和體積力分別移置到結(jié)點(diǎn)上，再逐點(diǎn)加以合成求得。本節(jié)以平面三角形單元為例，討論集中力、表面力和體積力的等效移置方法以及如何形成結(jié)構(gòu)等效載荷列陣，并與靜力等效

19、進(jìn)行了對(duì)比。6.5.1 單元載荷的移置根據(jù)虛位移原理，等效結(jié)點(diǎn)力所做的功與作用在單元上的集中力、表面力和體積力在任何虛位移上所做的功相等，由此確定等效結(jié)點(diǎn)力的大小。對(duì)于平面三角形單元，有 (6.132)式中，單元結(jié)點(diǎn)虛位移列陣，單元內(nèi)任一點(diǎn)的虛位移列陣；等號(hào)左邊表示單元的等效結(jié)點(diǎn)力Re 所做的虛功；等號(hào)右邊第一項(xiàng)是集中力G所做的虛功，等號(hào)右邊第二項(xiàng)是面力q所做的虛功，積分沿著單元的邊界進(jìn)行；等號(hào)右邊第三項(xiàng)表示體積力p所做的虛功，積分遍及整個(gè)單元；t為單元的厚度，假定為常量。用形函數(shù)矩陣表示的單元位移模式方程為 (6.133)代入式(6.132)，注意到結(jié)點(diǎn)虛位移列陣d*e可以提到積分號(hào)的外面，

20、于是有 (6.134)注意到(d * e ) T 的任意性，上式化簡(jiǎn)為R e = F e +Q e +P e (6.135)其中 F e = N T G (6.136) (6.137) (6.138)式(6.134)右端括號(hào)中的第一項(xiàng)與結(jié)點(diǎn)虛位移相乘等于集中力所做的虛功，它是單元上的集中力移置到結(jié)點(diǎn)上所得到的等效結(jié)點(diǎn)力，它是一個(gè)6×1階的列陣，記為F e。同理，式(6.134)右端括號(hào)中的第二項(xiàng)是單元上的表面力移置到結(jié)點(diǎn)上所得到的等效結(jié)點(diǎn)力，記為Qe；第三項(xiàng)是單元上的體積力移置到結(jié)點(diǎn)上所得到的等效結(jié)點(diǎn)力，記為P e。6.5.2 結(jié)構(gòu)整體載荷列陣的形成結(jié)構(gòu)載荷列陣由所有單元的等效結(jié)點(diǎn)載

21、荷列陣疊加得到。注意到疊加過(guò)程中相互聯(lián)接的單元之間存在大小相等方向相反的作用力和反作用力，它們之間相互抵消，因此，結(jié)構(gòu)載荷列陣中只有與外載荷有關(guān)的結(jié)點(diǎn)有值。下面逐項(xiàng)進(jìn)行討論。（1）集中力的等效載荷列陣逐點(diǎn)合成各單元的等效結(jié)點(diǎn)力，并按結(jié)點(diǎn)號(hào)碼的順序進(jìn)行排列，組成結(jié)構(gòu)的集中力等效載荷列陣，即 (6.139)上式中，單元e的集中力的等效結(jié)點(diǎn)力為(記單元結(jié)點(diǎn)局部編號(hào)為i,j,m) (6.140)式中 （i, j, m） (6.141)式中，(Ni )c 、(Nj )c 、(Nm )c 為形函數(shù)在集中力作用點(diǎn)處的值。（2）表面力的等效載荷列陣把作用在單元邊界上的表面力移置到結(jié)點(diǎn)上，得到各單元的表面力的等

22、效結(jié)點(diǎn)力。按照結(jié)點(diǎn)號(hào)碼的順序進(jìn)行排列，逐個(gè)結(jié)點(diǎn)疊加合成后，組成結(jié)構(gòu)表面力的等效載荷列陣，即 (6.142)式中， (6.143)由于作用在單元邊界上的內(nèi)力在合成過(guò)程中已相互抵消，上式中的結(jié)點(diǎn)力只由作用在結(jié)構(gòu)邊界上的表面力所引起。（3）體積力的等效載荷列陣與表面力類(lèi)似，體積力的等效載荷列陣也是由單元體積力的等效結(jié)點(diǎn)力按結(jié)點(diǎn)號(hào)碼順序排列，在各結(jié)點(diǎn)處合成得到 (6.144)式中，單元e的體積力的等效結(jié)點(diǎn)力為 (6.145)6.5.3載荷移置與靜力等效關(guān)系上述基于形函數(shù)的載荷等效所得到的結(jié)果與按照靜力學(xué)的平行力分解原理得到的結(jié)果完全一致。例如，如圖6.19所示的單元e，在ij邊上作用有表面力。假設(shè)ij邊的長(zhǎng)度為l，其上任一點(diǎn)P距結(jié)點(diǎn)i的距離為s。根據(jù)面積坐標(biāo)的概念，有， ， (a)代入式(5.137)，求得單元表面力的等效結(jié)點(diǎn)力 (b)可見(jiàn)，求得的結(jié)果與按照靜力等效原理將表面力q向結(jié)點(diǎn)i及j分解所得到的分力完全相同。圖6.19 表面力等效示意再如，從圖6.20所示的單元e的A點(diǎn)處取體積微元tdxdy，作用在其