第5講機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)

1、12PART1 PART1 引言引言PART2 PART2 單自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)PART3 PART3 多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)3PART1 PART1 引言引言1.1 1.1 機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述 1.2 1.2 內(nèi)容及要求內(nèi)容及要求 41. 1 機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述 PART1 PART1 引言引言振動(dòng)現(xiàn)象振動(dòng)現(xiàn)象 心臟的搏動(dòng)、耳膜和聲帶的振動(dòng)等心臟的搏動(dòng)、耳膜和聲帶的振動(dòng)等 汽車、火車、飛機(jī)及機(jī)械設(shè)備的振動(dòng)汽車、火車、飛機(jī)及機(jī)械設(shè)備的振動(dòng) 家用電器、鐘表的振動(dòng)家用電器、鐘表的振動(dòng) 地震以及聲、電、磁、光的波動(dòng)等等地震以及聲、電、磁、光的

2、波動(dòng)等等振動(dòng)的危害振動(dòng)的危害 輕則輕則 影響乘坐的舒適性；降低機(jī)器及儀表的精度影響乘坐的舒適性；降低機(jī)器及儀表的精度 重則重則 危害人體健康；引起機(jī)械設(shè)備及土木結(jié)構(gòu)的破壞；危害人體健康；引起機(jī)械設(shè)備及土木結(jié)構(gòu)的破壞；振動(dòng)的利用振動(dòng)的利用 琴弦振動(dòng)；振動(dòng)沉樁、振動(dòng)拔樁以及振動(dòng)搗固等；振動(dòng)檢測(cè)；琴弦振動(dòng)；振動(dòng)沉樁、振動(dòng)拔樁以及振動(dòng)搗固等；振動(dòng)檢測(cè)； 振動(dòng)壓路機(jī)、振動(dòng)給料機(jī)和振動(dòng)成型機(jī)等。振動(dòng)壓路機(jī)、振動(dòng)給料機(jī)和振動(dòng)成型機(jī)等。51. 1 1. 1 機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述 機(jī)械振動(dòng)的基本概念及研究目的機(jī)械振動(dòng)的基本概念及研究目的 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng) 機(jī)械或結(jié)構(gòu)在平衡位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。機(jī)械或結(jié)構(gòu)在平衡

3、位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 研究目的研究目的 利用振動(dòng)為人類造福；利用振動(dòng)為人類造福； 減少振動(dòng)的危害。減少振動(dòng)的危害。機(jī)械振動(dòng)的分類機(jī)械振動(dòng)的分類 1按振動(dòng)系統(tǒng)的按振動(dòng)系統(tǒng)的分類分類 自由度自由度就是確定系統(tǒng)在振就是確定系統(tǒng)在振動(dòng)過程中任何瞬時(shí)幾何位置動(dòng)過程中任何瞬時(shí)幾何位置所需獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目所需獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目單自由度系統(tǒng)振動(dòng)單自由度系統(tǒng)振動(dòng)確定系統(tǒng)在振動(dòng)過程中任何瞬時(shí)幾何位置確定系統(tǒng)在振動(dòng)過程中任何瞬時(shí)幾何位置只需要一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)的振動(dòng)；只需要一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)的振動(dòng)；多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)確定系統(tǒng)在振動(dòng)過程中任何瞬時(shí)幾何位置確定系統(tǒng)在振動(dòng)過程中任何瞬時(shí)幾何位置需要多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)的振動(dòng)；需要多個(gè)

4、獨(dú)立坐標(biāo)的振動(dòng)；連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)確定系統(tǒng)在振動(dòng)過程中任何瞬時(shí)幾何位置需要確定系統(tǒng)在振動(dòng)過程中任何瞬時(shí)幾何位置需要無窮多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)的振動(dòng)。無窮多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)的振動(dòng)。6機(jī)械振動(dòng)的分類機(jī)械振動(dòng)的分類 2按振動(dòng)系統(tǒng)所受的按振動(dòng)系統(tǒng)所受的激勵(lì)激勵(lì)類型分類類型分類自由振動(dòng)自由振動(dòng)系統(tǒng)受初始干擾或原有的外激勵(lì)取消后產(chǎn)生的振動(dòng)；系統(tǒng)受初始干擾或原有的外激勵(lì)取消后產(chǎn)生的振動(dòng)；強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)在外激勵(lì)力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)；系統(tǒng)在外激勵(lì)力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)；自激振動(dòng)自激振動(dòng)系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性并有能源補(bǔ)充系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性并有能源補(bǔ)充 而產(chǎn)生的振動(dòng)。而產(chǎn)生的振動(dòng)。1. 1 機(jī)械振動(dòng)概

5、述機(jī)械振動(dòng)概述 3按系統(tǒng)的按系統(tǒng)的響應(yīng)響應(yīng)（振動(dòng)規(guī)律）分類（振動(dòng)規(guī)律）分類簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)能用一項(xiàng)時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)；能用一項(xiàng)時(shí)間的正弦或余弦函數(shù)表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)；周期振動(dòng)周期振動(dòng)能用時(shí)間的周期函數(shù)表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)；能用時(shí)間的周期函數(shù)表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)；瞬態(tài)振動(dòng)瞬態(tài)振動(dòng)只能用時(shí)間的非周期衰減函數(shù)表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)；只能用時(shí)間的非周期衰減函數(shù)表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)；隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)不能用簡(jiǎn)單函數(shù)或函數(shù)的組合表達(dá)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而只能不能用簡(jiǎn)單函數(shù)或函數(shù)的組合表達(dá)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而只能 用統(tǒng)計(jì)方法表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)。用統(tǒng)計(jì)方法表示系統(tǒng)響應(yīng)的振動(dòng)。7機(jī)械振動(dòng)的分類機(jī)械振動(dòng)的分類 4按描述系統(tǒng)

6、的按描述系統(tǒng)的微分方程微分方程分類分類線性振動(dòng)線性振動(dòng)能用常系數(shù)線性微分方程描述的振動(dòng)；能用常系數(shù)線性微分方程描述的振動(dòng)；非線性振動(dòng)非線性振動(dòng)只能用非線性微分方程描述的振動(dòng)。只能用非線性微分方程描述的振動(dòng)。1. 1 機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述 8機(jī)械振動(dòng)問題機(jī)械振動(dòng)問題 1響應(yīng)分析響應(yīng)分析已知已知系統(tǒng)參數(shù)及外界激勵(lì)系統(tǒng)參數(shù)及外界激勵(lì)求求系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)(位移、速度、加速度和力的響應(yīng)等）位移、速度、加速度和力的響應(yīng)等）1. 1 機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述 2系統(tǒng)設(shè)計(jì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和和系統(tǒng)辨識(shí)系統(tǒng)辨識(shí)系統(tǒng)尚不存在，需要設(shè)計(jì)合理系統(tǒng)尚不存在，需要設(shè)計(jì)合理的系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)在已知激的系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)在已知激

7、勵(lì)下達(dá)到給定的響應(yīng)水平。勵(lì)下達(dá)到給定的響應(yīng)水平。系統(tǒng)已經(jīng)存在，需要根據(jù)測(cè)量系統(tǒng)已經(jīng)存在，需要根據(jù)測(cè)量獲得的激勵(lì)和響應(yīng)識(shí)別系統(tǒng)參獲得的激勵(lì)和響應(yīng)識(shí)別系統(tǒng)參數(shù)，以便更好地研究系統(tǒng)特性。數(shù)，以便更好地研究系統(tǒng)特性。已知已知系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)求求系統(tǒng)參數(shù)系統(tǒng)參數(shù)9已知系統(tǒng)響應(yīng)和系統(tǒng)參數(shù)已知系統(tǒng)響應(yīng)和系統(tǒng)參數(shù)確定系統(tǒng)的激勵(lì)確定系統(tǒng)的激勵(lì)1. 1 機(jī)械振動(dòng)概述機(jī)械振動(dòng)概述 實(shí)際實(shí)際系統(tǒng)系統(tǒng)力學(xué)原理微分微分方程方程數(shù)值數(shù)值解解解析解析解解計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)工具振動(dòng)振動(dòng)特性特性v理論分析理論分析v試驗(yàn)研究試驗(yàn)研究機(jī)械振動(dòng)問題機(jī)械振動(dòng)問題 3環(huán)境預(yù)測(cè)環(huán)境預(yù)測(cè)解決振動(dòng)問題的方法解決振動(dòng)問題的方法 10機(jī)械振

8、動(dòng)要研究的內(nèi)容機(jī)械振動(dòng)要研究的內(nèi)容l1. 建立物理模型l要進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)的研究，就應(yīng)當(dāng)確定與所研究問題有關(guān)的系統(tǒng)元件和外界因素。比如，汽車由于顛簸將產(chǎn)生垂直方向的振動(dòng)，如果要研究的問題是關(guān)于汽車乘坐的舒適性和安全性的低頻垂直振動(dòng)，可采用一個(gè)簡(jiǎn)化的物理模型來描述它。 11l2、建立數(shù)學(xué)模型l有了所研究系統(tǒng)的物理模型，就可應(yīng)用某些物理定理對(duì)物理模型進(jìn)行分析，以導(dǎo)出一個(gè)或幾個(gè)描述系統(tǒng)特性的方程。通常，振動(dòng)問題的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)為微分方程的形式。l如質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，一旦質(zhì)量離開了平衡位置x=0后，就受到力lF= kxl作用。討論該物體的穩(wěn)定性。這個(gè)力描述了彈簧的行為，與這個(gè)力聯(lián)系在一起的是勢(shì)能l勢(shì)能作為模

9、型來研究穩(wěn)定性。不僅可以用來描述線性系統(tǒng)也可以描述非線性系統(tǒng)：在碗底滾動(dòng)的小球、搖擺的擺錘、振動(dòng)的吉他弦。甚至可以表示高考試題難易程度的波動(dòng)。 機(jī)械振動(dòng)要研究的內(nèi)容機(jī)械振動(dòng)要研究的內(nèi)容12l3. 方程的求解l要了解系統(tǒng)所發(fā)生運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和規(guī)律，就要對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，以得到描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。通常，這種數(shù)學(xué)表達(dá)式是位移表達(dá)式，表示為時(shí)間的函數(shù)。表達(dá)式表明了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)與系統(tǒng)性質(zhì)和外界作用的關(guān)系。機(jī)械振動(dòng)要研究的內(nèi)容機(jī)械振動(dòng)要研究的內(nèi)容13l4. 結(jié)果的闡述l根據(jù)方程的解提供的規(guī)律和系統(tǒng)的工作要求及結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，就可以進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)或改進(jìn)，以獲得問題的最佳解決方案。l建立振動(dòng)系統(tǒng)的模型，就必須假定機(jī)

10、械系統(tǒng)的自由度個(gè)數(shù)，并且運(yùn)用基本的物理定律來導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)微分方程，應(yīng)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法來求解這些微分方程。通常，描述機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)模型的微分方程機(jī)械振動(dòng)要研究的內(nèi)容機(jī)械振動(dòng)要研究的內(nèi)容14l構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素l構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。l慣性就是能使物體當(dāng)前運(yùn)動(dòng)持續(xù)下去的性質(zhì)。l恢復(fù)性就是能使物體位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性質(zhì)。l阻尼就是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。l 從能量的角度看，慣性是保持動(dòng)能的元素，恢復(fù)性是貯存勢(shì)能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。l當(dāng)物體沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，慣性的大小可用質(zhì)量來表示。根據(jù)牛頓第二定律，作用在物體上的外力F，物體由此產(chǎn)生的

11、加速度和物體質(zhì)量m之間有下述關(guān)系l l22dtxdmF 15l典型恢復(fù)性元件是彈簧，彈簧產(chǎn)生的恢復(fù)力是該元件位移的函數(shù)，即Fs=Fs（x）。l當(dāng)Fs（x）是線性函數(shù)時(shí)，有l(wèi)比例常數(shù)k稱為彈簧常數(shù)或彈簧的剛度系數(shù)。單位為N/m。l阻尼力Fd反映阻尼的強(qiáng)弱，通常是速度x的函數(shù)，阻尼力可表示為 l l這種阻尼稱為粘性阻尼。比例常數(shù)c稱為粘性阻尼系數(shù)，單位N.s/m。l質(zhì)量、彈簧和阻尼器是構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)物理模型的三個(gè)基本元件。 kxFs xcFd 16 自由度自由度 自由度數(shù): 完全確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目稱為自由度數(shù)。 剛體在空間有6個(gè)自由度：三個(gè)方向的移動(dòng)和繞三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，如飛機(jī)、輪船；

12、 質(zhì)點(diǎn)在空間有3個(gè)自由度：三個(gè)方向的移動(dòng)，如高爾夫球； 質(zhì)點(diǎn)在平面有2個(gè)自由度：兩個(gè)方向的移動(dòng)，加上約束則成為單自由度。17質(zhì)量元件質(zhì)量元件 無彈性、不耗能的剛體，儲(chǔ)存動(dòng)能的元件無彈性、不耗能的剛體，儲(chǔ)存動(dòng)能的元件 xmFm 平動(dòng)：平動(dòng)：力、質(zhì)量和加速度的單位分別力、質(zhì)量和加速度的單位分別為為N、kg和和m / s 2。 JTm轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度的單位力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度的單位分別為分別為Nm、kg m 2和和rad / s 2 2.1 離散系統(tǒng)的組成離散系統(tǒng)的組成18彈性元件彈性元件 無質(zhì)量、不耗能，儲(chǔ)存勢(shì)能的元件無質(zhì)量、不耗能，儲(chǔ)存勢(shì)能的元件 xkFs平動(dòng)：平動(dòng)：力、

13、剛度和位移的單位分別為力、剛度和位移的單位分別為N、N / m和和m 。tskT 轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單位分力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單位分別為別為Nm、 Nm / rad和和rad 阻尼元件阻尼元件 無質(zhì)量、無彈性、線性耗能元件無質(zhì)量、無彈性、線性耗能元件 xcFd平動(dòng)：平動(dòng)：力、阻尼系數(shù)和速度的單位分力、阻尼系數(shù)和速度的單位分別為別為N、N s/ m和和m/s。tdcT 轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：力矩、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和角速度力矩、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和角速度的單位分別為的單位分別為Nm、 Nms / rad和和rad/s 19等效彈簧剛度等效彈簧剛度 斜向布置的彈簧斜向布置的彈簧 2ecos/kxF

14、kxx串聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧 并聯(lián)彈簧并聯(lián)彈簧 niikk1eniikk1e11niicc1eniicc1e11并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)等效阻尼系數(shù)等效阻尼系數(shù) 傳動(dòng)系統(tǒng)的等效剛度傳動(dòng)系統(tǒng)的等效剛度 21 te1 t/ikk傳動(dòng)系統(tǒng)的等效阻尼傳動(dòng)系統(tǒng)的等效阻尼 ct1e= ct1 / i 221e1/iJJ等效質(zhì)量等效質(zhì)量 傳動(dòng)系統(tǒng)的等效慣量傳動(dòng)系統(tǒng)的等效慣量 202. 2 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 )(tFkxxcxm 方程的解方程的解 )()()(21txtxtx其其中中， tx1為為相相應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的解解 瞬瞬態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng) tx2為為方方程程的的特特

15、解解 穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)或或零零初初始始條條件件的的解解 212. 3 自由振動(dòng)自由振動(dòng) 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程設(shè)設(shè) 0 xkxcxm tsAtxe)(02kscsm特征方程特征方程 mkmcmcs222, 142有有臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù) kmc2c阻尼比或阻尼因子阻尼比或阻尼因子 kmccc2c定義定義12nn2, 1s222. 3 自由振動(dòng)自由振動(dòng) 討論討論 (1)0方程的解方程的解 12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)）（tRtxncos)(2n020)/(xxR0tanarc0tanarc0n000n00 xxxxxx232. 3 自由振動(dòng)自由振動(dòng)

16、 討論討論 (2)12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)方程的解方程的解 10)(cose)(dntRtxt2d0n020 xxxR0tanarc0tanarc00d0n000d0n0 xxxxxxxx242. 3 自由振動(dòng)自由振動(dòng) 討論討論 (3)方程的解方程的解 12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)1tstAAtx2e )(21tsxxxtxts)(e)(00000 xx）（00 xx）（252. 3 自由振動(dòng)自由振動(dòng) 討論討論 (4)12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)tstsxsxsxx

17、sstx21e)(e)(1)(01020021tstsAAtx2211ee)(00 xx）（00 xx）（1方程的解方程的解 262. 3 自由振動(dòng)自由振動(dòng) 振動(dòng)特性振動(dòng)特性 無阻尼無阻尼 0 0： 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)弱阻尼弱阻尼 0 1： 衰減運(yùn)動(dòng)衰減運(yùn)動(dòng)27小阻尼小阻尼2. 3 自由振動(dòng)自由振動(dòng) 振對(duì)數(shù)衰減率振對(duì)數(shù)衰減率 2112lnnnxx2224282. 4 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 22220212arctansin211)(tkFtx M M 292. 4 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)2222021arcta

18、nsin11)(tkFtx 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼)tFxkxhxmsin/0 M M 302. 4 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)全響應(yīng)全響應(yīng)(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 tRtxtdcosen 2222012arctansin21tkF 312. 4 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)全響應(yīng)全響應(yīng)(無無阻尼阻尼)tFxkxmsin0 000 xxttkFtxnn20sinsin1)(n 32 2. 4 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)全響應(yīng)全響應(yīng)(無無阻尼阻尼)tFxkxmsin0 000 xxttkFtxnn20sinsin1)(nnn332. 4 強(qiáng)迫

19、振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)半功率帶寬半功率帶寬n122幅頻特性幅頻特性342. 4 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 周期激勵(lì)周期激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(粘性阻尼粘性阻尼) 122211021sincos2nnnnnnnktnbtnakatx212arctannnnn1mknkmc221 1110sincos2nnntnbtnaatFtF tFxkxcxm 352. 5 隔振原理隔振原理 力的傳遞率力的傳遞率0FFST剛性支承傳遞的力幅幅通過彈性支承傳遞的力22222121S2362. 5 隔振原理隔振原理 位移傳遞率位移傳遞率YX底座的位移幅值系統(tǒng)質(zhì)量的位移幅值S22222121YXS372. 6 非周期

20、激勵(lì)下的響應(yīng)非周期激勵(lì)下的響應(yīng) 杜哈曼積分杜哈曼積分 tFxkxcxm 單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)tmthtddsine1ntxkxcxm 382. 6 非周期激勵(lì)下的響應(yīng)非周期激勵(lì)下的響應(yīng) 杜哈曼積分杜哈曼積分 tFxkxcxm 全響應(yīng)全響應(yīng)ttxxtxtxn-dd0n0d0esincos)( tttFm0dddsine1n392. 6 非周期激勵(lì)下的響應(yīng)非周期激勵(lì)下的響應(yīng) 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 tFxkxcxm 定義定義兩邊作拉氏變換并有兩邊作拉氏變換并有 000 xx sFsxkscsm2 kscsmsFsx2 kscsmsZsH211 kscsmsxsFsZ2 tx sx sFsH方

21、程方程定義定義機(jī)械阻抗機(jī)械阻抗定義定義機(jī)械導(dǎo)納機(jī)械導(dǎo)納響應(yīng)響應(yīng) 0dettfsftft s4022 如圖35所示，質(zhì)量為 m1的重物懸掛在剛度為 k 的彈簧上并處于靜平衡位置，質(zhì)量為 m2的重物從高度為 h 處自由降落到 m1 上而無彈跳，求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。習(xí)習(xí) 題題21 具有粘性阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，使質(zhì)量偏離平衡位置然后釋放。如果每一循環(huán)振幅減小 5 ，那么系統(tǒng)所具有的等效粘性阻尼系數(shù)占臨界阻尼系數(shù)的百分之幾？(0.816 )tmmkkgmtmmkkmmhgmtx21221212cossin)(2)(41習(xí)題習(xí)題24 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，從t = 0時(shí)，突加一個(gè)F0力，以后該力保持不變。試用Duh

22、amel積分求系統(tǒng)的響應(yīng)。25 一儀器要與發(fā)動(dòng)機(jī)的頻率從 1600 rpm 到2200 rpm 范圍實(shí)現(xiàn)振動(dòng)隔離，若要隔離85，儀器安裝在隔振裝置上時(shí)，隔振裝置的靜變形應(yīng)為多少？(2.68 mm)2222)2()1 ()(cos)(tmgLkaaAknLgmLka22n)(222mgLkamLca212arctan23 試導(dǎo)出圖示系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、半功率帶寬。 tsakAamgLkcamLco)(222 42 求：求：鋼絲繩的最大拉力。鋼絲繩的最大拉力。 iixFxm kmgmg)x(kxmstst, mkxxn220,0 43kmgmg)x(kxmstst, mkxxn

23、n22,0 00,vx0,t ;x0t, )tsin(AxntmksinkmvxvAn00;0,kN2 .245)(0maxmaxmkvmgxkFst443.1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 3.2 特征值問題特征值問題3.3 解耦與主坐標(biāo)解耦與主坐標(biāo)3.4 自由振動(dòng)自由振動(dòng)3.5 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)3.6 非周期激勵(lì)下的響應(yīng)非周期激勵(lì)下的響應(yīng)453. 1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 n個(gè)自由度的系統(tǒng)個(gè)自由度的系統(tǒng) 分析方法分析方法隔離體受力分析隔離體受力分析建立廣義坐標(biāo)建立廣義坐標(biāo)461121211212111)()()(xmxxkxkxxcxctF iiiiiiiiiiiiiiixmxxkxxkx

24、xcxxctF )()()()()(111111)1, 3, 2(ninnnnnnnnnnnnnxmxkxxkxcxxctF 1111)()()(整理后用矩陣形式表示為整理后用矩陣形式表示為 tFxKxCxM 應(yīng)用牛頓第二定律應(yīng)用牛頓第二定律3. 1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 47方程方程 3. 1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 T21,nixxxxx T21,nixxxxx廣義位移廣義位移廣義速度廣義速度廣義加速度廣義加速度外力向量外力向量 T21)(,),(,),(),()(tFtFtFtFtFniT21,nixxxxx 質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣對(duì)稱、正定對(duì)稱、正定nimmmmM00000021 tF

25、xKxCxM 48方程方程 3. 1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 tFxKxCxM 剛度矩陣剛度矩陣對(duì)稱、半正定對(duì)稱、半正定 111113322221000000nnnnnnniiiikkkkkkkkkkkkkkkkkkK阻尼矩陣阻尼矩陣 對(duì)稱對(duì)稱 111113322221000000nnnnnnniiiiccccccccccccccccccC49方程方程 3. 1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 例例 3.1 建立圖示系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程建立圖示系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程鏈?zhǔn)较到y(tǒng)鏈?zhǔn)较到y(tǒng) 建立廣義坐標(biāo)如圖建立廣義坐標(biāo)如圖 0 xKxCxM T4321,xxxxx T4321,xxxxxT4321,xxxxx4

26、321000000000000mmmmM 000000000646226262cccccccccC 5556543363322626210000kkkkkkkkkkkkkkkkkkK503. 1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 影響系數(shù)影響系數(shù) n個(gè)自由度無阻尼系統(tǒng)個(gè)自由度無阻尼系統(tǒng) 剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)產(chǎn)生單位位移所需的力，即系統(tǒng)僅在第產(chǎn)生單位位移所需的力，即系統(tǒng)僅在第j個(gè)個(gè)廣義坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移（其他廣義坐標(biāo)位移為零），需要廣義坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移（其他廣義坐標(biāo)位移為零），需要在第在第i個(gè)廣義坐標(biāo)方向所加的力個(gè)廣義坐標(biāo)方向所加的力kij。 柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)單位外力所引起的系統(tǒng)位移單位外

27、力所引起的系統(tǒng)位移 ，定義系統(tǒng)第，定義系統(tǒng)第j個(gè)坐標(biāo)上作用的單位力在第個(gè)坐標(biāo)上作用的單位力在第i個(gè)廣義坐標(biāo)上所引起的位移為個(gè)廣義坐標(biāo)上所引起的位移為柔度系數(shù)柔度系數(shù) hij。 513. 1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 例例3.2 3.2 建立三自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程建立三自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) 設(shè)設(shè)x1=1，x2=x3=0，則在，則在m1上施加的力上施加的力F1=1(k1+k2)，即，即k11= k1+k2 ；在；在m2上施加的力上施加的力F2=-k2 1 =-k2 ，即，即k21=-k2 ；在；在m3上施加的力為零，即上施加的力為零，即F3=0或或 k31=0。設(shè)設(shè)

28、x2=1，x1=x3=0，則在，則在m2上施加的力上施加的力F2=1 (k2+k3)，即，即k22= k2+k3 ；在；在m3上施加的力上施加的力F3=-k3 即即k32=-k3 ；由剛度矩陣的對(duì)稱性得；由剛度矩陣的對(duì)稱性得 k12 =k21= -k2。設(shè)設(shè)x3=1，x1=x2=0，則在，則在m3上施加的力上施加的力F3=1 k3，即，即k33= k3 ；由剛度矩陣的；由剛度矩陣的對(duì)稱性得對(duì)稱性得 k13 =k31 = 0 ， k23 =k32= -k3。00000000000321333322221321321xxxkkkkkkkkkxxxmmm 系統(tǒng)振動(dòng)微分方程系統(tǒng)振動(dòng)微分方程 剛度系數(shù)剛

29、度系數(shù)：產(chǎn)生單位位移所需的力，即系產(chǎn)生單位位移所需的力，即系統(tǒng)僅在第統(tǒng)僅在第j個(gè)廣義坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移個(gè)廣義坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移（其他廣義坐標(biāo)位移為零），需要在第（其他廣義坐標(biāo)位移為零），需要在第i個(gè)廣義坐標(biāo)方向所加的力個(gè)廣義坐標(biāo)方向所加的力kij。 523. 1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 例例3.2 3.2 建立三自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程建立三自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) 在質(zhì)量在質(zhì)量m1上施加單位力上施加單位力，質(zhì)量，質(zhì)量m1 、 m2和和m3的位移：的位移： x1=1/k1 ， x2=1/k1 ， x3=1/k1 ，即，即h11= h21= k31= 1/k1 ；000

30、0000001111111111111132132132132121121211111xxxxxxmmmkkkkkkkkkkkkkk 振動(dòng)振動(dòng)微分微分方程方程柔度系數(shù)柔度系數(shù)：?jiǎn)挝煌饬λ鸬南到y(tǒng)位移單位外力所引起的系統(tǒng)位移 ，定，定義系統(tǒng)第義系統(tǒng)第j個(gè)坐標(biāo)上作用的單位力在第個(gè)坐標(biāo)上作用的單位力在第i個(gè)廣個(gè)廣義坐標(biāo)上所引起的位移為柔度系數(shù)義坐標(biāo)上所引起的位移為柔度系數(shù) hij。 在質(zhì)量在質(zhì)量m3上施加單位力上施加單位力，質(zhì)量，質(zhì)量m1 、 m2和和m3的位移：的位移： x1=1/k1， x2=1/k1+1/k2， x3=1/k1+1/k2 +1/k3。即柔度系數(shù)。即柔度系數(shù)x1=1/k1 ，

31、x2=1/k1+1/k2， x3= 1/k1+1/k2 +1/k3 。 在質(zhì)量在質(zhì)量m2上施加單位力上施加單位力，質(zhì)量質(zhì)量m1 、 m2和和m3的位移：的位移： x1=1/k1 ， x2=1/k1+1/k2， x3= 1/k1+1/k2，即柔度系數(shù)，即柔度系數(shù)h12= 1/k1 ， h22= k32= 1/k1+1/k2，；53質(zhì)量質(zhì)量m1上加一單位力，系統(tǒng)位移如圖上加一單位力，系統(tǒng)位移如圖(b)。1sinsin21TT微振動(dòng)時(shí)微振動(dòng)時(shí) ： lh/sin111lh4/sin112解出解出h 11： Tlh5/411TlhTlhTlh55253413121按圖按圖(b)的比例的比例 3. 1 振

32、動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 例例3.3 3.3 建立四自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程建立四自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程柔度系數(shù)柔度系數(shù)：?jiǎn)挝煌饬λ鸬南到y(tǒng)位移單位外力所引起的系統(tǒng)位移 ，定，定義系統(tǒng)第義系統(tǒng)第j個(gè)坐標(biāo)上作用的單位力在第個(gè)坐標(biāo)上作用的單位力在第i個(gè)廣個(gè)廣義坐標(biāo)上所引起的位移為柔度系數(shù)義坐標(biāo)上所引起的位移為柔度系數(shù) hij。 弦上四質(zhì)量弦上四質(zhì)量 建立廣義坐標(biāo)建立廣義坐標(biāo)xi，坐標(biāo)原點(diǎn)在系靜平衡時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)在系靜平衡時(shí)各質(zhì)量的位置。各質(zhì)量的位置。m1力平衡方程力平衡方程：即即 ： 1sinsin21TTlh411lh11541sinsin43TT弦上四質(zhì)量弦上四質(zhì)量 1sinsin43TTlh

33、2/sin223lh3/sin224Tlh5/622TlhTlhTlh52,54,53423212質(zhì)量質(zhì)量m2上加一單位力，系統(tǒng)位移如圖上加一單位力，系統(tǒng)位移如圖(c)。微振動(dòng)時(shí)微振動(dòng)時(shí) ： 解出解出h 22： 按圖按圖(c)的比例的比例 3. 1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 例例3.3 3.3 建立四自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程建立四自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程柔度系數(shù)柔度系數(shù)：?jiǎn)挝煌饬λ鸬南到y(tǒng)位移單位外力所引起的系統(tǒng)位移 ，定，定義系統(tǒng)第義系統(tǒng)第j個(gè)坐標(biāo)上作用的單位力在第個(gè)坐標(biāo)上作用的單位力在第i個(gè)廣個(gè)廣義坐標(biāo)上所引起的位移為柔度系數(shù)義坐標(biāo)上所引起的位移為柔度系數(shù) hij。 m2力平衡方程力平衡

34、方程：即即 ： lh322lh22255由結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，可得到其它的柔度系數(shù)由結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，可得到其它的柔度系數(shù) ： Tlh5213Tlh5423Tlh5633Tlh5343Tlh514Tlh5224Tlh5334Tlh5444000000000000000043213642246312345432143214321xxxxxxxxmmmmTl 振動(dòng)振動(dòng)微分微分方程方程TlhTlhTlhTlh52545653423222123. 1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 例例3.3 3.3 建立四自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程（振動(dòng)過程弦的張力建立四自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程（振動(dòng)過程弦的張力T T不變）不變）Tlh

35、TlhTlhTlh552535441312111弦上四質(zhì)量弦上四質(zhì)量 563. 2 特征值問題特征值問題 特征方程的三種表達(dá)形式特征方程的三種表達(dá)形式 0 xKxM 若質(zhì)量矩陣正定，方程兩邊若質(zhì)量矩陣正定，方程兩邊左乘左乘 M - 1 : 011xKMxMM 0 xWxI 設(shè)設(shè) 2 0XIW若剛度矩陣正定方程兩邊若剛度矩陣正定方程兩邊左乘左乘 K - 1 : 011xKKxMK 0 xIxD 設(shè)設(shè) 2 01XID方程方程 tXxcos設(shè)設(shè) 代入方程代入方程 2 0XMK tXxcos tXxcos代入方程代入方程 代入方程代入方程 剛度動(dòng)剛度動(dòng)力矩陣力矩陣 柔度動(dòng)柔度動(dòng)力矩陣力矩陣 0MK 0

36、IW 01ID特征方程：特征方程： 特征方程：特征方程： 特征方程：特征方程： 57 0MK 0IW 01ID3. 2 特征值問題特征值問題 特征值和特征向量特征值和特征向量從任意一個(gè)特征方程出發(fā)，獲得從任意一個(gè)特征方程出發(fā)，獲得n個(gè)特征個(gè)特征 i ( i = 1, 2, , n )將每一個(gè)特征值代入相應(yīng)的線性代數(shù)方程組，獲得對(duì)應(yīng)的特征向量將每一個(gè)特征值代入相應(yīng)的線性代數(shù)方程組，獲得對(duì)應(yīng)的特征向量Xi:或從下列伴隨矩陣的某一列得到特征向量或從下列伴隨矩陣的某一列得到特征向量Xi: 0iiXIW 01iiXID 0iiXMK IWiadj ID1adj MKiadjn個(gè)國有圓頻率個(gè)國有圓頻率 i

37、 2 ( i = 1, 2, , n )主振型主振型583. 2 特征值問題特征值問題 特征值和特征向量特征值和特征向量例例 3-4 已知三自由度系統(tǒng)的質(zhì)量已知三自由度系統(tǒng)的質(zhì)量m1= m2= m3 = m ，彈簧剛度，彈簧剛度k1= k2= k3= k4= k 。求系統(tǒng)的特征值和特征向量。求系統(tǒng)的特征值和特征向量。解：解：建立廣義坐標(biāo)如圖，由視察法得到建立廣義坐標(biāo)如圖，由視察法得到方程方程mmmM000000 kkkkkkkK20202 2101210121mkKMW022222mkmkmkmkmkmk特征方程為特征方程為 三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) 0 xKxM 0IW展開為展開為 0202

38、02mkmkmkmkmkmkmk593. 2 特征值問題特征值問題 特征值和特征向量特征值和特征向量022222mkmkmkmkmkmk例例 3-4特征值為特征值為mk221mk22mk223mk765. 01mk414. 12mk848. 13024222mkmkmk22816212mkmkmk603. 2 特征值問題特征值問題 特征值和特征向量特征值和特征向量 1211X特征向量特征向量 IWiadjmkmkmkmkmkmkmkmkmkmk22202220222adjmk221例例 3-42222mkmkmk613. 2 特征值問題特征值問題 特征值和特征向量特征值和特征向量 1012X特

39、征向量特征向量 IWiadjmkmkmkmkmkmkmkmkmkmk22022022adjmk22例例 3-42220mkmkmk節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)623. 2 特征值問題特征值問題 特征值和特征向量特征值和特征向量 1213X特征向量特征向量 IWiadjmkmkmkmkmkmkmkmkmkmk22202220222adjmk223例例 3-42222mkmkmk節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)633. 2 特征值問題特征值問題 無阻尼系統(tǒng)的固有特性無阻尼系統(tǒng)的固有特性n自由度系統(tǒng)自由度系統(tǒng) ，質(zhì)量陣和剛度陣是，質(zhì)量陣和剛度陣是nn矩陣，有矩陣，有n個(gè)特征值和特征向量個(gè)特征值和特征向量n21固有圓頻率固有圓頻率 主振型和振型

40、矩陣主振型和振型矩陣 第第i個(gè)主振型個(gè)主振型有有i-1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) n自由度系統(tǒng)自由度系統(tǒng) ，有，有n個(gè)固有圓頻率個(gè)固有圓頻率 i 2 ( i = 1, 2, , n )n自由度系統(tǒng)自由度系統(tǒng) ，有，有n個(gè)主振型個(gè)主振型 x i ( i = 1, 2, , n )，振型矩陣為振型矩陣為 niXXXu1643. 2 特征值問題特征值問題 無阻尼系統(tǒng)的固有特性無阻尼系統(tǒng)的固有特性剛度動(dòng)力矩陣剛度動(dòng)力矩陣特征值特征值特征值之和特征值之和等于剛度動(dòng)力矩陣對(duì)角元素之和等于剛度動(dòng)力矩陣對(duì)角元素之和特征值之積特征值之積等于剛度動(dòng)力矩陣對(duì)應(yīng)的行列式的值乘等于剛度動(dòng)力矩陣對(duì)應(yīng)的行列式的值乘(-1)n

41、2101210121mkKMWmk221mk22mk223nii iniiw11i inniiw)1(1特征值倒數(shù)之和特征值倒數(shù)之和等于柔度動(dòng)力矩陣對(duì)角元素之和等于柔度動(dòng)力矩陣對(duì)角元素之和nii iniiD111特征值特征值653. 2 特征值問題特征值問題 無阻尼系統(tǒng)的固有特性無阻尼系統(tǒng)的固有特性特征向量的正交性特征向量的正交性對(duì)于第對(duì)于第i個(gè)特征值和第個(gè)特征值和第j個(gè)特征向量個(gè)特征向量 ，有，有 jjjXMXK iiiXMXK ijiijXMXXKXTT jijjiXMXXKXTT ijjiXKXXKXTT ijjiXMXXMXTT 0TjijiXMX 0jiXMXT 0jiXKXT ii

42、iiiiiMKXMXXKXTT兩邊左乘兩邊左乘X T 得得 jiijiXMXXKXTT兩式相減兩式相減 得得ji iiiMXMXT iiiKXKXTji第第i階主剛度階主剛度第第i階主質(zhì)量階主質(zhì)量主振型關(guān)主振型關(guān)于質(zhì)量矩于質(zhì)量矩陣和剛度陣和剛度矩陣正交矩陣正交663. 2 特征值問題特征值問題 無阻尼系統(tǒng)的固有特性無阻尼系統(tǒng)的固有特性特征向量的正交性特征向量的正交性振型矩陣振型矩陣 則有則有 nMMMM00000021 nKKKK00000021正則化的振型矩陣正則化的振型矩陣 nnXMXMXMu1,1,12211 niXXXu1正則化振型矩陣的正交性正則化振型矩陣的正交性 MuMuT KuK

43、uT IuMuT iuKuT673. 2 特征值問題特征值問題 無阻尼系統(tǒng)的固有特性無阻尼系統(tǒng)的固有特性特征向量的正交性特征向量的正交性例例 3-5 驗(yàn)證例驗(yàn)證例3-4中三自由度系統(tǒng)的中三自由度系統(tǒng)的特征向量的正交性。特征向量的正交性。三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) mmmM000000 kkkkkkkK20202 111202111u mmmmmmuMu400020004111202111000000121101121T 111202111)22()222()22(202)22()222()22(11120211120202121101121TkkkkkkkkkkkkkkkuKukkk)22(40

44、004000)22(4683. 2 特征值問題特征值問題 基頻估算方法基頻估算方法Rayleigh原理原理 2RTTXMXXKX 即使假設(shè)振型即使假設(shè)振型 X 與系統(tǒng)第與系統(tǒng)第 i 個(gè)特征向量個(gè)特征向量 Xi 有些差別，有些差別，也可以把上式近似地作為系統(tǒng)第也可以把上式近似地作為系統(tǒng)第i 階固有圓頻率的估計(jì)值，這就階固有圓頻率的估計(jì)值，這就是是Rayleigh原理。原理。 0XMK XMXK XMXXKXTT特征值問題特征值問題 或或 兩邊左乘兩邊左乘X T 得得移項(xiàng)移項(xiàng) 得得Rayleigh商商 若假設(shè)振型若假設(shè)振型 X 的每一個(gè)元素都非零且同號(hào)，即它與系統(tǒng)的每一個(gè)元素都非零且同號(hào)，即它與系

45、統(tǒng)的第的第1 個(gè)特征向量個(gè)特征向量 X1 接近，就可以接近，就可以Rayleigh商商近似地作為系統(tǒng)近似地作為系統(tǒng)基頻的估計(jì)值?；l的估計(jì)值。估算值高于精確解估算值高于精確解 。 低頻情況下，位移、變形、應(yīng)力相對(duì)較大低頻情況下，位移、變形、應(yīng)力相對(duì)較大693. 2 特征值問題特征值問題 基頻估算方法基頻估算方法Rayleigh原理原理 從系統(tǒng)柔度動(dòng)力矩陣出發(fā)，從系統(tǒng)柔度動(dòng)力矩陣出發(fā)，特征值問題特征值問題為為 XXMK1 21TTRXMKMXXMX 01XID或或 兩邊左乘兩邊左乘X T M 得得移項(xiàng)移項(xiàng) 得第二種得第二種Rayleigh商商 XMXXMKMXT1T 若假設(shè)振型若假設(shè)振型 X 的

46、每一個(gè)元素都非零且同號(hào)，即它與系統(tǒng)的每一個(gè)元素都非零且同號(hào)，即它與系統(tǒng)的第的第1 個(gè)特征向量個(gè)特征向量 X1 接近，也可用第二種接近，也可用第二種Rayleigh商商近似地作近似地作為系統(tǒng)基頻的估計(jì)值。為系統(tǒng)基頻的估計(jì)值。當(dāng)假設(shè)振當(dāng)假設(shè)振 X 相同時(shí)，估算值高于精確相同時(shí)，估算值高于精確解，但低于解，但低于第一種第一種Rayleigh商的估算值商的估算值。 703. 2 特征值問題特征值問題 基頻估算方法基頻估算方法Dunkerley公式公式 012XID根據(jù)系統(tǒng)特征值的的特性，根據(jù)系統(tǒng)特征值的的特性，特征值倒數(shù)之和特征值倒數(shù)之和等于系統(tǒng)柔度動(dòng)力矩陣等于系統(tǒng)柔度動(dòng)力矩陣對(duì)角線元素的和（即矩陣對(duì)

47、角線元素的和（即矩陣 D 的跡），即的跡），即 nii iniidD112Trace1當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為對(duì)角陣，當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為對(duì)角陣， nii inii ii imhD1211Trace當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 12 Dnii iTrace111221從系統(tǒng)柔度動(dòng)力矩陣出發(fā)，從系統(tǒng)柔度動(dòng)力矩陣出發(fā)，特征值問題特征值問題為為隔絕頻率隔絕頻率 估算值低于精確解估算值低于精確解 713. 2 特征值問題特征值問題 基頻估算方法基頻估算方法例例 3-6 用三種公式估算例用三種公式估算例3-4中三自中三自由度系統(tǒng)的基頻。由度系統(tǒng)的基頻。三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) mmmM000000 kkkkkkkK20202Rayl

48、eigh原理原理 2RTTXMXXKXmkmmmkkkkkkk3211100000011111120202111mk221723. 2 特征值問題特征值問題 基頻估算方法基頻估算方法例例 3-6 用三種公式估算例用三種公式估算例3-4中三自中三自由度系統(tǒng)的基頻。由度系統(tǒng)的基頻。三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) mmmM000000 32124212341202021kKkkkkkkkKRayleigh原理原理 21TTRXMKMXXMXmkmmkmmmmmmkmmm532012111000000321242123000000111411110000001112mk221733. 2 特征值問題特征值問

49、題 基頻估算方法基頻估算方法例例 3-6 用三種公式估算例用三種公式估算例3-4中三自中三自由度系統(tǒng)的基頻。由度系統(tǒng)的基頻。三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) mmmM000000 32124212341202021kKkkkkkkkKDunkerley公式公式 Dnii iTrace111221 3212421234000000321242123411kmmmmkMKDkmkm253212421234Trace121mk5221mk221743. 2 特征值問題特征值問題 復(fù)特征值（系統(tǒng)具有粘性阻尼）復(fù)特征值（系統(tǒng)具有粘性阻尼） 0 xKxCxM n個(gè)自由度無阻尼系統(tǒng)個(gè)自由度無阻尼系統(tǒng) tsXxe設(shè)設(shè)

50、 0e2tsXKCsMs代入方程代入方程由于由于一元一元2n次代數(shù)方程，次代數(shù)方程，對(duì)振動(dòng)問題，解一般為對(duì)振動(dòng)問題，解一般為), 2, 1(i21,njsjjjj系統(tǒng)無阻尼系統(tǒng)無阻尼 ), 2, 1(0njj系統(tǒng)不振動(dòng)系統(tǒng)不振動(dòng) 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定方程方程0ets要使要使 X 有非零解的充要條件為有非零解的充要條件為 02KCsMs), 2, 1(0njj)21(0njj或或或), 2, 1(0njj討論討論753. 2 特征值問題特征值問題 005 . 35 . 15 . 15 . 3200200212121xxkkkkxxccxxmm 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 05 .

51、 325 . 15 . 15 . 3222kcsmskkkcsms例例 3-10 已知二自由度系統(tǒng)的質(zhì)量已知二自由度系統(tǒng)的質(zhì)量m1= m2 = m ，彈簧剛度，彈簧剛度k1= k3=2 k， k2=1. 5 k, 粘粘性阻尼系數(shù)性阻尼系數(shù) c1= c2= 2 c。求系統(tǒng)的特征值。求系統(tǒng)的特征值。二自由度系統(tǒng)二自由度系統(tǒng) tsXxe設(shè)設(shè)代入方程，得到頻率方程代入方程，得到頻率方程0522222kcsmskcsms一般來說，對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)一般來說，對(duì)振動(dòng)系統(tǒng) 4 c 2 8 m k21,12i21mcmkmcs22,25i21mcmkmcs或或復(fù)特征值（系統(tǒng)具有粘性阻尼復(fù)特征值（系統(tǒng)具有粘性阻尼）76

52、3. 3 解耦與主坐標(biāo)解耦與主坐標(biāo) 坐標(biāo)的耦合坐標(biāo)的耦合動(dòng)力耦合和動(dòng)力耦合和靜力耦合靜力耦合 汽車車體汽車車體簡(jiǎn)化成作平面運(yùn)動(dòng)的剛性桿，簡(jiǎn)化成作平面運(yùn)動(dòng)的剛性桿，c是質(zhì)心。是質(zhì)心。 廣義坐標(biāo)：廣義坐標(biāo)：x， 彈性恢復(fù)力和慣性力如圖。（重力與彈性恢復(fù)力和慣性力如圖。（重力與彈簧初變形的力已抵消）彈簧初變形的力已抵消） 矩陣形式矩陣形式： 0)()()(4231lxklxkexm 0)()()(331442eexmllxkllxkJc 力和力矩平衡方程為力和力矩平衡方程為0023124231423142211xlklklklklklkkkxJememmc 動(dòng)力耦合或慣性耦合動(dòng)力耦合或慣性耦合靜力耦

53、合或彈性耦合靜力耦合或彈性耦合773. 3 解耦與主坐標(biāo)解耦與主坐標(biāo) 坐標(biāo)的耦合坐標(biāo)的耦合動(dòng)力耦合和動(dòng)力耦合和靜力耦合靜力耦合 廣義坐標(biāo)：廣義坐標(biāo)：x1， 10)()(121211111lxklxkxm 0)()(11111212121llxkllxkJc 力和力矩平衡方程為力和力矩平衡方程為矩陣形式矩陣形式： 000011211222112211222111xlklklklklklkkkxJmc 無動(dòng)力耦合無動(dòng)力耦合或慣性耦合或慣性耦合有靜力耦合有靜力耦合或彈性耦合或彈性耦合若使若使k2l2 = k1l1, 則既無則既無動(dòng)力耦合動(dòng)力耦合又無又無靜力耦合靜力耦合結(jié)論結(jié)論耦合與否完全取決于耦合與

54、否完全取決于坐標(biāo)的選取。坐標(biāo)的選取。783. 3 解耦與主坐標(biāo)解耦與主坐標(biāo) 解耦解耦 n個(gè)自由度無阻尼系統(tǒng)個(gè)自由度無阻尼系統(tǒng) 方程方程 0 xKxM yux 設(shè)設(shè) 0yuKyuM 0TTyuKuyuMu 兩邊分別左乘兩邊分別左乘uT 得得0000000000000001111 ninininiyyyKKKyyyMMM由振型矩陣正交性由振型矩陣正交性: 代入方程代入方程：或或: ), 2, 1(0niyKyMiiii 主坐標(biāo)主坐標(biāo) 使振動(dòng)微分方程解耦的坐標(biāo)使振動(dòng)微分方程解耦的坐標(biāo) xuy1793. 3 解耦與主坐標(biāo)解耦與主坐標(biāo) 例例 3-7 使例使例3-4的三自由度系統(tǒng)振動(dòng)的三自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分

55、方程解耦，并求主坐標(biāo)。微分方程解耦，并求主坐標(biāo)。振動(dòng)微分方程為振動(dòng)微分方程為 mmmM000000 kkkkkkkK20202三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) 0 xKxM 111202111u yux 設(shè)設(shè) 0yuKyuM 0TTyuKuyuMu 兩邊分別左乘兩邊分別左乘uT 得得由振型矩陣正交性由振型矩陣正交性: 代入方程代入方程：000)22(40004000)22(4400020004321321yyykkkyyymmm 主坐標(biāo)主坐標(biāo) xuy1 121202121411u80 31 建立圖示鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的振動(dòng)微分方程。 32 如圖所示，繩索上有兩個(gè)質(zhì)量 m1 和 m2 ( m1 = 2 m2 )，

56、各段繩索中的張力均為T ，用柔度法建立系統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程。習(xí)題習(xí)題81習(xí)題習(xí)題 33 圖示扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)中， k1 = k2 = k，J1 = 2 J2 = 2 J。 求系統(tǒng)的固有頻率和主振型；正則化振型矩陣和主坐標(biāo)；用三種方法估算系統(tǒng)的基頻，并與精確解作比較。 823. 4 自由振動(dòng)自由振動(dòng)位形位形展開定理展開定理系統(tǒng)振動(dòng)過程中，廣義位移的圖式稱為系統(tǒng)的位形。系統(tǒng)振動(dòng)過程中，廣義位移的圖式稱為系統(tǒng)的位形。系統(tǒng)任一位形能用系統(tǒng)主振型的線性組合表示。系統(tǒng)任一位形能用系統(tǒng)主振型的線性組合表示。 n個(gè)自由度無阻尼系統(tǒng)個(gè)自由度無阻尼系統(tǒng) 0 xKxM 方程方程主振型主振型 nXXXu,21設(shè)位形設(shè)位

57、形 u 可用下式表示可用下式表示 nnXcXcXcu2211niiiXc1如果如果 X i 線性相關(guān)，必有線性相關(guān)，必有 01niiiXcu其中其中c i 有為非零常數(shù)。有為非零常數(shù)。兩邊同時(shí)左乘兩邊同時(shí)左乘 X rTM 得：得： 01niiriXMXcu由矩陣的正交性：由矩陣的正交性： )(0irXMXir )(0irXMXir833. 4 自由振動(dòng)自由振動(dòng)展開定理展開定理系統(tǒng)任一位形能用系統(tǒng)主振型的線性組合表示。系統(tǒng)任一位形能用系統(tǒng)主振型的線性組合表示。由矩陣的正交性：由矩陣的正交性： )(0irXMXir )(0irXMXir因此只有當(dāng)因此只有當(dāng)c r =0 時(shí)，等式才成立。取時(shí)，等式才

58、成立。取r 1, 2, , n，重復(fù)，重復(fù)n次，可得結(jié)論，次，可得結(jié)論，只有當(dāng)只有當(dāng)c 1 =c 2 = c n =0 時(shí)，等式才成立，時(shí)，等式才成立，與前面的假設(shè)矛盾與前面的假設(shè)矛盾，因此系統(tǒng)，因此系統(tǒng)的振型矢量是線性獨(dú)立的。的振型矢量是線性獨(dú)立的。c i 的計(jì)算可對(duì)展開式兩邊左乘的計(jì)算可對(duì)展開式兩邊左乘 X rTM 得到得到 rrniiirrMcXcMXuMX1TT rrrMuMXcT84例例 3-8 例例3-4的三自由度系統(tǒng)質(zhì)量的三自由度系統(tǒng)質(zhì)量m1= m2= m3 = m ，彈簧剛度，彈簧剛度k1= k2= k3= k4= k 。當(dāng)系統(tǒng)的位移比為。當(dāng)系統(tǒng)的位移比為1, 2 ,3T、 1

59、, 2 ,3 T和和1, 2 ,3 T時(shí)，時(shí)，各階主振型的各階主振型的貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)如何？如何？三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) 111202111u121101121321131211ccc設(shè)設(shè)3. 4 自由振動(dòng)自由振動(dòng)展開定理展開定理系統(tǒng)任一位形能用系統(tǒng)主振型的線性組合表示。系統(tǒng)任一位形能用系統(tǒng)主振型的線性組合表示。mmmM000000 rrrMuMXcT 7071. 1432112111mImcmMmMmM424321 1232110112mImc 293. 0432112113mImc85例例 3-8 例例3-4的三自由度系統(tǒng)質(zhì)量的三自由度系統(tǒng)質(zhì)量m1= m2= m3 = m ，彈簧剛度，彈簧剛度k

60、1= k2= k3= k4= k 。當(dāng)系統(tǒng)的位移比為。當(dāng)系統(tǒng)的位移比為1, 2 ,3、 1, 2 ,3和和1, 2 ,3時(shí)，時(shí)，各各階主振型的貢獻(xiàn)階主振型的貢獻(xiàn)如何？如何？三自由度系統(tǒng)三自由度系統(tǒng) 111202111u121101121321232221ccc設(shè)設(shè)3. 4 自由振動(dòng)自由振動(dòng)展開定理展開定理系統(tǒng)任一位形能用系統(tǒng)主振型的線性組合表示。系統(tǒng)任一位形能用系統(tǒng)主振型的線性組合表示。mmmM000000 rrrMuMXcT 2071. 0432112121mImcmMmMmM424321 2232110122mImc 2071. 1432112123mImc86例例 3-8 例例3-4的三