宋冬輝古典概型的特征和概率計算公式1

1、21古典概型的特征和概率計算公式古典概型的特征和概率計算公式 口袋內(nèi)裝有口袋內(nèi)裝有2 2紅紅2 2白除顏色外完全相同的白除顏色外完全相同的4 4球球, 4, 4人按序人按序摸球摸球, ,摸到紅球為中獎摸到紅球為中獎, , 如何計算各人中獎的概率如何計算各人中獎的概率? ?問題引入：問題引入：我們通過我們通過大量的重復(fù)試驗大量的重復(fù)試驗發(fā)現(xiàn)：先抓的人和后抓發(fā)現(xiàn)：先抓的人和后抓的人的中獎率是一樣，即摸獎的順序不影響中獎的人的中獎率是一樣，即摸獎的順序不影響中獎率，先抓還是后抓對每個人來說是公平。率，先抓還是后抓對每個人來說是公平。大量的重復(fù)試驗大量的重復(fù)試驗費時，費力費時，費力對于一些特殊的隨機試

2、驗，我們可以根據(jù)試驗結(jié)對于一些特殊的隨機試驗，我們可以根據(jù)試驗結(jié)果的對稱性來確定隨機事件發(fā)現(xiàn)的概率果的對稱性來確定隨機事件發(fā)現(xiàn)的概率1 1、投擲一枚均勻的硬幣、投擲一枚均勻的硬幣, ,出現(xiàn)出現(xiàn)“正面朝上正面朝上”和和“反面朝上反面朝上” 的機會相等嗎？的機會相等嗎？2 2、拋擲一枚均勻的骰子、拋擲一枚均勻的骰子, ,出現(xiàn)數(shù)字出現(xiàn)數(shù)字 “1 1”、 “2 2”、“3 3”、“4 4”、“5 5”、“6 6” 的機會均等嗎？的機會均等嗎？3 3、轉(zhuǎn)動一個十等分、轉(zhuǎn)動一個十等分( (分別標上數(shù)字分別標上數(shù)字0 0、1 1、9)9)的轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)盤, ,箭頭指向每個數(shù)字的機會一樣嗎？箭頭指向每個數(shù)字的機會

3、一樣嗎？探究：這些試驗有什么共同特點?(1).試驗的所有可能結(jié)果只有有限個,且 每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果；(2).每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。古典概型抽象概括把具有上述兩個特征的隨機試驗的數(shù)學模型稱為(古典的概率模型)每個可能結(jié)果稱為基本事件 1古典概型的定義古典概型的定義 如果一個試驗滿足：如果一個試驗滿足： (1)試驗的所有可能結(jié)果只有試驗的所有可能結(jié)果只有 個，每次試驗個，每次試驗只出現(xiàn)其中的只出現(xiàn)其中的 個結(jié)果；個結(jié)果； (2)每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性 我們把具有這樣兩個特征的隨機試驗的數(shù)學模我們把具有這樣兩個特征的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型型稱

4、為古典概型(古典的概率模型古典的概率模型) 有限有限一一相同相同 （1 1）向一個圓面內(nèi)隨機地投一個點，如）向一個圓面內(nèi)隨機地投一個點，如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，你認為是古典模型嗎？為什么？你認為是古典模型嗎？為什么？試驗的所有可能結(jié)果是試驗的所有可能結(jié)果是無限無限的，故不是的，故不是古典模型古典模型思考交流（2）射擊運動員向一靶心進行射擊，這一試驗）射擊運動員向一靶心進行射擊，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)、命中環(huán)、命中9環(huán)、環(huán)、命中命中1環(huán)和命中環(huán)和命中0環(huán)（即不命中），你認為這是古環(huán)（即不命中），你認為這是古典概

5、率模型嗎？為什么？典概率模型嗎？為什么？所有可能結(jié)果有所有可能結(jié)果有11個，但命中個，但命中10環(huán)、環(huán)、9環(huán)、環(huán)、.0環(huán)環(huán)的的出現(xiàn)不是等可能的出現(xiàn)不是等可能的，故不是古典概率，故不是古典概率. 例例1下列概率模型是古典概型嗎？為什么？下列概率模型是古典概型嗎？為什么？ (1)從區(qū)間從區(qū)間1,10內(nèi)任意取出一個實數(shù)，求取到實數(shù)內(nèi)任意取出一個實數(shù)，求取到實數(shù)2的概率；的概率； (2)向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣，求正面朝上的概率；向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣，求正面朝上的概率； (3)從從1,2,3，100這這100個整數(shù)中任意取出一個整數(shù)，求取個整數(shù)中任意取出一個整數(shù)，求取到偶數(shù)的概率到偶數(shù)的概率

6、思路點撥思路點撥根據(jù)直觀印象判斷兩個試驗的基本事件數(shù)根據(jù)直觀印象判斷兩個試驗的基本事件數(shù)是否有限，每個基本事件是否等可能發(fā)生即可是否有限，每個基本事件是否等可能發(fā)生即可 精講詳析精講詳析(1)不是古典概型，因為區(qū)間不是古典概型，因為區(qū)間1,10中有無中有無限多個實數(shù)，取出的那個實數(shù)有無限多種結(jié)果，與古典概限多個實數(shù)，取出的那個實數(shù)有無限多種結(jié)果，與古典概型定義中型定義中“所有可能結(jié)果只有有限個所有可能結(jié)果只有有限個”矛盾矛盾 (2)不是古典概型，因為硬幣不均勻?qū)е虏皇枪诺涓判?，因為硬幣不均勻?qū)е隆罢嫦蛏险嫦蛏稀迸c與“反面向上反面向上”的概率不相等，與古典概型定義中的概率不相等，與古典概型定

7、義中“每一個試每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同”矛盾矛盾 (3)是古典概型，因為在試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是是古典概型，因為在試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，而且每個整數(shù)被抽到的可能性相等有限的，而且每個整數(shù)被抽到的可能性相等 一點通一點通只有同時滿足有限性和等可能性這兩個只有同時滿足有限性和等可能性這兩個條件的試驗才是古典概型，兩個條件只要有一個不滿足條件的試驗才是古典概型，兩個條件只要有一個不滿足就不是古典概型就不是古典概型1下列隨機事件：下列隨機事件：某射手射擊一次，可能命中某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，環(huán)，1環(huán)，環(huán)，2環(huán)，環(huán)，10環(huán)；環(huán)；一個小組有男生一個小組有男

8、生5人，女生人，女生3人，從中任選人，從中任選1人進行活動人進行活動匯報；匯報；一只使用中的燈泡壽命長短；一只使用中的燈泡壽命長短；拋出一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面的拋出一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面的情況；情況；中秋節(jié)前夕，某市工商部門調(diào)查轄區(qū)內(nèi)某品牌的月餅質(zhì)中秋節(jié)前夕，某市工商部門調(diào)查轄區(qū)內(nèi)某品牌的月餅質(zhì)量，給該品牌月餅評量，給該品牌月餅評“優(yōu)優(yōu)”或或“差差”這些事件中，屬于古典概型的有這些事件中，屬于古典概型的有_解析：解析：題號題號 判斷判斷原因分析原因分析不屬于不屬于命中命中0環(huán)，環(huán)，1環(huán)，環(huán)，2環(huán)，環(huán)，10環(huán)的概率不一環(huán)的概率不一定相同定相同屬于屬于任選任選1

9、人與學生的性別無關(guān)，仍是等可能的人與學生的性別無關(guān)，仍是等可能的不屬于不屬于燈泡的壽命是任何一個非負實數(shù)，有無限多燈泡的壽命是任何一個非負實數(shù)，有無限多種可能種可能屬于屬于該試驗結(jié)果只有該試驗結(jié)果只有“正正”“”“反反”兩種，且機會兩種，且機會均等均等不屬于不屬于該品牌月餅評該品牌月餅評“優(yōu)優(yōu)”與與“差差”的概率不一定的概率不一定相同相同答案：答案：2(1)在數(shù)軸上在數(shù)軸上03之間任取一點，求此點的坐標小于之間任取一點，求此點的坐標小于1的概率此試驗是否為古典概型？為什么？的概率此試驗是否為古典概型？為什么？(2)從從1,2,3,4四個數(shù)中任意取出兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之四個數(shù)中任意取出兩個數(shù)，求

10、所取兩數(shù)之一是一是2的概率此試驗是古典概型嗎？試說明理由的概率此試驗是古典概型嗎？試說明理由解：解：(1)在數(shù)軸上在數(shù)軸上03之間任取一點，此點可以在之間任取一點，此點可以在03之間的任一位置，且在每個位置上的可能性是相同之間的任一位置，且在每個位置上的可能性是相同的，具備等可能性但試驗結(jié)果有無限多個，不滿足的，具備等可能性但試驗結(jié)果有無限多個，不滿足古典概型試驗結(jié)果的有限性因此不屬于古典概型古典概型試驗結(jié)果的有限性因此不屬于古典概型(2)此試驗是古典概型，因為此試驗的所有基本事件共有此試驗是古典概型，因為此試驗的所有基本事件共有6個：個：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,

11、4)，(3,4)，且每個事，且每個事件的出現(xiàn)是等可能的，因此屬于古典概型件的出現(xiàn)是等可能的，因此屬于古典概型.練習：練習：1.一個口袋內(nèi)裝有大小相等的一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白球和個白球和已編有號碼的已編有號碼的3個黑球，從中摸出個黑球，從中摸出2個球個球(1)共有多少種不同的結(jié)果共有多少種不同的結(jié)果(基本事件基本事件)?(2)摸出摸出2個黑球有多少種不同結(jié)果？個黑球有多少種不同結(jié)果？(1)共有共有6種不同結(jié)果，分別為種不同結(jié)果，分別為黑黑1，黑，黑2、黑黑1，黑，黑3、黑黑2，黑，黑3、白，黑白，黑1、白，黑白，黑2、白，黑白，黑3(2)從上面所有結(jié)果可看出摸出從上面所有結(jié)果可看出摸出2

12、個黑球個黑球的結(jié)果有的結(jié)果有3種種2.袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個，現(xiàn)袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個，現(xiàn)依次有放回地隨機摸取依次有放回地隨機摸取3次，每次摸取一個球次，每次摸取一個球(1)寫出該試驗的基本事件及基本事件總數(shù)；寫出該試驗的基本事件及基本事件總數(shù)；(2)寫出寫出“取出的三球是二紅一黑取出的三球是二紅一黑”這一事件包含這一事件包含的基本事件的基本事件解析解析(1)由題意所有可能的基本事件有：由題意所有可能的基本事件有：(紅、紅、紅紅、紅、紅)、(紅、紅、紅、黑紅、黑)、(紅、黑、紅紅、黑、紅)、(紅、黑、黑紅、黑、黑)、(黑、紅、紅黑、紅、紅)、(黑、紅、黑、紅、黑

13、黑)、(黑、黑、紅黑、黑、紅)、(黑、黑、黑黑、黑、黑)共有共有8個基本事件個基本事件(2)“取出的三球是二紅一黑取出的三球是二紅一黑”這一事件包括這一事件包括(紅、紅、黑紅、紅、黑)、(紅、紅、黑、紅黑、紅)、(黑、紅、紅黑、紅、紅)共共3個基本事件個基本事件.nmAAP基基本本事事件件的的總總數(shù)數(shù)包包含含的的基基本本事事件件的的個個數(shù)數(shù) )(古典概型的概率公式注意：計算事件A概率的關(guān)鍵（1）計算試驗的所有可能結(jié)果數(shù)n；（2）計算事件A包含的可能結(jié)果數(shù)m.對于古典概型，任何事件的概率計算公式為：對于古典概型，任何事件的概率計算公式為：在使用古典概型的概率公式時，應(yīng)該注意：在使用古典概型的概率

14、公式時，應(yīng)該注意：（1 1）要判斷該概率模型是不是古典概型；）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2 2）要找出隨機事件）要找出隨機事件A A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)本事件的總數(shù). .所包含的基本事件的個數(shù)（）基本事件的總數(shù)AA.P把一枚骰子拋把一枚骰子拋1次，設(shè)正面出現(xiàn)的點數(shù)為次，設(shè)正面出現(xiàn)的點數(shù)為x.(1)求出求出x的可能取值情況的可能取值情況(即全體基本事件即全體基本事件)；(2)下列事件由哪些基本事件組成下列事件由哪些基本事件組成(用用x的取值回答的取值回答)：x的取值為的取值為2的倍數(shù)的倍數(shù)(記為事件記為事件A)；x的取值大于的取值大于3

15、(記為事件記為事件B)；x的取值不超過的取值不超過2(記為事件記為事件C)；x的取值是質(zhì)數(shù)的取值是質(zhì)數(shù)(記為事件記為事件D)(3)判斷判斷(2)中事件是否為古典概型，并求其概率中事件是否為古典概型，并求其概率同時擲同時擲兩粒兩粒均勻的骰子均勻的骰子, ,落地時向上的點數(shù)之和有落地時向上的點數(shù)之和有幾種可能？并求（幾種可能？并求（1 1）點數(shù)之和為）點數(shù)之和為7 7的概率的概率 (2)點數(shù)點數(shù)之和為之和為5的倍數(shù)的概率；的倍數(shù)的概率；(3)點數(shù)之和大于點數(shù)之和大于3且小于且小于8的概率；的概率；123456123456723456783456789456789105678910116789101

16、112列表法先后拋擲兩枚骰子先后拋擲兩枚骰子至少有一個至少有一個4點或點或5點的概率點的概率 甲、乙兩校各有甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校名教師報名支教，其中甲校2男男1女，乙校女，乙校1男男2女女(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性名教師性別相同的概率；別相同的概率；(2)若從報名的若從報名的6名教師中任選名教師中任選2名，寫出所有名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學名教師來自同一學校的概率校的概率(1)若從甲校和乙校報名的教師中各

17、任選若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；名教師性別相同的概率；(2)若從報名的若從報名的6名教師中任選名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的并求選出的2名教師來自同一學校的概率名教師來自同一學校的概率1.1.古典概型古典概型(1)(1)有限性有限性; (2); (2)等可能性等可能性. .2.2.古典概率古典概率公式公式3.3.古典概型的解題步驟古典概型的解題步驟: :求出總的基本事件的個數(shù)；求出總的基本事件的個數(shù)；求出事件求出事件A A所包含的基本事件的個數(shù)；所包含的基

18、本事件的個數(shù)；然后利用公式求解然后利用公式求解. .包含的基本事件的個數(shù).基本事件的總數(shù)Am( )nP A 甲、乙兩人用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲，轉(zhuǎn)動甲、乙兩人用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲，轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次兩個轉(zhuǎn)盤各一次(1)若兩次數(shù)字之差的絕對值為若兩次數(shù)字之差的絕對值為0,1或或2，則甲勝，則甲勝，否則乙勝；否則乙勝；(2)若兩次數(shù)字之和是若兩次數(shù)字之和是2的倍數(shù)，則甲勝，而若兩次的倍數(shù)，則甲勝，而若兩次數(shù)字之和是數(shù)字之和是3的倍數(shù)或的倍數(shù)或5的倍數(shù)，則乙勝分別求的倍數(shù)，則乙勝分別求出兩個游戲中甲、乙獲勝的概率出兩個游戲中甲、乙獲勝的概率(1)若兩次數(shù)字之差的絕對值為若兩次數(shù)字之差的絕對值

19、為0,1或或2，則甲勝，則甲勝，否則乙勝；否則乙勝；解析解析(1)用列表的方法可用列表的方法可以看出所有可能的結(jié)果為：以看出所有可能的結(jié)果為：從表可以看出兩個數(shù)字之差從表可以看出兩個數(shù)字之差的絕對值為的絕對值為0的有的有4種可能結(jié)種可能結(jié)果，為果，為1的有的有7種可能結(jié)果，種可能結(jié)果，為為2的有的有6種可能結(jié)果，所以種可能結(jié)果，所以甲勝的概率為甲勝的概率為17/30，而乙勝，而乙勝的概率為的概率為13/30.(2)若兩次數(shù)字之和是若兩次數(shù)字之和是2的倍數(shù)，則甲勝，而若兩次的倍數(shù)，則甲勝，而若兩次數(shù)字之和是數(shù)字之和是3的倍數(shù)或的倍數(shù)或5的倍數(shù)，則乙勝的倍數(shù)，則乙勝出現(xiàn)的兩個數(shù)字之和是出現(xiàn)的兩個數(shù)

20、字之和是2的倍數(shù)的有的倍數(shù)的有15種，出現(xiàn)的種，出現(xiàn)的兩個數(shù)字之和是兩個數(shù)字之和是3的倍數(shù)的有的倍數(shù)的有10種，種，5的倍數(shù)的有的倍數(shù)的有7種，所以甲勝的概率為種，所以甲勝的概率為1/2，而乙勝的概率為，而乙勝的概率為17/30.甲、乙兩同學下棋，勝一盤得甲、乙兩同學下棋，勝一盤得2分，和一盤各得分，和一盤各得1分，負一盤得分，負一盤得0分連下三盤，得分多者為勝，分連下三盤，得分多者為勝，求甲獲勝的概率求甲獲勝的概率 甲口袋中裝有兩個相同的小球，它們的標號分甲口袋中裝有兩個相同的小球，它們的標號分別為別為2和和7，乙口袋中裝有兩個相同的小球，它，乙口袋中裝有兩個相同的小球，它們的標號分別為們的

21、標號分別為4和和5，丙口袋中裝有三個相同，丙口袋中裝有三個相同的小球，它們的標號分別為的小球，它們的標號分別為3,8,9.從這從這3個口袋個口袋中各隨機地取出中各隨機地取出1個小球個小球 (1)求取出的求取出的3個小球的標號全是奇數(shù)的概率；個小球的標號全是奇數(shù)的概率； (2)以取出的三個小球的標號分別表示三條線以取出的三個小球的標號分別表示三條線段的長度，求這些線段能構(gòu)成三角形的概率段的長度，求這些線段能構(gòu)成三角形的概率(1)求取出的求取出的3個小球的標號全是奇數(shù)的概率；個小球的標號全是奇數(shù)的概率；(2)以取出的三個小球的標號分別表示三條線段的以取出的三個小球的標號分別表示三條線段的長度，求這

22、些線段能構(gòu)成三角形的概率長度，求這些線段能構(gòu)成三角形的概率1.有有4個號碼：個號碼：1號、號、2號、號、3號、號、4號裝入一袋中，從中號裝入一袋中，從中任取任取2個，一個等于個，一個等于3號，一個小于號，一個小于3號，問取一次就能號，問取一次就能達到要求的概率是多少？達到要求的概率是多少？ 2盒子中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)依次盒子中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)依次有放回地隨機摸取有放回地隨機摸取3次，每次摸取一個球，次，每次摸取一個球，(1)試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果；的結(jié)果；(2)若摸到紅球時得若摸到紅球

23、時得2分，摸到黑球時得分，摸到黑球時得1分，求分，求3次摸次摸球所得總分為球所得總分為5的概率的概率解：解：(1)一共有一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：種不同的結(jié)果，列舉如下：(紅，紅，紅紅，紅，紅)、(紅，紅，黑紅，紅，黑)、(紅，黑，紅紅，黑，紅)、(黑，黑，紅，紅紅，紅)、(紅，黑，黑紅，黑，黑)、(黑，紅，黑黑，紅，黑)、(黑，黑，黑，黑，紅紅)、(黑，黑，黑黑，黑，黑)(2)若摸到紅球時得若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得分，摸到黑球時得1分，求分，求3次次摸球所得總分為摸球所得總分為5的概率的概率(紅，紅，紅紅，紅，紅)、(紅，紅，黑紅，紅，黑)、(紅，黑，紅紅，黑，紅)、(黑，紅，

24、紅黑，紅，紅)(紅，黑，黑紅，黑，黑)、(黑，紅，黑黑，紅，黑)、(黑，黑，紅黑，黑，紅)、(黑，黑，黑黑，黑，黑)3.甲、乙兩人玩一種游戲，每次由甲、乙各出甲、乙兩人玩一種游戲，每次由甲、乙各出1到到5根手指根手指頭，若和為偶數(shù)則甲贏，否則乙贏頭，若和為偶數(shù)則甲贏，否則乙贏(1)若以若以A表示事件表示事件“和為和為6”，求，求P(A)；(2)若以若以B表示事件表示事件“和大于和大于4而小于而小于9”，求，求P(B)；(3)這種游戲公平嗎？試說明理由這種游戲公平嗎？試說明理由 思路點撥思路點撥一個基本事件應(yīng)該包括一個基本事件應(yīng)該包括“甲出的手指頭甲出的手指頭數(shù)和乙出的手指頭數(shù)數(shù)和乙出的手指頭數(shù)

25、”，可用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，將，可用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，將所有基本事件列出后，分析所求事件包括的基本事件數(shù)所有基本事件列出后，分析所求事件包括的基本事件數(shù)即可求解即可求解 精解詳析精解詳析將所有可能情況列表如下：將所有可能情況列表如下：甲乙甲乙123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5) 由上表可知，該試驗共包括由上表可知，該試驗共包括25個等可能發(fā)生的個等可能發(fā)生的基本事件，屬于古典概型基本事件，屬于古典概型4從從4名男生和名男生和2名女生中任選名女生中任選3人參加演講比賽人參加演講