材料力學 第6章彎曲變形

1、材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形6-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形6-5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁6-6 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的一些措施材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-1 6-1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題在工程實踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強在工程實踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠

2、的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機器正常工作。以保證結(jié)構(gòu)或機器正常工作。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至會出現(xiàn)廢品。加工精度，甚至會出現(xiàn)廢品。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 橋式起重機的橫梁變形過大橋式起重機的橫梁變形過大,則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象?，F(xiàn)象。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變但在另外一些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作

3、需要。例如，車輛上的板彈簧，要求有形，以滿足特定的工作需要。例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。P2P2P材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-2 6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程1.梁的梁的撓曲線撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線。BAB1Fxq qq qwyx 2.梁位移的度量：梁位移的度量：撓度撓度：梁橫截面形心的豎向位移：梁橫截面形心的豎向位移w，向上的撓度為正，向上的撓度為正轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度

4、q q，逆時針轉(zhuǎn)動為正，逆時針轉(zhuǎn)動為正撓曲線方程撓曲線方程：撓度作為軸線坐標的函數(shù)：撓度作為軸線坐標的函數(shù) w=f(x)轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程(小變形下小變形下)：轉(zhuǎn)角與撓度的關系：轉(zhuǎn)角與撓度的關系)( xfdxdwtgqq3.計算位移的目的：計算位移的目的：剛度校核、解超靜定梁、適當施工措施剛度校核、解超靜定梁、適當施工措施材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形4.撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到：推導彎曲正應力時，得到：z zEIEIM M1 1忽略剪力對變形的影響忽略剪力對變形的影響zEIxMx)()(1 材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形

5、由數(shù)學知識可知：由數(shù)學知識可知：3222)(1 1dxdwdxwd略去高階小量，得略去高階小量，得221dxwd所以所以zEIxMdxwd)(222M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) b。解解 1）由梁整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx,02）彎矩方程）彎矩方程 axxlFbxFxMAy11110 ,AC 段：段：lxaaxFxlFbaxFxFxMAy222222),()(CB 段：段：maxyab1x2xACDFxAyFByFAqBqyB材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形3）列撓曲線近似

6、微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分112112)(xlFbxMdxydEI1211112)(CxlFbxEIdxdyEIq1113116DxCxlFbEIyAC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEIq2223232)(662DxCaxFxlFbEIyCB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAqBqyB材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù)0)(,22 lylx0)0(, 011 yx代入求解，得代入求解，得位

7、移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件)()(,2121aaaxxq qq q )()(,2121ayayaxx lFbFblCC661321 021 DDmaxyab1x2xACDFxAyFByFAqBqyB材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程)(6222211bllFbxlFbEIq12231)(661xbllFbxlFbEIyAC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEIq22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIyCB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFx

8、AyFByFAqBqyB材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令令 得，得，0 dxdq q)(6,maxalEIlFablxB q qq q令令 得，得，0 dxdy)(39)(,3322max22EIlblFbyblx maxyab1x2xACDFxAyFByFAqBqyB材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-3-2 已知梁的抗彎剛度為已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均。試求圖示簡支梁在均布載荷布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max和和wmax。xqylxA

9、B解：解：M xqlxqx( ) 222222xqxqlwEI CxqxqlwEI3264DCxxqxqlEIw432412材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：方程分別為：)46(24332lxlxEIqq)2(24332lxlxEIqxw最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：EIqlBA243maxqqqEIqlwwlx384542maxqAB由邊界條件：由邊界條件：0; 00wlxwx時，時，得：得：0,243DqlCxlABxy材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-4 6-4 用疊加法求彎曲變形用

10、疊加法求彎曲變形)(22xMEIwdxwdEI 設梁上有設梁上有n 個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為q q，撓度為，撓度為y，則有：，則有：)(xMEIwii 若梁上只有第若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為個載荷單獨作用，截面上彎矩為Mi(x) ，轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為q qi，撓度為，撓度為yi，則有：，則有：由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMwEIwEIniinii 材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形故故 )( 1 niiww由于梁的邊界條件不變，因此由于

11、梁的邊界條件不變，因此,1 niiqq niiww1重要結(jié)論：重要結(jié)論： 梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是這就是計算彎曲變形的疊加原理計算彎曲變形的疊加原理。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 力與位移之間的線性關系力與位移之間的線性關系 小變形小變形材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-4-1 按疊加原理求按疊加原理求A點轉(zhuǎn)點轉(zhuǎn)角和角和C點撓度。點撓度。qqPP=+AAABBBCaaEIqaEIPaqAPAA3432qq

12、qEIPaEIqawC624534EIPawPC63EIPaPA42qEIqLwqC2454EIqaqA33q材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-4-2 已知簡支梁受力如圖示，已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。均為已知。求求C 截面的撓度截面的撓度yC ；B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角q qB。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形yC1yC2yC3EIqlB2431qEIqlB1632qEIqlB333qEIqlwC384541EIqlwC4842EIqlwC1643EIqlEIqlEIqlEIqlwC38411164838454444EIqlEIqlEIql

13、EIqlB4811316243333q材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-4-3 已知：懸臂梁受力如圖示，已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已均為已知。求知。求C截面的撓度截面的撓度yC和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角q qC。Cy材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形Cw1Cw,841EIqlwC,248128234222lEIqlEIqllwwBBCqEIqlC631qEIqlC4832qEIqlwwiCiC38441421EIqliCiC487321qq2Cw2Bw材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法

14、）：例例6-4-4 試按疊加原理求圖示等直外伸梁截面試按疊加原理求圖示等直外伸梁截面B的的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角q qB，以及，以及A端和端和BC段中點段中點D的撓度的撓度wA和和wD。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形解：解：=材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqBqqq)(241162238454224EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD EIqaEIaqaEIqawwwA443211278231材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-4-4 剛架剛架ABC承載如圖承載如圖, 各桿的抗彎剛度為各桿的抗

15、彎剛度為EI, 求剛架自由端求剛架自由端C的水平位移和垂直位移的水平位移和垂直位移.EIFaEIaFauc3222)2)( EIFaEIFaaEIaFawc373)2)(33 水平位移水平位移垂直位移垂直位移材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-5 6-5 簡單超靜定梁簡單超靜定梁例例6-5-1 試求圖示系統(tǒng)的求試求圖示系統(tǒng)的求全部未知力。全部未知力。解：解：建立靜定基建立靜定基確定超靜定次數(shù)，用反力代替多確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)余約束所得到的結(jié)構(gòu)靜定基。靜定基。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxf材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形

16、幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程0BBRBqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程物理方程變形與力的關系變形與力的關系補充方程補充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它問題（反力、應力、求解其它問題（反力、應力、變形等）變形等）材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形幾何方程幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：解：解：建立靜定基建立靜定基BCBRBqBLwwwB =例例6-5-1結(jié)構(gòu)如圖，求結(jié)構(gòu)如圖，求B B點反力。點反力。LBCEAq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0ABxf材料力學材料力學

17、第六章第六章 彎曲變形彎曲變形=LBCEAq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程物理方程變形與力的關系變形與力的關系補充方程補充方程求解其它問題（反力、應力、變求解其它問題（反力、應力、變形等）形等）EILRwEIqLwBBRBqB3;834 EALREILREIqLBCBB 3834)3(834EILALIqLRBCB EALRLBCBBC xf材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形例例6-5-3 試求圖試求圖a所示系統(tǒng)中鋼桿所示系統(tǒng)中鋼桿AD內(nèi)的拉力內(nèi)的拉力FN。鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量E已知；鋼桿的已知；鋼桿的橫截面積橫截面積A和鋼梁橫截

18、面對中性軸的慣性矩和鋼梁橫截面對中性軸的慣性矩I 亦為亦為已知。已知。材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形EAlFlEIaFEIqawwwDAAFAqAN3N4 127，需要注意，因需要注意，因 lDA亦即圖亦即圖b中的中的 是向下的，故上式中是向下的，故上式中wAF為負的。為負的。1AA材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形于是根據(jù)位移于是根據(jù)位移(變形變形)相容條件得補充方相容條件得補充方程：程：由此求得由此求得EAlFEIaFEIqaN3N412734N 127AalIAqaF材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形6-6 6-6 提高彎曲剛度的一些措施提高彎曲剛度的一些措施一、改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值一、改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改改變變支支座座形形式式材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形改改變變載載荷荷類類型型材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形二、選擇合理的截面形狀二、選擇合理的截面形狀材料力學材料力學 第六章第六章 彎曲變形彎曲變形三三 、選用高強度材料，提高許用應力值、選用高強度材料，提高許用應力值 同類同類材料材料，“E”值