第 11 章 電勢 (2)

1、2022-5-281第第 11 11 章章 電勢電勢一、一、靜電場的保守性靜電場的保守性二、二、電勢差和電勢電勢差和電勢三、三、電勢疊加原理電勢疊加原理四、四、等勢面等勢面五、五、電勢梯度電勢梯度六、六、點電荷在外電場中的點電荷在外電場中的電勢能電勢能2022-5-282b一、靜電場的保守性一、靜電場的保守性r與引力場相類似與引力場相類似，靜電，靜電場也是場也是保守場，靜電力保守場，靜電力是保守力，即靜電力作功與具體路徑無關(guān)。是保守力，即靜電力作功與具體路徑無關(guān)。 1.靜電場力所作的功靜電場力所作的功 Edrq0 lF ddAq點點電荷 q 產(chǎn)生的靜電場中：產(chǎn)生的靜電場中：將電量為 的點電荷由

2、a點沿任意路徑L移到b點電場力所做的功0qldEq0ldEqcos02022-5-283兩邊積分 barrLEdrqdAA0drrqqbarr2004)11(400barrqq 即即靜電場力作功與具體路徑無關(guān)。靜電場力作功與具體路徑無關(guān)。q由若干靜止的點電荷組成的電荷系：由場強疊加原理，同理可證明靜電場力作功靜電場力作功與具體路徑無關(guān)。與具體路徑無關(guān)。q靜止的連續(xù)的帶電體：一、靜電場的保守性一、靜電場的保守性bEdrq0 lF ddAldEq0ldEqcos02022-5-284一、靜電場的保守性一、靜電場的保守性r在靜電場中，電場力對試驗電荷所作的功，只在靜電場中，電場力對試驗電荷所作的功，

3、只取決于試驗電荷取決于試驗電荷 q0 及其始末位置，與連接始末及其始末位置，與連接始末位置的具體路徑無關(guān)。這個性質(zhì)稱為位置的具體路徑無關(guān)。這個性質(zhì)稱為靜電場的保靜電場的保守性守性。 2.靜電場的保守性靜電場的保守性 或者，對任何靜電場，電場強度的線積分 只取決于始末位置，與連接始末位置的具體路徑始末位置，與連接始末位置的具體路徑無關(guān)。這個性質(zhì)稱為無關(guān)。這個性質(zhì)稱為靜電場的保守性靜電場的保守性。 rdEPP)()(212022-5-285一、靜電場的保守性一、靜電場的保守性 3.靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 q靜電場的保守性也可表述成另一種形式rdErdErdEPPPPL)()()()(12

4、21rdErdEPPPP)()()()(212100rdEL2022-5-286一、靜電場的保守性一、靜電場的保守性即：即：在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積分等于零。分等于零。0rdEL上式稱為上式稱為靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理。2022-5-287二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢r靜電力作功與具體路徑無關(guān)靜電力作功與具體路徑無關(guān)，只，只取決于試驗電荷取決于試驗電荷的的始末位置始末位置。 1.電勢差電勢差 2211()()000()()011()4PPPPabq qAq E dr qE drrrr定義定義電勢差電勢差)P()P(rdEqA21021

5、21()()PPE dr只由與只由與P1、P2位置有關(guān)的函數(shù)（稱勢位置有關(guān)的函數(shù)（稱勢函數(shù)）決定。函數(shù)）決定。r即即若在點電荷電場中若在點電荷電場中2022-5-288二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢 2.電勢電勢則：電場中則：電場中 P1 點的電勢點的電勢p若選 P2 點為電勢零點，即電勢零點，即02)P()P(rdE2121)P()P(rdE2112022-5-289p故:電場中任一點P的電勢為電勢為其中其中P0 為電勢零點為電勢零點0()PpPE drr上式表明，電場中某點的電勢，等于把單位上式表明，電場中某點的電勢，等于把單位正電荷從該點經(jīng)任意路徑移到正電荷從該點經(jīng)任意路徑移到電勢零點

6、電勢零點處電場處電場力所作的功。力所作的功。2022-5-2810二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢r電勢單位：電勢單位：焦?fàn)柦範(fàn)?庫侖庫侖，稱為，稱為伏特伏特，簡稱，簡稱伏伏 (V)。量綱。量綱L2MT-3I-1)(PrdEp當(dāng)電荷只分布在有限區(qū)域時，電勢零點通常選在當(dāng)電荷只分布在有限區(qū)域時，電勢零點通常選在無限遠(yuǎn)處，這時無限遠(yuǎn)處，這時P點電勢點電勢2022-5-2811b二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢r點點電荷經(jīng)任意路徑移電荷經(jīng)任意路徑移動動,電場力所作的功電場力所作的功)()(0bardEqA)(0baq )()(0babardEqA)(0abq 3.電場力作功電場力作功( (用電勢差表

7、示用電勢差表示) )2022-5-2812p點電荷 從P1點移到P2點時，靜電場力做的功0q)P()P(rdEq210)(q210rdFA)P()P(211221012 qAl描述靜電場的物理量：電場強度電勢0FEq二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢0()PpPE dr其中P0 為電勢零點若若 為正，則電場為正，則電場力作正功時，電場力作正功時，電場的電勢降低的電勢降低。0q2022-5-2813二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢r點點電荷電荷空間任意一點的電勢空間任意一點的電勢 4.單個點電荷空間的電勢單個點電荷空間的電勢 dPEr rdrrq2041rq041 qprrerq 2041 E積分

8、路徑沿位矢方向積分路徑沿位矢方向2022-5-2814二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢在正電荷的電場中，各點的電勢均為正在正電荷的電場中，各點的電勢均為正 值，離電荷越遠(yuǎn)的點，電勢越低；值，離電荷越遠(yuǎn)的點，電勢越低；在負(fù)電荷的電場中，各點的電勢均為負(fù)在負(fù)電荷的電場中，各點的電勢均為負(fù)值，離電荷越遠(yuǎn)的點，電勢越高。值，離電荷越遠(yuǎn)的點，電勢越高。rq041 即：沿著電力線方向，電勢降低。即：沿著電力線方向，電勢降低。2022-5-2815二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢明確電勢零點，明確電勢零點，求出電場分布，求出電場分布，選一條積分路徑積分。選一條積分路徑積分。5.5.求空間的電勢分布求空間的電

9、勢分布r 例例1: 求均勻帶電球面的電場中的電勢分布。求均勻帶電球面的電場中的電勢分布。球面半徑為球面半徑為R，總帶電量為，總帶電量為q。2022-5-2816二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢解：解：1選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點；選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點；2場強分布函數(shù)為：場強分布函數(shù)為：當(dāng) r R時， 204rqEer2022-5-2817二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢3求電勢分布函數(shù)：求電勢分布函數(shù)：rdErrq04 r R時，選徑向為積分路徑，則時，選徑向為積分路徑，則drrqr204 r R時，選徑向為積分路徑，則時，選徑向為積分路徑，則2022-5-2818二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢r

10、dErrdErdERRrRq04說明：均勻帶電球面內(nèi)各點電勢相等，稱等勢體。說明：均勻帶電球面內(nèi)各點電勢相等，稱等勢體。（常數(shù)常數(shù)）drrqR20402022-5-2819二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢RorRor1常量均勻帶電球面的電勢分布均勻帶電球面的電勢分布2022-5-2820u一半徑為R的均勻帶電球面，帶電量為Q，若規(guī)定該球面上電勢為零，則球面 外距球心r處的P點的電勢 _ p答案：0114pQrR課堂練習(xí)2022-5-2821二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢例例2 2：求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布：求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布解：解：（1 1）場強分布函數(shù)為）

11、場強分布函數(shù)為rE02方向沿徑向方向沿徑向（2 2）電勢零點的選擇）電勢零點的選擇rp00r選在選在 點（如圖），距帶電直線距離為點（如圖），距帶電直線距離為 。0r02022-5-2822二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢u問題：電勢零點能否選在無窮遠(yuǎn)處？為什么？問題：電勢零點能否選在無窮遠(yuǎn)處？為什么？答：若將電勢零點選在無窮遠(yuǎn)處，則答：若將電勢零點選在無窮遠(yuǎn)處，則 電荷分布擴(kuò)展到無窮遠(yuǎn)時，電勢電荷分布擴(kuò)展到無窮遠(yuǎn)時，電勢零點不能選在無窮遠(yuǎn)處。零點不能選在無窮遠(yuǎn)處。 rdEp電勢為無窮大值失去意義，故電勢為無窮大值失去意義，故rp00r2022-5-2823二、電勢差和電勢二、電勢差和電勢3

12、3電勢的計算電勢的計算rp00r任意一點任意一點 P P 的電勢的電勢)()(0pprdErdErdEpppp)()()()(0drrrr002002)(0rr2022-5-2824三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理 1.電勢疊加原理電勢疊加原理r在由多個帶電體產(chǎn)生的電場中，任意一點的電在由多個帶電體產(chǎn)生的電場中，任意一點的電勢等于各個帶電體單獨存在時在該點產(chǎn)生的電勢勢等于各個帶電體單獨存在時在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。這個結(jié)論稱為的代數(shù)和。這個結(jié)論稱為電勢的疊加原理電勢的疊加原理。iiEE 0PPl dE 0021PPPPl dEl dE 0PPil dE21 i 由若干個帶電體組成的電荷系的電

13、場：由若干個帶電體組成的電荷系的電場：其電勢：其電勢：2022-5-2825三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理 2.多個多個點點電荷電場電荷電場中中的電勢的電勢 i rq041 iirq041r單個點單個點電荷電荷的電勢的電勢r多個點多個點電荷電荷的總電勢的總電勢2022-5-2826三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理 3.任意帶電體電場中的電勢任意帶電體電場中的電勢rdqd041 r任意帶電體任意帶電體可以看作由無窮多個電荷元組成，可以看作由無窮多個電荷元組成，每個電荷元可以看成每個電荷元可以看成點點電荷電荷，則，則 Lrdl 041電荷線分布電荷線分布 rdq041 VrdV 041電荷體分布

14、電荷體分布 SrdS 041電荷面分布電荷面分布2022-5-2827三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理例例1 一半徑為一半徑為R的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，所帶總電的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，所帶總電量為量為q，求在圓環(huán)軸線上任意點，求在圓環(huán)軸線上任意點P的電勢。的電勢。XoRxPdq22xRr解：解： 利用點電荷電勢利用點電荷電勢公式及電勢疊加公式及電勢疊加原理求解。原理求解。1在圓環(huán)上任選一電荷元在圓環(huán)上任選一電荷元dq，該電荷元在，該電荷元在P點產(chǎn)生的電勢為：點產(chǎn)生的電勢為：rdqd04 4.例題例題2022-5-2828XoRxPdq22xRr2由電勢疊加原理，由電勢疊加原理，兩邊積分，得：兩邊積分，得：

15、qdqr041rq042204xRql若若x = 0 （P點位于環(huán)心點位于環(huán)心O處），處）， 則則Rq04三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理rdq04l若xR，則xq042022-5-2829三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理例例2求均勻帶電圓盤軸線上任一點的電勢。已求均勻帶電圓盤軸線上任一點的電勢。已知盤半徑為知盤半徑為 R，電荷面密度，電荷面密度。xrOdrR22rxP解：在圓盤上選一個半徑為解：在圓盤上選一個半徑為r，厚度為，厚度為dr的細(xì)圓環(huán)。的細(xì)圓環(huán)。則該細(xì)圓環(huán)在則該細(xì)圓環(huán)在P點產(chǎn)生電勢為點產(chǎn)生電勢為2204xrdqd2204xRq2022-5-2830三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理x

16、rOdrR22rx PSrxdS2204而 ，兩邊積分dsdq)(2220 xRxrdrdS2Rrxrdr0220422022-5-2831三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理討論討論xRxxRxxRxRxRx2)211()1()()1(22221222122 時時xQxRxxRx0022044)2(2 此時圓盤相當(dāng)于一個點電荷。此時圓盤相當(dāng)于一個點電荷。220()2xRx2022-5-2832三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理討論討論02202)(20)2( RxRxx 時時2022-5-2833三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理例例3 右圖表示兩個同心的均勻帶電球面，半徑分右圖表示兩個同心的均勻帶

17、電球面，半徑分 別為別為 , 分別帶有電量分別帶有電量CqCqBA99102,102cmRcmRBA10,5。求距球求距球心距離為心距離為cmr ,cmr ,cmr2615321處的電勢處的電勢。解：解：1外球外側(cè)外球外側(cè) 點電勢點電勢1P1PBqAqARBRo2P3P1r2r3r由電勢疊加原理，可知由電勢疊加原理，可知2022-5-2834AqBqARBRo1P1rBqAqARo1P1rBRo1P1r111BA101044rqrqBA104rqqBA0三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理2022-5-28352兩球面中間兩球面中間 點的電勢點的電勢2PAqBqARBRo2P2rBqBRo2P2r

18、AqARo2P2rBBARqrq02044222BA10. 010210906. 01021099999120V三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理2022-5-28363內(nèi)球內(nèi)側(cè)內(nèi)球內(nèi)側(cè) 點的電勢點的電勢3PAqBqARBRo3P3rBqAqARo3P3rBRo3P3r=+333BABBAARqRq004410. 010210905. 01021099999=180V三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理2022-5-2837三、電勢疊加原理三、電勢疊加原理r 已知電荷分布，求電勢分布的方法：已知電荷分布，求電勢分布的方法：方法一：方法一：利用電勢公式利用電勢公式 ， rdEopp先求場強分布函數(shù)，再

19、求電勢分布函數(shù)；先求場強分布函數(shù)，再求電勢分布函數(shù)；方法二方法二：利用點電荷電勢公式及電勢疊加原理求解。利用點電荷電勢公式及電勢疊加原理求解。2022-5-2838u半徑為R1的均勻帶電球面1，帶電量為Q1，其外有一同心的半徑為R2的均勻帶電球面2，帶電量為Q2，則此兩球面之間的電勢差U12 = 為：（A） （B） （C） （D）)11(42101RRQ)11(41202RRQ)(4122110RQRQ1014RQ21答案：（A）課堂練習(xí)2022-5-2839u真空中有一半徑為R的半圓細(xì)環(huán)，均勻帶電Q，如圖所示。設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點，則圓心O點 處 的 電 勢 0 = ，若將一帶電量為q的點電

20、荷從無窮遠(yuǎn)處移到圓心O點，則電場力作功A= 。答案：RqQ;RQ00442022-5-2840四、等勢面四、等勢面 1.等勢面等勢面在電場中電勢相等的點所連成的曲面稱為在電場中電勢相等的點所連成的曲面稱為等勢面等勢面。 規(guī)定，相鄰等勢面之間電勢差相等。則規(guī)定，相鄰等勢面之間電勢差相等。則 等勢面用來形象表示電場中電勢的分布等勢面用來形象表示電場中電勢的分布;等勢面能直觀地反映電場的性質(zhì)等勢面能直觀地反映電場的性質(zhì):2022-5-2841（1 1）等勢面與電場線處處正交。）等勢面與電場線處處正交。（2 2）沿著電場線方向，電勢下降。）沿著電場線方向，電勢下降。（3 3）等勢面疏密度反映場強大小。

21、等勢面密）等勢面疏密度反映場強大小。等勢面密集處場強大，稀疏處場強小。集處場強大，稀疏處場強小。 2. 等勢面與電場線的關(guān)系等勢面與電場線的關(guān)系 四、等勢面四、等勢面2022-5-2842點電荷電場及等勢面點電荷電場及等勢面均勻電場及等勢面均勻電場及等勢面 等量異號電荷電場及等勢面等量異號電荷電場及等勢面課堂思考題：課堂思考題： 判斷正誤。其中實判斷正誤。其中實線代表電場線，虛線代線代表電場線，虛線代表等勢面與紙面的交線。表等勢面與紙面的交線。四、等勢面四、等勢面2022-5-2843sE導(dǎo)體導(dǎo)體int0Ep導(dǎo)體靜電平衡條件的另一種表述導(dǎo)體靜電平衡條件的另一種表述導(dǎo)體是等勢體導(dǎo)體是等勢體導(dǎo)體表

22、面是等勢面導(dǎo)體表面是等勢面等勢體等 勢 面等 勢 面四、等勢面四、等勢面例：例：P41, 11.62022-5-2844求求:1):1)電量分布；電量分布；例例1 1 金屬球金屬球A A與金屬球殼與金屬球殼B B同心放置同心放置q已知：球已知：球A A半徑為半徑為 ，0R帶電為帶電為 , 金屬殼金屬殼B B內(nèi)外半徑分別為內(nèi)外半徑分別為R R1 1、R R2 2 , , Q帶電為帶電為ABo0Rq12RRQAB2) )球球A A和殼和殼B B的電勢的電勢 、 。四、等勢面四、等勢面2022-5-2845解：解：1)1)導(dǎo)體帶電在表面導(dǎo)體帶電在表面ABo0Rq12RRQl球球A的電量只可能在球的表

23、面的電量只可能在球的表面l殼殼B有兩個表面有兩個表面電量可能分布在內(nèi)、外兩個表面電量可能分布在內(nèi)、外兩個表面l由于由于A 、B同心放置同心放置仍維持球?qū)ΨQ仍維持球?qū)ΨQ在在A表面、表面、 B內(nèi)外表面電量分布均勻內(nèi)外表面電量分布均勻2022-5-2846qQB內(nèi)證明殼證明殼B B上電量的分布：上電量的分布：在在B B內(nèi)作高斯面內(nèi)作高斯面S S。qQQB外0SsEd0iiqBAoqS因因B B內(nèi)場強為內(nèi)場強為0 0，高斯定理高斯定理電荷守電荷守恒定律恒定律qqQ 思考思考：該：該結(jié)論對結(jié)論對內(nèi)內(nèi)表面表面的的形形狀、內(nèi)部狀、內(nèi)部帶電狀況帶電狀況有限制嗎？有限制嗎？外表面相當(dāng)于孤立帶電表面外表面相當(dāng)于孤

24、立帶電表面 由于由于曲率相同曲率相同 所以均勻分布所以均勻分布故：面故：面S S的電通量的電通量2022-5-28470R1R2R201000444RqQRqRq204RqQB等效等效: :在真空中三個均勻帶電的球面在真空中三個均勻帶電的球面利用疊加原理利用疊加原理球面電荷單獨存在時球面電荷單獨存在時對電勢的貢獻(xiàn)對電勢的貢獻(xiàn)第第1 1個個第第2 2個個 第第3 3個個A2022-5-2848例：例：P42, 11.72022-5-2849u關(guān)于電場強度與電勢之間的關(guān)系，下列說法中，哪一種是正確的？ （A）電場中，場強為零的點，電勢必為零； （B）電場中，電勢為零的點，電場強度必為零； （C）在

25、場強不變的空間，電勢處處相等； （D）在電勢不變的空間，電場處處為零。答案： (D)課堂練習(xí)2022-5-2850五、電勢梯度五、電勢梯度 1.電勢梯度電勢梯度lElEl lE )( dldlElll )(lim00lEl q 為等勢面的法線方向，指向電勢升高的方為等勢面的法線方向，指向電勢升高的方向，與向，與 反向。對任意方向反向。對任意方向 ,有有l(wèi)EncosEElacbnl Eln2022-5-2851五、電勢梯度五、電勢梯度q電場中給定點的場強在任一方向的分量，等于電場中給定點的場強在任一方向的分量，等于電勢沿該方向的變化率的負(fù)值。負(fù)號表示場強指電勢沿該方向的變化率的負(fù)值。負(fù)號表示場強

26、指向電勢降低的方向。向電勢降低的方向。dldEElcosq電場強度電場強度acbnl ElndndnEnEEnndnd2022-5-2852五、電勢梯度五、電勢梯度q定義定義電勢梯度電勢梯度( (gradientgradient) )矢量：矢量：acbnl Eln radgq電勢梯度的大小等于電勢梯度的大小等于電勢在該點的最大空電勢在該點的最大空間變化率；方向沿等間變化率；方向沿等勢面法向，指向電勢勢面法向，指向電勢增加的方向。增加的方向。 ndnd 2022-5-2853五、電勢梯度五、電勢梯度即電場強度為電勢梯度即電場強度為電勢梯度的負(fù)值的負(fù)值。 E 2.電場強度與電勢的關(guān)系電場強度與電勢

27、的關(guān)系ndnd ndndE由于由于2022-5-2854五、電勢梯度五、電勢梯度在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中電場還有另一個單位，即電場還有另一個單位，即伏特伏特/米米（V/m），與），與牛頓牛頓/庫侖庫侖（ N/C ）同量綱。）同量綱。)(kzjyix kjizyxEEEEzEyExEzyx, E2022-5-2855五、電勢梯度五、電勢梯度歸納小結(jié)：歸納小結(jié)：電場強度與電勢是描述電場性質(zhì)的物電場強度與電勢是描述電場性質(zhì)的物 理量，兩者有如下關(guān)系。理量，兩者有如下關(guān)系。1電勢等于電場強度的線積分，即：電勢等于電場強度的線積分，即：2電場強度等于電勢梯度的負(fù)值，即：電場強度等于電勢梯度的負(fù)值，即

28、： rdEopp（積分式）（積分式） E（微分式）（微分式）2022-5-2856例1：點電荷的電場rq041 rerq 2041 EXoRxPdq22xRr例2 一半徑為R的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，所帶總電量為q，求在圓環(huán)軸線上任意點P的電場強度E。方法一：點電荷場強公式及疊加原理 PE2/3220)(41Rxqx 2022-5-2857方法二：利用電勢和場強之間微分關(guān)系，先求電勢，再求場強。XoRxPdq22xRr2204xRqdxdEx2322041/)Rx(qx2022-5-28581掌握靜電場的兩條基本實驗規(guī)律：庫侖定律和疊加原理。2理解靜電場的兩個基本物理量：3掌握靜電場的兩條基本定理：高斯定理和環(huán)路定理。4掌握電場和電勢的基本計算方法：用高斯定理、疊加原理和對電勢求梯度來計算電場；用定義式和疊加原理計算電勢。5理解電場強度與電勢的關(guān)系：用E來表示 是積分關(guān)系，用 來表示E是微分關(guān)系。 電場強度E和電勢 。學(xué)習(xí)要求2022-5-28