第一章 第6節(jié) 極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限

1、1第一章函數(shù)與極限第一章函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)第一節(jié)映射與函數(shù)第二節(jié)數(shù)列的極限第二節(jié)數(shù)列的極限第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限第四節(jié)第四節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大第五節(jié)極限運(yùn)算法則第五節(jié)極限運(yùn)算法則第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限第七節(jié)第七節(jié) 無窮小的比較無窮小的比較第八節(jié)第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷函數(shù)的連續(xù)性與間斷第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2要極限兩個(gè)重極限存在準(zhǔn)則第六節(jié)一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限三、小結(jié)

2、及作業(yè)三、小結(jié)及作業(yè)3一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)準(zhǔn)則則 如如果果數(shù)數(shù)列列nnyx ,及及nz滿滿足足下下列列條條件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使使得得, 0, 0, 021 NN 4,1 ayNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可

3、以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限5注意注意: :.,的的極極限限是是容容易易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)nnnnzyzy準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則 I稱為稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.6例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn7記住結(jié)果：記住結(jié)果：1lim)1( nnn)0(1lim)2( aannnnnnn43

4、21lim2 例例解：解：nnnnn4443214 444lim nn而而44321lim nnnnn8x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列nx,121nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM9例例3 3.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在

5、nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx104例例), 3 , 2 , 1()(211 nxaxxnnn設(shè)設(shè).lim, 0, 01nnxax 求求解：解：)(211nnnxaxx nnxax a nnxx1)1(212nxa )1(21aa 1 nnxx 1即即,limAxnn 設(shè)設(shè)存在，存在，nnx lim),(2122aAA 由由,aA .limaxnn 11AC二、兩個(gè)重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓心角圓心角設(shè)單位圓設(shè)單位圓,tan,

6、sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 AOB 的面積圓扇形AOB的面積 AOC的面積,tan2121sin21xxx 即即12,tansinxxx, 1sincos xxx即即,coslim10 xx. 1sinlim0 xxxxxxcossin1113例例6 6.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 說明：說明：）更一般形式：）更一般形式：（1, 1)()(sinlim0)( xfxfxf1sinl

7、im330 xxx如如）不要混淆：）不要混淆：（2. 0sinlim xxx例例5 5 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 111 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 14.arcsinlim0 xxx解解:,arcsin xt 令令,sintx 則則原式tttsinlim0 tttsin1lim0 例例8xxx5sin3sinlim0解解:xxx5sin3sinlim0)53.5sin5.33sin(lim0 xxxxxxx 1sinlim:0 xxPsx53lim.5sin5lim.33sinlim00503 xxxxxxx5353. 1 . 1 1 例

8、例715例例9 證明圓內(nèi)接正證明圓內(nèi)接正n邊形的面積邊形的面積)(2 nRAn Rn證明證明:)cos.sin2 .21(nnnRRnA nnnnnnRA cos.sinlimlim2 nnnnnR coslim.sinlim2 221 . 1 .RR 16(2)exxx )11(lim存在：存在：先證先證nnn)(lim11nnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 17).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnn

9、nnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地, ,18證證: :當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), ,設(shè)設(shè),1 nxn則則xx)1(1 11)1( nn nn)1(11nnn)1(lim11 lim n111)1( nn111 ne 11)1(lim nnn1)1(lim11）（nnnn e exxx )1(lim1.)11(limexxx 再證：再證：19當(dāng)當(dāng)x, )1( tx則則,t從而有從而有xxx)1(li

10、m1 )1(11)1(lim ttt)1(1)(lim tttt11)1(lim ttt)1()1(lim11tttt e 故故exxx )1(lim1說明說明: : 時(shí)時(shí), ,令令exxx 10)1(lim1）等價(jià)形式：）等價(jià)形式：（exfxfxf )(10)()(1(lim2）一般形式：）一般形式：（20例例10.10.求求.)1(lim1xxx 解解: :令令 xxx)1(lim1ttt )1(lim1 1lim te1 說明說明: :若利用若利用,)1(lim)()(1)(exxx 則則 原式原式 111)1(lim exxxtt)1(1 ,xt 則則21例例1111.)21(lim5

11、xxx 求求解解102)21(lim xxx原式原式10 e例例1313xxxxcot0)11(lim xxxxxxxxxsincos12210)121(lim xxxxxxxxxsin1cos2210)121(lim 2e 例例12.12.求求xxxxI102121lim 解：解： I 22121lim0 xxx )2(2121lim0 xxx22 ee4e 22形如：形如：)xu)x(u()x(u)x(v1)(0 且且的函數(shù)稱為冪指函數(shù)。的函數(shù)稱為冪指函數(shù)。如果如果0 a)x(ulimb)x(vlim 則有：則有：b)x(va)x(ulim 這里的三個(gè)這里的三個(gè) 表示在同一自變量變化過程的

12、極限。表示在同一自變量變化過程的極限。lim23.)cos(sinlim11xxxx 2211)cos(sinlimxxxx 22)sin1(limxxx xxxxx22sin2sin12)sin1(lim e xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e例例14例例1524nnnn)1212(lim 122212)1221(lim)1212(lim nnnnnnnnneennn 122lim88年統(tǒng)考題：計(jì)算數(shù)列極限年統(tǒng)考題：計(jì)算數(shù)列極限解解 25三、小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某過程某過程.)1(lim210e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 26思考題思考題填空題填空題 ( 1( 14 )4 );_sinlim. 1 xxx;_1sinlim. 2 xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11(lim. 4 nnn0101e27.)cos1(lim. 1sec22xxx 解解: : 原式原式 = =xxxcos122)cos1(lim 2e 求下列極限求下列極限 12.2. 求求nnnn)221(lim2 解解: : 原式原式 = =