高等數(shù)學(xué)第七版下冊復(fù)習(xí)綱要

1、第七章：微分方程一、微分方程的相關(guān)概念1. 微分方程的階數(shù)：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.2. 微分方程的解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.通解：所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解稱為微分方程的通解.特解：確定了任意常數(shù)的通解稱為微分方程的特解.3. 特解與通解的關(guān)系：可通過初始條件確定通解中的常數(shù)而得到滿足條件的特解；也可通過方程的表達(dá)式直接觀察得到特解，因此特解不總包含在通解中.二、微分方程的常見類型及其解法1. 可分離變量的微分方程及其解法(1).方程的形式：.(2). 方程的解法：分離變量法(3). 求解步驟. 分離變量，將方程寫成的形式；.

2、 兩端積分：，得隱式通解；. 將隱函數(shù)顯化.2. 齊次方程及其解法(1).方程的形式：.(2).方程的解法：變量替換法(3). 求解步驟引進(jìn)新變量，有及；代入原方程得：；分離變量后求解，即解方程；變量還原，即再用代替.3. 一階線性微分方程及其解法(1).方程的形式：.一階齊次線性微分方程:.一階非齊次線性微分方程:.(2).一階齊次線性微分方程 的解法: 分離變量法.通解為,().(公式)(3).一階非齊次線性微分方程的解法: 常數(shù)變易法.對方程，設(shè)為其通解，其中為未知函數(shù)，從而有 ，代入原方程有 ，整理得 ，兩端積分得 ，再代入通解表達(dá)式，便得到一階非齊次線性微分方程的通解 ，(公式)即非

3、齊次線性方程通解=齊次線性方程通解+非齊次線性方程特解.第八章：空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量 1.向量與的數(shù)量積：；2. 向量與的向量積：.的幾何意義為以為鄰邊的平行四邊形的面積.3. 向量的方向余弦：，；.4. 向量與垂直的判定：.5. 向量與平行的判定：.6. 三向量共面的判定： 共面.7. 向量在上的投影：.二、平面1. 過點，以為法向量的平面的點法式方程：.2. 以向量為法向量的平面的一般式方程：.3. 點到平面的距離.4. 平面與平行的判定：.5. 平面與垂直的判定： .6. 平面與的夾角：三、直線 1. 過點，以為方向向量的直線的點向式(對稱式、標(biāo)準(zhǔn))方程：.2. 過點，以為方向

4、向量的直線的參數(shù)式方程：.3. 直線的一般式方程：.方向向量為.4.直線方程之間的轉(zhuǎn)化：i) 點向式參數(shù)式ii) 一般式點向式第一步：找點第二步：找方向向量5. 直線與平行的判定： .6. 直線與垂直的判定：.7. 直線與的夾角：.8. 直線與平面垂直的判定：.9. 直線與平面平行的判定：.10. 直線與平面的夾角：.11.點到直線的距離：，其中是直線上任意一點，.四、曲線、曲面1. 平面上的曲線：繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面為：.2.空間曲線：關(guān)于平面上的投影柱面方程為：；在平面上的投影曲線為：.第九章：多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、平面點集1.內(nèi)點一定在點集內(nèi)，但點集內(nèi)的點未必是點集的內(nèi)點，還有

5、孤立點；2.聚點可以是點集的邊界點，也可以是點集的內(nèi)點，但不可以是點集的外點和點集內(nèi)的孤立點；3.開集和閉集內(nèi)的所有點都是聚點.二、二元函數(shù)的極限、連續(xù)性的相關(guān)知識點1.二元函數(shù)在點的二重極限：.2.二元函數(shù)在點的連續(xù)性：.3.二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).二、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點1.函數(shù) 對自變量的偏導(dǎo)數(shù)：及. 2. 函數(shù) 對自變量的二階偏導(dǎo)數(shù)：、注：若二階混合偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)，則二者相等.三、二元函數(shù)的全微分：四、二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性以及全微分存在性三者之間的關(guān)系1. 函數(shù)連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在性的關(guān)系：二者沒有任何的蘊(yùn)涵關(guān)系. 2. 偏導(dǎo)數(shù)存在性與全微分存在性的關(guān)系：全微分存在

6、，偏導(dǎo)數(shù)存在；反之未必.(偏導(dǎo)數(shù)不存在，全微分一定不存在)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，全微分存在，反之未必.3. 連續(xù)性與全微分存在性的關(guān)系：全微分存在，函數(shù)一定連續(xù)；(函數(shù)不連續(xù)，全微分一定不存在)函數(shù)連續(xù)，全微分未必存在.五、二元復(fù)合函數(shù)的偏(全)導(dǎo)數(shù)1.中間變量為兩個，自變量為一個的復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：，2.中間變量為兩個，自變量為兩個的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：， 六、隱函數(shù)微分法1.由一個方程確定的隱函數(shù)微分法：確定隱函數(shù)，直接對方程左右兩端關(guān)于自變量求偏導(dǎo)數(shù)，即，即，解得2.由方程組確定的隱函數(shù)組微分法：確定隱函數(shù)，直接對方程組左右兩端關(guān)于自變量求偏導(dǎo)數(shù)，即，即，可以解出.七、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用1.曲線的切線

7、方程和法平面方程1). 以參數(shù)式方程表示的曲線在對應(yīng)的點的切線方程：法平面方程：2). 以一般式方程表示的曲線在點的切線和法平面方程：先用方程組確定的隱函數(shù)組微分法求出，然后得到切線的方向向量切線方程：法平面方程：2.曲面的切平面方程和法線方程1).以一般式方程表示的曲面在點的切平面和法線方程：切平面線方程：法方程： 2).以特殊式方程表示的曲面在點的切平面和法線方程：令，有曲面在點的切平面的法向量切平面線方程：法方程： .3.方向?qū)?shù)與梯度：1). 方向?qū)?shù)：2). 方向?qū)?shù)存在條件：可微分函數(shù)在一點沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，并且，其中是方向的方向余弦.3). 梯度：函數(shù)在點處的梯度( )

8、.4). 方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系： .函數(shù)在點處增加最快的方向是其梯度的方向，減小最快的方向是的方向. 函數(shù)在點沿任意方向的方向?qū)?shù)的最大值為.八、極值、條件極值1. 函數(shù)的極值點和駐點的關(guān)系：函數(shù)的極值在其駐點或不可偏導(dǎo)點取得.2.求函數(shù)極值的步驟：(1).對函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組，得所有駐點.(2).對每一個駐點，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值.(3).計算，根據(jù)以及的符號判定是否是極值：若，則是極小值；若，則是極大值；若，則不是極小值；若，則是否是極值不能判定，需其他方法驗證.3.求函數(shù)在附加條件下的條件極值的方法：做拉格朗日函數(shù)，對自變量求偏導(dǎo)，建立方程組與附加條件聯(lián)立的方程組，解出的就是函數(shù)的可能

9、極值點.第十章：重積分一、二重積分的相關(guān)性質(zhì)1.有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)域上二重積分存在；2.若函數(shù)在有界閉區(qū)域上二重積分存在，則在該區(qū)域上有界；3.中值性：若函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，區(qū)域的面積為，則在上至少存在一點，使得.4. ，區(qū)域的面積為.二、二重積分的計算1.利用平面直角坐標(biāo)計算二重積分1).先對后對積分，由于積分區(qū)域；，有.2).先對后對積分，由于積分區(qū)域；，有.3).積分換序：.2.利用極坐標(biāo)計算二重積分令，由于積分區(qū)域；，有.三、三重積分的相關(guān)性質(zhì)：，區(qū)域的體積為.四、三重積分的計算1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分積分區(qū)域：；，有第十一章：曲線積分 曲面積分一、曲線積分的計算1.

10、第一型曲線積分的計算：若曲線的參數(shù)方程是：，則第一型曲線積分2.第二型曲線積分的計算：若曲線的參數(shù)方程是：，分別對應(yīng)曲線的兩個端點，則第一型曲線積分3.格林公式(聯(lián)系曲線積分和二重積分)設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線C所圍成，C取正向，函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式.注：1.可用第二型曲線積分計算該曲線所圍成區(qū)域的面積：設(shè)有界閉區(qū)域D由取正向的光滑曲線C所圍成，則區(qū)域D的面積為.2. 函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù).二、曲面積分的計算1.第一型曲面積分的計算：若曲面的方程是：具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在平面上的投影區(qū)域為，函數(shù)在上連續(xù)，則第一型曲面積分2.第二型曲面積分的計算：若正向曲面的方程是：，且在

11、平面上的投影區(qū)域為，函數(shù)在上連續(xù)，則第二型曲面積分，同理可得 ；3.高斯公式(聯(lián)系曲面積分和三重積分)若函數(shù)在空間有界閉區(qū)域及其光滑邊界曲面S上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有高斯公式：.注：設(shè)空間有界閉區(qū)域由光滑封閉曲面S所圍成，則區(qū)域的體積為. 4.斯托克斯公式(聯(lián)系曲面積分和三重積分)若函數(shù)在光滑曲面S及其光滑的邊界曲線C上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有斯托克斯公式.三、曲線積分與路徑無關(guān)的條件(1). 曲線積分與路徑無關(guān)；(2). ；(3). 存在函數(shù)，使得；(4). 第十二章：無窮級數(shù)一、級數(shù)斂散性的相關(guān)性質(zhì)1.斂散斂散2. 收斂3. 發(fā)散4. 正項級數(shù)的部分和數(shù)列有界級數(shù)收斂5. 收斂收斂.二、級數(shù)斂散

12、性判別1.正項級數(shù)斂散性判別(1).比較判別法；(2).比值判別法；(3).根值判別法.2.交錯級數(shù)收斂性判別法：萊布尼茲判別法3.任意項級數(shù)斂性判別法：絕對收斂判別法4.兩種常用級數(shù)收斂和發(fā)散的條件(1). 等比級數(shù)收斂條件是；發(fā)散條件是.(2). p級數(shù)收斂條件是；發(fā)散條件是.二、冪級數(shù)的相關(guān)概念1.收斂域的求法(1).對標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)，先求其收斂半徑，再判斷級數(shù)以及的斂散性，最后確定收斂域是、以及中的哪一個.(2). 對非標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)，先求極限，當(dāng)時，絕對收斂，解出，再判斷級數(shù)以及的斂散性，最后確定收斂域是、以及中的哪一個.2.和函數(shù)的求法：利用和函數(shù)的性質(zhì)(1).連續(xù)性；(2).逐項可微分；(1).逐項可積分.3.函數(shù)的冪級數(shù)展開式.12書是我們時代的生命別林斯基書籍是巨大的力量列寧書是人類進(jìn)步的階梯高爾基書籍是人類知識的總統(tǒng)莎士比亞書籍是人類思想的寶庫烏申斯基書籍舉世之寶梭羅好的書籍是最貴重的珍寶別林