高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)復(fù)習(xí)綱要

1、第七章：微分方程一、微分方程的相關(guān)概念1. 微分方程的階數(shù)：方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.2. 微分方程的解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.通解：所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同的解稱為微分方程的通解.特解：確定了任意常數(shù)的通解稱為微分方程的特解.3. 特解與通解的關(guān)系：可通過(guò)初始條件確定通解中的常數(shù)而得到滿足條件的特解；也可通過(guò)方程的表達(dá)式直接觀察得到特解，因此特解不總包含在通解中.二、微分方程的常見(jiàn)類型及其解法1. 可分離變量的微分方程及其解法(1).方程的形式：.(2). 方程的解法：分離變量法(3). 求解步驟. 分離變量，將方程寫成的形式；.

2、 兩端積分：，得隱式通解；. 將隱函數(shù)顯化.2. 齊次方程及其解法(1).方程的形式：.(2).方程的解法：變量替換法(3). 求解步驟引進(jìn)新變量，有及；代入原方程得：；分離變量后求解，即解方程；變量還原，即再用代替.3. 一階線性微分方程及其解法(1).方程的形式：.一階齊次線性微分方程:.一階非齊次線性微分方程:.(2).一階齊次線性微分方程 的解法: 分離變量法.通解為,().(公式)(3).一階非齊次線性微分方程的解法: 常數(shù)變易法.對(duì)方程，設(shè)為其通解，其中為未知函數(shù)，從而有 ，代入原方程有 ，整理得 ，兩端積分得 ，再代入通解表達(dá)式，便得到一階非齊次線性微分方程的通解 ，(公式)即非

3、齊次線性方程通解=齊次線性方程通解+非齊次線性方程特解.第八章：空間解析幾何與向量代數(shù)一、向量 1.向量與的數(shù)量積：；2. 向量與的向量積：.的幾何意義為以為鄰邊的平行四邊形的面積.3. 向量的方向余弦：，；.4. 向量與垂直的判定：.5. 向量與平行的判定：.6. 三向量共面的判定： 共面.7. 向量在上的投影：.二、平面1. 過(guò)點(diǎn)，以為法向量的平面的點(diǎn)法式方程：.2. 以向量為法向量的平面的一般式方程：.3. 點(diǎn)到平面的距離.4. 平面與平行的判定：.5. 平面與垂直的判定： .6. 平面與的夾角：三、直線 1. 過(guò)點(diǎn)，以為方向向量的直線的點(diǎn)向式(對(duì)稱式、標(biāo)準(zhǔn))方程：.2. 過(guò)點(diǎn)，以為方向

4、向量的直線的參數(shù)式方程：.3. 直線的一般式方程：.方向向量為.4.直線方程之間的轉(zhuǎn)化：i) 點(diǎn)向式參數(shù)式ii) 一般式點(diǎn)向式第一步：找點(diǎn)第二步：找方向向量5. 直線與平行的判定： .6. 直線與垂直的判定：.7. 直線與的夾角：.8. 直線與平面垂直的判定：.9. 直線與平面平行的判定：.10. 直線與平面的夾角：.11.點(diǎn)到直線的距離：，其中是直線上任意一點(diǎn)，.四、曲線、曲面1. 平面上的曲線：繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面為：.2.空間曲線：關(guān)于平面上的投影柱面方程為：；在平面上的投影曲線為：.第九章：多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、平面點(diǎn)集1.內(nèi)點(diǎn)一定在點(diǎn)集內(nèi)，但點(diǎn)集內(nèi)的點(diǎn)未必是點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，還有

5、孤立點(diǎn)；2.聚點(diǎn)可以是點(diǎn)集的邊界點(diǎn)，也可以是點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)，但不可以是點(diǎn)集的外點(diǎn)和點(diǎn)集內(nèi)的孤立點(diǎn)；3.開(kāi)集和閉集內(nèi)的所有點(diǎn)都是聚點(diǎn).二、二元函數(shù)的極限、連續(xù)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1.二元函數(shù)在點(diǎn)的二重極限：.2.二元函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性：.3.二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).二、二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)1.函數(shù) 對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)：及. 2. 函數(shù) 對(duì)自變量的二階偏導(dǎo)數(shù)：、注：若二階混合偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)，則二者相等.三、二元函數(shù)的全微分：四、二元函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性以及全微分存在性三者之間的關(guān)系1. 函數(shù)連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)存在性的關(guān)系：二者沒(méi)有任何的蘊(yùn)涵關(guān)系. 2. 偏導(dǎo)數(shù)存在性與全微分存在性的關(guān)系：全微分存在

6、，偏導(dǎo)數(shù)存在；反之未必.(偏導(dǎo)數(shù)不存在，全微分一定不存在)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，全微分存在，反之未必.3. 連續(xù)性與全微分存在性的關(guān)系：全微分存在，函數(shù)一定連續(xù)；(函數(shù)不連續(xù)，全微分一定不存在)函數(shù)連續(xù)，全微分未必存在.五、二元復(fù)合函數(shù)的偏(全)導(dǎo)數(shù)1.中間變量為兩個(gè)，自變量為一個(gè)的復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：，2.中間變量為兩個(gè)，自變量為兩個(gè)的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：， 六、隱函數(shù)微分法1.由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)微分法：確定隱函數(shù)，直接對(duì)方程左右兩端關(guān)于自變量求偏導(dǎo)數(shù)，即，即，解得2.由方程組確定的隱函數(shù)組微分法：確定隱函數(shù)，直接對(duì)方程組左右兩端關(guān)于自變量求偏導(dǎo)數(shù)，即，即，可以解出.七、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用1.曲線的切線

7、方程和法平面方程1). 以參數(shù)式方程表示的曲線在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的切線方程：法平面方程：2). 以一般式方程表示的曲線在點(diǎn)的切線和法平面方程：先用方程組確定的隱函數(shù)組微分法求出，然后得到切線的方向向量切線方程：法平面方程：2.曲面的切平面方程和法線方程1).以一般式方程表示的曲面在點(diǎn)的切平面和法線方程：切平面線方程：法方程： 2).以特殊式方程表示的曲面在點(diǎn)的切平面和法線方程：令，有曲面在點(diǎn)的切平面的法向量切平面線方程：法方程： .3.方向?qū)?shù)與梯度：1). 方向?qū)?shù)：2). 方向?qū)?shù)存在條件：可微分函數(shù)在一點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，并且，其中是方向的方向余弦.3). 梯度：函數(shù)在點(diǎn)處的梯度( )

8、.4). 方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系： .函數(shù)在點(diǎn)處增加最快的方向是其梯度的方向，減小最快的方向是的方向. 函數(shù)在點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)的最大值為.八、極值、條件極值1. 函數(shù)的極值點(diǎn)和駐點(diǎn)的關(guān)系：函數(shù)的極值在其駐點(diǎn)或不可偏導(dǎo)點(diǎn)取得.2.求函數(shù)極值的步驟：(1).對(duì)函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組，得所有駐點(diǎn).(2).對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值.(3).計(jì)算，根據(jù)以及的符號(hào)判定是否是極值：若，則是極小值；若，則是極大值；若，則不是極小值；若，則是否是極值不能判定，需其他方法驗(yàn)證.3.求函數(shù)在附加條件下的條件極值的方法：做拉格朗日函數(shù)，對(duì)自變量求偏導(dǎo)，建立方程組與附加條件聯(lián)立的方程組，解出的就是函數(shù)的可能

9、極值點(diǎn).第十章：重積分一、二重積分的相關(guān)性質(zhì)1.有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)域上二重積分存在；2.若函數(shù)在有界閉區(qū)域上二重積分存在，則在該區(qū)域上有界；3.中值性：若函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，區(qū)域的面積為，則在上至少存在一點(diǎn)，使得.4. ，區(qū)域的面積為.二、二重積分的計(jì)算1.利用平面直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分1).先對(duì)后對(duì)積分，由于積分區(qū)域；，有.2).先對(duì)后對(duì)積分，由于積分區(qū)域；，有.3).積分換序：.2.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分令，由于積分區(qū)域；，有.三、三重積分的相關(guān)性質(zhì)：，區(qū)域的體積為.四、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分積分區(qū)域：；，有第十一章：曲線積分 曲面積分一、曲線積分的計(jì)算1.

10、第一型曲線積分的計(jì)算：若曲線的參數(shù)方程是：，則第一型曲線積分2.第二型曲線積分的計(jì)算：若曲線的參數(shù)方程是：，分別對(duì)應(yīng)曲線的兩個(gè)端點(diǎn)，則第一型曲線積分3.格林公式(聯(lián)系曲線積分和二重積分)設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線C所圍成，C取正向，函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有格林公式.注：1.可用第二型曲線積分計(jì)算該曲線所圍成區(qū)域的面積：設(shè)有界閉區(qū)域D由取正向的光滑曲線C所圍成，則區(qū)域D的面積為.2. 函數(shù)在區(qū)域D上連續(xù).二、曲面積分的計(jì)算1.第一型曲面積分的計(jì)算：若曲面的方程是：具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在平面上的投影區(qū)域?yàn)椋瘮?shù)在上連續(xù)，則第一型曲面積分2.第二型曲面積分的計(jì)算：若正向曲面的方程是：，且在

11、平面上的投影區(qū)域?yàn)?，函?shù)在上連續(xù)，則第二型曲面積分，同理可得 ；3.高斯公式(聯(lián)系曲面積分和三重積分)若函數(shù)在空間有界閉區(qū)域及其光滑邊界曲面S上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有高斯公式：.注：設(shè)空間有界閉區(qū)域由光滑封閉曲面S所圍成，則區(qū)域的體積為. 4.斯托克斯公式(聯(lián)系曲面積分和三重積分)若函數(shù)在光滑曲面S及其光滑的邊界曲線C上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有斯托克斯公式.三、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件(1). 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)；(2). ；(3). 存在函數(shù)，使得；(4). 第十二章：無(wú)窮級(jí)數(shù)一、級(jí)數(shù)斂散性的相關(guān)性質(zhì)1.斂散斂散2. 收斂3. 發(fā)散4. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界級(jí)數(shù)收斂5. 收斂收斂.二、級(jí)數(shù)斂散

12、性判別1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別(1).比較判別法；(2).比值判別法；(3).根值判別法.2.交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性判別法：萊布尼茲判別法3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂性判別法：絕對(duì)收斂判別法4.兩種常用級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的條件(1). 等比級(jí)數(shù)收斂條件是；發(fā)散條件是.(2). p級(jí)數(shù)收斂條件是；發(fā)散條件是.二、冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念1.收斂域的求法(1).對(duì)標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù)，先求其收斂半徑，再判斷級(jí)數(shù)以及的斂散性，最后確定收斂域是、以及中的哪一個(gè).(2). 對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù)，先求極限，當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂，解出，再判斷級(jí)數(shù)以及的斂散性，最后確定收斂域是、以及中的哪一個(gè).2.和函數(shù)的求法：利用和函數(shù)的性質(zhì)(1).連續(xù)性；(2).逐項(xiàng)可微分；(1).逐項(xiàng)可積分.3.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.12書是我們時(shí)代的生命別林斯基書籍是巨大的力量列寧書是人類進(jìn)步的階梯高爾基書籍是人類知識(shí)的總統(tǒng)莎士比亞書籍是人類思想的寶庫(kù)烏申斯基書籍舉世之寶梭羅好的書籍是最貴重的珍寶別林