理論力學(xué)12章

1、第十二章 動(dòng) 能 定 理功是代數(shù)量功是代數(shù)量12-1 12-1 力的功力的功常力在直線運(yùn)動(dòng)中的功常力在直線運(yùn)動(dòng)中的功單位單位 J（焦耳）（焦耳） 1 J = 1 Nm cosWFsF s 力矩力矩( )OMFrF單位為單位為Nm的量，還有的量，還有做功做功 or 作功？作功？cosdWFs元功元功dWFr即即變力在曲線運(yùn)動(dòng)中的功變力在曲線運(yùn)動(dòng)中的功無限小位移無限小位移dr中，力可視為常力中，力可視為常力小弧長小弧長ds可視為直線可視為直線力始終與位移垂直時(shí)，力不做功力始終與位移垂直時(shí)，力不做功221112dMMMMWWF rddddxyzFF iF jF krxiyjzk記記2112(ddd

2、)MxyzMWFxFyFz則則力力 在點(diǎn)在點(diǎn) M1 M2 路程上做的功為路程上做的功為F1212()iiiWm g zz1 1、重力的功、重力的功對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系Ciimzm z由由重力的功只與質(zhì)心的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。重力的功只與質(zhì)心的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。1212()CCWmg zz得得22111212dd()MMzMMWF zmg zmg zz0 xyzFFFmg 幾種常見力的功幾種常見力的功2 2、彈性力的功、彈性力的功彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù) k (單位單位 N/m)0()rFk rl e 彈性力彈性力彈性力的功為彈性力的功為2112dAAWFr210()dArAk

3、 rl erHookes LawFkre為矢徑方向的單位矢量為矢徑方向的單位矢量211ddd()d()d22rrerrr rrrrrr 因?yàn)橐驗(yàn)?10220, rlrl式中式中21120()drrWk r lr得得221212()2kW即即彈性力的功也與路徑無關(guān)彈性力的功也與路徑無關(guān)cosa bab兩段相同的位移內(nèi)（起始位置不同），彈性力做功不相等。兩段相同的位移內(nèi)（起始位置不同），彈性力做功不相等。圖圖12-4兩段相同的位移內(nèi)（起始位置不同），彈性力做功不相等。兩段相同的位移內(nèi)（起始位置不同），彈性力做功不相等。圖圖12-4221212()2kW彈性力的功彈性力的功F1232112dzWM3

4、. 3. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功1221()zzWMM則則若若 常量常量zMdddttWFrF sFR由由RFMtz得得dzWM從角從角 轉(zhuǎn)動(dòng)到角轉(zhuǎn)動(dòng)到角 過程中力過程中力 的功為的功為12FddsR類比類比WF sR力力 F 與作用點(diǎn)與作用點(diǎn) A 的軌跡切線夾角為的軌跡切線夾角為 ，力力 F 在切線投影為在切線投影為Ft作用在作用在 Mi 點(diǎn)的力點(diǎn)的力 的元功的元功為為iF力系全部力的元功之和為力系全部力的元功之和為d()diiCCiWWFrMF4. 4. 平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功dddiiiiCiiCWFrFrFr其中其中dcosd()diiC

5、iiCiFrFM CMFdddiCiCrrriCiCvvv由由兩端乘兩端乘 dt, ,有有ddRCCFrM基點(diǎn)法基點(diǎn)法SKIP其中其中: 為力系主矢，為力系主矢，MC 為力系對(duì)質(zhì)心的主矩。為力系對(duì)質(zhì)心的主矩。RF當(dāng)質(zhì)心由當(dāng)質(zhì)心由 C1 C2 , ,轉(zhuǎn)角由轉(zhuǎn)角由 1 2 時(shí)時(shí), ,力系的功力系的功為為即：平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代即：平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。221112ddCRCCCWFrM(向質(zhì)心簡化向質(zhì)心簡化)ddRCCWFrM平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)

6、 = 隨基點(diǎn)平移隨基點(diǎn)平移 + 繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)說明說明: 1: 1、對(duì)任何運(yùn)動(dòng)的剛體，上述結(jié)論都適用；、對(duì)任何運(yùn)動(dòng)的剛體，上述結(jié)論都適用；2 2、C 點(diǎn)不是質(zhì)心，而是剛體上任意一點(diǎn)時(shí)，上述結(jié)論也成立；點(diǎn)不是質(zhì)心，而是剛體上任意一點(diǎn)時(shí)，上述結(jié)論也成立；3 3、計(jì)算力系的主矢、主矩時(shí)，可以不包含不做功的力。、計(jì)算力系的主矢、主矩時(shí)，可以不包含不做功的力。 平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，等于剛體上所受各力做功的代數(shù)和。平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，等于剛體上所受各力做功的代數(shù)和。向一點(diǎn)簡化向一點(diǎn)簡化力系力系主矢主矢（力）（力）+ + 主矩主矩（力偶）（力偶）221112ddCRCCCWFrM即：平面運(yùn)動(dòng)剛

7、體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代即：平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。小結(jié)小結(jié)1.1.重力的功重力的功2.2.彈性力的功彈性力的功3.3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功4.4.平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功221212()2kW221112ddCRCCCWFrM1221()zzWMM1212()CCWmg zz對(duì)于任何運(yùn)動(dòng)也適用對(duì)于任何運(yùn)動(dòng)也適用12-2 12-2 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能212iiTmv2 2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能、質(zhì)

8、點(diǎn)系的動(dòng)能1 1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能212Tmv 單位：單位：J（焦耳）（焦耳）iCimvvmTi22212122222212121iiiiiirmrmvmT（1 1）平移剛體的動(dòng)能）平移剛體的動(dòng)能（2 2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能212zTJ 即即 212CTmv 即即 zJ轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 相似性比較相似性比較平動(dòng)平動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 動(dòng)能動(dòng)能動(dòng)量動(dòng)量212mv212JmvJ222)(2121mdJJTCp即：平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)即：平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平移的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能之和。動(dòng)的動(dòng)能之和。221122CCTmvJ得得質(zhì)心為質(zhì)心為C，速度瞬

9、心為，速度瞬心為P（3 3）平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能）平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能2211()22CJm d（平面運(yùn)動(dòng)分解為隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）（平面運(yùn)動(dòng)分解為隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能2Cv例例 車輪在地面上滾動(dòng)車輪在地面上滾動(dòng)只滾不滑，輪心作直線運(yùn)動(dòng)，速度為只滾不滑，輪心作直線運(yùn)動(dòng)，速度為vC ，車輪質(zhì)量為，車輪質(zhì)量為m，質(zhì)量，質(zhì)量分布在輪緣，若輪輻質(zhì)量不計(jì)，則車輪的動(dòng)能為分布在輪緣，若輪輻質(zhì)量不計(jì)，則車輪的動(dòng)能為222222112211 ()22 CCCCCTmvJvmvmRRmv與半徑無關(guān)與半徑無關(guān)將將 兩端點(diǎn)乘兩端點(diǎn)乘 ，ddrv tddvmFt21

10、1dd()d(), d,22mvvmv vmvFrW 由于由于12-3 12-3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理1 1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理21d()2mvW因此因此ddmvvFr整理得整理得上式稱為上式稱為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理動(dòng)能定理的微分形式的微分形式，即，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。作用在質(zhì)點(diǎn)上力的元功。ddddvmrFrt得得ddrvt因因2221121122mvmvW稱稱質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式: :在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功。動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功。 對(duì)上式積

11、分，得對(duì)上式積分，得2 2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理稱稱質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，等于作用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和。于質(zhì)點(diǎn)系全部力所作的元功的和。 由由21d()2iiimvW21d()2iiim vW求和求和diTW得得稱稱質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式：質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過程中，質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過程中所作功的和。段過程中所作功的和。21iTTW 對(duì)上式積分，得對(duì)上式積分，得3

12、3、理想約束、理想約束光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、（不可伸長的）柔索光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、（不可伸長的）柔索等約束的約束力做功等于零。等約束的約束力做功等于零。約束力做功等于零的約束稱為約束力做功等于零的約束稱為理想約束理想約束。 對(duì)理想約束，在動(dòng)能定理中只計(jì)入主動(dòng)力的功即可。對(duì)理想約束，在動(dòng)能定理中只計(jì)入主動(dòng)力的功即可。 質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力做功之和并不一定等于零。質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力做功之和并不一定等于零。（舉例：兩帶電粒子相互吸引）（舉例：兩帶電粒子相互吸引）滑動(dòng)摩擦力在純滾動(dòng)（只滾不滑）中也不做功，因?yàn)榛瑒?dòng)摩擦力滑動(dòng)摩擦力在純滾動(dòng)（只滾不滑）中也不做功，因?yàn)榛瑒?dòng)摩擦力作用點(diǎn)沒動(dòng)。作用

13、點(diǎn)沒動(dòng)。NF 例例13-1 已知：質(zhì)量為已知：質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)，從高的質(zhì)點(diǎn)，從高 h 處自由落下，落處自由落下，落到下面有彈簧支持的板上，彈簧的剛度系數(shù)為到下面有彈簧支持的板上，彈簧的剛度系數(shù)為 k，板和彈，板和彈簧質(zhì)量不計(jì)?；少|(zhì)量不計(jì)。求求: 彈簧的最大壓縮量彈簧的最大壓縮量max最大壓縮量時(shí)速度為零最大壓縮量時(shí)速度為零解解:質(zhì)點(diǎn)從位置質(zhì)點(diǎn)從位置 I 落到板上落到板上 II，這，這個(gè)過程是自由落體運(yùn)動(dòng)，重力做功，個(gè)過程是自由落體運(yùn)動(dòng)，重力做功，速度由速度由 0 增加到增加到 v1（待求），應(yīng)用（待求），應(yīng)用動(dòng)能定理動(dòng)能定理21102mvmgh質(zhì)點(diǎn)繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，彈簧開始被壓縮，從位置質(zhì)點(diǎn)繼續(xù)

14、向下運(yùn)動(dòng)，彈簧開始被壓縮，從位置 II 到位置到位置 III，彈簧被壓縮到最大值彈簧被壓縮到最大值 max，質(zhì)點(diǎn)速度變成，質(zhì)點(diǎn)速度變成0。這個(gè)過程重力。這個(gè)過程重力和彈簧力都做功，彈簧力做功為和彈簧力都做功，彈簧力做功為 ，應(yīng)用動(dòng)能定理，應(yīng)用動(dòng)能定理2max1(0)2k12vghkmghgmkkmg2122max221maxmax11022mvmgk解得解得解得解得（負(fù)值舍去）（負(fù)值舍去）2maxmax220kmgmgh另解另解: 以上兩個(gè)過程當(dāng)作一個(gè)整體過以上兩個(gè)過程當(dāng)作一個(gè)整體過程處理，即從位置程處理，即從位置 I 到位置到位置 III ，重，重力和彈簧力做功。重力在全過程都做力和彈簧力做

15、功。重力在全過程都做功，彈簧力在功，彈簧力在 II 到到 III 之間做負(fù)功，之間做負(fù)功，應(yīng)用動(dòng)能定理應(yīng)用動(dòng)能定理120, 0,TT2maxmax100()2mg hkkmghgmkkmg2122max解得解得例例13-2 已知：鼓輪已知：鼓輪 O 的的R1、m1，質(zhì)量分布在輪緣上；均質(zhì)輪，質(zhì)量分布在輪緣上；均質(zhì)輪 C 的的R2、m2，純純滾動(dòng)，初始靜止；斜面傾角滾動(dòng)，初始靜止；斜面傾角 ，M 為常力偶。為常力偶。求求: :輪心輪心 C 走過路程走過路程 s 時(shí)的速度和加速度。時(shí)的速度和加速度。01T2222221112222111 1()()222 2CTm Rm vm R解解: 輪輪 C

16、與輪與輪 O 共同組成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系共同組成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系受力情況：受力情況： m1g， m2g，M，F(xiàn)Ox， FOy，F(xiàn)N 和和 Fs其中，其中，m1g，F(xiàn)Ox， FOy，F(xiàn)N 和和 Fs 都不做功都不做功122sinWMm gs主動(dòng)力做功為：主動(dòng)力做功為：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能為：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能為：鼓輪動(dòng)能鼓輪動(dòng)能圓柱動(dòng)能圓柱動(dòng)能21只有只有m2g和和 M 做功做功21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm2112TTW2122(23)sin 4(a)CvmmMm gs1sR將將 代入，得代入，得2222221112222111 1()()222 2CTm Rm vm R21由動(dòng)能定理，得由動(dòng)能定理，

17、得1212, CCvvRR其中其中整理，得整理，得2212(23)4CvTmm211122(sin )(23)CMm g RaRmm式式(a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對(duì)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得12211(23)sin2CCCCvmmv aMm gvR或者，將速度表達(dá)式先平方，再對(duì)或者，將速度表達(dá)式先平方，再對(duì) t 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm24Cvs2CCv a4 Cv2Ca求：沖斷試件需用的能量。求：沖斷試件需用的能量。例例13-3 沖擊試驗(yàn)機(jī)沖擊試驗(yàn)機(jī) m = 18kg，l = 840mm，桿重不計(jì)，桿重不計(jì)，在在 1 = 70時(shí)靜

18、止釋放，沖斷試件后擺至?xí)r靜止釋放，沖斷試件后擺至 2 = 29Skip再分析擺錘沖斷試件再分析擺錘沖斷試件后后的上升過程。初始動(dòng)能為的上升過程。初始動(dòng)能為T2（待求），末（待求），末動(dòng)能為動(dòng)能為 0。重力做負(fù)功。由動(dòng)能定理得。重力做負(fù)功。由動(dòng)能定理得1278.92 JkWTT擺錘在沖斷試件時(shí)損失的動(dòng)能等于沖斷試件需要的能量擺錘在沖斷試件時(shí)損失的動(dòng)能等于沖斷試件需要的能量Wk110(1 cos)Tmgl220(1 cos)Tmgl 解解: 設(shè)擺錘沖斷試件前后的動(dòng)能分別設(shè)擺錘沖斷試件前后的動(dòng)能分別為為 T1 和和 T2 。先分析擺錘沖斷試件先分析擺錘沖斷試件前前的下落過程。的下落過程。初始動(dòng)能為初

19、始動(dòng)能為0，末動(dòng)能為，末動(dòng)能為 T1 （待求）。（待求）。重力做正功。由動(dòng)能定理得重力做正功。由動(dòng)能定理得代入數(shù)據(jù)得代入數(shù)據(jù)得2118kg 9.8m/s0.84m (1 cos70 )97.5 JT 得得218.58 JT 1200(1 cos)(1 cos)kmglmglW120, 0TT另解另解: 在擺角在擺角 1 和和 2 兩個(gè)位置之間兩個(gè)位置之間直接應(yīng)用動(dòng)能定理。始末位置的動(dòng)直接應(yīng)用動(dòng)能定理。始末位置的動(dòng)能都等于能都等于 0，沖斷試件所消耗的能，沖斷試件所消耗的能量也就是試件內(nèi)力所做的負(fù)功。由量也就是試件內(nèi)力所做的負(fù)功。由動(dòng)能定理得動(dòng)能定理得78.92 JkW 得沖斷試件需要的能量為得

20、沖斷試件需要的能量為例例13-4 已知已知:均質(zhì)圓盤半徑均質(zhì)圓盤半徑 R，質(zhì)量，質(zhì)量 m，外緣纏繞無重細(xì)繩，外緣纏繞無重細(xì)繩，F(xiàn) = 常量，且很大，使常量，且很大，使 C 向右加速運(yùn)動(dòng)，與地面之間的動(dòng)滑動(dòng)向右加速運(yùn)動(dòng)，與地面之間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)摩擦系數(shù) f，初始時(shí)靜止。，初始時(shí)靜止。求求: C 走過走過 s 路程時(shí)圓盤的路程時(shí)圓盤的 、 。1、圓盤作什么運(yùn)動(dòng)？、圓盤作什么運(yùn)動(dòng)？動(dòng)能表達(dá)式如何？動(dòng)能表達(dá)式如何？2、要不要受力分析？、要不要受力分析？3、哪些力做功？作用、哪些力做功？作用距離是多少？距離是多少？CvR01T22222113()2224CCmRTmvmv 解解: : 圓盤速度瞬心為圓

21、盤速度瞬心為A ，初始時(shí)靜止。運(yùn)動(dòng)后設(shè)輪心速度為，初始時(shí)靜止。運(yùn)動(dòng)后設(shè)輪心速度為Cv平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能21TTW232 4) ( CmvFsasmgf2(2)3CsvFmgfm(2 )WFsfmgs瞬心瞬心TNFmgF、均不做功，只有均不做功，只有 做功，做功，dFF、受力分析如圖受力分析如圖(b)作用距離分別為多少？作用距離分別為多少？1 1、摩擦力、摩擦力 Fd 的功的功 s 是力是力F 在空間的位移在空間的位移( (C 點(diǎn)的位點(diǎn)的位移移) )，不是摩擦力，不是摩擦力Fd作用點(diǎn)的位移。作用點(diǎn)的位移。,dWF s注意注意: :將式將式(a)兩

22、端對(duì)兩端對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo), ,2(2)3CaFmgfm得得也可先平方，再求導(dǎo)（更快捷）也可先平方，再求導(dǎo)（更快捷）由由 和和 即可求出角速度即可求出角速度 與角加速度與角加速度 CvRCaR()2dddsWFF sF RFsF sR不做功的力可不考慮，因此亦可如下計(jì)算不做功的力可不考慮，因此亦可如下計(jì)算:()()TdTdsWFFF sF RF RR22dFsF sFsmgfs 2 2、亦可將力系向點(diǎn)、亦可將力系向點(diǎn) C 簡化，即簡化，即主矢主矢(力力)主矩主矩(力偶力偶)轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角FsMC2Fsmgfs習(xí)題習(xí)題12-12 已知：周轉(zhuǎn)齒輪平放在水平面內(nèi)，動(dòng)齒輪半徑為已知：周轉(zhuǎn)齒輪平放在水平面內(nèi)，動(dòng)

23、齒輪半徑為 r1 1，質(zhì)量為質(zhì)量為 m1 1，均質(zhì)圓盤；曲柄，均質(zhì)圓盤；曲柄 O1O2 桿質(zhì)量為桿質(zhì)量為 m，均質(zhì)桿，桿長為均質(zhì)桿，桿長為 l ；曲柄上作用定常力偶曲柄上作用定常力偶 M，純滾動(dòng)，初始靜止。純滾動(dòng)，初始靜止。 求求: : O1O2 轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過 角時(shí)的角時(shí)的 和和 水平面內(nèi)，重力不做功水平面內(nèi)，重力不做功10T 221)233(21lmm解解: 研究整個(gè)系統(tǒng)，應(yīng)用動(dòng)能定理。研究整個(gè)系統(tǒng)，應(yīng)用動(dòng)能定理。222221 12111111()()23222Om rmlTmv桿動(dòng)能桿動(dòng)能動(dòng)齒輪動(dòng)能動(dòng)齒輪動(dòng)能11111(, )OOvlvlrr其中其中先寫出兩個(gè)瞬時(shí)的動(dòng)能表達(dá)式。先寫出兩個(gè)瞬時(shí)的

24、動(dòng)能表達(dá)式。MW WTT1222131()2 32mmlM2112 (2)( )9Mmmal力偶做功力偶做功由動(dòng)能定理得由動(dòng)能定理得解得解得水平面內(nèi)，重力不做功。因純滾動(dòng)（滾而不滑），摩擦力也水平面內(nèi)，重力不做功。因純滾動(dòng)（滾而不滑），摩擦力也不做功。只有力偶不做功。只有力偶 M 做功。做功。21)92(6lmmM式式( (a) )對(duì)任何對(duì)任何 均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得也可先平方，再求導(dǎo)（更快捷）也可先平方，再求導(dǎo)（更快捷）注意注意: :輪輪 I、II接觸點(diǎn)接觸點(diǎn) C 不是理想約束不是理想約束, ,其摩擦力其摩擦力Fs 盡管在空間上是移動(dòng)的盡管在空間上是移動(dòng)的, ,

25、但作用于速度瞬心但作用于速度瞬心( (速度為零，沒有速度為零，沒有位移發(fā)生位移發(fā)生),),故不做功。故不做功。習(xí)題習(xí)題12-6: :均質(zhì)桿均質(zhì)桿 OB = = AB = = l ，質(zhì)量均為，質(zhì)量均為 m ，在鉛垂面內(nèi)；在在鉛垂面內(nèi)；在 AB 上作用一常力偶，上作用一常力偶，M = = 常量，初始靜止，不計(jì)摩擦。常量，初始靜止，不計(jì)摩擦。 求求: :當(dāng)當(dāng) A 運(yùn)動(dòng)到即將碰到運(yùn)動(dòng)到即將碰到 O 點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)時(shí)，Av ？1、OB 和和 AB分別作什么分別作什么運(yùn)動(dòng)？動(dòng)能表達(dá)式如何？運(yùn)動(dòng)？動(dòng)能表達(dá)式如何？2、哪些力做功？作用、哪些力做功？作用距離是多少？距離是多少？OB 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， AB 作

26、平面運(yùn)動(dòng)。作平面運(yùn)動(dòng)。01T32CABABvC ClBABOBvll ABOB2(1 cos )2lWMmg解解: : 力偶力偶 M 克服重力做功，克服重力做功，使系統(tǒng)動(dòng)能增加。使系統(tǒng)動(dòng)能增加。初狀態(tài)初狀態(tài)AB質(zhì)心質(zhì)心C，作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度瞬心作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度瞬心 CCB = BA = BO2AABvl二者皆未知，待求二者皆未知，待求鉛直位置時(shí)，鉛直位置時(shí)，2ABOBTTT21TTW)cos1 (321mglMmlAB2AABvl2234ABml222111222CCABOOBmvJJAB桿動(dòng)能桿動(dòng)能OB桿動(dòng)能桿動(dòng)能2222213111 1()()()222 122 3ABABABmlmlm

27、l由動(dòng)能定理得由動(dòng)能定理得2242(1 cos )32ABlmlMmgA 點(diǎn)的速度為點(diǎn)的速度為動(dòng)能定理解題思路：動(dòng)能定理解題思路：1、確定、確定1時(shí)刻，寫出時(shí)刻，寫出T1（各物體作何運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能表達(dá)式又是（各物體作何運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能表達(dá)式又是如何？）如何？）2、確定、確定2時(shí)刻，寫出時(shí)刻，寫出T2（各物體作何運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能表達(dá)式又是（各物體作何運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能表達(dá)式又是如何？）如何？）3、12時(shí)間段內(nèi)，做功時(shí)間段內(nèi)，做功 W12（哪些力做功，作用距離多少？）（哪些力做功，作用距離多少？）4、應(yīng)用動(dòng)能定理，、應(yīng)用動(dòng)能定理， T2 - T1 = W12dWPt12-4 12-4 功率、功率方程、機(jī)械效率功率、功率方

28、程、機(jī)械效率ddtrPFF vFvt1 1、功率：單位時(shí)間內(nèi)、功率：單位時(shí)間內(nèi)，力所做的功稱為功率。力所做的功稱為功率。即：功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積。即：功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積。 由由 ，得，得dWFr汽車上坡，需要換低檔，降低速度產(chǎn)生大的驅(qū)動(dòng)力。汽車上坡，需要換低檔，降低速度產(chǎn)生大的驅(qū)動(dòng)力。數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式dddzzWPMMtt單位單位W（瓦特，（瓦特，Watt），），1 W=1 J/s作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功率為工程中常用千瓦（工程中常用千瓦（kW）做單位做單位電：電：1 度度 = 1 kWh （千瓦時(shí)，功的單位）（千瓦時(shí)，功的單位）2

29、 2、功率方程、功率方程11dddnniiiiWTPtt稱稱功率方程功率方程，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。ddTPPPt輸入輸出損耗或或ddTPPPt輸入輸出損耗質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式diTW兩端除以兩端除以dt，得，得機(jī)器的功率都可以分為三部分：機(jī)器的功率都可以分為三部分：P輸入P輸出P損耗可視為動(dòng)能定理的另一種微分形式?？梢暈閯?dòng)能定理的另一種微分形式。摩擦產(chǎn)生熱能等3 3、機(jī)械效率、機(jī)械效率機(jī)械效率機(jī)械效率PP有效輸入有效功率有效功率ddTPPt有效輸

30、出多級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)多級(jí)傳動(dòng)系統(tǒng)12n 總效率等于各級(jí)效率的連乘積總效率等于各級(jí)效率的連乘積表明機(jī)器對(duì)輸入功率的有效利用程度，是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量好壞表明機(jī)器對(duì)輸入功率的有效利用程度，是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。的指標(biāo)之一。例例13-5: 已知：物塊質(zhì)量已知：物塊質(zhì)量 m ，用不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩跨過定滑輪，用不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩跨過定滑輪與彈簧相連。彈簧原長為與彈簧相連。彈簧原長為 l0 ，剛度系數(shù)為，剛度系數(shù)為 k，質(zhì)量不計(jì)。定質(zhì)量不計(jì)。定滑輪半徑為滑輪半徑為 R ，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J。不計(jì)軸承摩擦。不計(jì)軸承摩擦。求求:系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。 沿著繩子的直線運(yùn)動(dòng)沿著繩子的直線運(yùn)動(dòng)sRd

31、d, ddssPmgPkstt 重力彈性力解解: 彈簧伸長彈簧伸長 s ，滑輪轉(zhuǎn)過，滑輪轉(zhuǎn)過 角，角，物塊下降物塊下降 s 系統(tǒng)動(dòng)能為系統(tǒng)動(dòng)能為221d1d2d2dsTmJtt221d()2dJsmRt物塊物塊動(dòng)能動(dòng)能滑輪滑輪動(dòng)能動(dòng)能sR或或ddTPPt重力彈性力代入功率方程，得代入功率方程，得222d()dJsmmgksRt222d ddd()d dddJssssmmgksRtttt兩端消去兩端消去 ，得到對(duì)于，得到對(duì)于 s 坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)微分方程坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)微分方程ddst221d()2dJsTmRtdd, ddssPmgPkstt 重力彈性力0,sx2022d()dJxmmgkkxkxRt 2

32、22d()0dJxmkxRt令令 為彈簧靜伸長，即為彈簧靜伸長，即mg = k , ,以平衡位置為參考點(diǎn)（起點(diǎn)）以平衡位置為參考點(diǎn)（起點(diǎn)）00代入式子代入式子得到對(duì)于得到對(duì)于 x 坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)微分方程坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)微分方程自由振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)形式，解形式如自由振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)形式，解形式如00sin()xxt(skip)222d()dJsmmgksRt12-5 12-5 勢力場勢力場. .勢能勢能. .機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律2.2.勢力場勢力場勢力場勢力場: :若力場中的力所做的功只與力作用點(diǎn)的初、末位置有若力場中的力所做的功只與力作用點(diǎn)的初、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。則這種力場稱為關(guān)，與路徑無關(guān)。則這種力場稱

33、為勢力場勢力場（或（或保守力場保守力場）。）。如重力場、彈性力場、萬有引力場。如重力場、彈性力場、萬有引力場。勢勢力場中的力為力場中的力為有勢力有勢力或或保守力保守力。( , , )FF x y z 力場力場 1.1.場場物理學(xué)中，具有空間函數(shù)關(guān)系的物理量就構(gòu)成了該物理學(xué)中，具有空間函數(shù)關(guān)系的物理量就構(gòu)成了該物理量的場。物理量的場。 如溫度場、如溫度場、 磁場、力場（萬有引力場）等。磁場、力場（萬有引力場）等。即力是空間位置的函數(shù)即力是空間位置的函數(shù)保守力具有沿任意閉合路徑做功等于零的特點(diǎn)。保守力具有沿任意閉合路徑做功等于零的特點(diǎn)。 d0Fr保（1 1）重力場中的勢能）重力場中的勢能00d()

34、zzVmg zmg zz0220d()2rrkVFr（2 2）彈性力場的勢能）彈性力場的勢能00,若為零勢能點(diǎn) 則22kV 幾種常見勢能的計(jì)算幾種常見勢能的計(jì)算00d(ddd )MMxyzMMVFrFxFyFz3.3.勢能勢能（又稱位能）（又稱位能）勢力做正功，相應(yīng)勢能減少；勢力做負(fù)功，相應(yīng)勢能增加。勢力做正功，相應(yīng)勢能減少；勢力做負(fù)功，相應(yīng)勢能增加。若點(diǎn)若點(diǎn) M0 的勢能為零，則的勢能為零，則 M0 稱為零勢能點(diǎn)（稱為零勢能點(diǎn)（勢能零點(diǎn)勢能零點(diǎn)）勢能零點(diǎn)勢能零點(diǎn)可任意選取可任意選?。▍⒖键c(diǎn)）（參考點(diǎn)）質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) M0，有，有勢力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)勢力所作的功稱為

35、質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn) M相對(duì)于點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn) M0 的勢能的勢能物體由于具有做功的趨勢而具有的能叫勢能。Potential Energy（3 3）萬有引力場中的勢能）萬有引力場中的勢能00122ddAArAAfm mVFrerr由于由于 ，所以，所以ddrerr112122111drrfm mVrfm mrrrre是質(zhì)點(diǎn)的矢徑方向的單位矢量是質(zhì)點(diǎn)的矢徑方向的單位矢量若取無窮遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)，即若取無窮遠(yuǎn)處為勢能零點(diǎn)，即1r 則得到則得到12fm mVr 質(zhì)量為質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)量為m2的物體的萬有引力的物體的萬有引力F 作用，如圖所示作用，如圖所示取點(diǎn)取點(diǎn)A0為零勢能點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，則

36、質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)A的勢能為的勢能為0diiMiMVFr質(zhì)點(diǎn)系的勢能質(zhì)點(diǎn)系的勢能00()()iiiCCVm g zzmg zz 對(duì)于重力場對(duì)于重力場若質(zhì)點(diǎn)系受到多個(gè)有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能若質(zhì)點(diǎn)系受到多個(gè)有勢力的作用，各有勢力可有各自的零勢能點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系的點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)系的“零勢能位置零勢能位置”是各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢能點(diǎn)的一是各質(zhì)點(diǎn)都處于其零勢能點(diǎn)的一組位置。組位置。質(zhì)點(diǎn)系從某位置到其質(zhì)點(diǎn)系從某位置到其“零勢能位置零勢能位置”的運(yùn)動(dòng)過程中，各有勢的運(yùn)動(dòng)過程中，各有勢力所做的功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點(diǎn)系在該位置的勢能。力所做的功的代數(shù)和稱為此質(zhì)點(diǎn)系在該位置的勢能。(skip)各有勢力所做的功的代數(shù)和各有勢

37、力所做的功的代數(shù)和例：已知均質(zhì)桿例：已知均質(zhì)桿AB，質(zhì)量質(zhì)量 m，長度，長度 l，無質(zhì)量的彈簧，剛度系無質(zhì)量的彈簧，剛度系數(shù)為數(shù)為 k，AB水平時(shí)平衡，此時(shí)彈簧變形水平時(shí)平衡，此時(shí)彈簧變形 0求：向下偏微小擺角求：向下偏微小擺角 時(shí)系統(tǒng)的總勢能。時(shí)系統(tǒng)的總勢能。兩種有勢力：重力和彈性力兩種有勢力：重力和彈性力(1)(1)若重力以桿的水平位置處為零勢能點(diǎn)，彈性力以彈簧自然位若重力以桿的水平位置處為零勢能點(diǎn)，彈性力以彈簧自然位置置O為零勢能點(diǎn)，則系統(tǒng)總勢能為為零勢能點(diǎn)，則系統(tǒng)總勢能為2222 2011()2228lm gVklmgklk ( )0AMF 由由 ，得，得02lklmgkmg20即即

38、0l0l22022 220001()21(2)22Vkmghlkllmg (2)(2)若取桿的平衡位置為系統(tǒng)的若取桿的平衡位置為系統(tǒng)的零勢能位置，則系統(tǒng)的總勢能為零勢能位置，則系統(tǒng)的總勢能為2221lkV整理得整理得對(duì)于不同的零勢能位置，系統(tǒng)的總勢能不相同。對(duì)于常見的對(duì)于不同的零勢能位置，系統(tǒng)的總勢能不相同。對(duì)于常見的重力重力- -彈力系統(tǒng)，以其平衡位置為零勢能點(diǎn)，往往更簡便。彈力系統(tǒng)，以其平衡位置為零勢能點(diǎn)，往往更簡便。0l12hlkmg20質(zhì)點(diǎn)系在勢力場中運(yùn)動(dòng)，有勢力的功可通過勢能計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系在勢力場中運(yùn)動(dòng)，有勢力的功可通過勢能計(jì)算2112VVW相對(duì)量相對(duì)量 有勢力所做的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過

39、程的初、末位置的勢能有勢力所做的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過程的初、末位置的勢能的差。的差。 3. 3. 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律由動(dòng)能定理由動(dòng)能定理1212WTT即：質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒。即：質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒。此類系統(tǒng)稱此類系統(tǒng)稱保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)。2112VVW而有勢力做功等于勢能相減而有勢力做功等于勢能相減2211VTVT得得動(dòng)能與勢能的代數(shù)和稱為動(dòng)能與勢能的代數(shù)和稱為機(jī)械能機(jī)械能。constTV或或d()0dTVt或或若系統(tǒng)只有有勢力作用若系統(tǒng)只有有勢力作用例例13-6：已知重物：已知重物 m = 250 kg，以，以 v = 0.5 m/s勻速下

40、降，勻速下降，鋼索剛度系數(shù)鋼索剛度系數(shù) k = 3.35106 N/m。 求求: : 鼓輪鼓輪 D 突然被卡住時(shí)，鋼索的最大張力。突然被卡住時(shí)，鋼索的最大張力。2、最大伸長量時(shí)，速度為零、最大伸長量時(shí)，速度為零1、最大張力對(duì)應(yīng)最大伸長量、最大張力對(duì)應(yīng)最大伸長量 （2 2）卡住時(shí)）卡住時(shí): :重物由于慣性繼續(xù)下降，重物由于慣性繼續(xù)下降，鋼索繼續(xù)伸長。當(dāng)重物速度變成零時(shí)，鋼索繼續(xù)伸長。當(dāng)重物速度變成零時(shí)，伸長量達(dá)到最大。彈性力也達(dá)到最大值。伸長量達(dá)到最大。彈性力也達(dá)到最大值。stmgk10V 222maxmax()()2ststkVmg（1）卡住前為平衡狀態(tài)）卡住前為平衡狀態(tài) kN45. 2mgk

41、Fst解解:鋼索伸長量鋼索伸長量 鋼索張力鋼索張力重力重力-彈性力系統(tǒng)，選取平衡位置為零勢能位置。彈性力系統(tǒng)，選取平衡位置為零勢能位置。 只受重力和彈性力作用，因此系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。只受重力和彈性力作用，因此系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。I和和II兩位置系統(tǒng)勢能分別為兩位置系統(tǒng)勢能分別為得得2max1ststvg由由 有有2211VTVT222maxmax100()() 2a2( )ststkmvmg2121, 02TmvTI和和II兩位置系統(tǒng)動(dòng)能分別為兩位置系統(tǒng)動(dòng)能分別為即即222maxmax2()0stststvg 2maxmax1116.9 kNststvvkFkkmgggm因因

42、max st，故取正號(hào)，舍去負(fù)號(hào)，故取正號(hào)，舍去負(fù)號(hào)2.45kNF 與平衡時(shí)靜載荷比較與平衡時(shí)靜載荷比較max/6.9FF 由由 有有2211VTVT2121, 02TmvTI、II位置系統(tǒng)動(dòng)能仍然為位置系統(tǒng)動(dòng)能仍然為若選取平衡位置為重力場的零勢能點(diǎn)，而取鋼索自然位置為彈性若選取平衡位置為重力場的零勢能點(diǎn)，而取鋼索自然位置為彈性力場的零勢能點(diǎn)。計(jì)算結(jié)果如何？力場的零勢能點(diǎn)。計(jì)算結(jié)果如何？ I、II位置系統(tǒng)勢能分別為位置系統(tǒng)勢能分別為212stkV22maxmax()2stkVmg只有彈性力勢能只有彈性力勢能222maxmax100()() 2a2( )ststkmvmg計(jì)算結(jié)果相同計(jì)算結(jié)果相同

43、(skip)重重(零零)彈彈(零零)222maxmax10()222ststkkmvmg取水平位置為系統(tǒng)的零勢能位置。取水平位置為系統(tǒng)的零勢能位置。例例13-7 已知：擺桿質(zhì)量已知：擺桿質(zhì)量 m ，質(zhì)心為，質(zhì)心為 C 點(diǎn)，點(diǎn)，O 端光滑鉸支座。端光滑鉸支座。D 處用彈簧懸掛，處用彈簧懸掛， 剛度系數(shù)為剛度系數(shù)為 k 。擺桿在水平位置處平衡。擺桿在水平位置處平衡。 OD=CD=b，初始角速度，初始角速度 。擺桿對(duì)。擺桿對(duì) O 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 JO0解解:求：角速度求：角速度 與擺角與擺角 的關(guān)系。的關(guān)系。系統(tǒng)受力：彈簧力系統(tǒng)受力：彈簧力F，重力，重力mg，支座約束反力支座約束反力F

44、Ox和和FOy。前兩力。前兩力為保守力，后兩力不做功，系統(tǒng)為保守力，后兩力不做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。的機(jī)械能守恒。初始時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能初始時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能21012OTJ初始時(shí)系統(tǒng)的勢能初始時(shí)系統(tǒng)的勢能10V (零勢能位置零勢能位置)(skip)22201110()222OOJJk b2220OkbJ2212OTJ221()2Vk b擺角為擺角為 時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能擺角為擺角為 時(shí)系統(tǒng)的勢能時(shí)系統(tǒng)的勢能待求待求由由 有有2211VTVT解得解得與圖與圖13-18問題分析相似問題分析相似* *4. 4. 勢力場的其他性質(zhì)：勢力場的其他性質(zhì)：, , xyzVVVFFFxyz （1 1）勢力在直角坐標(biāo)

45、軸上的投影等于勢能對(duì)于該坐標(biāo)的）勢力在直角坐標(biāo)軸上的投影等于勢能對(duì)于該坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)冠以負(fù)號(hào)。偏導(dǎo)數(shù)冠以負(fù)號(hào)。（2 2）勢能相等的點(diǎn)構(gòu)成等勢面。）勢能相等的點(diǎn)構(gòu)成等勢面。 （3 3）有勢力方向垂直于等勢能面，指向勢能減小的方向。）有勢力方向垂直于等勢能面，指向勢能減小的方向。12-6 12-6 普遍定理的綜合應(yīng)用普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)量、動(dòng)量矩動(dòng)量、動(dòng)量矩 動(dòng)能動(dòng)能矢量，有大小方向矢量，有大小方向內(nèi)力不能使之改變內(nèi)力不能使之改變只有外力能使之改變只有外力能使之改變約束力是外力時(shí)對(duì)之有影響。不與約束力是外力時(shí)對(duì)之有影響。不與能量相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)用時(shí)不考慮能量能量相互轉(zhuǎn)化，應(yīng)用時(shí)不考慮能量的轉(zhuǎn)化與損失。的

46、轉(zhuǎn)化與損失。當(dāng)外力主矢為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒當(dāng)外力主矢為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒當(dāng)外力對(duì)定點(diǎn)當(dāng)外力對(duì)定點(diǎn)O或質(zhì)心的主矩為零或質(zhì)心的主矩為零時(shí)系統(tǒng)對(duì)定點(diǎn)或者質(zhì)心的動(dòng)量矩守時(shí)系統(tǒng)對(duì)定點(diǎn)或者質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒。恒。動(dòng)量定理描述質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)變化動(dòng)量定理描述質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)變化動(dòng)量矩定理描述繞質(zhì)心或繞定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理描述繞質(zhì)心或繞定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化。運(yùn)動(dòng)變化。非負(fù)的標(biāo)量，與方向無關(guān)非負(fù)的標(biāo)量，與方向無關(guān)內(nèi)力作功時(shí)可以改變動(dòng)能內(nèi)力作功時(shí)可以改變動(dòng)能只有作功能改變動(dòng)能只有作功能改變動(dòng)能理想約束不影響動(dòng)能理想約束不影響動(dòng)能可進(jìn)行功能轉(zhuǎn)化可進(jìn)行功能轉(zhuǎn)化應(yīng)用時(shí)完全從功與能的觀點(diǎn)出發(fā)應(yīng)用時(shí)完全從功與能的觀點(diǎn)出發(fā)在保守系中，機(jī)械能守恒在保

47、守系中，機(jī)械能守恒動(dòng)能定理描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)及相對(duì)質(zhì)動(dòng)能定理描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)及相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能的變化。心運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能的變化。例例: :已知已知 均質(zhì)圓輪均質(zhì)圓輪 m ，r ，R ，純滾動(dòng)純滾動(dòng)求求: :輪心輪心 C 的運(yùn)動(dòng)微分方程。的運(yùn)動(dòng)微分方程。ddsPmg vmgt ddsmgt dsindsmgt 222113,224CCCTmvJmv解解: :方法一、用功率方程求解方法一、用功率方程求解重力的功率重力的功率d(sin )dsmgt動(dòng)能動(dòng)能受力情況：重力受力情況：重力mg，摩擦力，摩擦力F，法向約束反力，法向約束反力FN后兩力不做功，僅重力做功后兩力不做功，僅重力做功1ddniiTPt22ddd

48、, , sin, dddCCvsssvtttRr22d20d3()sgstRrd3d2sin4ddCCvsmvmgtt 得輪心得輪心 C 的運(yùn)動(dòng)微分方程：的運(yùn)動(dòng)微分方程：ddTPt由功率方程由功率方程 ，得，得方法二、本題也可用機(jī)械能守恒定律求解。方法二、本題也可用機(jī)械能守恒定律求解。23()(1 cos ), 4CVmg RrTmvdd3()sin0d2dCCvmg Rrmvtt22ddd , ddd sinCCvvstRrttsRr又22d2 0d3()sgstRr得只有重力做功，系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。只有重力做功，系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。取質(zhì)心的最低點(diǎn)取質(zhì)心的最低點(diǎn) O 為重力

49、場的零勢能點(diǎn)。為重力場的零勢能點(diǎn)。d()0dVTt由機(jī)械能守恒，得由機(jī)械能守恒，得即即例例: :已知兩均質(zhì)輪已知兩均質(zhì)輪 m，R；物塊物塊 m，彈簧剛度為彈簧剛度為 k，彈簧自重不彈簧自重不計(jì)，輪作計(jì)，輪作純滾動(dòng)，在彈簧原長處無初速釋放。純滾動(dòng)，在彈簧原長處無初速釋放。求：重物下降求：重物下降 h 時(shí)的時(shí)的 v、a 以以及滾輪與地面的摩擦力及滾輪與地面的摩擦力 Fs01T解解: 用動(dòng)能定理用動(dòng)能定理222222211 111 1()()22 222 2TmvmRmvmR重物下降重物下降 h 時(shí)，彈簧伸長時(shí)，彈簧伸長 2h初始時(shí)初始時(shí)重物下降重物下降h時(shí)，具有速度時(shí)，具有速度v兩輪的角速度都為兩

50、輪的角速度都為vR此時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能為：此時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能為：221(2 )22Wmghkhmghkh重物重物動(dòng)能動(dòng)能定滑輪定滑輪動(dòng)能動(dòng)能滾輪滾輪動(dòng)能動(dòng)能232mv將式將式(a)對(duì)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)dd3(4)ddvhmvmgkhtt21TTW(a)22322mvmghkh2(2)3mgkh hvm由動(dòng)能定理由動(dòng)能定理即即khmgma43注意：此處不能用平方后注意：此處不能用平方后求導(dǎo)求加速度，因含有求導(dǎo)求加速度，因含有h的二次方的二次方dd, ddvhavtt而而得得mkhga34314263smgFFmakh2d1()()d2svmRFF RtRkhF2其中彈簧力其中彈簧力對(duì)質(zhì)心對(duì)質(zhì)心 C 應(yīng)用動(dòng)量

51、矩定理應(yīng)用動(dòng)量矩定理d()( )dJM Ft為求摩擦力，取滾輪為研究對(duì)象。為求摩擦力，取滾輪為研究對(duì)象。注意：此時(shí)注意：此時(shí)TFmg因?yàn)橛屑铀俣纫驗(yàn)橛屑铀俣萒sFFFma由由122TFmgkh得得例例: 已知均質(zhì)細(xì)長桿長為已知均質(zhì)細(xì)長桿長為 l，質(zhì)量為質(zhì)量為 m，靜止時(shí)豎立在光滑靜止時(shí)豎立在光滑水平面上。桿受微小擾動(dòng)而倒下。水平面上。桿受微小擾動(dòng)而倒下。求求: 桿倒下剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力。桿倒下剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力。2cosCCvvCPl水平面光滑，桿在水平方向不受力，倒下過程中，質(zhì)心將鉛直下落。水平面光滑，桿在水平方向不受力，倒下過程中，質(zhì)心將鉛直下落。成任一角度成任

52、一角度 時(shí)時(shí)2221122CCTmvJ10T 鉛直位置時(shí)鉛直位置時(shí)P 為瞬心為瞬心其中其中2112CJml解解: 桿下落過程做平面運(yùn)動(dòng)。桿的動(dòng)能桿下落過程做平面運(yùn)動(dòng)。桿的動(dòng)能(平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能)22222112211 123cosCCCTmvJmv代入代入 T2 表達(dá)式，得表達(dá)式，得132223cosCCCvglvvglll = 0時(shí)，上式簡化為時(shí)，上式簡化為22111(1 sin )23cos2Clmvmg由動(dòng)能定理，由動(dòng)能定理， ，得，得21TTW由此式也可看出，桿的質(zhì)心不是自由落體運(yùn)動(dòng)。由此式也可看出，桿的質(zhì)心不是自由落體運(yùn)動(dòng)。整個(gè)過程中只有重力做功。整個(gè)過程中只有重力做功。

53、對(duì)任何對(duì)任何 都成立都成立也可選取剛到達(dá)地面時(shí)為也可選取剛到達(dá)地面時(shí)為2時(shí)刻，則此時(shí)動(dòng)能表達(dá)式為：時(shí)刻，則此時(shí)動(dòng)能表達(dá)式為：2232Clmvmg也可選取剛到達(dá)地面時(shí)為也可選取剛到達(dá)地面時(shí)為2時(shí)刻，則此時(shí)動(dòng)能表達(dá)式為：時(shí)刻，則此時(shí)動(dòng)能表達(dá)式為：Av222222111122224CCCTmvJmvmlAvCACAvvv由速度的基點(diǎn)法由速度的基點(diǎn)法往鉛垂方向投影，得往鉛垂方向投影，得2ClvCA即即2Cvl從而從而222221122243CCTmvmlmv由動(dòng)能定理，由動(dòng)能定理， ，得，得21TTW2232Clmvmg132Cvgl其實(shí)此瞬時(shí)其實(shí)此瞬時(shí)A為速為速度瞬心，水平方向度瞬心，水平方向投影，得投影，得vA= 0vC與 都是未知量CAvCv由由(a), (b), (c) 得得4mgFNtnCACACAaaaa由加速度的基點(diǎn)法由加速度的基點(diǎn)法tCCAaa、nACAaa、其中其中: : 鉛直鉛直 水平水平2laatCAC(c)(a)CNmmFga (b)21122CNlJmlF為求力，由剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程，得為求力，由剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程，得水平方向不受力，故水平方