自動(dòng)控制原理(胡壽松)第六版-第二章-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型--2

1、前言前言 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)2.1 2.1 控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型2.3 2.3 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖2.4 2.4 控制系統(tǒng)建模實(shí)例控制系統(tǒng)建模實(shí)例End End 1.1.定義定義：數(shù)學(xué)模型是指出系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間動(dòng)數(shù)學(xué)模型是指出系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的表達(dá)式。態(tài)關(guān)系的表達(dá)式。2.5 2.2.建立數(shù)學(xué)模型的目的建立數(shù)學(xué)模型的目的 建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎(chǔ)工作）。（

2、或基礎(chǔ)工作）。 自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機(jī)械的、液壓或氣動(dòng)的等等，自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機(jī)械的、液壓或氣動(dòng)的等等，然而描述這些系統(tǒng)發(fā)展的模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學(xué)然而描述這些系統(tǒng)發(fā)展的模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學(xué)模型來研究自動(dòng)控制系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特模型來研究自動(dòng)控制系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內(nèi)在的共性運(yùn)動(dòng)規(guī)律。征，研究其內(nèi)在的共性運(yùn)動(dòng)規(guī)律。2.22.32.4 1) 1) 相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學(xué)模型。抽象的變量和系相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學(xué)模型。抽象的變量和系統(tǒng)統(tǒng) 2) 2) 簡化性和準(zhǔn)確性：忽略次要因

3、素，簡化之，但不能太簡單，結(jié)果合簡化性和準(zhǔn)確性：忽略次要因素，簡化之，但不能太簡單，結(jié)果合理理 3) 3) 動(dòng)態(tài)模型：變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。動(dòng)態(tài)模型：變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。 4) 4) 靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。 1) 1)微分方程：時(shí)域微分方程：時(shí)域 其它模型的基礎(chǔ)其它模型的基礎(chǔ) 直觀直觀 求解繁瑣求解繁瑣 2) 2)傳遞函數(shù)：復(fù)頻域傳遞函數(shù)：復(fù)頻域 微分方程拉氏變換后的結(jié)果微分方程拉氏變換后的結(jié)果 3) 3)頻率特性：頻域頻率特性：頻域 分析方法不同，各有所長分析方法不同，各有所長6.6.由數(shù)學(xué)模型求取系統(tǒng)性

4、能指標(biāo)的主要途徑由數(shù)學(xué)模型求取系統(tǒng)性能指標(biāo)的主要途徑求解求解觀察觀察線性微分方程線性微分方程性能指標(biāo)性能指標(biāo)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)時(shí)間響應(yīng)時(shí)間響應(yīng) 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)拉氏變換拉氏變換拉氏反變換拉氏反變換估算估算估算估算計(jì)算計(jì)算傅傅氏氏變變換換S=j頻率特性頻率特性 1) 1) 分析法：根據(jù)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，按有關(guān)定理列方分析法：根據(jù)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，按有關(guān)定理列方程，合在一起。程，合在一起。 2) 2) 實(shí)驗(yàn)法：黑箱問題。施加某種測試信號(hào)，記錄輸出，用實(shí)驗(yàn)法：黑箱問題。施加某種測試信號(hào)，記錄輸出，用系統(tǒng)辨識(shí)的方法，得到數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)辨識(shí)的方法，得到數(shù)學(xué)模型。 三個(gè)基本的無源元件：質(zhì)量三個(gè)基本的

5、無源元件：質(zhì)量m,m,彈簧彈簧k,k,阻尼器阻尼器f f對(duì)應(yīng)三種阻礙運(yùn)動(dòng)的力對(duì)應(yīng)三種阻礙運(yùn)動(dòng)的力: :慣性力慣性力ma;ma;彈性力彈性力ky;ky;阻尼力阻尼力fvfv 例例2-1 2-1 彈簧彈簧- -質(zhì)量質(zhì)量- -阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。 試列出以外力試列出以外力F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)為為輸出量的運(yùn)動(dòng)方程式。輸出量的運(yùn)動(dòng)方程式。 解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：解：遵照列寫微分方程的一般步驟有： （1 1）確定）確定輸入量輸入量為為F(t)，輸出量輸出量為為y(t)，作用于質(zhì)，作用于質(zhì)量量m的力還有彈性阻力的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻

6、力和粘滯阻力Ff(t)，均作為，均作為中間變量。中間變量。 （2）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無外力作用時(shí)，且無外力作用時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。KmfF(t)y(t)2.12.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 （3 3）按牛頓第二定律列寫原始方程，即）按牛頓第二定律列寫原始方程，即kytFk )( )(dtdyffvtFf （5 5）將以上輔助方程式代入原始方程）將以上輔助方程式代入原始方程, ,消去中消去中間變量間變量, ,得得)(22tFdtdyfkydtydm （6 6）整理方程得標(biāo)準(zhǔn)形）整理方程得標(biāo)準(zhǔn)形)(122tFkydtdyk

7、fdtydkm )()()(22 dtydmtFtFtFFfk （4 4）寫中間變量與輸出量的關(guān)系式）寫中間變量與輸出量的關(guān)系式KmfF(t)y(t) 例例2-2 2-2 電阻電感電容串聯(lián)系統(tǒng)。電阻電感電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-CR-L-C串聯(lián)電路，試列出以串聯(lián)電路，試列出以u(píng) ur r( (t t) )為輸入量，為輸入量，u uc c( (t t) )為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。令令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，則方程化為，則方程化為)(1222tFkydtdyTdtydTfm R C ur(t) uc(t) L 解：解：（1 1）確定輸入量）確定輸入量為為ur

8、(t)，輸出量為，輸出量為uc(t)，中，中間變量為間變量為i(t)。 rcuuRidtdiL （4 4）列寫中間變量）列寫中間變量i與輸出變量與輸出變量uc c 的關(guān)系式的關(guān)系式: : dtduCic （5 5）將上式代入原始方程，消去中間變量得）將上式代入原始方程，消去中間變量得 R C ur(t) uc(t) L（2 2）網(wǎng)絡(luò)按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)。）網(wǎng)絡(luò)按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)。（3 3）由）由KVLKVL寫原始方程：寫原始方程：i(t)（6 6）整理成標(biāo)準(zhǔn)形，令）整理成標(biāo)準(zhǔn)形，令T1 = L/R，T2 = RC，則方程化為則方程化為rcccuudtduT

9、dtudTT 22221 2.2.4 2.2.4 線性微分方程的一般特征線性微分方程的一般特征 觀察實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，若用線性定常特性來描述，則方程一般具觀察實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，若用線性定常特性來描述，則方程一般具有以下形式：有以下形式：cadtdcadtcdadtcdannnnnn 11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm 11110rcccuudtduRCdtudLC 22 Ra和和La分別是電樞繞組總電阻和總電感。在完成能量轉(zhuǎn)換的過分別是電樞繞組總電阻和總電感。在完成能量轉(zhuǎn)換的過程中，其繞組在磁場中切割磁力線會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)反電勢(shì)程中，其繞組在磁場中切割磁力線會(huì)產(chǎn)生

10、感應(yīng)反電勢(shì)Ea，其大小與，其大小與M Ra ua La ia if=常數(shù)常數(shù) Ea激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與外加電樞電壓激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與外加電樞電壓ua相反。相反。 下面推導(dǎo)其微分方程式。下面推導(dǎo)其微分方程式。（1）取電樞電壓）取電樞電壓ua為控制輸入，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為控制輸入，負(fù)載轉(zhuǎn)矩ML為擾動(dòng)輸入，電動(dòng)機(jī)為擾動(dòng)輸入，電動(dòng)機(jī)角速度角速度 為輸出量；為輸出量；（2）忽略電樞反應(yīng)、磁滯、渦流效應(yīng)等影響，當(dāng)激磁電流不變）忽略電樞反應(yīng)、磁滯、渦流效應(yīng)等影響，當(dāng)激磁電流不變if 時(shí)，時(shí)，激磁磁通視為不變，則將變量關(guān)系看作線性關(guān)系；激磁磁通視為不變，則將變量關(guān)系看作線性關(guān)系；（3）列寫原始方程式

11、）列寫原始方程式 電樞回路方程：電樞回路方程：aaaaaauEiRdtdiL uaMRaLa ia if=常數(shù)常數(shù)Ea電動(dòng)機(jī)軸上機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程：電動(dòng)機(jī)軸上機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程：LDMMdtdJ J 負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量; MD 電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩; ML 合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。（4）列寫輔助方程）列寫輔助方程 Ea = ke ke 電勢(shì)系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。電勢(shì)系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。 MD = km iakm 轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。（5）消去中間變量，

12、得）消去中間變量，得LmmmLmDaMkdtdkJkMdtdJkMi1 電動(dòng)機(jī)軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程：電動(dòng)機(jī)軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程：)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm Jm=J 負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量; Mm =MD 電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩; Mc =ML 合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。（4）列寫輔助方程）列寫輔助方程 Ea = Ce Ce =Ke 電勢(shì)系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。電勢(shì)系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。 Mm = km iakm 轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。（

13、5）消去中間變量，得）消去中間變量，得LmmmLmDaMkdtdkJkMdtdJkMi1 aaaaaauEiRdtdiL LmmmLmDaMkdtdwkJkMdtdwJkMi1dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea 122 dtdMkLMkRukdtdkJRdtdkJLLmaLmaaemama22dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea 122 meamkkJRT 令機(jī)電時(shí)間常數(shù)令機(jī)電時(shí)間常數(shù)Tm : :令電磁時(shí)間常數(shù)令電磁時(shí)間常數(shù)Ta : :aaaRLT 1)1)當(dāng)電樞電感較小時(shí)，可忽略，可簡化上式

14、如下：當(dāng)電樞電感較小時(shí)，可忽略，可簡化上式如下：LmaemMJTukdtdT10aT2-22 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)dtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma 122 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)（2-21）2)對(duì)微型電機(jī)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)微型電機(jī)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J很小，且很小，且Ra 、La都可忽略都可忽略eaaekuuk 13) 隨動(dòng)系統(tǒng)中，取隨動(dòng)系統(tǒng)中，取為輸出為輸出LmaemMJTukdtddtdTdtd1224) 在實(shí)際使用中，轉(zhuǎn)速常用在實(shí)際使用中，轉(zhuǎn)速常用n n（r/minr/min）表示表示,設(shè)設(shè) ML=0aemmaukndtdnTdtndTT2213022230602eekknn，令代入

15、0 meamkkJRT0 aaaRLTdtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma 122 1) 1) 分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的、及內(nèi)部及內(nèi)部，搞清各變量之間的關(guān)系。搞清各變量之間的關(guān)系。 2) 2) 忽略一些次要因素，忽略一些次要因素，。 3) 3) 根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的。 4) 4) 列寫中間變量的列寫中間變量的。 ！ 5) 5) 聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。 6) 6) 將方程式化成標(biāo)準(zhǔn)形。將方程式化成標(biāo)

16、準(zhǔn)形。 2.52.12.32.43. 3. 線性系統(tǒng)的基本特性線性系統(tǒng)的基本特性cadtdcadtcdadtcdannnnnn 11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm 11110觀察實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，若用線性定常特性來描述，觀察實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，若用線性定常特性來描述，則方程一般具有以下形式：則方程一般具有以下形式：式中，式中，c(t)是系統(tǒng)的輸出變量，是系統(tǒng)的輸出變量，r(t)是系統(tǒng)的輸入變量。是系統(tǒng)的輸入變量。 從工程可實(shí)現(xiàn)的角度來看，上述微分方程滿足以下約束：從工程可實(shí)現(xiàn)的角度來看，上述微分方程滿足以下約束： （3 3）方程式兩端的各項(xiàng)的量綱應(yīng)一致。利用這

17、點(diǎn)，可以檢查微）方程式兩端的各項(xiàng)的量綱應(yīng)一致。利用這點(diǎn)，可以檢查微分方程式的正確與否。分方程式的正確與否。 cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm1111022( )d ydymfkyF tdtdt221rd qdqLRqudtdtC：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形式。在方程中，占據(jù)相同位置的量，相似量。式。在方程中，占據(jù)相同位置的量，相似量。 上面兩個(gè)例題介紹的系統(tǒng)，就是相似系統(tǒng)。上面兩個(gè)例題介紹的系統(tǒng)，就是相似系統(tǒng)。例例2-1例例2-2令令uc=q/CrcccuudtduR

18、CdtudLC 22當(dāng)分析一個(gè)當(dāng)分析一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)或不易進(jìn)行試機(jī)械系統(tǒng)或不易進(jìn)行試驗(yàn)的系統(tǒng)時(shí)，可以建造驗(yàn)的系統(tǒng)時(shí)，可以建造一個(gè)與它相似的電模擬一個(gè)與它相似的電模擬系統(tǒng)，來代替對(duì)它的研系統(tǒng)，來代替對(duì)它的研究。究。 非線性非線性系統(tǒng)：用非線性微分方程描述。系統(tǒng)：用非線性微分方程描述。)(2tFykydtdyf )(tFkydtdyf )()(tFytkdtdyf * 微分方程的類型微分方程的類型 線性線性定常定常系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數(shù)是常數(shù)。系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數(shù)是常數(shù)。 線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)重要性質(zhì)：滿足疊加性和均勻性（齊次性）。即：滿足疊加性和均勻性（

19、齊次性）。即： 如果輸入如果輸入r1(t)輸出輸出y1(t)，輸入，輸入r2(t)輸出輸出y2(t) 則輸入則輸入a r1(t)+b r2(t) 輸出輸出a y1(t)+by2(t) 線性線性系統(tǒng)：用線性微分方程描述。系統(tǒng)：用線性微分方程描述。 線性線性時(shí)變時(shí)變系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數(shù)是系統(tǒng)：用線性微分方程描述，微分方程的系數(shù)是隨時(shí)間而變化的。隨時(shí)間而變化的。2.2.12.2.32.2.4xdxxdfyxx 0)( 22200)()(!21)()(00 xdxxfdxdxxdfxfyyyxxxxxdx)x(df)x( fyyy0 xx00 5 非線性元件微分方程的線性化非線性元

20、件微分方程的線性化小偏差線性化：小偏差線性化：用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，略去二階以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，略去二階以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。 一、一、假設(shè)假設(shè)：x,y在平衡點(diǎn)（在平衡點(diǎn)（x0,y0)附近變化，即附近變化，即 x=x0+x, y=y0+y二、二、近似處理近似處理略去高階無窮小項(xiàng)略去高階無窮小項(xiàng) 嚴(yán)格地說，實(shí)際控制系統(tǒng)的某些元件含有一定的非線性特性，而嚴(yán)格地說，實(shí)際控制系統(tǒng)的某些元件含有一定的非線性特性，而非線性微分方程的求解非常困難。如果某些非線性特性在一定的工非線性微分方程的求解非常困難。如果某些非線性特性在一定的工作范圍內(nèi)，可以用線性系統(tǒng)模型近似，稱為非線性模型的線性化。作范圍內(nèi)，可以用線性系統(tǒng)模

21、型近似，稱為非線性模型的線性化。三、三、數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法2.2.12.2.42.2.2一一. .復(fù)習(xí)拉氏變換及其性質(zhì)復(fù)習(xí)拉氏變換及其性質(zhì) 1.定義定義 記記 X(s) = Lx(t) 2. 2.進(jìn)行拉氏變換的條件進(jìn)行拉氏變換的條件 1)1)t 0 0，x(t)=0 0；當(dāng)；當(dāng)t 0 0，x(t)是分段連續(xù)；是分段連續(xù)； 2)2)當(dāng)當(dāng)t t充分大后滿足不等式充分大后滿足不等式 x(t) Mect，M，c是常數(shù)。是常數(shù)。 3.3.性質(zhì)和定理性質(zhì)和定理 1)1)線性性質(zhì)線性性質(zhì) L ax1(t) + bx2(t) = aX1(s) + bX2(s) 0)()(dtetxsXst)0()()(xssX

22、dttdxL 2)2)微分定理微分定理)()(ssXdttdxL 若若 , ,則則 0)0()0( xx)()(222sXsdttxdL )()(sXsdttxdLnnn )0()0()()(222xsxsXsdttxdL sXsdttxL1 )0(1)0(1)(1)()2()1(22 xsxssXsdttxL若若x 1(0)= x 2(0) = = 0，x(t)各重積分在各重積分在t=0的值為的值為0時(shí)，時(shí)，3)3)積分定律積分定律 )0(1)(1)()1( xssXsdttxLX（-1）(0)是是x(t)dt 在在t=0 0的值。同理的值。同理 sXsdttxL21 sXsdttxLnn1

23、 5)5)初值定理初值定理 如果如果x(t)及其及其一階導(dǎo)數(shù)是可拉氏變換的，并且一階導(dǎo)數(shù)是可拉氏變換的，并且 4)4)終值定理終值定理 若若x(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，lim x(t)存在，并且存在，并且sX(s)除原點(diǎn)為單極點(diǎn)外，在除原點(diǎn)為單極點(diǎn)外，在j軸上及其右半平面內(nèi)應(yīng)沒有其它極點(diǎn)，軸上及其右半平面內(nèi)應(yīng)沒有其它極點(diǎn)，則函數(shù)則函數(shù)x(t)的終值為：的終值為：)(lim)(lim0ssXtxst )(lim)0(ssXxs )(limssXs 存在，則存在，則6)6)延遲定理延遲定理L x(t ) 1(t ) = esX(s) Le at x(t) =

24、 X(s + a)7)7)時(shí)標(biāo)變換時(shí)標(biāo)變換)(asaXatxL 8)8)卷積定理卷積定理 tdxtxLsXsX02121)()()()( 4.4.舉例舉例 1 1、 求單位階躍函數(shù)求單位階躍函數(shù) x(t)=1(t)的拉氏變換。的拉氏變換。 解：解：2 2、 求單位斜坡函數(shù)求單位斜坡函數(shù)x(t)=t的拉的拉氏變換。氏變換。 解：解： 020011 )()(sdtesestdttetxLsXststst 2)1(1)0(11)(11 )(1)(sstLsdttLtLsX sesdtetxLsXstst11 )()(003 3、 求正弦函數(shù)求正弦函數(shù)x(t) = sint 的拉氏變換。的拉氏變換。解

25、：解：jeettjtj2sin 02dtejeesXsttjtj 221121 sjsjsj 以上幾個(gè)函數(shù)是比較常用的，還有一些常用函數(shù)的拉氏變換以上幾個(gè)函數(shù)是比較常用的，還有一些常用函數(shù)的拉氏變換可查表求得?？刹楸砬蟮谩?)(cos22 tLsstL 4 4、 求函數(shù)求函數(shù)x(t)的拉氏變換。的拉氏變換。 00, 0 00 )(tttttAtxtx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0 A+)1 ()(00ststesAesAsAsX 解：解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A 1(t) A 1(t t0 ) asesadteesXtsastat 11)(0)(05

26、5、 求求e at 的拉氏變換的拉氏變換。解解: : asetLsXat 1)(1)(6 6、 求求e 0.2 t 的拉氏變換的拉氏變換。解：解：15551152 . 0sseLeLtt ，求，求x(0)， x( )。解：解：7 7、 若若0lim)(lim)(00 assssXxss 1. 1.定義定義 由象函數(shù)由象函數(shù)X(s)求原函數(shù)求原函數(shù)x(t) 0)( )(21)()(1 tdtesXjsXLtxjjst 2. 2.求拉氏反變換的方法求拉氏反變換的方法 根據(jù)定義，用留數(shù)定理計(jì)算上式的積分值根據(jù)定義，用留數(shù)定理計(jì)算上式的積分值 查表法查表法 astxL 1)(1lim)(lim)0(

27、assssXxss niiinnpscpscpscpscsX12211)()()()()(式中式中ci 是待定常數(shù)，稱為是待定常數(shù)，稱為X(s)在極點(diǎn)在極點(diǎn)si 處的留數(shù)。處的留數(shù)。)()(limsXsscissii nitpiniiiiecpscLsXLtx1111)()()(（2 2） D(s) = 0有重有重根。設(shè)有根。設(shè)有r個(gè)重根個(gè)重根p1 ，則，則 nriiirrrnrrpscpscpscpscpspspssNsX111121111)()()()()()()()()( )()(lim! 111)1()1(1sXpsdsdrcrrrpsr )()(limsXpscipsii i = r

28、+1, , n nritpitprrrriecectctrctrcsXLtx11221111)!2()!1()()( )()(lim111sXpscrps )()(lim121sXpsdsdcrps )()(lim! 211)2()2(31sXpsdsdcrps 3. 3. 舉例舉例 2-7 2-7 1 1、，求原函數(shù)求原函數(shù)x(t)。解：解： s2 + 4s + 3 = (s + 3)(s + 1)13)1)(3(2)(21 scscssssX2112lim)()3(lim331 sssXscss2132lim)()1(lim112 sssXscss)(21)(3tteetx 342)(2

29、ssssX223)(2 ssssX的原函數(shù)的原函數(shù)x(t)。2 2、 求求解：解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 j) jscjscjsjsssX 11113)(21 jjsXjscjs24)(1lim11 jjsXjscjs24)(1lim12 tteejjejjsXLtxttjtjsin4cos 2424)()(111 1) 1(41) 1(1)(22ssssXLe at x(t) = X(s + a) 121)(3lim34 sXscs32)(lim03 ssXcs 21)(1lim211 sXscs 43)(1lim212 sXsd

30、sdcsttetetx312132)23(21)( 的原函數(shù)的原函數(shù)x(t)。解解：3 3、 求求)3()1(2)(2 sssssX31)1()(43221 scscscscsX 用拉氏變換求解微分方程的一般步驟：用拉氏變換求解微分方程的一般步驟： 1)1)對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換。對(duì)微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換。 2)2)求解代數(shù)方程，得到微分方程在求解代數(shù)方程，得到微分方程在s 域的解。域的解。 3)3)求求s 域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。4. 4. 線性常系數(shù)微分方程的求解（二）線性常系數(shù)微分方程的求解（二）微分方程式微分方程式r(t)c(t)求

31、解代數(shù)方程求解代數(shù)方程時(shí)域解時(shí)域解c(t)Ls的代數(shù)方程的代數(shù)方程R(s)C(s)求解微分方程式求解微分方程式s域解域解C(s) L-1 例例2-72-7 求解微分方程：求解微分方程： 解解：兩邊取拉氏變換兩邊取拉氏變換 s2Y(s) sy(0) y (0) + 3sY(s) 3y(0) +2Y(s)=5/s22/3152/5 )2)(1(5)23(52332/5)(2222 ssssssssssssssssssY)( 15)(2)(3)(22ttydttdydttdy y(t) = 5/2 5 e t + 3/2 e 2t初始條件：初始條件：y(0)= 1, y (0) =2 例例2-72-

32、7 圖示的圖示的RC電路，當(dāng)開關(guān)電路，當(dāng)開關(guān)K突然接通后，試求出電突然接通后，試求出電容電壓容電壓uc(t)的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。 解：解：設(shè)輸入量為設(shè)輸入量為ur (t)，輸出量為，輸出量為uc (t)。由。由KVLKVL寫出電路方程寫出電路方程 rccuudtduRC 電容初始電壓為電容初始電壓為uc(0)，對(duì)方程兩端取拉氏變換對(duì)方程兩端取拉氏變換 R C ur uc tRCctRCceueutu1100)1()( RCsuRCssusUcc110111)(0 當(dāng)輸入為階躍電壓當(dāng)輸入為階躍電壓ur (t) = u0 1(t)時(shí)時(shí), u0為幅值，為幅值， 得得)0(1)(11)(crcuR

33、CsRCsURCssU 式中右端第一項(xiàng)是由輸入電壓式中右端第一項(xiàng)是由輸入電壓ur (t)決定的分量，是當(dāng)電容初始狀決定的分量，是當(dāng)電容初始狀態(tài)態(tài)uc(0) =0 時(shí)的響應(yīng)，故稱時(shí)的響應(yīng)，故稱； 第二項(xiàng)是由電容初始電壓第二項(xiàng)是由電容初始電壓uc(0)決定的分量，是當(dāng)輸入電壓決定的分量，是當(dāng)輸入電壓ur (t)=0時(shí)的響應(yīng)，故稱時(shí)的響應(yīng)，故稱。)()()0()(sUsUussURCrccc 用拉氏變換求解的優(yōu)點(diǎn)：用拉氏變換求解的優(yōu)點(diǎn)：1）復(fù)雜的微分方程變換成簡單的代數(shù)方程）復(fù)雜的微分方程變換成簡單的代數(shù)方程2）求得的解是完整的，初始條件已包含在拉氏變換中）求得的解是完整的，初始條件已包含在拉氏變換

34、中,不用另行確不用另行確定積分常數(shù)定積分常數(shù)3）若所有的初值為）若所有的初值為0，拉氏變換式可直接用，拉氏變換式可直接用s 代替代替 , 得到。得到。 當(dāng)然，階次高時(shí)，求拉氏反變換也不太容易，當(dāng)然，階次高時(shí)，求拉氏反變換也不太容易，往往并，往往并不需要求出解，可用不需要求出解，可用圖解法圖解法預(yù)測系統(tǒng)的性能，可用相關(guān)性質(zhì)得到解預(yù)測系統(tǒng)的性能，可用相關(guān)性質(zhì)得到解的特征，初值、終值等，滿足工程需要。的特征，初值、終值等，滿足工程需要。dtd222dtds 代替 求解方法：經(jīng)典法、拉氏變換法。零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)。求解方法：經(jīng)典法、拉氏變換法。零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)。rccuudtduCR 11)

35、()()0()(1111sUsUuCRssUCRrccc )()(1 . 0)(sUsUssUrcc 11 . 0)1(1)( ssssUcttceetu 1 . 01)(*線性定常微分方程的求解線性定常微分方程的求解 R1 C1i 1(t)ur(t)uc(t)例例2.15 已知已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t)，求，求 uc(t) 拉氏變換法求解步驟：拉氏變換法求解步驟： 1. 考慮初始條件，對(duì)微分方程中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉氏變換，考慮初始條件，對(duì)微分方程中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉氏變換，得到變量得到變量s的代數(shù)方程；的代數(shù)方程； 2. 求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表

36、達(dá)式；求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式； 3. 對(duì)輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)對(duì)輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。式，即為所求微分方程的解。解：解：) s (U) s (U) s (sUCRrcc11 1sCR1)s (U)s (U11rc 零初始條件下取拉氏變換：零初始條件下取拉氏變換： 傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCSG 1

37、1101110)()()()()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn 線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為傳遞函數(shù)拉氏變換之比，稱為傳遞函數(shù) 。 2.2.1 2.2.1 傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì) (a)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，與系統(tǒng)的微分方程相對(duì)應(yīng)。傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，與系統(tǒng)的微分方程相對(duì)應(yīng)。 (b)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。 (c)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，因?yàn)槔?/p>

38、變換是一種線性變換。傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，因?yàn)槔献儞Q是一種線性變換。( (d d) )傳遞函數(shù)描述的是一對(duì)確定的變量之間的傳遞關(guān)系，對(duì)中間變量不反應(yīng)。傳遞函數(shù)描述的是一對(duì)確定的變量之間的傳遞關(guān)系，對(duì)中間變量不反應(yīng)。 ( (e e) )傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。（零狀態(tài)解）的運(yùn)動(dòng)情況。（零狀態(tài)解）( (f f) )傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量s s 的有理分式，它的分母多項(xiàng)式是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，的有理分式，它的分母多項(xiàng)式是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，且階次總是大于或等

39、于分子多項(xiàng)式的階次，即且階次總是大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，即n n m m。并且所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。并且所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。(g)(g)傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)一一對(duì)應(yīng)，是拉氏變換與反變換的關(guān)系。傳遞函數(shù)與脈沖響應(yīng)一一對(duì)應(yīng)，是拉氏變換與反變換的關(guān)系。 系統(tǒng)辨識(shí)系統(tǒng)辨識(shí) )()()()()()()()(1)()(1sGtgsGLtcsGsGsRsCtLsR 1、如圖、如圖RLC電路，試列寫網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)電路，試列寫網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù) Uc(s)/Ur(s).)()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc )()()()(2sUsUsRCsUsULCsrccc 11)()()(2 RCsLC

40、ssUsUsGrc例例2.8 RLCi(t)ur(t)uc(t)LsR1/sCI(s)Ur(s)Uc(s)參見解解:1) 零初始條件下取拉氏變換：零初始條件下取拉氏變換：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：2) 變換到復(fù)頻域來求。變換到復(fù)頻域來求。 求零狀態(tài)條件下階躍響應(yīng)求零狀態(tài)條件下階躍響應(yīng)uc(t) ； 2) uc(0)=0.1v， ur(t)=1(t)，求，求 uc(t) ; 3）求脈沖響應(yīng)）求脈沖響應(yīng)g(t)。1111)()()(11 ssCRsUsUsGrc)1(11)()( ssssUsUrctce1) t (u （前例已得）（前例已得） )()()(11sUsUssUCRrccrccuudtdu

41、CR 11)()()0()(1111sUsUuCRssUCRrccc )()(1 . 0)(sUsUssUrcc 11 . 0)1(1)( ssssUcttceetu 1 . 01)(tesLsGLtg 11)()(112、 已知已知R1=1，C1=1F， 1）對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換：對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換：3）解解: 1）2） R1 C1i1 (t)ur(t)uc(t) 傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式經(jīng)因式分解可寫為如下形式：傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式經(jīng)因式分解可寫為如下形式： njjmiinmpszsKpspspsazszszsbsG11*210210)()()()()()()( n1jj

42、m1ii)sT1(s)s1(K)s (G K稱為傳遞系數(shù)或增益，在頻率法中使用較多。稱為傳遞系數(shù)或增益，在頻率法中使用較多。2.2.2 傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn) 0 j S平面平面 零、極點(diǎn)分布圖。零、極點(diǎn)分布圖。 傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式與分母多傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式與分母多 項(xiàng)式也可分解為如下形式：項(xiàng)式也可分解為如下形式： 傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的根傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式的根zi稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；分母多項(xiàng)式稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；分母多項(xiàng)式的根的根pj稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。K*稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益。稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益。2 G(s)的微觀結(jié)構(gòu)的微觀結(jié)構(gòu) G(s)是關(guān)于

43、是關(guān)于s的有理分式，可分解成多種形式：的有理分式，可分解成多種形式：1）零極點(diǎn)表達(dá)式）零極點(diǎn)表達(dá)式).().(.)(1111101110nmgnnnnmmmmpspszszskasasasabsbsbsbsG 00abkg 可知：傳遞函數(shù)定，零、極點(diǎn)和可知：傳遞函數(shù)定，零、極點(diǎn)和kg唯一確定，反之亦然。因此傳遞函唯一確定，反之亦然。因此傳遞函數(shù)可用零極點(diǎn)和傳遞系數(shù)數(shù)可用零極點(diǎn)和傳遞系數(shù)等價(jià)等價(jià)表示。表示。 零極點(diǎn)既可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，表示在復(fù)平面上，形成的圖稱零極點(diǎn)既可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，表示在復(fù)平面上，形成的圖稱傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖零、極點(diǎn)分布圖。反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

44、因此對(duì)系統(tǒng)的研究，。反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。因此對(duì)系統(tǒng)的研究，可變成對(duì)系統(tǒng)傳函的零、極點(diǎn)的研究了，這就是可變成對(duì)系統(tǒng)傳函的零、極點(diǎn)的研究了，這就是。傳遞系數(shù)，傳遞系數(shù)，根軌跡增益根軌跡增益靜態(tài)放大倍數(shù),0)()1).(12)(1()1).(12)(1(.)(0222212222111101110 tsKabsGsTsTsTsTssssKasasasabsbsbsbsGnmsjinnnnmmmm 較容易分解成一些典型環(huán)節(jié)較容易分解成一些典型環(huán)節(jié)p1p2j1 1 j 0 2 3p3z1)22)(3(2)(2 sssssG 例如，試畫出下面?zhèn)鬟f函例如，試畫出下面?zhèn)鬟f函數(shù)的零極點(diǎn)圖。數(shù)的零極點(diǎn)圖。例例2.

45、6 具有相同極點(diǎn)不同零點(diǎn)的兩個(gè)系統(tǒng)具有相同極點(diǎn)不同零點(diǎn)的兩個(gè)系統(tǒng) ,它們零初始條件下的單位階躍響應(yīng)分別為它們零初始條件下的單位階躍響應(yīng)分別為 極點(diǎn)極點(diǎn)決定系統(tǒng)響應(yīng)形式（模態(tài)），決定系統(tǒng)響應(yīng)形式（模態(tài)），零點(diǎn)零點(diǎn)影響各模態(tài)在響應(yīng)中影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占比重。所占比重。 )2)(1(24)(1 ssssG)2)(1(25 . 1)(2 ssssGtteessssLtc211321)2)(1(24)( tteessssLtc2125 . 05 . 01)2)(1(25 . 1)( 2.2.3 傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)輸出的影響傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)輸出的影響 2.2.4 可看成是若干稱為典型環(huán)節(jié)的基本

46、因子的乘積，一般認(rèn)為典可看成是若干稱為典型環(huán)節(jié)的基本因子的乘積，一般認(rèn)為典型環(huán)節(jié)有型環(huán)節(jié)有6 6種，這些典型環(huán)節(jié)種，這些典型環(huán)節(jié), ,對(duì)應(yīng)典型電路。這樣劃分對(duì)系統(tǒng)分對(duì)應(yīng)典型電路。這樣劃分對(duì)系統(tǒng)分析和研究帶來很大的方便。析和研究帶來很大的方便。 分述如下：分述如下： 121) 12(11) 1() 1() 12)(1() 1() 12)(1()()()(2222222211222212222111101110ssTsssTsKsTssTsTssssKaasasabsbsbsbsRsCsGjinnnnmmmm 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) : G(s)=K 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) : G(s)=1/s 微分環(huán)節(jié)微分

47、環(huán)節(jié) G(s)=s11)( TssG1)( ssG 222222121)(nnnssTssTsG 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié): 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié): 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) :1. 1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)（杠桿，齒輪系，電位器，變壓器杠桿，齒輪系，電位器，變壓器等）等） 運(yùn)動(dòng)方程式運(yùn)動(dòng)方程式 c(t) = K r(t) 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) G(s) = K 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) C(s) = G(s) R(s) = K/s c(t) = K 1(t) 可見，當(dāng)輸入量可見，當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時(shí)，時(shí)，輸出量輸出量c(t)成比例變化。成比例變化。 r(t)1c(t

48、)t0K 2.2.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 微分方程式：微分方程式： 式中，式中，T是慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)。是慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個(gè)負(fù)實(shí)極函數(shù)有一個(gè)負(fù)實(shí)極點(diǎn)點(diǎn) p = 1/T，無零點(diǎn)。，無零點(diǎn)。傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：11)( TssG)()()(trtcdttdcT 01 t ec(t)TtTsssTssRTssC/111111)(11)( j 0 1/T單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng): :3.3.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)微分方程式：微分方程式：ssRTsCdrTtct)()()()(110 傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：TssG1)( 階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)上升的曲線。上升的曲

49、線。01 t ec(t)Tt0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T單位階躍響應(yīng)：單位階躍響應(yīng)：tTtc1)( sTssC11)( 當(dāng)輸入階躍函數(shù)時(shí)，該環(huán)節(jié)的輸出當(dāng)輸入階躍函數(shù)時(shí)，該環(huán)節(jié)的輸出隨時(shí)間直線增長，增長速度由隨時(shí)間直線增長，增長速度由1/T決定。決定。當(dāng)輸入突然除去，積分停止，輸出維持當(dāng)輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有不變，故有。4.4.微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 微分方程式為：微分方程式為：dttdrTtc)()( r(t)t01c(t)t01T TsTssG 1)( c(t) = T (t) 由于階躍信號(hào)在時(shí)刻由于階躍信號(hào)在時(shí)刻t = 0有一躍變，其

50、他有一躍變，其他時(shí)刻均不變化，所以微分環(huán)節(jié)對(duì)階躍輸入時(shí)刻均不變化，所以微分環(huán)節(jié)對(duì)階躍輸入的響應(yīng)的響應(yīng) 理想的微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中很少獨(dú)理想的微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中很少獨(dú)立存在，常見的為帶有慣性環(huán)節(jié)的微分特性，傳遞函數(shù)為：立存在，常見的為帶有慣性環(huán)節(jié)的微分特性，傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為： G(s)=Ts單位階躍響應(yīng)：單位階躍響應(yīng)：r(t)t01c(t)t0T1)(21 sTsTsGsTsT121 )(G時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 式中，式中，T 0，0 1， n = 1/T，T 稱為振蕩環(huán)節(jié)的稱為振蕩環(huán)節(jié)的，。振蕩環(huán)節(jié)有一對(duì)位于。振蕩環(huán)節(jié)有一對(duì)位于s左半平面的左半平面的共軛極點(diǎn)：共軛極點(diǎn)：)()()(

51、2)(222trtcdttdcTdttcdT 傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為： 121)(22 TssTsG 2222)(nnnsssG 或或dnnjjp 2211,5.5.二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié) 微分方程式為：微分方程式為：)sin(111)(2 tetcdtn式中，式中，。響應(yīng)曲線。響應(yīng)曲線是按指數(shù)衰減振蕩的，故稱振是按指數(shù)衰減振蕩的，故稱振蕩環(huán)節(jié)。蕩環(huán)節(jié)。c(t) t 01ssssRsGsCnnn12222 )()()(dnnjjp 2211, np1p2 j d n j 0微分方程式為：微分方程式為： c(t) = r(t )傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：單位階躍響應(yīng)：單位階躍響應(yīng)： sesCs1

52、)( c(t) = 1(t )r(t)t01c(t)t01 sesG )(ABnsnnnsnene)()(lim 11111慢變信號(hào)慢變信號(hào)ssses 121222.3.1 2.3.1 結(jié)構(gòu)圖的定義及基本組成結(jié)構(gòu)圖的定義及基本組成1.1.結(jié)構(gòu)圖的定義結(jié)構(gòu)圖的定義: 討論過的直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，用討論過的直流電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，用可描述其可描述其結(jié)構(gòu)和作用原理，但卻不能定量分析，有了傳遞函數(shù)的概念后，就結(jié)構(gòu)和作用原理，但卻不能定量分析，有了傳遞函數(shù)的概念后，就可迎刃而解?？捎卸?。放大器放大器電動(dòng)機(jī)電動(dòng)機(jī)測速機(jī)測速機(jī)urufua e+- 轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)由三個(gè)環(huán)節(jié)（元件）構(gòu)成，把各元件的傳遞函

53、數(shù)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)由三個(gè)環(huán)節(jié)（元件）構(gòu)成，把各元件的傳遞函數(shù)代入相應(yīng)的方框中，并標(biāo)明兩端對(duì)應(yīng)的變量，就得到了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)代入相應(yīng)的方框中，并標(biāo)明兩端對(duì)應(yīng)的變量，就得到了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)。 用用G(s)G(s)代替相應(yīng)的元件，代替相應(yīng)的元件，好處：好處：因此，它是對(duì)系統(tǒng)每個(gè)元件因此，它是對(duì)系統(tǒng)每個(gè)元件功能和信號(hào)流向功能和信號(hào)流向的圖解表示，也就的圖解表示，也就是對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解表示。是對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解表示。Ka1/ keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf (s)Ua(s) (s)E(s)+ P34，ML0 2.3.1.2.3.1.結(jié)構(gòu)圖的基本組成結(jié)構(gòu)圖的基本組成 1 1）畫圖的）畫圖的4 4

54、種基本元素種基本元素 是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，傳遞線上標(biāo)明被傳遞的信號(hào)。指向方框表示輸入，遞方向，傳遞線上標(biāo)明被傳遞的信號(hào)。指向方框表示輸入，從方框出來的表示輸出。從方框出來的表示輸出。r(t), R(s) r(t), R(s)r(t), R(s) 表示對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算表示對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算。方框中的。方框中的傳遞函數(shù)是傳遞函數(shù)是的運(yùn)算算子，使得輸出與輸入有確定的因的運(yùn)算算子，使得輸出與輸入有確定的因果關(guān)系。果關(guān)系。R(s)R(s) U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)+ 對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行代

55、數(shù)運(yùn)算，“ + ”號(hào)號(hào)表示相加，表示相加， “ ”號(hào)表示相減。外部信號(hào)作用于系統(tǒng)需通號(hào)表示相減。外部信號(hào)作用于系統(tǒng)需通過相加點(diǎn)表示。過相加點(diǎn)表示。 2 2）結(jié)構(gòu)圖的基本作用：）結(jié)構(gòu)圖的基本作用： (a) 簡單明了地表達(dá)了系統(tǒng)的組成和相互聯(lián)系，可以方便地評(píng)價(jià)簡單明了地表達(dá)了系統(tǒng)的組成和相互聯(lián)系，可以方便地評(píng)價(jià)每一個(gè)元件對(duì)系統(tǒng)性能的影響。信號(hào)的傳遞嚴(yán)格遵照每一個(gè)元件對(duì)系統(tǒng)性能的影響。信號(hào)的傳遞嚴(yán)格遵照原則，原則，對(duì)于輸出對(duì)輸入的反作用，通過對(duì)于輸出對(duì)輸入的反作用，通過反饋支路反饋支路單獨(dú)表示。單獨(dú)表示。 (c) s=0時(shí)，表示的是各變量間的靜態(tài)特性，否則，動(dòng)態(tài)特性。時(shí)，表示的是各變量間的靜態(tài)特性，

56、否則，動(dòng)態(tài)特性。 (1) 列寫每個(gè)元件的原始方程（保留所有變量，便于分析），要列寫每個(gè)元件的原始方程（保留所有變量，便于分析），要考慮相互間負(fù)載效應(yīng)考慮相互間負(fù)載效應(yīng)。 (2) 設(shè)初始條件為零，對(duì)這些方程進(jìn)行拉氏變換，得到傳遞函數(shù)，設(shè)初始條件為零，對(duì)這些方程進(jìn)行拉氏變換，得到傳遞函數(shù)，然后分別以一個(gè)然后分別以一個(gè)方框方框的形式將因果關(guān)系表示出來，而且這的形式將因果關(guān)系表示出來，而且這些方框中的傳遞函數(shù)都應(yīng)具有典型環(huán)節(jié)的形式。些方框中的傳遞函數(shù)都應(yīng)具有典型環(huán)節(jié)的形式。 (3) 將這些方框單元按信號(hào)流向連接起來，就組成完整的結(jié)構(gòu)圖。將這些方框單元按信號(hào)流向連接起來，就組成完整的結(jié)構(gòu)圖。 例例2-1

57、62-16 畫出下圖所示畫出下圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。 R C u1 u2 解：解：(1) 列寫各元件的原始方程式列寫各元件的原始方程式 2121uuuidtCuRuiRR i( (2) )取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式 )()()()()()()(sUsUsUsICssUsURsIRR21211(3)(3)將這些方框依次連接起來得圖。將這些方框依次連接起來得圖。U2(s)1CsI(s)U1(s)+U2(s)UR(s)2121uuuidtCuRuiRR1RI(s)UR(s)()(1)(11sUsURsIi )()()(21sI

58、sIsIc sCsIsUc1)()( )()(1)(22sUsURsIo sCsIsUo22)()( 例例2.8 繪出圖示雙繪出圖示雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。uiuouC2C1ici1R1R2i22.19U(s)I2(s) Uo(s)(d)21R (- -)IC(s)U(s)(c)sC11 IC(s)I1(s)I2(s) (- -)(b)Ui(s)I1(s) U(s) (- -)(a)11RsC21I2(s) Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s) I2(s) U(s)IC(s) I1(s) (- -) (- -) (- -)(f)11RsC11sC2121R返回動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示結(jié)構(gòu)圖的

59、等效變換和簡化結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化 1.1.三種基本連接形式三種基本連接形式 (1) 串聯(lián)串聯(lián)。相互間無負(fù)載效應(yīng)的環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸。相互間無負(fù)載效應(yīng)的環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，依次按順序連接。出是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，依次按順序連接。 G2 2(s)U(s)C(s)G1 1(s)R(s)U(s) 由圖可知：由圖可知： U(s)=G1(s)R(s) C(s)=G2(s)U(s) 消去變量消去變量U(s) 得得C(s)= G1(s)G2(s)R(s) = G(s)R(s)G1 1(s)G2 2(s)R(s)C(s)G2 2(s)U(s)C(s) (2) 并聯(lián)并聯(lián)。

60、并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于各環(huán)節(jié)輸出量之代數(shù)和。各環(huán)節(jié)輸出量之代數(shù)和。 由圖有由圖有 C1(s) = G1(s)R(s) C2(s) = G2(s)R(s) R(s)C(s)G1 1(s)C1(s)R(s)G2 2(s)C2 2(s)R(s)+ C(s) = C1(s) C2(s) 消去消去C1(s) 和和C2(s)，得，得 C(s) = G1(s) G2(s)R(s) = G(s)R(s) G1 1(s) G2 2(s)R(s)C(s)C1(s)G1 1(s)R(s)G2 2(s)C2 2(s)C(s)+ (3) 連接形式是兩個(gè)方框反向連接