立體幾何平行垂直問題專題復(fù)習(xí)

1、立體幾何平行、垂直問題【基礎(chǔ)知識點】一、平行問題1 直線與平面平行的判定與性質(zhì)定義判定定理性質(zhì)性質(zhì)定理圖形條件a結(jié)論abaab2. 面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件，a結(jié)論aba平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：二、垂直問題一、直線與平面垂直1直線和平面垂直的定義：直線l與平面內(nèi)的 都垂直，就說直線l與平面互相垂直2直線與平面垂直的判定定理及推論文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 推論如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直這個平面3直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平

2、行4.直線和平面垂直的常用性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線垂直于同一個平面的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩平面平行二、平面與平面垂直1平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直2平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面【典例探究】類型一、平行與垂直例1、如圖，已知三棱錐中，為中點，為中點，且為正三角形。（）求證：平面；（）求證：平面平面；（）若，求三棱錐的體積。ABCA1B1C1MN例2. 如圖，已知三棱柱中，底面，分別是棱，中點. （）求證：平面；

3、（）求證：平面；（）求三棱錐的體積【變式1】. 如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，且，分別是的中點。（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）設(shè)，求三棱錐的體積。二、線面平行與垂直的性質(zhì)例3、如圖4，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形，已知， （1）求證：平面； （2）求三棱錐的體積例4、如圖，四棱錐PABCD中，平面ABCD，底面為正方形，BC=PD=2，E為PC的中點， （I）求證：； （II）求三棱錐CDEG的體積； （III）AD邊上是否存在一點M，使得平面MEG。若存在，求AM的長；否則，說明理由?！咀兪?】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形，BADAD

4、C90°，AB2AD2CD2.()求證：AC平面BB1C1C；() A1B1上是否存一點P，使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論.4422444正視圖側(cè)視圖俯視圖三、三視圖與折疊問題例5、如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。若為的中點，求證：面；（1） 證明：面；（2） 求三棱錐的體積。ABEPDC例6.已知四邊形是等腰梯形，（如圖1）?，F(xiàn)將沿折起，使得（如圖2），連結(jié)。（I）求證：平面平面；（II）試在棱上確定一點，使截面把幾何體分成兩部分的體積比；（III）在點滿足（II）的情況下，判斷直線是否平行于平面，并說明理由。圖1圖2【變式3】一個四棱錐的

5、直觀圖和三視圖如下圖所示，E為PD中點.科網(wǎng)（I）求證：PB/平面AEC；（II）求四棱錐的體積；（）若F為側(cè)棱PA上一點，且，則為何值時，平面BDF. 【變式4】如圖1所示，正的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點?，F(xiàn)將沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如圖2）（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求三棱錐C-DEF的體積。四、立體幾何中的最值問題例7.圖4，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點，A1A= AB=2.(1)求證: BC平面A1AC；(2)求三棱錐A1-ABC的體積的最大值

6、.圖4ABCA1例8. 如圖，在交AC于 點D,現(xiàn)將（1）當(dāng)棱錐的體積最大時，求PA的長；（2）若點P為AB的中點，E為【變式5】如圖3，已知在中，平面ABC，于E，于F，當(dāng)變化時，求三棱錐體積的最大值。高三文科數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí):立體幾何平行、垂直問題（答案）【典例探究】例1解：（），又（）為正三角形,且為中點， 又由（1）知 又已知 ，又,平面平面, （），,又，例2.（）證明：因為三棱柱中，底面又因為平面， 所以. 1分ABCA1B1C1MNG因為，是中點，所以. 2分因為， 3分所以平面 4分（）證明：取的中點，連結(jié)，因為，分別是棱，中點，所以，. 又因為，所以，.所以四邊形是平行四邊形.

7、6分所以. 7分因為平面，平面， 8分所以平面 9分（）由（）知平面. 10分所以. 13分變式1.（1）根據(jù)中點尋找平行線即可；（2）易證，在根據(jù)勾股定理的逆定理證明；（3）由于點是線段的中點，故點到平面的距離是點到平面距離的，求出高按照三棱錐的體積公式計算即可?！窘馕觥浚?）取中點，連接平行四邊形，平面，平面，平面。 （4分）（2）等腰直角三角形中為斜邊的中點，又直三棱柱，面面，面，設(shè)又面。 （8分）（3）由于點是線段的中點，故點到平面的距離是點到平面距離的。，所以三棱錐的高為；在中，所以三棱錐的底面面積為，故三棱錐的體積為。（12分）二、線面平行與垂直的性質(zhì)例3.（1）證明：在中，由于，

8、 . 2分 又平面平面，平面平面，平面，平面. 4分（2）解：過作交于.又平面平面， 平面 6分是邊長為2的等邊三角形， .由（1）知，在中，斜邊邊上的高為. 8分，. 10分. 14分例4、（I）證明：平面ABCD， 又ABCD是正方形，BCCD， PDICE=D， BC平面PCD又PC面PBC，PCBC （II）解：BC平面PCD，GC是三棱錐GDEC的高。E是PC的中點， （III）連結(jié)AC，取A C中點O，連結(jié)EO、GO，延長GO交AD于點M，則PA/平面MEG。下面證明之E為PC的中點，O是AC的中點，EO/平面PA，又，PA/平面MEG在正方形ABCD中，O是AC中點， 所求AM的

9、長為變式2.證明：()直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BAD=ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，AC=，CAB=45°，BC=，BCAC.又BB1BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.()存在點P，P為A1B1的中點。證明：由P為A1B1的中點，有PB1AB，且PB1=AB. 又DCAB，DC=AB，DCPB1，且DC=PB1，DCB1P為平行四邊形，從而CB1DP.又CB1ACB1,DP面ACB1，DP面ACB1.同理，DP面BCB1.4422444正視圖側(cè)視圖俯視圖ABEPDC例5、（1）由幾何體的三

10、視圖可知，底面是邊長為4的正方形，面，為中點，又面。（2）取的中點，與的交點為，故為平行四邊形，面。（3）例6.答案略變式3.解：（）由三視圖得，四棱錐底面ABCD為菱形,棱錐的高為3,設(shè),則即是棱錐的高,底面邊長是2，連接，分別是的中點， （2）（3）過作-10分-12分-14分變式4.解：（1）判斷：AB/平面DEF.2分M證明：因在中，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，有EF/AB.5分又因AB平面DEF，EF平面DEF.6分所以AB/平面DEF.7分（2）過點E作EMDC于點M，面ACD面BCD，面ACD面BCDCD，而EM面ACD故EM平面BCD 于是EM是三棱錐E-CDF的高.9分又C

11、DF的面積為EM11分故三棱錐C-DEF的體積為四、立體幾何中的最值問題例7.圖4ABCA1證明:C是底面圓周上異于A，B的任意一點，AB是圓柱底面圓的直徑，BCAC, 2分AA1平面ABC，BCÌ平面ABC，AA1BC， 4分AA1AC=A，AA1Ì平面AA1 C，ACÌ平面AA1 C，BC平面AA1C. 6分(2)解法1：設(shè)AC=x，在RtABC中，(0<x<2) , 7分故(0<x<2),9分即. 11分0<x<2，0<x2<4，當(dāng)x2=2，即時，三棱錐A1-ABC的體積的最大值為. 14分解法2: 在RtABC中，AC2+BC2=AB2=4， 7分 9分. 11分當(dāng)且僅當(dāng) AC=BC 時等號成立，此時AC=BC=.例8.解：（1）設(shè)，則 令 則 單調(diào)遞