定積分典型例題

1、定積分典型例題例1 求分析 將這類問題轉化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限若對題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對區(qū)間等分寫出積分和，再與所求極限相比較來找出被積函數(shù)與積分上下限 解 將區(qū)間等分，則每個小區(qū)間長為，然后把的一個因子乘入和式中各項于是將所求極限轉化為求定積分即=例2 =_解法1 由定積分的幾何意義知，等于上半圓周 ()與軸所圍成的圖形的面積故=例18 計算分析 被積函數(shù)含有絕對值符號，應先去掉絕對值符號然后再積分解 注 在使用牛頓萊布尼茲公式時,應保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件如，則是錯誤的錯誤的原因則是由于被積函數(shù)在處間斷且在被積區(qū)間內無界. 例19 計算分

2、析 被積函數(shù)在積分區(qū)間上實際是分段函數(shù) 解 例20 設是連續(xù)函數(shù)，且，則分析 本題只需要注意到定積分是常數(shù)（為常數(shù)）解 因連續(xù)，必可積，從而是常數(shù)，記，則，且所以，即，從而，所以 例21 設，求, 并討論的連續(xù)性分析 由于是分段函數(shù), 故對也要分段討論解 （1）求的表達式的定義域為當時，, 因此當時，, 因此, 則=，故 (2) 在及上連續(xù), 在處，由于 , , 因此, 在處連續(xù), 從而在上連xu例22 計算分析 由于積分區(qū)間關于原點對稱，因此首先應考慮被積函數(shù)的奇偶性 解 =由于是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，有, 于是=由定積分的幾何意義可知, 故 例23 計算分析 被積函數(shù)中含有及，考慮湊微分解

3、=例24 計算解 =例26 計算，其中解法1 令，則 =注 如果先計算不定積分，再利用牛頓萊布尼茲公式求解,則比較復雜，由此可看出定積分與不定積分的差別之一例27 計算分析 被積函數(shù)中含有根式，不易直接求原函數(shù)，考慮作適當變換去掉根式解 設，則=例29 計算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法解 例30 計算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法解 = =例31 計算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法 解 由于， （1）而 ， （2）將（2）式代入（1）式可得 ,故 例32計算分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與

4、冪函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法解 （1）令，則 （2）將（2）式代入（1）式中得 例33 設在上具有二階連續(xù)導數(shù)，且，求分析 被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解解 由于故 ，例35（00研） 設函數(shù)在上連續(xù)，且，試證在內至少存在兩個不同的點使得分析 本題有兩種證法：一是運用羅爾定理，需要構造函數(shù)，找出的三個零點，由已知條件易知，為的兩個零點，第三個零點的存在性是本題的難點另一種方法是利用函數(shù)的單調性，用反證法證明在之間存在兩個零點證法1 令，則有又，由積分中值定理知，必有，使得=故又當，故必有于是在區(qū)間上對分別應用羅爾定理，知至少存在，使得，即例36 計算分析 該積分

5、是無窮限的的反常積分，用定義來計算解 =例37 計算解 例38 計算分析 該積分為無界函數(shù)的反常積分，且有兩個瑕點，于是由定義，當且僅當 和均收斂時，原反常積分才是收斂的解 由于=所以 例39 計算分析 此題為混合型反常積分，積分上限為，下限為被積函數(shù)的瑕點解 令，則有 ，再令，于是可得 例40 計算解 由于 ，可令，則當時，；當時，；當時，；當時，；故有 注 有些反常積分通過換元可以變成非反常積分，如例32、例37、例39；而有些非反常積分通過換元卻會變成反常積分，如例40，因此在對積分換元時一定要注意此類情形例41 求由曲線，所圍成的圖形的面積分析 若選為積分變量，需將圖形分割成三部分去求

6、，如圖51所示，此做法留給讀者去完成下面選取以為積分變量解 選取為積分變量，其變化范圍為，則面積元素為=于是所求面積為=例42 拋物線把圓分成兩部分，求這兩部分面積之比解 拋物線與圓的交點分別為與，如圖所示52所示，拋物線將圓分成兩個部分，記它們的面積分別為，則有圖5151圖52=，=，于是=例43 求心形線與圓所圍公共部分的面積分析 心形線與圓的圖形如圖53所示由圖形的對稱性，只需計算上半部分的面積即可解 求得心形線與圓的交點為=，由圖形的對稱性得心形線與圓所圍公共部分的面積為圖53=例44 求曲線在區(qū)間內的一條切線，使得該切線與直線，和曲線所圍成平面圖形的面積最?。ㄈ鐖D54所示）分析 要求

7、平面圖形的面積的最小值，必須先求出面積的表達式解 設所求切線與曲線相切于點，則切線方程為又切線與直線，和曲線所圍成的平面圖形的面積為圖54=由于=，令，解得駐點當時，而當時故當時，取得極小值由于駐點唯一故當時，取得最小值此時切線方程為：例45 求圓域（其中）繞軸旋轉而成的立體的體積解 如圖55所示，選取為積分變量，得上半圓周的方程為，下半圓周的方程為圖55則體積元素為=于是所求旋轉體的體積為=注 可考慮選取為積分變量，請讀者自行完成例46 過坐標原點作曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成平面圖形（1）求的面積；圖56計算，如圖56所示解 （1）設切點橫坐標為，則曲線在點處的切線方程是由該切線過原點知，從而，所以該切線的方程是從而的面積例47 有一立體以拋物線