第六章結(jié)構(gòu)力學(xué)(李廉錕第五版)

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:376-1 概概 述述6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理6-3 位移計(jì)算的一般公式位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法單位荷載法6-4 靜定結(jié)構(gòu)在靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算荷載作用下的位移計(jì)算6-5 圖乘法圖乘法6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算的位移計(jì)算6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算的位移計(jì)算6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理第第六六章章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算結(jié)構(gòu)位移計(jì)算 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:371.1. 結(jié)構(gòu)的位移結(jié)構(gòu)的位移是指結(jié)構(gòu)上的某一截面在荷載或其它是指結(jié)構(gòu)上的某

2、一截面在荷載或其它因素作用下由某一位置移動(dòng)到另一位置，這個(gè)移動(dòng)因素作用下由某一位置移動(dòng)到另一位置，這個(gè)移動(dòng)的量就稱為該截面的位移（線位移和角位移）。的量就稱為該截面的位移（線位移和角位移）。 思考：變形與位移的差別？思考：變形與位移的差別？6-1 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37AAAAAxAyPAxAy2.2. 位移的分類位移的分類6-1 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37ABDCCDVCDDVCV 截面截面C、D 的相對(duì)豎向的相對(duì)豎向線位移為線位移為 :VVVDCCDDC CD 截面截面C、D 的相對(duì)角位移為的相對(duì)角位移為: : AB CDDCC D6-1 結(jié)構(gòu)力

3、學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37AAAPAxAyt 3.3.位移產(chǎn)生的原因位移產(chǎn)生的原因6-1 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定: : (1) (1) 剛度要求剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度 1/6001/600 跨度；跨度；橋梁在豎向橋梁在豎向靜活載靜活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度最大撓度 1/700 1/700 和和1/9001/900跨度跨度高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/10001/1000 高度。高度。 最大層間位移最大層間位移 1/800 1/800 層高。層

4、高。6-1 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37(2) (2) 超靜定結(jié)構(gòu)、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算的基礎(chǔ)超靜定結(jié)構(gòu)、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算的基礎(chǔ)(3(3）施工要求）施工要求 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力不能僅由平衡條件確定，分析時(shí)必須超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力不能僅由平衡條件確定，分析時(shí)必須考慮變形條件，因而需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移?？紤]變形條件，因而需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。 在結(jié)構(gòu)的施工過程中，常需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后的位置，在結(jié)構(gòu)的施工過程中，常需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后的位置，以便采取一定的施工措施，使結(jié)構(gòu)物符合設(shè)計(jì)圖紙的要求。以便采取一定的施工措施，使結(jié)構(gòu)物符合設(shè)計(jì)圖紙的要求。6-1 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37

5、（3 3）理想聯(lián)結(jié)）理想聯(lián)結(jié) (Ideal Constraint)(Ideal Constraint)。（principle of superposition)principle of superposition)(1) (1) 線彈性線彈性 (Linear Elastic),(Linear Elastic),(2) (2) 小變形小變形 (Small Deformation),(Small Deformation),6-1 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37本章只討論應(yīng)用虛功原理求解結(jié)構(gòu)位移。本章只討論應(yīng)用虛功原理求解結(jié)構(gòu)位移。2. 功能法功能法虛功原理虛功原理應(yīng)變能應(yīng)變能( (

6、卡氏定理卡氏定理) ) 研究變形和位移的幾何關(guān)系，用求解微分方程研究變形和位移的幾何關(guān)系，用求解微分方程式的辦法求出某截面的位移（材料力學(xué)用過，但對(duì)式的辦法求出某截面的位移（材料力學(xué)用過，但對(duì)復(fù)雜的桿系不適用）。復(fù)雜的桿系不適用）。1.1.幾何法幾何法 6-1 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 一、基本概念一、基本概念0dFWl AOFFFBd F實(shí)功：實(shí)功： 力在其本身引起的位移上所作的功。力在其本身引起的位移上所作的功。位移位移是由外力是由外力F引起的，引起的，F(xiàn) 做的功可表示為做的功可表示為: : 1.1.外力的實(shí)功外力的實(shí)功6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)

7、力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 實(shí)功的數(shù)值就等于圖上三角形實(shí)功的數(shù)值就等于圖上三角形OAB的面積。的面積。實(shí)功是外力的非線形函數(shù)，計(jì)算外力實(shí)功不能應(yīng)實(shí)功是外力的非線形函數(shù)，計(jì)算外力實(shí)功不能應(yīng)用疊加原理。用疊加原理。kFFkkW22121220d所以所以 設(shè)線彈性材料的彈性系數(shù)為設(shè)線彈性材料的彈性系數(shù)為k，則，則kF l AOFFFBd F6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:372.2.外力的虛功外力的虛功 虛功：虛功：力在其它原因引起的位移上所作的功，力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相應(yīng)的位移是彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的。即做功

8、的力系和相應(yīng)的位移是彼此獨(dú)立無(wú)關(guān)的。tFW 虛功的數(shù)值是位移曲線所圍的矩形面積。虛功的數(shù)值是位移曲線所圍的矩形面積。 虛功中的力與位移兩者相互獨(dú)立，計(jì)算外虛功中的力與位移兩者相互獨(dú)立，計(jì)算外力虛功可應(yīng)用疊加原理。力虛功可應(yīng)用疊加原理。 lFOtFABFtt6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37力力F1在力在力F2引起的位移引起的位移12上作的功為虛功為上作的功為虛功為121FW 例例 F1力在其引起的位移力在其引起的位移11 上作的功為實(shí)功為上作的功為實(shí)功為 11121FW F1121211FF1211212212126-2 變形體系的虛功原

9、理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種位移，包括截面的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種位移，包括截面的線位移、角位移、相對(duì)線位移、相對(duì)角位移或者是一線位移、角位移、相對(duì)線位移、相對(duì)角位移或者是一組位移等等都可泛稱為廣義位移。組位移等等都可泛稱為廣義位移。 3.3.廣義位移和廣義力廣義位移和廣義力廣義位移廣義位移 與廣義位移對(duì)應(yīng)的就是廣義力，與廣義位移對(duì)應(yīng)的就是廣義力，可以是一個(gè)集中力，集中力偶或一對(duì)大小相等方可以是一個(gè)集中力，集中力偶或一對(duì)大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一組力系。向相反的力或力偶，也可以是一組力系。 注意：廣義位移與廣義力的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠注意：廣

10、義位移與廣義力的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才稱為與這組在某一組廣義位移上做功的力系，才稱為與這組廣義位移對(duì)應(yīng)的廣義力。廣義位移對(duì)應(yīng)的廣義力。 廣義力廣義力6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:374.4.內(nèi)力功內(nèi)力功 定義：定義：從桿上截取一微段從桿上截取一微段, ,作用在該微段上的內(nèi)力作用在該微段上的內(nèi)力在該微段的變形上做的功定義為該內(nèi)力做的功。在該微段的變形上做的功定義為該內(nèi)力做的功。該微段上相應(yīng)的變形為該微段上相應(yīng)的變形為軸向變形軸向變形 sdd剪力變形剪力變形 sdd彎曲變形彎曲變形 skdd1FNFNsdsd +ddd

11、sSFSddsMM6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 如果變形就是由此內(nèi)力引起的，如果變形就是由此內(nèi)力引起的，則此微段上內(nèi)則此微段上內(nèi)力功應(yīng)為實(shí)功，其為軸力、剪力和彎矩分別做的功力功應(yīng)為實(shí)功，其為軸力、剪力和彎矩分別做的功之和：之和：d21d21d21dSNMnFFw因?yàn)橐驗(yàn)閟skssd1ddddddsMsFsFwd21d21d21dSN由胡克定律有：由胡克定律有： EIMGAFEAF1,SN故故 sEIMsGAFsEAFwd21d21d21d22S2N實(shí)功數(shù)值上就等于微段的應(yīng)變能。實(shí)功數(shù)值上就等于微段的應(yīng)變能。 所以所以內(nèi)力實(shí)功內(nèi)力實(shí)功

12、6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 若變形與內(nèi)力彼此無(wú)關(guān)，則此微段上的內(nèi)力功若變形與內(nèi)力彼此無(wú)關(guān)，則此微段上的內(nèi)力功是虛功，其為是虛功，其為ddddSNiMFFw對(duì)于整根桿的內(nèi)力虛功，則可對(duì)整根桿積分求得：對(duì)于整根桿的內(nèi)力虛功，則可對(duì)整根桿積分求得： dddSNiMFFWsss原因而定。原因而定。 , 和和 的具體表達(dá)式要視引起這個(gè)變形的具體的具體表達(dá)式要視引起這個(gè)變形的具體ddd內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37回顧回顧（1 1）質(zhì)點(diǎn)系的虛功原理）質(zhì)點(diǎn)系的虛功原理

13、具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：置處于平衡的必要和充分條件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0 對(duì)于任何對(duì)于任何可能可能的虛位移，作用于的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為零零。也即也即6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37（2）剛體系的虛功原理）剛體系的虛功原理 去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：

14、對(duì)于任何對(duì)于任何可能可能的虛位移，的虛位移，作用于剛體系的所有外力所做作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。虛功之和為零。FPAxFBFAyFPB- -FP P +FB B=06-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37二、二、虛功原理虛功原理 1. 變形體的虛功原理變形體的虛功原理 設(shè)一變形體在外力系作用下處于平衡狀態(tài)。當(dāng)變形體由設(shè)一變形體在外力系作用下處于平衡狀態(tài)。當(dāng)變形體由于其他原因產(chǎn)生一符合約束條件的微小連續(xù)位移時(shí)，則外力于其他原因產(chǎn)生一符合約束條件的微小連續(xù)位移時(shí)，則外力系在位移上做的虛功的總和系在位移上做的虛功的總和We，等于變形體的

15、內(nèi)力在變形，等于變形體的內(nèi)力在變形上做的虛功的總和上做的虛功的總和Wi，即，即， ieWW 這就是這就是虛功方程虛功方程。 （證明略）（證明略）需注意：需注意： 外力系必須是平衡力系，物體處于平衡狀態(tài)；外力系必須是平衡力系，物體處于平衡狀態(tài)；6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 位移必須滿足虛位移的條件位移必須滿足虛位移的條件滿足約束條件滿足約束條件的非常微小的連續(xù)位移；的非常微小的連續(xù)位移； 外力與位移兩者之間是相互獨(dú)立沒有關(guān)聯(lián)的。平外力與位移兩者之間是相互獨(dú)立沒有關(guān)聯(lián)的。平衡的外力系與相應(yīng)的內(nèi)力是力狀態(tài)；符合約束條件的微衡的外力系與相應(yīng)

16、的內(nèi)力是力狀態(tài)；符合約束條件的微小位移與相應(yīng)的變形是位移狀態(tài)。力狀態(tài)的外力在位移小位移與相應(yīng)的變形是位移狀態(tài)。力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上做功之和狀態(tài)的位移上做功之和(外力虛功外力虛功)等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)的變形上做功之和移狀態(tài)的變形上做功之和(內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功)。 對(duì)于兩個(gè)相互無(wú)關(guān)的力狀態(tài)和位移狀態(tài)的，可以虛對(duì)于兩個(gè)相互無(wú)關(guān)的力狀態(tài)和位移狀態(tài)的，可以虛設(shè)其中一個(gè)狀態(tài)，讓另一實(shí)際狀態(tài)在此虛設(shè)狀態(tài)下做功，設(shè)其中一個(gè)狀態(tài)，讓另一實(shí)際狀態(tài)在此虛設(shè)狀態(tài)下做功，列出虛功方程，可以求解不同的問題。列出虛功方程，可以求解不同的問題。 6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)

17、構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37位移狀態(tài)位移狀態(tài)F FP PF FP P /2 /2F FP P /2 /2（虛）力狀態(tài)力狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）（虛）位移狀態(tài)位移狀態(tài)q q（3 3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無(wú)關(guān)完全無(wú)關(guān)；（2 2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件, ,力狀態(tài)應(yīng)滿足力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件平衡條件。 （1 1）屬）屬同一同一體系；體系；6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:372.2.桿系結(jié)構(gòu)虛功方程桿系結(jié)構(gòu)虛功方程 希望能很好理解

18、，盡可能達(dá)到掌握！希望能很好理解，盡可能達(dá)到掌握！dddSNiMFFWssseiWW6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37虛位移原理虛位移原理 令實(shí)際的力狀態(tài)在虛設(shè)的位移狀態(tài)下做功所建立令實(shí)際的力狀態(tài)在虛設(shè)的位移狀態(tài)下做功所建立的虛功方程表達(dá)的是力的平衡條件。從中可以求出實(shí)的虛功方程表達(dá)的是力的平衡條件。從中可以求出實(shí)際力系中的未知力。這就是虛位移原理。際力系中的未知力。這就是虛位移原理。 虛力原理虛力原理 令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的位移狀態(tài)下做功所令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的位移狀態(tài)下做功所建立虛功方程表達(dá)的是位移協(xié)調(diào)條件，從中可求出建立虛功方程

19、表達(dá)的是位移協(xié)調(diào)條件，從中可求出位移狀態(tài)中的一些未知位移。這就是虛力原理位移狀態(tài)中的一些未知位移。這就是虛力原理( (也也稱為余虛功原理稱為余虛功原理) )。 一個(gè)力系平衡的充分必要條件是：一個(gè)力系平衡的充分必要條件是：對(duì)任意協(xié)調(diào)位移，虛功方程成立。對(duì)任意協(xié)調(diào)位移，虛功方程成立。 一個(gè)位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是：一個(gè)位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是：對(duì)任意平衡力系，虛功方程成立。對(duì)任意平衡力系，虛功方程成立。3. 虛功原理的兩種應(yīng)用虛功原理的兩種應(yīng)用6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 注意注意: 虛位移原理寫出的虛功方程是一個(gè)平衡虛位移原理寫出

20、的虛功方程是一個(gè)平衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。BCDEAFFaaaa/2/2a例如：應(yīng)用例如：應(yīng)用虛位移原理虛位移原理求支座求支座C的反力的反力FC。ABCDEDEBCFCACDEFBF0EBCCFFF0)43()21(CCCCFFF即即 FFC45故故 撤除與撤除與FC相應(yīng)的約束相應(yīng)的約束, ,將將FC變成主動(dòng)力，取與變成主動(dòng)力，取與FC正向一致的剛體位移作為虛正向一致的剛體位移作為虛位移。位移。列出虛功方程：列出虛功方程： 6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 注意：注意：虛力原理寫出的

21、虛功方程是一個(gè)幾何虛力原理寫出的虛功方程是一個(gè)幾何方程，可用于求解幾何問題。方程，可用于求解幾何問題。 例：當(dāng)例：當(dāng)A支座向上移動(dòng)一個(gè)支座向上移動(dòng)一個(gè)已知位移已知位移c1，求點(diǎn)，求點(diǎn)B產(chǎn)生的豎向產(chǎn)生的豎向位移位移。ACBc1Aba在擬求線位移的方向加單位力在擬求線位移的方向加單位力 由平衡條件由平衡條件 abFyAACBFyA1 令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的位移狀態(tài)下做功，得虛令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的位移狀態(tài)下做功，得虛功方程功方程011 yAFc)()(111 cababcFcyA求得求得與單位力方向相同。與單位力方向相同。6-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返

22、回退 出14:37單位荷載法單位荷載法 (Dummy-Unit Load Method) 是是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874 1874提出，故也稱為提出，故也稱為Maxwell-Mohr Method。圖示結(jié)構(gòu)，要求圖示結(jié)構(gòu)，要求 KK=?=?實(shí)際狀態(tài)實(shí)際狀態(tài) 位移狀態(tài)位移狀態(tài)虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài) 力狀態(tài)力狀態(tài)6-3 位移計(jì)算的一般公式位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法單位荷載法結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37112233KKWFRCR CR C 外NsWF duMdF rds內(nèi)KNsF duMdF rdsRC 用虛功原理，位移狀態(tài)即實(shí)際狀態(tài)，另虛設(shè)一個(gè)力狀用虛功原

23、理，位移狀態(tài)即實(shí)際狀態(tài)，另虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)（稱力虛設(shè)狀態(tài)），要態(tài)（稱力虛設(shè)狀態(tài)），要使虛擬力的虛功正好等于所求位使虛擬力的虛功正好等于所求位移移，可接右圖選取虛擬狀態(tài)，用虛擬力為單位力，故稱為，可接右圖選取虛擬狀態(tài)，用虛擬力為單位力，故稱為單位荷載法。單位荷載法。外力虛功外力虛功: 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功:由虛功方程：由虛功方程：此式即為平面結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式。此式即為平面結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式。若結(jié)果為正，說(shuō)明若結(jié)果為正，說(shuō)明 在在 上做正功，這表明的實(shí)際上做正功，這表明的實(shí)際方向與方向相同。若結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明方向與方向相同。若結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明 在在 上做負(fù)功上做負(fù)功，這表明的實(shí)際方向與方向相反。，這表

24、明的實(shí)際方向與方向相反。 K1KF 1KF K6-3 位移計(jì)算的一般公式位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法單位荷載法結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：(1) (1) 所建立的所建立的虛功方程虛功方程 ，實(shí)質(zhì)上是，實(shí)質(zhì)上是幾何方程幾何方程。(2) (2) 虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無(wú)關(guān)，故可設(shè)單位虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無(wú)關(guān)，故可設(shè)單位廣義力廣義力 P P=1=1(3) (3) 求解時(shí)求解時(shí)關(guān)鍵一步關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。特點(diǎn)特點(diǎn): : 是用靜力平衡法來(lái)解幾何問題。是用靜力平衡法來(lái)解幾何問題。單位位移法單位位移法的虛功方程

25、的虛功方程 平衡方程平衡方程單位荷載法單位荷載法的虛功方程的虛功方程 幾何方程幾何方程總的來(lái)講：總的來(lái)講：6-3 6-3 位移計(jì)算的一般公式位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法單位荷載法結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:372. 2. 結(jié)構(gòu)類型：結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)；梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)； 靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；1. 1. 位移原因：位移原因：荷載、溫度改變、支座移動(dòng)等；荷載、溫度改變、支座移動(dòng)等；3. 3. 材料性質(zhì)：材料性質(zhì)：線性、非線性；線性、非線性；4. 4. 變形類型：變形類型：彎曲變形、拉彎曲變形、拉( (壓壓) )變形、剪切變形；變形、剪

26、切變形；5. 5. 位移種類：位移種類：線位移、角位移；相對(duì)線位移線位移、角位移；相對(duì)線位移 和相對(duì)角位移。和相對(duì)角位移。一般公式的普遍性表現(xiàn)在一般公式的普遍性表現(xiàn)在：6-3 位移計(jì)算的一般公式位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法單位荷載法結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37BA?AB(b)試確定指定試確定指定廣義位移廣義位移對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的單位廣義力單位廣義力A?A(a)F=1F=1F=16-3 位移計(jì)算的一般公式位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法單位荷載法結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37F=1?A(c)A?AB(d)ABF=1F=16-3 位移計(jì)算的一般公式位移計(jì)算的一般公式 單

27、位荷載法單位荷載法結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37ABCd?BC(e)dF1dF1ABC2d1d(f)?ACAB11d11d21d21d11BCBCBCWddd 外6-3 位移計(jì)算的一般公式位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法單位荷載法結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37AB?AB(g)F=1F=1C(h)C左右=？F=1F=16-3 位移計(jì)算的一般公式位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法單位荷載法結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37由虛功原理有：由虛功原理有：W= WiNdddissssWFuMFs cFcFcFcFFWRKRRRKK1332211外力虛功外力虛功 變形

28、虛功變形虛功 荷載作用引起的位移計(jì)算荷載作用引起的位移計(jì)算KP 等號(hào)左側(cè)是虛設(shè)的單位外力在實(shí)際的位移上所做的等號(hào)左側(cè)是虛設(shè)的單位外力在實(shí)際的位移上所做的外力虛力，右側(cè)是虛設(shè)單位力狀態(tài)的內(nèi)力在實(shí)際位移狀外力虛力，右側(cè)是虛設(shè)單位力狀態(tài)的內(nèi)力在實(shí)際位移狀態(tài)的變形上做的內(nèi)力虛功之和。態(tài)的變形上做的內(nèi)力虛功之和。6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37對(duì)于直桿，則可用對(duì)于直桿，則可用d dx代替代替d ds。計(jì)算位移的公式為計(jì)算位移的公式為NPSPPNSKP000dddlllFFMFxFxMxEAGAEI 單位力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的軸力、

29、剪單位力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和矩方程式。力和矩方程式。MFF、SN 實(shí)際荷載引起結(jié)構(gòu)的軸力、實(shí)際荷載引起結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和彎矩方程式剪力和彎矩方程式。 PSPNPMFF、E、G 材料的彈性模量和剪力彈性模量材料的彈性模量和剪力彈性模量. . A、I I 桿件的橫截面面積和橫截面慣性矩桿件的橫截面面積和橫截面慣性矩. . 剪力在截面上分布的不均勻系數(shù)，對(duì)剪力在截面上分布的不均勻系數(shù)，對(duì)于矩形截面于矩形截面= =1.2。 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37（1）梁、剛架：）梁、剛架：只考慮彎矩只考慮彎矩Mp引起的位移

30、。引起的位移。 （2）桁架：）桁架：只有軸力。只有軸力。 桁架各桿均為等截面直桿則桁架各桿均為等截面直桿則xEIMMdPxEAFFdNPNEAlFFNPN6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 拱壩一類的厚度較大的拱形結(jié)構(gòu)，其剪力也拱壩一類的厚度較大的拱形結(jié)構(gòu)，其剪力也是不能忽略的。所以計(jì)算拱壩時(shí)，軸力、剪力和是不能忽略的。所以計(jì)算拱壩時(shí)，軸力、剪力和彎矩三項(xiàng)因素都須要考慮進(jìn)去。彎矩三項(xiàng)因素都須要考慮進(jìn)去。 ( (4) ) 跨度較大的薄拱，跨度較大的薄拱，其軸力和彎矩的影響相當(dāng)，其軸力和彎矩的影響相當(dāng)，剪力剪力的影響不

31、計(jì)，位移計(jì)算公式為的影響不計(jì)，位移計(jì)算公式為 sEIMMsEAFFssddPNPN6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算（3）組合結(jié)構(gòu)）組合結(jié)構(gòu)EAlFFsEIMMNPNPd1結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 例例6-1 圖圖示剛架，已知各桿的彈性模量示剛架，已知各桿的彈性模量E和截和截面慣性矩面慣性矩 I 均為常數(shù)，試求均為常數(shù)，試求B點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移BV，水平位移水平位移BU, 和位移和位移B 。qaaACBxEI=常數(shù) 解解: ( (1) ) 作出荷載作用下的作出荷載作用下的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。橫梁橫

32、梁BC 2P21)(qxxM)0(ax 豎柱豎柱CA 2P21)(qaxMACBql2MP0.5)0(ax 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37(2)求求B 點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移BVACaBMa1 寫出各桿單位力作用下寫出各桿單位力作用下的彎矩方程的彎矩方程式，式，畫出彎矩圖畫出彎矩圖橫梁橫梁BC 豎柱豎柱CA xxM)(axM)(aoBxEIMMdPVEIxqaaEIxqxxaoaod21d2122)(85212141434EIqaxaxEIqao)0(ax )0(ax M6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算

33、靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37(3) 求求B點(diǎn)的水平位移點(diǎn)的水平位移BU 在在B點(diǎn)加單位水平力。點(diǎn)加單位水平力。畫出彎矩圖并寫出各桿的彎畫出彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程矩方程 BCM=a xxAaa-x1橫梁橫梁BC 0)(xM豎柱豎柱CA xxM)(aBxEIMM0PUdEIxqaxad21)(02)(414EIqa注意：注意：負(fù)號(hào)表示位移負(fù)號(hào)表示位移的方向與假設(shè)的單位的方向與假設(shè)的單位力的方向相反。力的方向相反。 )0(ax )0(ax 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算（4）求）求B點(diǎn)的線位移點(diǎn)的線位移B 2U

34、2VBBBEIqa4829結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 例例6-2 一圓弧形懸臂梁受勻布荷載作用，設(shè)曲梁一圓弧形懸臂梁受勻布荷載作用，設(shè)曲梁矩形截面的彎曲剛度為矩形截面的彎曲剛度為EI ，半徑為，半徑為r ，圓弧，圓弧AB 的圓的圓心角心角0 0 及荷載及荷載 q 均為已知，試求截面均為已知，試求截面B 的豎向及水的豎向及水平向位移平向位移BV和和BU。 qOr0BACdyx 解解: : 當(dāng)曲梁的半徑較大截面比較當(dāng)曲梁的半徑較大截面比較薄時(shí)，可忽略軸力和剪力的影響。薄時(shí)，可忽略軸力和剪力的影響。 (1) 列出曲梁在荷載作用下的彎列出曲梁在荷載作用下的彎矩方程。假定曲梁內(nèi)側(cè)纖維

35、受拉為矩方程。假定曲梁內(nèi)側(cè)纖維受拉為正彎矩。正彎矩。 取取B點(diǎn)為座標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為座標(biāo)原點(diǎn)，任意截任意截面面C 的橫座標(biāo)為的橫座標(biāo)為x，該截面的彎該截面的彎矩：矩：2P21qxM6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 (2) 求求BV ，在，在B點(diǎn)加一點(diǎn)加一豎向豎向單位力，單位豎向單位力，單位豎向力引起的彎方程為力引起的彎方程為 xM 1dsin2d)sin()sin21(100034022EIqrrrqrEI采用極坐標(biāo)表示采用極坐標(biāo)表示dd,cos,sinrsrryrx22Psin21qrMsinrM由于由于 00003

36、0203cos31cosdsin)cos1 (dsin所以所以 )cos31cos32(20304EIqrBC dxMMEIBPV1030cos31cos32Ox1BA0rddCs6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 (3) 求求BU，在，在B點(diǎn)作用一單位向水平力，列出此水點(diǎn)作用一單位向水平力，列出此水平向單位力引起的彎矩方程平向單位力引起的彎矩方程)cos1 (. 1ryMsMMEIBd1PUdcossin2110022rrrqrEId)cos1(sin20024EIqr030004sin3121sincos212

37、EIqrOy1BA0rddCs6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 例例6-3 平面桁架如圖，已知各桿截面積均為平面桁架如圖，已知各桿截面積均為A=0.4=0.41010-2m2彈性橫量彈性橫量E=200GPa，試求，試求B點(diǎn)和點(diǎn)和D點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。4m4m3m3m24kNABC解解: (: (1) ) 求出實(shí)際荷載狀態(tài)下各桿的內(nèi)力。求出實(shí)際荷載狀態(tài)下各桿的內(nèi)力。 (2) 求求BV4m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCFNP006-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜

38、定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 在在B點(diǎn)加一向下的單位力點(diǎn)加一向下的單位力,求此單位力引起的各桿軸力求此單位力引起的各桿軸力FN 。EAlFFPBNNV4)32()333. 1( 2540667. 1299104 . 01020016)224)(1(71080/144)341.25(666.8m1014.4-4BCFN001-1.333-1.333-11.6671.6674m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCF00NP6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返

39、回退 出14:37(3) 求求DV 在在D點(diǎn)加一向下單位力，求出此虛設(shè)狀態(tài)點(diǎn)加一向下單位力，求出此虛設(shè)狀態(tài)ABCFN10.8330001-0.5-0.833EAlFFBNPNV29104 . 01020016)24()5 . 0(540833. 071080/ )726 .166(m1098. 24 各桿的軸力各桿的軸力FN 。4m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCFNP006-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 在桿件數(shù)量多的情況下在桿件數(shù)量多的情況下, ,不方便不方便. . 下

40、面介紹計(jì)下面介紹計(jì)算位移的算位移的圖乘法圖乘法。 EIsMMPiPd6-5 圖乘法圖乘法 (Graphic Multiplication Method and its Applications)1. 1. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算；靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算；2. 2. 利用位移計(jì)算公式求靜定結(jié)構(gòu)的位移；利用位移計(jì)算公式求靜定結(jié)構(gòu)的位移；3. 3. 剛架與梁在荷載作用下的位移計(jì)算公式剛架與梁在荷載作用下的位移計(jì)算公式, , 即即: :已有基礎(chǔ)：結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyEIxEI 1tan(對(duì)于等對(duì)于等截面

41、桿截面桿)(對(duì)于直桿對(duì)于直桿) xMMEIPd1)tan( xM 圖乘法求位移公式為圖乘法求位移公式為:EIycip圖乘法的圖乘法的適用條件是適用條件是什么什么? ?圖乘法是圖乘法是VereshaginVereshagin于于19251925年提出的，他當(dāng)時(shí)年提出的，他當(dāng)時(shí)為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的的學(xué)生學(xué)生。6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37例例. .試求圖示梁試求圖示梁B B端轉(zhuǎn)角。端轉(zhuǎn)角。解解:sEIMMPBdEIycABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(1612142112EIPlPllEI為什么彎矩圖在為什么彎矩圖

42、在桿件同側(cè)圖乘結(jié)桿件同側(cè)圖乘結(jié)果為正果為正?6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37指曲線切線與桿指曲線切線與桿軸重合或平行軸重合或平行6-5 圖乘法圖乘法 幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37圖乘法小結(jié)：圖乘法小結(jié)：1. 1. 圖乘法的應(yīng)用條件圖乘法的應(yīng)用條件（1 1）等截面直桿，）等截面直桿，EIEI為常數(shù)；為常數(shù)；（2 2）兩個(gè)）兩個(gè)M M圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；（3 3） 應(yīng)取自直線圖中。應(yīng)取自直線圖中。cy2.2.若若 與與 在桿件的同側(cè)，在桿件的同側(cè)，

43、取正值；反之，取正值；反之，取負(fù)值。取負(fù)值。cycy3. 3. 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形。6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37(1) (1) 曲曲- -折組合折組合jjKiyyyyxMM 332211d圖形分解圖形分解6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37(2) (2) 梯梯- -梯同側(cè)組合梯同側(cè)組合122211dyyxMMKi 3)2(3)2(21dcydcy6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37(3) (3) 梯梯- -梯異側(cè)組合梯異側(cè)組合1 1y2 2yABCD

44、abcdKM圖圖M圖圖b c取取負(fù)負(fù)值值2211dyyxMMKi 3)2(3)2(21dcydcy6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37復(fù)雜圖形的處理：復(fù)雜圖形的處理：+=+=6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37B求求1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2ql6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37(4) (4) 階梯形截面桿階梯形截面桿jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMM 333322221111d6-5

45、 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37例例 1. 1. 已知已知EIEI為常數(shù)，求為常數(shù)，求C C、D D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移兩點(diǎn)相對(duì)水平位移 。CD 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例AlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 例例 2. 2. 圖示梁圖示梁EIEI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C C點(diǎn)豎向位移。點(diǎn)豎向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322

46、EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(241221231132EIqllqllEIEIycc6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:3732/2qliM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqll

47、qlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37例例3. 3. 試求圖示結(jié)構(gòu)試求圖示結(jié)構(gòu)B B點(diǎn)豎向位移。點(diǎn)豎向位移。解解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37例例4.4.已知已知 EIEI為常數(shù)，求鉸為常數(shù)，求鉸C C 兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角 。C解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩

48、圖AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 例例5.5.已知已知 EIEI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求A A點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移 。A)(4822)22182322324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCD解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11iM2/ l6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:376. 6.

49、求求B B點(diǎn)水平位移。點(diǎn)水平位移。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意注意: :各桿剛度各桿剛度可能不同可能不同iMl6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 7.7.已知已知EIEI為常數(shù)，求為常數(shù)，求B B截面轉(zhuǎn)角。截面轉(zhuǎn)角。MP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖ABkN/m2m4kN6m2m31124Mi)(38)21443213112421(1EIEIEIycB6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大

50、學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37)(31123)32(21322113EIPlllPllllPlllPllPllEIEIycB解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖8. 8. 求求B B點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移,EI=,EI=常數(shù)。常數(shù)。AlPBllMPPlPl2A1Bl 2MPl6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37解：解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖)(434)2)(2(14322113EAPlEIPllPEAllPlEIEAlNNEIyPicB9. 9. 求求C C、D D 兩點(diǎn)相對(duì)水平位移兩點(diǎn)相對(duì)水平位移

51、。CD ABllEAEICDPPEIlMPPlPl11iMll6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖)(421212)2322212223122142(13kPEIPlkPlPlllPlllPlllPllEIEIycB10.10.求求A A點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移, EI=, EI=常數(shù)常數(shù) 。1/2iMMPPl2/Pl2/PllPlAk1k6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37AlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY11.11.

52、圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu) EIEI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求ABAB兩點(diǎn)兩點(diǎn)(1)(1)相對(duì)豎向位相對(duì)豎向位移移,(2),(2)相對(duì)水平位移相對(duì)水平位移,(3),(3)相對(duì)轉(zhuǎn)角相對(duì)轉(zhuǎn)角 。iMMP11Pll11lliM0EIycABX0EIycAB對(duì)稱彎矩圖對(duì)稱彎矩圖反對(duì)稱彎矩圖反對(duì)稱彎矩圖 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱彎矩圖與對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱彎矩圖與其反對(duì)稱彎矩圖圖乘其反對(duì)稱彎矩圖圖乘, ,結(jié)果結(jié)果為零為零. .1111iM6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37PPPl1111繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點(diǎn)的利用。如：

53、注意反彎點(diǎn)的利用。如：6-5 圖乘法圖乘法 結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37由溫度變化引起的位移計(jì)算由溫度變化引起的位移計(jì)算 (1)每根桿受的溫度是均勻作用的，即每桿上各每根桿受的溫度是均勻作用的，即每桿上各截面的溫度是相同的。截面的溫度是相同的。 (2)桿件的兩側(cè)的溫度可以是不同的，但從高溫一桿件的兩側(cè)的溫度可以是不同的，但從高溫一側(cè)到低溫一側(cè)溫度是按直線變化的。側(cè)到低溫一側(cè)溫度是按直線變化的。 (3)由于假定溫度沿桿長(zhǎng)均勻分布由于假定溫度沿桿長(zhǎng)均勻分布, ,不可能出現(xiàn)剪不可能出現(xiàn)剪切變形切變形, , 只有軸向變形只有軸向變形dut 和截面轉(zhuǎn)角和截面轉(zhuǎn)角d。假定：假定： 6-6

54、 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37溫度引起的纖維軸向變形為：溫度引起的纖維軸向變形為：t 其中其中材料的線膨脹系數(shù)，即溫度升高材料的線膨脹系數(shù)，即溫度升高11時(shí)桿的應(yīng)變。時(shí)桿的應(yīng)變。 設(shè)微段設(shè)微段 ds 的的 溫度變化為：溫度變化為：ht1t2st1t2t0h1h2dsdsdsdt0d6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37梁段上側(cè)、下側(cè)和中心軸處纖維伸長(zhǎng)分別為梁段上側(cè)、下側(cè)和中心軸處纖維伸長(zhǎng)分別為studd11tstudd22tstudd00t由于截面內(nèi)

55、的溫度呈直線變化，有由于截面內(nèi)的溫度呈直線變化，有 11012htthtt得：得： hhthtt21120shthststdddd12其中其中t= t2 t1 ，為桿兩側(cè)的溫度變化之差。，為桿兩側(cè)的溫度變化之差。 ht1t2st1t2t0h1h2dsdsdsdt0d6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 令虛設(shè)的力狀態(tài)在結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移狀態(tài)下做功。在令虛設(shè)的力狀態(tài)在結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移狀態(tài)下做功。在擬求位移的截面虛設(shè)一單位力，則外力在位移上做的功擬求位移的截面虛設(shè)一單位力，則外力在位移上做的功應(yīng)等于內(nèi)力在溫度引起的變形上做的功之和

56、，即應(yīng)等于內(nèi)力在溫度引起的變形上做的功之和，即 dd1NFM sFtsMhtddN0式中式中 對(duì)結(jié)構(gòu)中各桿求和。對(duì)結(jié)構(gòu)中各桿求和。 MdAsM單位力彎矩圖中該桿彎矩圖的面積。單位力彎矩圖中該桿彎矩圖的面積。 NNdAsF單位力軸力圖中該桿軸力圖的面積。單位力軸力圖中該桿軸力圖的面積。 所以所以 N0MAtAht6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 正負(fù)符號(hào)取決于虛功是正功還是負(fù)功。若桿的軸正負(fù)符號(hào)取決于虛功是正功還是負(fù)功。若桿的軸心處的溫度心處的溫度t0 0 是升高，而單位力軸力圖中該桿受拉力，是升高，而單位力軸力圖中該

57、桿受拉力，則此桿的內(nèi)力虛功為正功，此項(xiàng)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。則此桿的內(nèi)力虛功為正功，此項(xiàng)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。 若溫度變化若溫度變化t使桿彎曲而某側(cè)受拉，而單位力彎使桿彎曲而某側(cè)受拉，而單位力彎矩圖中該桿的彎矩也使該側(cè)受拉，則虛內(nèi)力做正功取矩圖中該桿的彎矩也使該側(cè)受拉，則虛內(nèi)力做正功取正號(hào)，反之為負(fù)號(hào)。正號(hào)，反之為負(fù)號(hào)。6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 例例6-5 圖示剛架，各桿均為矩形截面，截面高圖示剛架，各桿均為矩形截面，截面高h(yuǎn)=40cm，截面形心位于截面高度截面形心位于截面高度1/2處。處。l=4m設(shè)剛架內(nèi)部溫度

58、上升設(shè)剛架內(nèi)部溫度上升1010外部下降外部下降2020。線膨脹系數(shù)。線膨脹系數(shù)=1=11010-5，試求，試求D點(diǎn)的豎點(diǎn)的豎向位移。向位移。2m2m2m2mABCD-20 Co 10 Coh 解解 (1) 在在D點(diǎn)作用一向上的單位力點(diǎn)作用一向上的單位力F=1，作彎矩圖，作彎矩圖 和軸力圖和軸力圖 MNF14m4mM 圖111FN圖2214124442144NMAA6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37(2)計(jì)算計(jì)算 D點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。CCCCC052)20(104 . 02 . 0)20(301000000.t

59、兩側(cè)的溫度差為兩側(cè)的溫度差為 CCC30)20(100012ttt2)C5(244 . 0C30C11100005)(m0179. 0101800105N0MUAtAhtD有有桿軸線處的溫升值為桿軸線處的溫升值為6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37 例例6-6 圖示桁架，受日照均勻溫升圖示桁架，受日照均勻溫升3030。求。求C點(diǎn)豎點(diǎn)豎向位移。向位移。 A2mCB30 解：在解：在C點(diǎn)作單位力點(diǎn)作單位力并求出各桿軸力并求出各桿軸力 。 NFA00-1.732-1.7322.02.0CB1己知各桿己知各桿 t0= 30,t

60、= 0故故 NCAt0V )(m103866. 0732. 12122)C11(C301040056-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37制造誤差引起的位移計(jì)算：制造誤差引起的位移計(jì)算：)(.)(mmA272348118每個(gè)上弦桿加長(zhǎng)每個(gè)上弦桿加長(zhǎng)8mm,8mm,求由此引起的求由此引起的A A點(diǎn)豎點(diǎn)豎向位移。向位移。118/mm4886m11A1118/118/118/6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中南大學(xué)中南大學(xué)返 回退 出14:37由支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算由支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算