空間向量與立體幾何知識點

1、23 立體幾何空間向量知識點總結(jié)知識網(wǎng)絡(luò)：知識點撥：1、空間向量的概念及其運算與平面向量類似，向量加、減法的平行四邊形法則，三角形法則以及相關(guān)的運算律仍然成立空間向量的數(shù)量積運算、共線向量定理、共面向量定理都是平面向量在空間中的推廣，空間向量基本定理則是向量由二維到三維的推廣2、當、為非零向量時是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，這是運用空間向量研究線線、線面、面面垂直的關(guān)鍵，通常可以與向量的運算法則、有關(guān)運算律聯(lián)系來解決垂直的論證問題3、公式是應(yīng)用空間向量求空間中各種角的基礎(chǔ)，用這個公式可以求兩異面直線所成的角（但要注意兩異面直線所成角與兩向量的夾角在取值范圍上的區(qū)別），再結(jié)合平面的法向量，可以求直線與平

2、面所成的角和二面角等4、直線的方向向量與平面的法向量是用來描述空間中直線和平面的相對位置的重要概念，通過研究方向向量與法向量之間的關(guān)系，可以確定直線與直線、直線與平面、平面與平面等的位置關(guān)系以及有關(guān)的計算問題5、用空間向量判斷空間中的位置關(guān)系的常用方法（1）線線平行 證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量（2）線線垂直 證明兩條直線垂直，只需證明兩條直線的方向向量垂直，即（3）線面平行 用向量證明線面平行的方法主要有： 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直； 證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線方向向量是共線向量； 利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量來線性表示直線的

3、方向向量（4）線面垂直 用向量證明線面垂直的方法主要有： 證明直線方向向量與平面法向量平行； 利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題（5）面面平行 證明兩個平面的法向量平行（即是共線向量）； 轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題（6）面面垂直 證明兩個平面的法向量互相垂直； 轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題6、運用空間向量求空間角（1）求兩異面直線所成角 利用公式， 但務(wù)必注意兩異面直線所成角的范圍是， 故實質(zhì)上應(yīng)有：（2）求線面角 求直線與平面所成角時，一種方法是先求出直線及射影直線的方向向量，通過數(shù)量積求出直線與平面所成角；另一種方法是借助平面的法向量，先求出直線方向向量與平面法向量的夾角，即可求出

4、直線與平面所成的角，其關(guān)系是sin| cos|（3）求二面角 用向量法求二面角也有兩種方法：一種方法是利用平面角的定義，在兩個面內(nèi)先求出與棱垂直的兩條直線對應(yīng)的方向向量，然后求出這兩個方向向量的夾角，由此可求出二面角的大??；另一種方法是轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個面的法向量的夾角，它與二面角的大小相等或互補7、運用空間向量求空間距離 空間中的各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為求點與點、點與線、點與面的距離（1）點與點的距離 點與點之間的距離就是這兩點間線段的長度，因此也就是這兩點對應(yīng)向量的模（2）點與面的距離 點面距離的求解步驟是：求出該平面的一個法向量； 求出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量； 求出法

5、向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即得要求的點面距離備考建議：1、空間向量的引入，把平面向量及其運算推廣到空間，運用空間向量解決有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的問題，應(yīng)體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發(fā)展空間想像能力和幾何直觀能力2、靈活選擇運用向量方法與綜合方法，從不同角度解決立體幾何問題3、在解決立體幾何中有關(guān)平行、垂直、夾角、距離等問題時，直線的方向向量與平面的法向量有著舉足輕重的地位和作用，它的特點是用代數(shù)方法解決立體幾何問題，無需進行繁、難的幾何作圖和推理論證，起著從抽象到具體、化難為易的作用因此，應(yīng)熟練掌握平面法向量的求法和用法4、加強運算能力的培養(yǎng)，提高運算的速

6、度和準確性第一講 空間向量及運算一、空間向量的有關(guān)概念1、空間向量的定義 在空間中，既有大小又有方向的量叫做空間向量注意空間向量和數(shù)量的區(qū)別數(shù)量是只有大小而沒有方向的量2、空間向量的表示方法 空間向量與平面向量一樣，也可以用有向線段來表示，用有向線段的長度表示向量的大小，用有向線段的方向表示向量的方向若向量對應(yīng)的有向線段的起點是A，終點是B，則向量可以記為，其模長為或3、零向量 長度為零的向量稱為零向量，記為零向量的方向不確定，是任意的由于零向量的這一特殊性，在解題中一定要看清題目中所指向量是“零向量”還是“非零向量”4、單位向量 模長為1的向量叫做單位向量單位向量是一種常用的、重要的空間向量

7、，在以后的學習中還要經(jīng)常用到5、相等向量 長度相等且方向相同的空間向量叫做相等向量若向量與向量相等，記為=.零向量與零向量相等，任意兩個相等的非零向量都可以用空間中的同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)6、相反向量 長度相等但方向相反的兩個向量叫做相反向量的相反向量記為二、共面向量1、定義 平行于同一平面的向量叫做共面向量2、共面向量定理 若兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y,使得=。3、空間平面的表達式空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y使或?qū)臻g任一定點O,有或（其中）這幾個式子是M,A,B,P四點共面的充要條件三、空間向量基本

8、定理1、定理 如果三個向量、不共面，那么對空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使=2、注意以下問題（1）空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底（2）由于可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面，就隱含著它們都不是。（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，兩者是相關(guān)聯(lián)的不同概念 由空間向量的基本定理知，若三個向量、不共面。那么所有空間向量所組成的集合就是,這個集合可看做是由向量、生成的，所以我們把稱為空間的一個基底。、叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底 3、向量的坐標表示 （1）單位正交基底

9、 如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用表示（2）空間直角坐標系 在空間選定一點O和一個單位正交基底以點O為原點，分別以、的方向為正方向建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸，它們都叫坐標軸則建立了一個空間直角坐標系Oxyz,點O叫原點，向量、都叫坐標向量 （3）空間向量的坐標給定一個空間直角坐標系和向量,且設(shè)、為坐標向量，存在唯一有序數(shù)組（x，y，z）使，有序數(shù)組（x，y，z）叫做在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，記為=。對坐標系中任一點A，對應(yīng)一個向量，則=。在單位正交基底、中與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），叫做點A在此空間直角坐標系中的坐標，記

10、為A（x，y，z）.四、空間向量的運算1、空間向量的加法三角形法則（注意首尾相連）、平行四邊形法則，加法的運算律：交換律 結(jié)合律 2、空間向量的減法及幾何作法幾何作法：在平面內(nèi)任取一點O，作，則，即從的終點指向的終點的向量，這就是向量減法的幾何意義3、空間向量的數(shù)乘運算 （1）定義實數(shù)與的積是一個向量，記為，它的模與方向規(guī)定如下： 當時，與同向；當時，與異向；當時注意： 關(guān)于實數(shù)與空間向量的積的理解：我們可以把的模擴大（當>1時），也可以縮小（< 1 時），同時，我們可以不改變向量的方向（當時），也可以改變向量的方向（當時）。 . 注意實數(shù)與向量的積的特殊情況，當時，；當，若時，有

11、。 注意實數(shù)與向量可以求積，但是不能進行加減運算比如，無法運算。（2）實數(shù)與空間向量的積滿足的運算律設(shè)、是實數(shù)，則有 （結(jié)合律） （第一分配律） （第二分配律）實數(shù)與向量的積也叫數(shù)乘向量4、共線向量 （1）共線向量定義若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量，也叫做平行向量。若與是共線向量，則記為/。注意：零向量和空間任一向量是共線向量（2）共線向量定理對空間任意兩個向量、（），/的充要條件是存在實數(shù)使（3）空間直線的向量表示式如果直線 l 是經(jīng)過已知點 A 且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點 O，點P在直線 l 上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式，其中向

12、量叫做直線 l 的方向向量注意：若在 l 上取，則有上式可解決三點P、A、B 共線問題的表示或判定 當時，點P為AB的中點，這是中點公式的向量表達式 若P分所成比為，則5、空間直角坐標系在空間直角坐標系中，三條坐標軸兩兩互相垂直，軸的方向通常這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸正半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn) 900能與 y 軸的正半軸重合。讓右手拇指指向 x 軸正方向食指指向 y 軸的正方向，如果中指指向 z 軸的正方向，那么稱這個坐標系為右手直角坐標系。一般情況下，建立的坐標系都是右手直角坐標系在平面上畫空間直角坐標系 Oxyz 時，一般使xOy=135°，yOz=90°?？臻g兩點間的

13、距離公式是平面上兩點間距離公式的推廣，是空間向量模長公式的推廣，如果知道兒何體上任意兩點的坐標我們就可直接套用設(shè)，則特別地，P1（x,y,z）到原點的距離 6、空間向量的數(shù)量積運算其中的夾角，范圍是0，注意數(shù)量積的性質(zhì)和運算律。 1. 性質(zhì)若是非零向量，是與方向相同的單位向量，是的夾角，則（1）（2）（3）若同向，則；若反向，則；特別地：（4）若為（5） 2. 運算律（1）結(jié)合律（2）交換律（3）分配律不滿足消去律和結(jié)合律即：【典型例題】 例1. 已知P是平面四邊形ABCD所在平面外一點，連結(jié)PA、PB、PC、PD，點E、F、G、H分別為PAB、PBC、PCD、PDA的重心。求證：E、F、G、

14、H四點共面。證明：分別延長PE、PF、PG、PH交對邊于M、N、Q、RE、F、G、H分別是所在三角形的重心M、N、Q、R為所在邊的中點，順次連結(jié)MNQR所得四邊形為平行四邊形，且有MNQR為平行四邊形，則 由共面向量定理得E、F、G、H四點共面。 例2. 如圖所示，在平行六面體中，P是CA'的中點，M是CD'的中點，N是C'D'的中點，點Q是CA'上的點，且CQ：QA'=4：1，用基底表示以下向量：（1）；（2）；（3）；（4）。解：連結(jié)AC、AD'（1）；（2）；（3）（4）點評：本例是空間向量基本定理的推論的應(yīng)用此推論意在用分解定理確

15、定點的位置，它對于以后用向量方法解幾何問題很有用，選定空間不共面的三個向量作基向量并用它們表示出指定的向量，是用向量解決幾何問題的一項基本功 例3. 已知空間四邊形OABC中，AOB=BOC=AOC，且OA=OB=OC。M、N分別是OA、BC的中點，G是MN的中點。求證：OGBC。證明：連結(jié)ON，設(shè)AOB=BOC=AOC=又設(shè)，則。又 OGBC 例4. 已知空間三點A（0，2，3），B（2，1，6），C（1，1，5）。（1）求以為鄰邊的平行四邊形面積；（2）若，且垂直，求向量的坐標。解：（1）由題中條件可知以為鄰邊的平行四邊形面積：（2）設(shè)由題意得解得第二講 直線的方向向量、平面的法向量及其應(yīng)

16、用一、直線的方向向量及其應(yīng)用 1、直線的方向向量 直線的方向向量就是指和這條直線所對應(yīng)向量平行（或共線）的向量，顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個 2、直線方向向量的應(yīng)用 利用直線的方向向量，可以確定空間中的直線和平面（1）若有直線l, 點A是直線l上一點，向量是l的方向向量，在直線l上取，則對于直線l上任意一點P，一定存在實數(shù)t，使得，這樣，點A和向量不僅可以確定l的位置，還可具體表示出l上的任意點（2）空間中平面的位置可以由上兩條相交直線確定，若設(shè)這兩條直線交于點O,它們的方向向量分別是和，P為平面上任意一點，由平面向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使得，這樣，點O與方向向量、不

17、僅可以確定平面的位置，還可以具體表示出上的任意點二、平面的法向量1、所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個平面的法向量也有無數(shù)個，它們是共線向量2、在空間中，給定一個點A和一個向量，那么以向量為法向量且經(jīng)過點A的平面是唯一確定的三、直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)系中的應(yīng)用1、若兩直線l1、l2的方向向量分別是、，則有l(wèi)1/ l2/，l1l22、若兩平面、的法向量分別是、，則有/， 若直線l的方向向量是，平面的法向量是，則有l(wèi)/，l/四、平面法向量的求法 若要求出一個平面的法向量的坐標，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：1、設(shè)出平

18、面的法向量為2、找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標3、根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組4、解方程組，取其中一個解，即得法向量五、用向量方法證明空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系（一）用向量方法證明空間中的平行關(guān)系 空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行 1、線線平行 設(shè)直線l1、l2的方向向量分別是、，則要證明l1/ l2，只需證明/，即2、線面平行 （1）設(shè)直線l的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明，即. （2）根據(jù)線面平行的判定定理：“如果直線（平面外）與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行”，要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找

19、一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可（3）根據(jù)共面向量定理可知，如果一個向量和兩個不共線的向量是共面向量，那么這個向量與這兩個不共線向量確定的平面必定平行，因此要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可3、面面平行（1）由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可（2）若能求出平面、的法向量、，則要證明/，只需證明/ （二）用向量方法證明空間中的垂直關(guān)系 空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直1、線線垂直 設(shè)直線l1、l2的方向向量分別是、，則要證明l1 l2，只需證明，即 2、線面垂直（

20、1）設(shè)直線l的方向向量是，平面的法向量是，則要證l，只需證明/ （2）根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直3、面面垂直（1）根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直（2）證明兩個平面的法向量互相垂直六、用向量方法求空間的角（一）兩條異面直線所成的角1、定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，過空間任一點O作直線，則與所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角2、范圍：兩異面直線所成角的取值范圍是3、向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為、，其夾角為，則有4、注意：兩異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求得，但兩者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角

21、作為兩異面直線所成的角（二）直線與平面所成的角1、定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角2、范圍：直線和平面所成角的取值范圍是3、向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則有（三）二面角1、二面角的取值范圍：2、二面角的向量求法（1）若AB、CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角（如圖（a）所示）（2）設(shè)、是二面角的兩個角、的法向量，則向量與的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大?。ㄈ鐖D（b）所示）七、用向量的方法求空間的距離（一）點面距離的求法如圖（a）所示，BO平面，垂足為O，則點

22、B到平面的距離就是線段BO的長度若AB是平面的任一條斜線段，則在RtBOA中，cosABO=。如果令平面的法向量為，考慮到法向量的方向，可以得到B點到平面的距離為。 因此要求一個點到平面的距離，可以分以下幾步完成： 1、求出該平面的一個法向量 2、找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量 3、求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離 由于可以視為平面的單位法向量，所以點到平面的距離實質(zhì)就是平面的單位法向量與從該點出發(fā)的斜線段向量的數(shù)量積的絕對值，即另外，等積法也是點到面距離的常用求法（二）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離用求點面距的方法進行求解。（三）

23、兩異面直線距離的求法如圖（b）所示，設(shè)l1、l2是兩條異面直線，是l1與l2的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是l1、l2上的任意兩點，則l1與l2的距離是。【典型例題】 例1. 設(shè)分別是直線l1、l2的方向向量，根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1與l2的位置關(guān)系。（1）=（2，3，1），=（6，9，3）；（2）=（5，0，2），=（0，4，0）；（3）=（2，1，4），=（6，3，3）解：（1），=（6，9，3），l1/l2（2）=（5，0，2），=（0，4，0），l1l2（3）（2，1，4，），=（6，3，3）不共線，也不垂直l1與l2的位置關(guān)系是相交或異面 例2. 設(shè)分別是平面、的法向量，根據(jù)下列

24、條件判斷、的位置關(guān)系：（1）=（1，1，2），=（3，2，）；（2）=（0，3，0），=（0，5，0）；（3）=（2，3，4），=（4，2，1）。解：（1）=（1，1，2），=（3，2，） （2）=（0，3，0），=（0，5，0）（3）=（2，3，4），=（4，2，1）既不共線、也不垂直，與相交點評：應(yīng)熟練掌握利用向量共線、垂直的條件。 例3. 已知點A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一個單位法向量。解：由于A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），=（3，4，0），=（3，0，5）設(shè)平面ABC的法向量為（x，y，z）則有即取z=1，得，于是=（）

25、，又平面的單位法向量是例4. 若直線l的方向向量是=（1，2，2），平面的法向量是=（1，3，0），試求直線l與平面所成角的余弦值。分析：如圖所示，直線l與平面所成的角就是直線l與它在平面內(nèi)的射影所成的角，即ABO，而在RtABO中，ABO=BAO，又BAO可以看作是直線l與平面的垂線所成的銳角，這樣BAO就與直線l的方向向量a與平面的法向量n的夾角建立了聯(lián)系，故可借助向量的運算求出BAO，從而求出ABO，得到直線與平面所成的角。解：=（1，2，2，），=（1，3，0），若設(shè)直線l與平面所成的角是則有因此，即直線l與平面所成角的余弦值等于。例5. 如圖（a）所示，在正方體中，M、N分別是、的中

26、點。求證：（1）MN/平面；（2）平面。（1）證法一：如圖（b）所示，以D為原點，DA、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，則可求得M（0，1，），N（，1，1，），D（0，0，0），（1，0，1），B（1，1，0），于是=（，0，）。設(shè)平面的法向量是（x，y，z）則，得取x=1，得，=（1，1，1）又=（，0，）·（1，1，1）=0，MN/平面證法二：，證法三： 即線性表示，故是共面向量/平面A1BD，即MN/平面A1BD。（2）證明：由（1）求得平面的法向量為=（1，1，1）同理可求平面B1D1C的法向量=（1，1，1）平面A1BD/平面B

27、1D1C 例6. 如圖，在正方體中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點。求證：A1O平面GBD。證明：設(shè)，則而 同理，又，面GBD。例7. （2004年天津）如圖（a）所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點。（1）證明：PA/平面EDB；（2）求EB與底面ABCD所成角的正切值。（1）證明：如圖（b）所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點設(shè)DC=a，連結(jié)AC，AC交BD于G，連結(jié)EG依題意得A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，）底面ABCD是正方形G是此正方形的中心故點G的坐標為（，0）=（a，0，a），=（，0，），這表明PA/EG而EG平面EDB，且PA平面EDBPA/平面EDB（2）解：依題意得B（a，a，0），C（0，a，0）如圖（b）取DC的中點F（0，0），連結(jié)EF、BF=（0，0， ），=（a，0），=（0，a，0），F(xiàn)EFB，F(xiàn)EDC。tanEBFEB與底面ABCD所